Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
1
wyznacznik i rząd macierzy
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI
Dodając( bądź odejmując) do siebie dwa wektory (lub więcej), dodajemy (bądź
odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne. MnoŜąc wektor przez liczbę rzeczywistą, mnoŜymy kaŜdą współrzędną danego wektora przez tę liczbę.
Zadanie 1
→
→
Oblicz sumę i róŜnicę podanych wektorów: u = −
, u =
−
.
2
[ ,2 ,56]
1
[ ,1 ,2 ]3
Rozwiązanie:
Mamy:
→
→
u + u = −
+
−
= − +
+ −
+ = −
1
2
[ ,1 ,2 ]3 [ ,2 ,56] [ 1 ,22 ( 5),3 6] [ ,1 ,39]
→
→
u − u = −
− −
= − −
− −
− = −
− .
1
2
[ ,1 ,2 ]3 [ ,2 ,56] [ 1 ,22 ( 5),3 6] [ ,37, ]3
Zadanie 2
→
→
→
Dane są wektory u = [ ,
1 −
, u =
− , u = [ ,3
,
2
− .
3
]5
2
[ ,1,
4
5]
1
]3
,
1
→
→
→
→
Wyznacz wektor u = 3 u
u
2 u .
3 −
2 +
1
Rozwiązanie:
→
→
→
MoŜemy obliczyć po kolei : 3 u ,
u , 2 u , a następnie dodać do siebie otrzymane 3
− 2
1
wektory.
Mamy zatem:
→
→
→
3 u =
−
, − u =
−
, 2 u =
−
,
1
[ ,2 ,26]
2
[ ,3 ,39]
3
[ ,6 ,9 15]
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
2
wyznacznik i rząd macierzy
i dalej:
→
→
→
→
u = 3 u − u + 2 u =
+ +
+ − + −
− + + =
3
2
1
[6 3 2, 9 ( 3) ( 2), 15 9 6] [1 ,1 ,40]
→
Długość wektora u = [ x y]
2
,
∈ R obliczamy korzystając z następującego wzoru:
→
2
2
u = x + y . Oczywiście dla wektorów z przestrzeni 3
R wzór jest
→
→
analogiczny, czyli jeśli u = [ x, y z]
3
,
∈ R , to
2
2
2
u = x + y + z .
→ →
Iloczynem skalarnym pary wektorów niezerowych u, w nazywamy liczbę
→ →
→
→
rzeczywistą równą u o w = u ⋅ w ⋅ cosα , gdzie α jest kątem zawartym między tymi wektorami. Jeśli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy, to przyjmujemy, Ŝe iloczyn skalarny tych wektorów jest równy 0 . Innym sposobem na obliczenie iloczynu skalarnego jest następujący wzór:
→
→
→ →
Jeśli u = [ u , u , w = w , w , to u o w = u ⋅ w + u ⋅ w ; 1
2 ]
[ 1 2 ]
1
1
2
2
→
→
→ →
Jeśli u = [ u , u , u , w = w , w , w , to u o w = u ⋅ w + u ⋅ w + u ⋅ w .
1
2
3 ]
[ 1 2 3]
1
1
2
2
3
3
ZauwaŜmy, Ŝe iloczyn skalarny dwóch wektorów niezerowych jest równy 0
wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są prostopadłe. Mówimy równieŜ w takiej sytuacji, Ŝe wektory te są ortogonalne.
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
3
wyznacznik i rząd macierzy
Zadanie 6.
Oblicz długości następujących wektorów:
→
a) u = [ ,
3 − ]
1
→
b) PQ ; P = (−
5
,
0
,
1
); Q = ( ,3
,
2
− )
1
Rozwiązanie:
→
a) u = 32 + (− )
1 2 = 9 +1 = 10
b) Aby obliczyć długość wektora, korzystając z podanego powyŜej wzoru,
→
obliczymy najpierw jego współrzędne: PQ = [2 − (− )
1 , 3 − ,
0 −1− ]
5 = [ ,
3 ,
3 − 6], i
dalej:
→
PQ = 32 + 32 + (− 6)2 = 9 + 9 + 36 = 54 = 9 ⋅ 6 = 3 6 .
