zestaw 28 ALzG

background image

Šukasz Czech

17 czerwca 2013 r.

Algebra liniowa z geometri¡  zestaw nr 28

Zadanie 1 Niech M

2×2

oznacza przestrze« wektorow¡ macierzy kwadratowych o wymiarze

2 × 2

nad ciaªem R. Odwzorowanie f : M

2×2

→ M

2×2

speªnia warunki: f

 0 2

1 1



=

f

 0 1

0 1



=

 1 0

1 0



, f

 1 3

0 3



= f

 0 0

1 0



=

 0 1

0 1



. Znale¹¢ macierz tego

odwzorowania w bazie standardowej przestrzeni M

2×2

.

Zadanie 2 Sprawdzi¢, czy podane odwzorowania s¡ izomorzmami:

a) f : R[x]

3

→ R[x]

3

, (f(p))(x) = xp

0

(x + 1) − p(x + 1)

;

b) f : R[x]

3

→ R[x]

3

,

(f (w))(x) = (x

2

− x + 1)w

00

(x) + (x + 2)w

0

(x)

;

c) f : M

2×2

→ R

4

, f(A) = (2a

11

−a

22

, a

21

−3a

11

, a

22

+a

21

−a

12

−2a

11

, −a

21

+2a

12

−a

22

)

.

Zadanie 3 Obrazami wielomianów w

1

(x) = x

2

+ 1

, w

2

(x) = x + 1

, w

3

(x) = x

2

+ x

w

odwzorowaniu liniowym f : R[x]

2

→ R[x]

2

s¡ odpowiednio wielomiany: u

1

(x) = x

2

+3x+2

,

u

2

(x) = 2x

2

+ 2x

, u

3

(x) = 2x

2

+ 2x + 2

. Znale¹¢ macierz f

−1

w bazie B = (w

1

, w

2

, w

3

)

.

Zadanie 4 Sprawdzi¢, »e wektory u

1

= (i−1, −i+1)

, u

2

= (−1, 1)

, u

3

= (0, i)

, u

4

= (1, 0)

mo»na przyj¡¢ za baz¦ C

2

(R). Ponadto macierz A =



1

0

0 1

−1 −1

0 0

0

0 −1 1

1

1

0 1



jest macierz¡

odwzorowania f : C

2

(R) → C

2

(R). Znale¹¢ f (i, −i).

Zadanie 5 Znale¹¢ warto±ci i wektory wªasne oraz podprzestrzenie wªasne podanych od-

wzorowa« liniowych:

a) f : R[x]

2

→ R[x]

2

, (f(p))(x) = xp

0

(x)

;

b) f : R[x]

2

→ R[x]

2

, (f(p))(x) = 2xp

0

(x) + x

2

p(0) + p(2)

;

c) f : R[x]

3

→ R[x]

3

, (f(p))(x) = x

3

p

0

(1) + p(2x)

;

d) f : R[x]

3

→ R[x]

3

, (f(p))(x) = xp

0

(x + 1) − p(x + 1)

;

e) f : M

2×2

→ M

2×2

, f

 a b

c d



=

 a − b

−4c

−b

2d − a



.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zestaw 28 ALzG
zestaw 28 ALzG
zestaw 10 ALzG
zestaw 18 ALzG
zestaw 26 ALzG
zestaw 22 ALzG
zestaw 20 ALzG
zestaw 10 ALzG
zestaw 17 ALzG
zestaw 12 ALzG
zestaw 22 ALzG
zestawy 28 pyt Ai B mini, Inżynieria Środowiska PW semestr I, chemia, sesja
zestaw28 02, Zestaw 28
zestaw 28, AiR, Semestr 2, Grafika inżynierska, zadania grafika
zestaw 11 ALzG
zestaw 19 ALzG
zestaw 26 ALzG
zestaw 25 ALzG
zestaw 19 ALzG

więcej podobnych podstron