Łukasz Czech
18 marca 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 20
Zadanie 1 Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby:
a)
z
1
= −8i
b)
z
2
= 3
c)
z
3
= −2i − 1
d)
z
4
= −
1
2
√
3
+
1
2
i
e)
z
5
=
2−2i
√
2i
f)
z
6
= (
√
3 − i) · 2i
g)
z
7
=
3
(
√
3−
√
3i)
2
h)
z
8
= sin α + i cos α
Zadanie 2 Oblicz:
a)
(4 + 4i)
100
,
b)
(2
√
3 − 2i)
9
,
c)
(1+i)
22
(1−i
√
3)
6
,
d)
(cos
π
4
− i sin
π
4
)
8
,
e)
(sin
π
6
− i cos
π
6
)
12
,
f)
(
(6−6i)
√
2i
)
50
,
g)
√
−11 + 60i,
h)
4
√
−4,
i)
5
√
32i,
j)
4
√
i,
k)
6
r
√
3−i
i−1
,
l)
3
√
2 + 2i,
Zadanie 3 Odgadując jeden z pierwiastków oblicz pozostałe:
a)
q
(5 − 4i)
4
,
b)
3
q
(2 − 2i)
9
,
c)
4
√
−64i.
Zadanie 4 Korzystając ze wzorów de Moivre’a wyrazić:
a) sin 3x oraz cos 3x przez funkcje sin x oraz cos x;
b) sin 4x oraz cos 4x przez funkcje sin x oraz cos x;
c) tg 6x przez funkcję tg x.
Zadanie 5 Przedstaw w postaci wykładniczej liczby:
a)
z
1
= −5i
b)
z
2
= 6i + 6
c)
z
3
= (−1 − i
√
3)
4
d)
z
4
=
i
i−1
25
Zadanie 6 Rozwiąż równania:
a)
z
3
= −27i,
b)
z
7
= z
c)
z
4
= (1 − i)
4
,
d)
z
2
+ iz + 3i + 1 = 0.
Zadanie 7 Wykaż, że cos
π
11
+ cos
3π
11
+ cos
5π
11
+ cos
7π
11
+ cos
9π
11
=
1
2
.
Zadanie 8 Wiedząc, że z
1
= 1 + i jest jednym z pierwiastków wielomianu W (z) =
az
3
+ bz + 1, gdzie a, b ∈ R, znajdź współczynniki a, b oraz pozostałe pierwiastki.
Zadanie 9 Niech z ∈ C oraz t =
z−i
z+i
. Znajdź {z : |t| = 1}. Wykaż, że
z =
1
z
⇔ (|z| =
1).