Zadanie 7.
Oblicz iloczyn skalarny następujących par wektorów. Czy podane wektory są ortogonalne?
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
4
wyznacznik i rząd macierzy
→
→
a) u = [ ,
1 −4], v = [−
]1
,
2
→
→
b) u = [ ,
2 ,
6 2], v = [−
,
1
,
2 − ]
1
Rozwiązanie:
a) Aby sprawdzić, czy podane wektory są ortogonalne, obliczymy ich iloczyn skalarny:
→ →
u o v = 1⋅ (− 2)+ (− 4)⋅1 = −6 , zatem wektory nie są ortogonalne.
→ →
b) Mamy : u o v = 2⋅ (− 2)+ 6 ⋅1+ 2 ⋅(− )
1 = −4 + 6 − 2 = 0 , zatem wektory te są
ortogonalne.
Jeśli macierz A ma n kolumn oraz l wierszy, to mówimy, Ŝe jest ona wymiaru n × l . Wyraz tej macierzy, znajdujący się w i -tym wierszu i j -tej kolumnie, oznaczamy symbolem a .
ij
Sumą (róŜnicą) macierzy A i B jest macierz C , której kaŜdy wyraz jest sumą (róŜnicą) odpowiednich wyrazów macierzy A i B , tj. c = a + b w przypadku ij
ij
ij
sumy, oraz c = a − b w przypadku róŜnicy. Oczywiście, aby dało się dodać ij
ij
ij
(odjąć) dwie macierze A i B , muszą być one tego samego wymiaru.
Iloczynem macierzy A przez liczbę rzeczywistą a nazywamy macierz a ⋅ A , której kaŜdy wyraz jest iloczynem odpowiedniego wyrazu macierzy A przez liczbę a .
Macierzą transponowaną do macierzy A wymiaru n × l nazywamy macierz T
A , która powstaje przez zastąpienie i − tej kolumny macierzy A i − tym wierszem , dla kaŜdego i = ,
1 ,
2 ..., l . W wyniku takiej zamiany miejscami wierszy
i kolumn, otrzymujemy macierz o wymiarze l × n .
Macierz kwadratowa to kaŜda macierz, w której liczba kolumn jest równa liczbie wierszy. Główną przekątną macierzy kwadratowej A wymiaru n × n (w skrócie- wymiaru n ) nazywamy wyrazy a , a ,..., a .
11
22
nn
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
5
wyznacznik i rząd macierzy
Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową dowolnego wymiaru, w której kaŜdy wyraz na głównej przekątnej jest równy 1 , zaś wszystkie pozostałe są równe 0 . Oznaczamy ją I .
Zadanie 8.
−1
5
− 3 1 −
3
Dla podanych macierzy: A = 4 −
3 , B =
, oblicz
0
2
−
1
0
2
a)
T
A + B ,
b) AT − 3 B .
Rozwiązanie:
− 3
0
T
a) Wyznaczymy najpierw macierz transponowaną do B : B = 1
2 ,
− 3 −
1
a następnie wykonamy dodawanie:
−1+ (− )
3
5 + 0
− 4
5
T
A + B =
4 +1
− 3+ 2 =
5
−
1 .
0 + (− )
3
2 + (− )
1
− 3
1
b) Wyznaczymy najpierw macierz transponowaną do A :
−1
4
0
T
A =
,
5
− 3 2
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
6
wyznacznik i rząd macierzy
oraz obliczymy iloczyn macierzy B przez liczbę 3 :
− 9 3 − 9
3 B =
.
0
6
− 3
Mamy następnie:
−1− (− 9) 4 − 3
0 − (− 9)
8
1
9
AT − 3 B =
.
5 − 0
− 3− 6 2 − (−3) =
5 − 9 5
Iloczynem dwóch macierzy: A o wymiarze n × l , oraz B o wymiarze l × k , nazywamy macierz C wymiaru n × k , w której kaŜdy wyraz c liczymy ij
posługując się następującym wzorem: c = a
.
