16 kwietnia 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 22
1
2 − 4
Zadanie 1 Dana jest forma dwuliniowa f ( x, y) = XT AY , gdzie A =
2 − 2 − 2
−
4 − 2
1
jest macierzą formy f w bazie:
a) kanonicznej;
b) B 1 = ((1 , 1 , 1) , (1 , 1 , − 1) , (1 , − 1 , − 1)); c) B 2 = ((1 , 1 , 1) , (1 , − 1 , 0) , (1 , 0 , 0)).
ponadto x = ( x 1 , x 2 , x 3), y = ( y 1 , y 2 , y 3). Zapisz f ( x, y) jako wielomian st. 2-go.
0 1 1
Zadanie 2 Niech A =
3
3
1 0 1 będzie macierzą formy dwuliniowej f :
×
→
R
R
R
1 1 0
w bazie B = ((1 , − 1 , 1) , (0 , 1 , 1) , (0 , 0 , 1)). Znajdź macierz formy w bazie standardowej.
2 1 4
Zadanie 3 Macierz A = 2 1 2 jest macierzą formy dwuliniowej f w bazie standar-
1 1 2
dowej. Znajdź formę kwadratową skojarzoną z formą dwuliniową f .
Zadanie 4 W przestrzeni
3
R dane są formy kwadratowe:
a) f ( x) = x 2 + x 2 + x 2; 1
2
3
b) f ( x) = 2 x 2 + 3 x
+ x 2;
1
1 x 2 + 4 x 1 x 3 + x 2
2
3
c) f ( x) = 2 x 2 + 6 x 1
1 x 2 + 4 x 2 x 3;
gdzie x = ( x 1 , x 2 , x 3). Znajdź odpowiadające im formy dwuliniowe oraz macierze tych form w bazie kanonicznej.
1 2 − 2
Zadanie 5 Macierz A =
2 2
4 jest macierzą formy kwadratowej ϕ w bazie
−
2 4
1
standardowej.
a) Podaj dwie różne formy dwuliniowe f 1 i f 2 takie, że forma kwadratowa jest formą skojarzoną z f 1, f 2.
b) Podaj formę dwuliniową symetryczną f taką, że forma ϕ jest skojarzona z formą f .