Šukasz Czech

4 czerwca 2013 r.

Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 26

Zadanie 1 Uzasadni¢ z denicji, »e podany zbiór W jest przestrzeni¡ wektorow¡:

a) W = R

2

[x]

wraz z dodawaniem wielomianów i mno»eniem przez liczby rzeczywiste;

b) W - zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójk¡tnych górnych stopnia 2 wraz z

dodawaniem macierzy i mno»eniem przez liczby rzeczywiste.

Zadanie 2 Sprawdzi¢, czy podany zbiór W jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V :

a) W = {p ∈ R

3

[x] : p(x) = p(−x)

dla wszystkich x ∈ R}, V = R[x];

b) W = {p ∈ R

2

[x] : p(1) = p

0

(0)}

, V = R[x];

c) W = {p ∈ R[x]: p(0) = p(1) = 0 lub p ma conajmniej dwa miejsca zerowe}, V =

R[x];

d) W = {f ∈ C[0, 2]: f

0

(1) = 0}

, V = C[0, 2];

e) W = A ∈ M

3×3

: A = A

T

, V = M

3×3

;

f) W = {(x

n

) ∈ R

∞

: lim

n→∞

x

n

istnieje lub lim

n→∞

x

n

= 0}

, V = R

∞

.

Zadanie 3 Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢ wektorów:

a) p

1

(x) = 2 − x

3

, p

2

(x) = 3x + 2

, p

3

(x) = x

2

+ x − 1

w przestrzeni V = R[x];

b) f

1

(x) = 1

, f

2

(x) = x

, f

3

(x) = cos x

, f

4

(x) = e

x

w przestrzeni C[R];

c) g

1

(x) = arcsin x

, g

2

(x) = arccos x

, g

3

(x) = 1

w przestrzeni C[−1, 1];

d) A

1

=

2 −1

3

0

, A

2

=

1 1

2 1

, A

3

=

−1 0

1 0

, A

4

=

0 2

−2 1

w przestrzeni

M

2×2

.

Zadanie 4 Sprawdzi¢, czy podany zbiór jest baz¡ odpowiedniej przestrzeni:

a) B

1

= {2x + 4, 3x − x

2

, −2x

2

+ 4x − 4}

przestrzeni R

2

[x]

;

b) B

2

= {(1 + i, −2, −i), (2 − i, 2, i), (−1 + i, i, 2)}

przestrzeni C

3

(C);

c) B

3

=

1 2

−1 0

,

−1

1

2 −1

,

0

2

1 −1

,

1 1

1 1

przestrzeni M

2×2

.

Zadanie 5 Znale¹¢ baz¦ i wymiar podanych przestrzeni wektorowych:

a) V = {p ∈ R

4

[x] : p(1) + p

0

(0) = p

0

(1) + p

00

(0) = 0}

;

b) V = {A ∈ M

3×3

: A + A

T

= 0}

;

c) V = lin{1, cos

2

x, cos 2x, sin

2

x}

.

Zadanie 6 Znale¹¢ baz¦ odpowiednich przestrzeni wektorowych, zawieraj¡c¡ wektory:

a) {x

2

+ 5, x

2

− 3x, x

4

− 2x

3

}

w R

4

[x]

;

b) {1 + x, x

2

+ x

3

, x

4

+ x

5

}

w R

5

[x]

.

Zadanie 7 Znale¹¢ wspóªrz¦dne podanych wektorów w odpowiednich bazach z zad. 4:

a) p(x) = 3x

2

− 2x + 5

, p ∈ R

2

[x]

;

b) v = (6 − 2i, 2 − i, i − 2) ∈ C

3

(C);

c) A =

−2 −5

3

2

∈ M

2×2

.

Zadanie 8 Znale¹¢ macierze przej±cia z bazy B

1

do bazy B

2

w odpowiednich przestrzeniach

wektorowych:

a) V = R

3

[x]

, B

1

= {1, x, x

2

, x

3

}

, B

2

= {2x

2

− 3, x

3

+ x, 4 − x, 1 + x + x

2

}

;

b) V = M

2×2

, B

1

=

1 2

−1 0

,

−1

1

2 −1

,

0

2

1 −1

,

1 1

1 1

, B

2

=

1 0

0 0

,

4 1

0 0

,

2 2

1 3

,

−1 0

0 1

.