1 ⋅ b 1
+ a 2 ⋅ b +...
2
+ a ⋅ b
ij
i
j
i
j
il
lj
Zadanie 8.
−1
0
1 − 2
Dla podanych macierzy A = 3
2 , B =
, oblicz:
4
2
1
−
3
a)
T
B ⋅ A ,
b) A ⋅ B
c) ( B − 4 I )
T
⋅ A
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
7
wyznacznik i rząd macierzy
d)
2
B
Rozwiązania:
−1 3
1
a) Zaczniemy od wyznaczenia macierzy T
A : T
A =
. Macierz
t
B ⋅ A
0
2
−
3
ma wymiar 2× 3 ; obliczymy wg. wzoru wyrazy c macierzy T
B ⋅ A : ( przez
ij
a będziemy oznaczać odpowiednie wyrazy macierzy T
A , zaś b - wyrazy
macierzy B )
c
= b ⋅ a + b ⋅ a = 1⋅ − + − ⋅ = − + = − , 11
11
11
12
21
( )1 ( 2) 0 1 0 1
c
= b ⋅ a + b ⋅ a = 1⋅3+ − ⋅ = − = − , 12
11
12
12
22
( 2) 2 3 4 1
c
= b ⋅ a + b ⋅ a =1⋅1 + − ⋅ − = + = , 13
11
13
12
23
( 2) ( 3) 1 6 7
c
= b ⋅ a + b ⋅ a = 4 ⋅ − + ⋅ = − + = − , 21
21
11
22
21
( )1 2 0 4 0 4
c
= b ⋅ a + b ⋅ a = 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 =12 + 4 =16 , 22
21
12
22
22
c
= b ⋅ a + b ⋅ a = 4 ⋅1 + 2 ⋅ − = − = − .
23
21
13
22
23
( )3 4 6 2
Mamy więc:
−1 −1
7
B ⋅ T
A =
.
− 4 16 − 2
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
8
wyznacznik i rząd macierzy
MnoŜenie macierzy wydaje się prostsze, gdy zapiszemy dane macierze w tabeli takiej jak poniŜej; wówczas w kaŜdym z sześciu pól wpisujemy sumę iloczynów odpowiednich wyrazów :
-1
3
1
0
2
-3
1 -2
1 ⋅ (
−
1
) + ( − 2 ) ⋅ 0 1 ⋅ 3 + (−2)⋅2
1⋅1+ (− 2)⋅(− )
3
4 2
4 ⋅ (− )
1 + 2 ⋅ 0
4 ⋅3 + 2 ⋅ 2
4 ⋅1+ 2 ⋅ (− )
3
Wykonując teraz obliczenia w kaŜdym z pól, polegające na pomnoŜeniu przez siebie kaŜdego wyrazu wiersza pierwszej macierzy, przez odpowiedni wyraz kolumny drugiej macierzy, otrzymujemy wynik taki sam, jak wtedy, gdy posługiwaliśmy się definicją iloczynu macierzy. Metoda pokazana tutaj zmniejsza moŜliwość pomyłki przy podstawianiu do wzoru.
b) Skorzystamy z tabeli:
1
-2
4
2
-1 0
(− )1⋅1+0⋅4 (− )1⋅(−2)+0⋅2
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,
9
wyznacznik i rząd macierzy
3 2
3⋅1+ 2 ⋅ 4
3⋅ (− 2)+ 2 ⋅ 2
1 -3 1⋅1+ (− )
3 ⋅ 4 1⋅ (− 2)+ (− )
3 ⋅ 2
−1
2
Z tabeli odczytujemy, Ŝe A⋅ B = 11 − 2 .
