4 marca 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 17
Zadanie 1 Oblicz długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach:
~a = 2 ~
p + ~
q i ~b = ~
p − 2 ~
q, gdzie k~
pk = 1, k~
qk = 2 oraz ]( ~p, ~q) = π .
3
Zadanie 2 Zbadaj wzajemne położenie prostych:
x + 2 y − z + 1 = 0
x − 2 y − 3 z + 1 = 0
l 1 :
oraz
l 2 :
x − 3 y − z − 5 = 0
2 x + y + 5 z = 0
Zadanie 3 Znajdź trójkąt symetryczny do trójkąta A = (1 , − 3 , 2), B = (5 , − 1 , 0), C =
( − 2 , 0 , 0) względem płaszczyzny o równaniu x − 2 y + z + 5 = 0.
5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0
Zadanie 4 Znajdź równanie rzutu prostej: l : na płaszczyznę
x + 2 z − 2 = 0
π : 2 x − y + z + 1 = 0.
Zadanie 5 Znajdź prostą l przechodzącą przez punkt P = (0 , 1 , 0) i przecinającą proste:
x = 1
x = −s
l 1 :
y = 2 t
oraz
l 2 :
y = 0
gdzie
t, s ∈ R
z = t
z = s
Zadanie 6 Niech f :
2
2
R
→ R polega na rzutowaniu płaszczyzny na prostą y = x.
Wskazać wartości własne i podprzestrzenie własne na drodze geometrycznej, a następnie posługując się metodą analityczną.