zestaw 26 ALzG

background image

Šukasz Czech

4 czerwca 2013 r.

Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 26

Zadanie 1 Uzasadni¢ z denicji, »e podany zbiór W jest przestrzeni¡ wektorow¡:

a) W = R

2

[x]

wraz z dodawaniem wielomianów i mno»eniem przez liczby rzeczywiste;

b) W - zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójk¡tnych górnych stopnia 2 wraz z

dodawaniem macierzy i mno»eniem przez liczby rzeczywiste.

Zadanie 2 Sprawdzi¢, czy podany zbiór W jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V :

a) W = {p ∈ R

3

[x] : p(x) = p(−x)

dla wszystkich x ∈ R}, V = R[x];

b) W = {p ∈ R

2

[x] : p(1) = p

0

(0)}

, V = R[x];

c) W = {p ∈ R[x]: p(0) = p(1) = 0 lub p ma conajmniej dwa miejsca zerowe}, V =

R[x];

d) W = {f ∈ C[0, 2]: f

0

(1) = 0}

, V = C[0, 2];

e) W = A ∈ M

3×3

: A = A

T

, V = M

3×3

;

f) W = {(x

n

) ∈ R

: lim

n→∞

x

n

istnieje lub lim

n→∞

x

n

= 0}

, V = R

.

Zadanie 3 Zbada¢ liniow¡ niezale»no±¢ wektorów:

a) p

1

(x) = 2 − x

3

, p

2

(x) = 3x + 2

, p

3

(x) = x

2

+ x − 1

w przestrzeni V = R[x];

b) f

1

(x) = 1

, f

2

(x) = x

, f

3

(x) = cos x

, f

4

(x) = e

x

w przestrzeni C[R];

c) g

1

(x) = arcsin x

, g

2

(x) = arccos x

, g

3

(x) = 1

w przestrzeni C[−1, 1];

d) A

1

=

2 −1

3

0

, A

2

=

1 1

2 1

, A

3

=

−1 0

1 0

, A

4

=

0 2

−2 1

w przestrzeni

M

2×2

.

Zadanie 4 Sprawdzi¢, czy podany zbiór jest baz¡ odpowiedniej przestrzeni:

a) B

1

= {2x + 4, 3x − x

2

, −2x

2

+ 4x − 4}

przestrzeni R

2

[x]

;

b) B

2

= {(1 + i, −2, −i), (2 − i, 2, i), (−1 + i, i, 2)}

przestrzeni C

3

(C);

c) B

3

=

1 2

−1 0

,

−1

1

2 −1

,

0

2

1 −1

,

1 1

1 1

przestrzeni M

2×2

.

background image

Zadanie 5 Znale¹¢ baz¦ i wymiar podanych przestrzeni wektorowych:

a) V = {p ∈ R

4

[x] : p(1) + p

0

(0) = p

0

(1) + p

00

(0) = 0}

;

b) V = {A ∈ M

3×3

: A + A

T

= 0}

;

c) V = lin{1, cos

2

x, cos 2x, sin

2

x}

.

Zadanie 6 Znale¹¢ baz¦ odpowiednich przestrzeni wektorowych, zawieraj¡c¡ wektory:

a) {x

2

+ 5, x

2

− 3x, x

4

− 2x

3

}

w R

4

[x]

;

b) {1 + x, x

2

+ x

3

, x

4

+ x

5

}

w R

5

[x]

.

Zadanie 7 Znale¹¢ wspóªrz¦dne podanych wektorów w odpowiednich bazach z zad. 4:

a) p(x) = 3x

2

− 2x + 5

, p ∈ R

2

[x]

;

b) v = (6 − 2i, 2 − i, i − 2) ∈ C

3

(C);

c) A =

−2 −5

3

2

∈ M

2×2

.

Zadanie 8 Znale¹¢ macierze przej±cia z bazy B

1

do bazy B

2

w odpowiednich przestrzeniach

wektorowych:

a) V = R

3

[x]

, B

1

= {1, x, x

2

, x

3

}

, B

2

= {2x

2

− 3, x

3

+ x, 4 − x, 1 + x + x

2

}

;

b) V = M

2×2

, B

1

=

1 2

−1 0

,

−1

1

2 −1

,

0

2

1 −1

,

1 1

1 1

, B

2

=

1 0

0 0

,

4 1

0 0

,

2 2

1 3

,

−1 0

0 1

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zestaw 26 ALzG
zestaw 26 ALzG
zestaw 10 ALzG
zestaw 18 ALzG
zestawy na filozofię, zestaw 26, HISTORIA FILOZOFII
zestaw 28 ALzG
zestaw 22 ALzG
zestaw 20 ALzG
zestaw 10 ALzG
zestaw 17 ALzG
zestaw 12 ALzG
zestaw 22 ALzG
zestaw 28 ALzG
zestaw 26, AiR, Semestr 2, Grafika inżynierska, zadania grafika
zestaw 11 ALzG
zestaw 19 ALzG
zestaw 25 ALzG
zestaw 19 ALzG
zestaw 20 ALzG

więcej podobnych podstron