Łukasz Czech

11 marca 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 18

Zadanie 1 Znaleźć na paraboli opisanej równaniem y

2

= 2x + 3 takie punkty P i Q, że

punkt S = (1, 2) jest środkiem odcinka P Q.

Zadanie 2 Znaleźć współrzędne ognisk hiperboli i elips opisanych równaniami:

a) 9x

2

− 4y

2

− 36 = 0;

b) x

2

− y

2

− 5 = 0;

c) x

2

+ 25y

2

= 25;

d) 9x

2

+ 25y

2

= 225.

Wyznaczyć długości osi elips oraz mimośrody elips i hiperbol opisanych powyżej.

Zadanie 3 Udowodnić, że równanie y = 6x

2

− 4x + 5 opisuje parabolę. Znaleźć współ-

rzędne wierzchołka, ogniska oraz równanie kierownicy tej paraboli.

Zadanie 4 Proste y = 5x oraz y = −5x są asymptotami, a punkt L = (3, 0) jest
wierzchołkiem hiperboli. Znaleźć współrzędne ognisk.

Zadanie 5 Napisać równanie stycznej do elipsy 4x

2

+ 25y

2

= 100 w punkcie



5

√

2

2

,

√

2



.

Zadanie 6 W elipsę

x

2

36

+

y

2

16

= 1 wpisano trójkąt równoramienny o podstawie A = (0, −4),

B = (6, 0) i wierzchołku C. Znaleźć C. Ile rozwiązań ma to zadanie?

Zadanie 7 Wierzchołki trójkąta równobocznego należą do hiperboli x

2

− y

2

= 4, przy

czym jednym z nich jest wierzchołek prawej gałęzi hiperboli. Znaleźć współrzędne wierz-
chołków tego trójkąta.

Zadanie 8 Znaleźć równania wszystkich stycznych do hiperboli 4x

2

− y

2

= 4 poprowa-

dzonych z punktu P = (1, 4).