3 grudnia 2012 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 11
Zadanie 1 Skonstruować odwzorowanie liniowe f wiedząc, że: a) f :
3
2
R −→ R , Ker f = {( x, y, z) : x + y + z = 0 }, Im f = {( x, y) : x + 3 y = 0 }; b) f :
3
2
R −→ R , Ker f = lin {(1 , 1 , 2) , (1 , − 1 , 0) }, Im f = {( x, y) : 2 x = 3 y}; c) f :
4
2
R −→ R , Ker f = {( x, −x, z, −z) x, z ∈ R }, Im f = {( s + t, s − t) s, t ∈ R }.
Zadanie 2 Znaleźć odwzorowanie liniowe f : 4
3
R −→ R jeżeli Ker f = {(0 , 0 , z, t) z, t ∈
R } oraz f (1 , 1 , 1 , 1) = (1 , 3 , 3), f (1 , 0 , 1 , 0) = (1 , 1 , − 3).
Zadanie 3 Niech B
n
1 = ( e 1 , . . . , en) i B 2 = ( l 1 , . . . , ln) będą dwiema bazami w R
oraz
u = x
n
n
1 e 1 + . . . + xnen. Udowodnić, że odwzorowanie liniowe f : R
−→ R takie, że
f ( u) = x 1 l 1 + . . . + xnln jest izomorfizmem.
Zadanie 4 Niech f :
n
m
R −→ R
będzie odwzorowaniem liniowym oraz B = ( e 1 , . . . , en) bazą
n
R . Udowodnić:
a) f jest iniekcją ⇐⇒ f [ B] = ( f ( e 1) , . . . , f ( en)) jest układem liniowo niezależnym; b) f jest suriekcją ⇐⇒
m
R
= lin( f ( e 1) , . . . , f ( en)); c) f jest bijekcją ⇐⇒ f [ B] jest bazą m
R .
Co można powiedzieć o m i n w każdym przypadku a), b) i c)?