18 marca 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 20
Zadanie 1 Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby: a)
z
√
1 = − 8 i
b)
z 2 = 3
c)
z 3 = − 2 i − 1
d)
z 4 = − 1 + 1 i 2 3
2
√
e)
z
√
√
5 = 2 − 2 i
√
f)
z
3 − i) · 2 i g)
z
h)
z
2 i
6 = (
7 =
3
( 3 − 3 i)2
8 = sin α + i cos α
Zadanie 2 Oblicz:
√
a)
(4 + 4 i)100 ,
b)
(2 3 − 2 i)9 , c)
(1+ i)22
√
,
d)
(cos π − i sin π )8 , (1 −i 3)6
4
4
√
√
e)
(sin π − i cos π )12 , f)
((6 − 6 i)
√
)50 ,
g)
− 11 + 60 i,
h)
4 − 4 ,
6
6
2 i
√
√
r √
√
i)
5 32 i,
j)
4 i,
k)
6
3 −i ,
l)
3 2 + 2 i,
i− 1
Zadanie 3 Odgadując jeden z pierwiastków oblicz pozostałe:
√
q
q
a)
(5 − 4 i)4 , b)
3 (2 − 2 i)9 , c)
4 − 64 i.
Zadanie 4 Korzystając ze wzorów de Moivre’a wyrazić: a) sin 3 x oraz cos 3 x przez funkcje sin x oraz cos x; b) sin 4 x oraz cos 4 x przez funkcje sin x oraz cos x; c) tg 6 x przez funkcję tg x.
Zadanie 5 Przedstaw w postaci wykładniczej liczby:
√
25
a)
z
i
1 = − 5 i
b)
z 2 = 6 i + 6
c)
z 3 = ( − 1 − i 3)4
d)
z 4 = i− 1
Zadanie 6 Rozwiąż równania: a)
z 3 = − 27 i, b)
z 7 = z
c)
z 4 = (1 − i)4 , d)
z 2 + iz + 3 i + 1 = 0 .
Zadanie 7 Wykaż, że cos π + cos 3 π + cos 5 π + cos 7 π + cos 9 π = 1.
11
11
11
11
11
2
Zadanie 8 Wiedząc, że z 1 = 1 + i jest jednym z pierwiastków wielomianu W ( z) =
az 3 + bz + 1, gdzie a, b ∈ R, znajdź współczynniki a, b oraz pozostałe pierwiastki.
Zadanie 9 Niech z ∈ C oraz t = z−i. Znajdź {z : |t| = 1 }. Wykaż, że z = 1 ⇔ ( |z| =
z+ i
z
1).