Łukasz Czech

12 marca 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 19

Zadanie 1 Wykonać działania:

a)

(3 −

√

3i) · (4i +

√

2),

b)

2+3i

i−1

,

c)

z−w
z+w

, dla z = 5 − 2i, w = 3 + 4i.

Zadanie 2 Znaleźć liczby rzeczywiste x i y spełniające równania:

a)

x(2 + 3i) + y(5 − 2i) = −8 + 7i,

b)

1+yi
x−2i

= 3i − 1,

c)

x+yi
x−yi

=

9−2i
9+2i

.

Zadanie 3 Wyznaczyć:

a)

Im [(2 − i)(2 + i) − (3 − 2i)

2

]

b)

Re

 −i+(−i+1)·2i

1−i



c)

5−3i

(−1+2i)

2

(3−i)

2

d)

Re [(1 − 2i)

3

− i]

e)

|(−i + 2)

2

+ i · (1 + i)|

f)

Im



2

(2−5i)

2



Zadanie 4 Wyznaczyć argumenty oraz argumenty główne podanych liczb zespolonych:

a)

7 + 7i,

b)

√

3 − i,

c)

− 5 + 5

√

3i,

d)

(6−6i)

√

2i

.

Zadanie 5 Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

a) A =

n

z ∈ C :

Im (z

2

) ­ Re

h

(z)

2

io

,

b) B =

n

z ∈ C :

Re (iz − 2) ¬ 0

∧

π

3

< arg z <

π

2

o

,

c) C =

n

z ∈ C :





z+i

z

2

+1





­ 1

∧

π

6

¬ arg [z(2 − 2i)] ¬

π

3

o

,

d) D = {z ∈ C :

zz + (3 − 2i)z + (3 + 2i)z + 1 = 0}

Zadanie 6 Niech w =

z+i

(2−i)·z

. Narysować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla któ-

rych:

a) liczba w jest rzeczywista,

b) liczba w jest czysto urojona.

Zadanie 7 Rozwiązać równania:

a)

1+i

z

=

2−3i

z

b)

z

2

− 4z + 13 = 0

c)

z + i − z + i = 0

d)

7−2

√

7i

|z|−z

= 1

Zadanie 8 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać układ równań:







(1 + i)z −

iw = i − 4

(−2i + 3)z + (2 + i)w = 11 + 9i