17 czerwca 2013 r.
Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 28
Zadanie 1 Niech M2×2 oznacza przestrze« wektorow¡ macierzy kwadratowych o wymiarze
0 2
2 × 2 nad ciaªem R. Odwzorowanie f : M2×2 → M2×2 speªnia warunki: f
=
1 1
0 1
1 0
1 3
0 0
0 1
f
=
, f
= f
=
. Znale¹¢ macierz tego
0 1
1 0
0 3
1 0
0 1
odwzorowania w bazie standardowej przestrzeni M2×2.
Zadanie 2 Sprawdzi¢, czy podane odwzorowania s¡ izomorzmami: a) f : R[x]3 → R[x]3, (f(p))(x) = xp0(x + 1) − p(x + 1); b) f : R[x]3 → R[x]3, (f(w))(x) = (x2 − x + 1)w00(x) + (x + 2)w0(x); c) f : M
4
2×2 → R ,
f (A) = (2a11−a22, a21−3a11, a22+a21−a12−2a11, −a21+2a12−a22).
Zadanie 3 Obrazami wielomianów w1(x) = x2 + 1, w2(x) = x + 1, w3(x) = x2 + x w odwzorowaniu liniowym f : R[x]2 → R[x]2 s¡ odpowiednio wielomiany: u1(x) = x2+3x+2, u2(x) = 2x2 + 2x, u3(x) = 2x2 + 2x + 2. Znale¹¢ macierz f −1 w bazie B = (w1, w2, w3).
Zadanie 4 Sprawdzi¢, »e wektory u1 = (i−1, −i+1), u2 = (−1, 1), u3 = (0, i), u4 = (1, 0)
1
0
0 1
mo»na przyj¡¢ za baz¦
−1 −1
0 0
2
C (R). Ponadto macierz A =
jest macierz¡
0
0 −1 1
1
1
0 1
odwzorowania f : 2
2
C (R) → C (R). Znale¹¢ f (i, −i).
Zadanie 5 Znale¹¢ warto±ci i wektory wªasne oraz podprzestrzenie wªasne podanych odwzorowa« liniowych:
a) f : R[x]2 → R[x]2, (f(p))(x) = xp0(x); b) f : R[x]2 → R[x]2, (f(p))(x) = 2xp0(x) + x2p(0) + p(2); c) f : R[x]3 → R[x]3, (f(p))(x) = x3p0(1) + p(2x); d) f : R[x]3 → R[x]3, (f(p))(x) = xp0(x + 1) − p(x + 1);
e)
a b
a − b
−4c
f : M2×2 → M2×2, f
=
.
c d
−b
2d − a