Łukasz Czech
4 marca 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 17
Zadanie 1 Oblicz długości przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach:
~a = 2~
p + ~
q i ~b = ~
p − 2~
q, gdzie k~
pk = 1, k~
qk = 2 oraz ](~p, ~q) =
π
3
.
Zadanie 2 Zbadaj wzajemne położenie prostych:
l
1
:
x + 2y − z + 1 = 0
x − 3y − z − 5 = 0
oraz
l
2
:
x − 2y − 3z + 1 = 0
2x + y + 5z = 0
Zadanie 3 Znajdź trójkąt symetryczny do trójkąta A = (1, −3, 2), B = (5, −1, 0), C =
(−2, 0, 0) względem płaszczyzny o równaniu x − 2y + z + 5 = 0.
Zadanie 4 Znajdź równanie rzutu prostej: l :
5x − 4y − 2z − 5 = 0
x + 2z − 2 = 0
na płaszczyznę
π : 2x − y + z + 1 = 0.
Zadanie 5 Znajdź prostą l przechodzącą przez punkt P = (0, 1, 0) i przecinającą proste:
l
1
:
x = 1
y = 2t
z = t
oraz
l
2
:
x = −s
y = 0
z = s
gdzie
t, s ∈ R
Zadanie 6 Niech f : R
2
→ R
2
polega na rzutowaniu płaszczyzny na prostą y = x.
Wskazać wartości własne i podprzestrzenie własne na drodze geometrycznej, a następnie
posługując się metodą analityczną.