−11 − 8
c) Obliczymy najpierw macierz
1 − 2
1 0
1 − 2 4 0 − 3 − 2
B − 4 I =
− 4 ⋅
=
−
=
, a następnie
4
2
0 1
4
2 0 4
4
−1
zapiszemy macierze w odpowiedniej tabeli:
-1
3
1
0
2
-3
-3 -2
(− )3⋅(− )1+(−2)⋅0 (− )3⋅3+(−2)⋅2 (− )3⋅1+(−2)⋅(− )3
4 -1
4 ⋅ (− )
1 + (− )
1 ⋅ 0
4 ⋅3 + (− )
1 ⋅ 2
4 ⋅1+ (− )
1 ⋅ (− )
3
3
−13 3
skąd odczytujemy, Ŝe ( B − 4 I )⋅ T
A =
.
− 4
10
7
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, 10
wyznacznik i rząd macierzy
d) Symbol 2
B rozumiemy jako iloczyn B ⋅ B .
1
-2
4
2
1 -2
1⋅1+ (− 2)⋅ 4
1⋅ (− 2)+ (− 2)⋅ 2
4 2
4 ⋅1+ 2 ⋅ 4
4 ⋅ (− 2)+ 2 ⋅ 2
− 7 − 6
czyli 2
B =
.
12
− 4
Wyznacznik macierzy kwadratowej jest liczbą rzeczywistą, którą obliczamy w następujący sposób:
a b
1) Jeśli A =
, to det A = ad − bc ;
c d
a
a
a
11
12
13
2) Jeśli A = a
a
a
, to
21
22
23
a
a
a
31
32
33
det A = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a .
11
22
33
13
21
32
31
12
23
31
22
13
11
32
23
33
21
12
Uwaga!
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, 11
wyznacznik i rząd macierzy
Wyznacznik, będący pewną liczbą rzeczywistą, posiada kaŜda macierz kwadratowa, jednak sposoby obliczania wyznaczników macierzy większego wymiaru, są bardziej skomplikowane; pomijamy je tutaj .
Jeśli macierz jest wymiaru 2× 2 , mówimy o wyznaczniku drugiego stopnia; jeśli 3× 3 -
to trzeciego, itd
Zadanie 10.
Oblicz wyznaczniki macierzy:
5 −1
a) A =
3 − 2
1
0
3
b) A = − 2 1
6
0
− 2 2
Rozwiązania:
a) Zgodnie z powyŜszym, prostym wzorem, mamy:
det A = 5 ⋅ (− 2)− 3⋅ (− )
1 = 7
−
Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych 12
b) Aby łatwiej było wykonać podane obliczenia, zapiszemy raz jeszcze daną macierz, dopisując dodatkowo dwie pierwsze kolumny:
1
0
3 1
0
det A = − 2
1
6 − 2
1
0
− 2 2 0 − 2
Będziemy następnie mnoŜyć przez siebie wyrazy znajdujące się na głównej przekątnej macierzy A oraz wzdłuŜ dwóch kolejnych linii równoległych do głównej przekątnej; otrzymane iloczyny dodajemy. Podobne działania wykonamy zaczynając od drugiej przekątnej macierzy A , otrzymane w ten sposób iloczyny iloczyny będziemy odejmować od sumy poprzednich: 1
0
3 1
0
det A = − 2
1
6 − 2
1 = 1⋅1⋅ 2 + 0 ⋅ 6 ⋅ 0 + 3⋅ (− 2)⋅(− 2)− 0 ⋅1⋅3 − (− 2)⋅ 6⋅1− 2 ⋅(− 2)⋅ 0 =
0
− 2 2 0 − 2
= 2 +12 +12 = 26 .
Rzędem dowolnej macierzy A nazywamy stopień największego ( w sensie wymiaru) podwyznacznika niezerowego macierzy A .
Zadanie 11
Oblicz rząd macierzy A .
