Łukasz Czech

18 marca 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 20

Zadanie 1 Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby:

a)

z

1

= −8i

b)

z

2

= 3

c)

z

3

= −2i − 1

d)

z

4

= −

1

2

√

3

+

1
2

i

e)

z

5

=

2−2i

√

2i

f)

z

6

= (

√

3 − i) · 2i

g)

z

7

=

3

(

√

3−

√

3i)

2

h)

z

8

= sin α + i cos α

Zadanie 2 Oblicz:

a)

(4 + 4i)

100

,

b)

(2

√

3 − 2i)

9

,

c)

(1+i)

22

(1−i

√

3)

6

,

d)

(cos

π

4

− i sin

π

4

)

8

,

e)

(sin

π

6

− i cos

π

6

)

12

,

f)

(

(6−6i)

√

2i

)

50

,

g)

√

−11 + 60i,

h)

4

√

−4,

i)

5

√

32i,

j)

4

√

i,

k)

6

r

√

3−i

i−1

,

l)

3

√

2 + 2i,

Zadanie 3 Odgadując jeden z pierwiastków oblicz pozostałe:

a)

q

(5 − 4i)

4

,

b)

3

q

(2 − 2i)

9

,

c)

4

√

−64i.

Zadanie 4 Korzystając ze wzorów de Moivre’a wyrazić:

a) sin 3x oraz cos 3x przez funkcje sin x oraz cos x;

b) sin 4x oraz cos 4x przez funkcje sin x oraz cos x;

c) tg 6x przez funkcję tg x.

Zadanie 5 Przedstaw w postaci wykładniczej liczby:

a)

z

1

= −5i

b)

z

2

= 6i + 6

c)

z

3

= (−1 − i

√

3)

4

d)

z

4

=



i

i−1



25

Zadanie 6 Rozwiąż równania:

a)

z

3

= −27i,

b)

z

7

= z

c)

z

4

= (1 − i)

4

,

d)

z

2

+ iz + 3i + 1 = 0.

Zadanie 7 Wykaż, że cos

π

11

+ cos

3π

11

+ cos

5π

11

+ cos

7π

11

+ cos

9π

11

=

1
2

.

Zadanie 8 Wiedząc, że z

1

= 1 + i jest jednym z pierwiastków wielomianu W (z) =

az

3

+ bz + 1, gdzie a, b ∈ R, znajdź współczynniki a, b oraz pozostałe pierwiastki.

Zadanie 9 Niech z ∈ C oraz t =

z−i
z+i

. Znajdź {z : |t| = 1}. Wykaż, że



z =

1
z



⇔ (|z| =

1).