27 maja 2013 r.
Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 25
Zadanie 1 Jak¡ powierzchni¦ opisuje równanie:
2
2
2x2 + 5x2 + 2x2 + 4x
√ x
√ x
1
2
3
1x2 + 2x1x3 + 4x2x3 +
1 −
3 − 6 = 0?
2
2
Zadanie 2 Zbada¢ wªasno±ci dziaªania ? w podanych zbiorach:
a) a ? b := ab − a − b + 2 w zbiorze A = R \ {1};
b) a ? b := a+b w zbiorze A =
1−ab
R;
c) (a
2
1, a2) ? (b1, b2) := (a1b1 − a2b2, a1b2 + a2b1) w zbiorze A = R ;
d) a ? b := ab + a + b w zbiorze A = (−∞, −1i.
Zadanie 3 Zbada¢, czy para (A, ?) jest grup¡ (grup¡ abelow¡):
a) A = R oraz a ? b := a + b + 2;
b) A = {z ∈ C : |z| = 1} oraz z1 ? z2 := z1z2;
√
c) A = {a = x + y 2 : x ∈ Q ∧ y ∈ Q} oraz a ? b := a + b;
d) A = {f0(x) = x, f1(x) = 1, f
} oraz ? - skªadanie odwzorowa«;
x
2(x) = −x, f3(x) = − 1
x
e) A = {z ∈ C : arg z = π} oraz ? - suma, iloczyn liczb zespolonych.
4
Zadanie 4 Jak¡ struktur¦ stanowi zbiór A wraz z okre±lonymi dziaªaniami ⊕, - pier±cie«
(przemienny, z jedno±ci¡, caªkowity), ciaªo (przemienne)?
√
a) A = {x = a + b 3, a, b ∈ Q} oraz ⊕, - dodawanie i mno»enie;
b) A = 2
Q oraz (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc);
c) A - zbiór funkcji liniowych postaci y = ax+b, dla a, b ∈ R oraz ⊕, oznaczaj¡ kolejno dodawanie i skªadanie funkcji.
Zadanie 5 W zbiorze N okre±lamy dziaªania: x y = xy oraz x ? y = xy. Sprawdzi¢ czy zachodzi rozdzielno±¢ (lewo- i prawostronna) dziaªania wzgl¦dem ? oraz ? wzgl¦dem .
Zadanie 6 Czy odwzorowanie f : R → R takie, »e f(x) = 2x + 1 jest homomorzmem
grupy (R, ) w grup¦ (R, ?), gdy xy = x+y +2, x?y = x+y −5? Czy jest to izomorzm?
√
Zadanie 7 Niech Q( a) = {m + n a, m, n ∈ Q}.
√
√
a) udowodni¢, »e grupy (Q( 2), +) oraz (Q( 3), +) s¡ izomorczne;
√
√
√
b) czy odwzorowanie f : m + n 2 → m + n 3 jest izomorzmem pier±cienia Z( 2) na
√
pier±cie« Z( 3);
√
√
c) udowodni¢, »e ciaªo (Q( 2), +, ·) nie jest izomorczne z ciaªem (Q( 3), +, ·).
Zadanie 8
a) Niech (G1, ·) i (G2, ) b¦d¡ grupami, e1, e2 odpowiednimi elementami neutralnymi.
Udowodni¢, »e je»eli f : G1 → G2 jest homomorzmem, to f(e1) = e2.
b) Niech X = R × (R \ {0}) i ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ X : (x1, y1) ? (x2, y2) = (y1x2 +
x1, y1y2). Udowodni¢, »e struktura (X, ?) jest grup¡. Czy jest to grupa abelowa?
c) Dane jest odwzorowanie f : X → R \ {0} takie, »e f(x, y) = y. Udowodni¢, »e f jest homomorzmem grupy (X, ?) w (R \ {0}, ·). Czy jest to izomorzm?