4
− 2 2
a) A =
− 2
1
3
Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych 13
2 −1
3
b) A = 3 0
1
1
1
− 2
− 2 0 −
1
c) A = 1
3
0
3
1
−
1
Rozwiązania:
a) Rząd tej macierzy moŜe być równy co najwyŜej 2 ; zapiszemy wszystkie podwyznaczniki drugiego stopnia:
4
− 2
− 2 2
4
2
,
oraz
. Mamy:
−
2
1
1
3
− 2 3
4
− 2
−
=
2
2
4 − 4 = 0 ;
= − − = − ≠ , zatem nie ma potrzeby
−
6 2
8
0
2
1
1
3
obliczania trzeciego podwyznacznika drugiego stopnia; stwierdzamy, Ŝe rząd macierzy A jest równy 2; piszemy rzA = 2 .
b) Rząd tej macierzy moŜe być równy co najwyŜej 3 ; jedynym jej podwyznacznikiem trzeciego stopnia jest wyznacznik macierzy A . Mamy zatem:
2
−1 3 2 −1
det A = 3
0
1 3
0 = 0 + (− )
1 + 9 − 0 − 2 − 6 = 0 , zatem rzA < 3.
1
1
− 2 1 1
Spróbujemy teraz znaleźć podwyznacznik drugiego stopnia, róŜny od zera: 2
−1 = 0−(−3)=3≠ 0, zatem rzA= 2.
3
0
c) Podobnie jak poprzednio, rzA ≤ 3. Aby stwierdzić, czy zachodzi równość, obliczymy wyznacznik macierzy A :
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach; 14
wyznacznik i rząd macierzy.
− 2 0 −1 − 2 0
det A = 1
3
0
1
3 = 6 + 0 + (− )
1 − (− 9)− 0 − 0 = 14 ≠ 0 ,
3
1
−1 3 1
zatem rzA = 3 .
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1
→
→
→
Dane są wektory u =
−
, u = −
− , u = −
3
[ ,2 ,84]
2
[ ,1,
5
2]
1
[ ,3 ,12]
→
Wyznacz wektor u
→
→
→
→
1
a) u = 2 u
3 u
u
1 −
2 +
3
2
→
→
→
→
b) u = u
u
2 u
3 −
2 +
1
→
→
→
→
c) u = − 2 u
u
u
1 +
2 −
3
Zadanie 2
→
→
→
→
Wyznacz wektor u = 2 u
3 u
5 u , jeŜeli
1 −
2 +
3
→
→
→
a) u = [−
]1
,
2 , u =
, u = −
3
[ ]3
,
1
2
[ ,02]
1
→
→
→
b) u =
, u = −
, u = [ ,
1 −
3
]1
,
1
2
[
,
3
,
2
4]
1
[ ,1,
0 2]
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach; 15
wyznacznik i rząd macierzy.
→
→
→
c) u =
−
, u =
− , u =
3
[ ,1 ,20]
2
[ ,3 ,2 ]1
1
[ ,4 ,20]
Zadanie 3
Oblicz długości następujących wektorów:
→
→
c) u = [ ,
2 4
− ]
g) PQ ; P = ( 3
,
1 ); Q = ( ,
2 −4)
→
→
d) u = [
]1
,
3
,
1
h) PQ ; P = ( ,
1 − ,
3 2); Q = (
)1
,
0
,
0
→
→
u = [ 2 ,
1
,
6 ]
e)
i) PQ ; P = (−
,
3
,
1 4); Q = (−
7
,
3
,
1
)
→
→
u = [ ,
1 − 3, 5]
f)
j) PQ ; P = (
)1
,
3
,
0
; Q = ( ,
1 ,
2 2)
Zadanie 4
Oblicz iloczyn skalarny następujących par wektorów. Czy podane wektory są ortogonalne?
→
→
→
→
c) u = [ ,
2 −4], v = [− ]
1
,
3
f) u = [ ,
2 − ,
4 2], v = [−
]5
,
1
,
3
→
→
→
→
d) u = [ ,
1 −2], v = [ ,
4 2]
g) u = [ ,
1 − ,
1 0], v = [−
,
1
,
2 0]
→
→
→
→
e) u = [ ,
0 2], v = [− ]
1
,
1
h) u = [ ,
3 − ,
1 2], v = [− ,
2 ,
4 6]
Zadanie 5
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach; 16
wyznacznik i rząd macierzy.
