Šukasz Czech

17 czerwca 2013 r.

Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 28

Zadanie 1 Niech M

2×2

oznacza przestrze« wektorow¡ macierzy kwadratowych o wymiarze

2 × 2

nad ciaªem R. Odwzorowanie f : M

2×2

→ M

2×2

speªnia warunki: f

0 2

1 1

=

f

0 1

0 1

=

1 0

1 0

, f

1 3

0 3

= f

0 0

1 0

=

0 1

0 1

. Znale¹¢ macierz tego

odwzorowania w bazie standardowej przestrzeni M

2×2

.

Zadanie 2 Sprawdzi¢, czy podane odwzorowania s¡ izomorzmami:

a) f : R[x]

3

→ R[x]

3

, (f(p))(x) = xp

0

(x + 1) − p(x + 1)

;

b) f : R[x]

3

→ R[x]

3

,

(f (w))(x) = (x

2

− x + 1)w

00

(x) + (x + 2)w

0

(x)

;

c) f : M

2×2

→ R

4

, f(A) = (2a

11

−a

22

, a

21

−3a

11

, a

22

+a

21

−a

12

−2a

11

, −a

21

+2a

12

−a

22

)

.

Zadanie 3 Obrazami wielomianów w

1

(x) = x

2

+ 1

, w

2

(x) = x + 1

, w

3

(x) = x

2

+ x

w

odwzorowaniu liniowym f : R[x]

2

→ R[x]

2

s¡ odpowiednio wielomiany: u

1

(x) = x

2

+3x+2

,

u

2

(x) = 2x

2

+ 2x

, u

3

(x) = 2x

2

+ 2x + 2

. Znale¹¢ macierz f

−1

w bazie B = (w

1

, w

2

, w

3

)

.

Zadanie 4 Sprawdzi¢, »e wektory u

1

= (i−1, −i+1)

, u

2

= (−1, 1)

, u

3

= (0, i)

, u

4

= (1, 0)

mo»na przyj¡¢ za baz¦ C

2

(R). Ponadto macierz A =







1

0

0 1

−1 −1

0 0

0

0 −1 1

1

1

0 1







jest macierz¡

odwzorowania f : C

2

(R) → C

2

(R). Znale¹¢ f (i, −i).

Zadanie 5 Znale¹¢ warto±ci i wektory wªasne oraz podprzestrzenie wªasne podanych od-

wzorowa« liniowych:

a) f : R[x]

2

→ R[x]

2

, (f(p))(x) = xp

0

(x)

;

b) f : R[x]

2

→ R[x]

2

, (f(p))(x) = 2xp

0

(x) + x

2

p(0) + p(2)

;

c) f : R[x]

3

→ R[x]

3

, (f(p))(x) = x

3

p

0

(1) + p(2x)

;

d) f : R[x]

3

→ R[x]

3

, (f(p))(x) = xp

0

(x + 1) − p(x + 1)

;

e) f : M

2×2

→ M

2×2

, f

a b

c d

=

a − b

−4c

−b

2d − a

.