4 czerwca 2013 r.
Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 26
Zadanie 1 Uzasadni¢ z denicji, »e podany zbiór W jest przestrzeni¡ wektorow¡:
a) W = R2[x] wraz z dodawaniem wielomianów i mno»eniem przez liczby rzeczywiste;
b) W - zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójk¡tnych górnych stopnia 2 wraz z dodawaniem macierzy i mno»eniem przez liczby rzeczywiste.
Zadanie 2 Sprawdzi¢, czy podany zbiór W jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V : a) W = {p ∈ R3[x]: p(x) = p(−x) dla wszystkich x ∈ R}, V = R[x];
b) W = {p ∈ R2[x]: p(1) = p0(0)}, V = R[x];
c) W = {p ∈ R[x]: p(0) = p(1) = 0 lub p ma conajmniej dwa miejsca zerowe}, V =
R[x];
d) W = {f ∈ C[0, 2]: f0(1) = 0}, V = C[0, 2];
e) W = A ∈ M3×3 : A = AT , V = M3×3;
f) W = {(x
∞
∞
n) ∈ R
: limn→∞ xn istnieje lub limn→∞ xn = 0}, V = R .
Zadanie 3 Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢ wektorów:
a) p1(x) = 2 − x3, p2(x) = 3x + 2, p3(x) = x2 + x − 1 w przestrzeni V = R[x];
b) f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = cos x, f4(x) = ex w przestrzeni C[R];
c) g1(x) = arcsin x, g2(x) = arccos x, g3(x) = 1 w przestrzeni C[−1, 1];
d)
2 −1
1 1
−1 0
0 2
A1 =
, A
, A
, A
w przestrzeni
3
0
2 =
2 1
3 =
1 0
4 =
−2 1
M2×2.
Zadanie 4 Sprawdzi¢, czy podany zbiór jest baz¡ odpowiedniej przestrzeni:
a) B1 = {2x + 4, 3x − x2, −2x2 + 4x − 4} przestrzeni R2[x];
b) B
3
2 = {(1 + i, −2, −i), (2 − i, 2, i), (−1 + i, i, 2)} przestrzeni C (C);
c)
1 2
−1
1
0
2
1 1
B3 =
,
,
,
przestrzeni M
−1 0
2 −1
1 −1
1 1
2×2.
Zadanie 5 Znale¹¢ baz¦ i wymiar podanych przestrzeni wektorowych:
a) V = {p ∈ R4[x]: p(1) + p0(0) = p0(1) + p00(0) = 0};
b) V = {A ∈ M3×3 : A + AT = 0};
c) V = lin{1, cos2 x, cos 2x, sin2x}.
Zadanie 6 Znale¹¢ baz¦ odpowiednich przestrzeni wektorowych, zawieraj¡c¡ wektory:
a) {x2 + 5, x2 − 3x, x4 − 2x3} w R4[x];
b) {1 + x, x2 + x3, x4 + x5} w R5[x].
Zadanie 7 Znale¹¢ wspóªrz¦dne podanych wektorów w odpowiednich bazach z zad. 4:
a) p(x) = 3x2 − 2x + 5, p ∈ R2[x];
b) v = (6 − 2i, 2 − i, i − 2) ∈ 3
C (C);
c)
−2 −5
A =
∈ M
3
2
2×2.
Zadanie 8 Znale¹¢ macierze przej±cia z bazy B1 do bazy B2 w odpowiednich przestrzeniach wektorowych:
a) V = R3[x], B1 = {1, x, x2, x3}, B2 = {2x2 − 3, x3 + x, 4 − x, 1 + x + x2};
b)
1 2
−1
1
0
2
1 1
1 0
V = M2×2, B1 =
,
,
,
, B
,
−1 0
2 −1
1 −1
1 1
2 =
0 0
4 1 2 2 −1 0
,
,
.
0 0
1 3
0 1