−1 3
0
1 5
8
Dla podanych macierzy: A =
, B =
, oblicz
2
1
− 2
7 0 −
1
c) A + B ,
f)
T
T
2 A − 3 B ,
d) 2 A − B ,
1
3
g)
A +
B
2
2
e) − 3 A + 5 B ,
Zadanie 6
−1 3 2
−1 2
Dla podanych macierzy A =
, B =
, oblicz:
0
0
1
3
1
e) B ⋅ A ,
g) ( B − 2 I )⋅ A
f) AT ⋅ B
h) AT ⋅ ( B + 3 I )
Zadanie 7
Oblicz A ⋅ B , jeŜeli
1
1
2
− 3 1 0
−1 0 3
a) A =
, B = 2
c) A =
, B = 0
1
1
2
4
2
1
2
3
−1 0
1 0
1 0 2
1
2
b) A =
, B =
3 2
1 3 0
d) A = [−1 2 4], B = 1 0
3 − 2
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach; 17
wyznacznik i rząd macierzy.
1
2
1 − 2 0 1
e) A = 4 −
1 , B =
0
3
1
2
3
4
Zadanie 8
Oblicz wyznaczniki macierzy:
1
2
−1 2 4
c) −
3 5
i)
3
5
0
1
1
2
0
1
d) −
1 4
1
2
3
j) 5
1
0
1
−1 2
3
2
1
e) 0
3
1
1
1
2
− 2 0 4
k)
3
1
−1
3
1
−1
2
5
1
f) 0
3
1
1
− 2 1
1
3
− 4
l)
1
0
− 2
5
− 4 3
− 4 1
3
g) 1
2
−1
1
0
3
2
−1 2
h) 3
4
5
0
1
1
Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych 18
Zadanie 9
Oblicz rząd macierzy A .
−1
2
0
d) A =
2
− 4 3
1 − 2
1
e) A = 0 1
−
1
1
−1 0
3 2 −1
f) A = 0 0
1
3 2 − 2
2
− 3 1
3
g) A =
− 4
6
− 2 1
1
2
−
1
h) A = −1 0 1
0
2
0
ODPOWIEDZI
Zadanie 1
a) [2 ,
2 − ,
9 12]
b) [1 ,
3 −11 1
, 0]
c) [−1 ,
3 1 ,
1 −10]
Zadanie 2
a) [− 1
,
9
]1
b) [1 ,
1 −1 ,
2 − ]
3
c) [ ,
4 ,
0 ]
3
Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych 19
Zadanie 3
→
→
→
a) u = 2 5
d) u = 3
g) u = 3
→
→
→
b) u = 11
e) u = 5 2
h) u = 3
→
→
c) u = 3
f) u = 11
Zadanie 4
→ →
→ →
a) u o v = −10 , nie
d) u o v = 0 , tak
→ →
→ →
b) u o v = 0 , tak
e) u o v = 3
− , nie
→ →
→ →
c) u o v = 2 , nie
f) u o v = 2 , nie
Zadanie 5
0 8
8
− 5
−17
a)
9 1 −
3
d) − 9
2
− 24
−1
− 3 1 − 8
b)
− 3 2 −
3
1
9
12
e) 23
1
5
−
8
16
40
2
2
2
c)
29 − 3
1
Zadanie 6
1
− 3 0
3
− 9 − 4
a)
c)
− 3
9
7
− 3
9
5
1
− 2
− 2 − 2
b) − 3 6
d) 6
6
1
5
7
8
Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych 20
Zadanie 7
−
1
13
a)
d)
17
−10
1 0 2
1
4
2
5
b)
5 6 6
e) 4 −11 −1 2
3
6
4
1
1
− 4 − 2
c)
0
5
Zadanie 8
a) det A = 11
e) det A = 40
i) det A = 40
b) det A = 1
f) det A = 7
j) det A = 13
c) det A = −2
g) det A = −30
d) det A = 19
h) det A = 12
Zadanie 9
a) rzA = 2
c) rzA = 3
e) rzA = 2
b) rzA = 2
d) rzA = 2