Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

Strona 1

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie

Metody odejmowania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe).

1. Graficzne (rysunkowe) odejmowanie dwóch wektorów.

Założenia:



dane są dwa wektory

i o znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane współrzędne obu

wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z kątów pomiędzy
nimi wynosi (



kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe (

).



Metoda trójkąta

Na wektorach

i (łącząc ich początki) należy zbudować trójkąt.

Wektor będący różnicą wektorów wyjściowy jest trzecim bokiem tak powstałego trójkąta. Koniec (grot)

utworzonego wektora znajduje się przy grocie wektora będącego

odjemną

.

Uwaga:

jak widać z obu powyższych rysunków, wektory

i

mają te same kierunki, wartości (długości) ale

przeciwne zwroty. Są to tzw. wektory przeciwne:

.

Wynika stąd, że

odejmowanie wektorów nie jest

przemienne

.

Metoda dodawania wektora przeciwnego

Korzysta się tutaj z równości:

. Następnie wykorzystuje się metodę równoległoboku

(dla dwóch wektorów nierównoległych) lub wygodniejszą metodę wieloboku sznurowego.

Metoda równoległoboku Metoda wieloboku sznurowego

Szukany jest wektor:

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

Strona 2

2. Analityczne (rachunkowe) odejmowanie dwóch wektorów.

Założenie:



dane są dwa wektory

i o dowolnych znanych kierunkach, zwrotach i wartościach (nie są znane

współrzędne obu wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z
kątów pomiędzy nimi wynosi (

)

Szukaną wartość wektora

można znaleźć z zależności (tzw. twierdzenie cosinusów):

Uwaga:

a.

z wzoru

[1]

można obliczyć wartość wektora

,

natomiast nie wynika z niego zwrot, kierunek i punkt

przyłożenia tego wektora.

b.

Konieczna jest znajomość wartości funkcji

cosinus

dla danego kąta

.

c.

Wartość wektora

jest taka sama jak wektora

.

Przykłady dla szczególnych przypadków:





(cos0



= 1) wektory mają taki sam kierunek i zwrot

Z [1]:

z wzoru skróconego mnożenia

Wniosek:

wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i zwrotach jest równa wartości

bezwzględnej z różnicy wartości obu wektorów.

Metodą graficzną:





(cos180



= – 1) wektory mają taki sam kierunek i przeciwny

zwrot

Z [1]:

z wzoru skróconego mnożenia

Wniosek:

wartość różnicy dwóch wektorów o takich samych kierunkach i przeciwnych zwrotach jest równa

sumie wartości obu wektorów składowych.

Metodą graficzną:

[1]

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

Strona 3





(cos90



= 0) wektory mają kierunki wzajemnie prostopadłe

Z (1):

Wniosek:

wartość różnicy dwóch wektorów o kierunkach wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi

kwadratowemu z sumy kwadratów wartości obu wektorów

(jak długość przeciwprostokątnej w trójkącie

prostokątnym - co wynika z twierdzenia Pitagorasa).

Metodą graficzną:

lub

metoda wieloboku sznurowego metoda równoległoboku

3. Analityczne (rachunkowe) odejmowania wektorów o znanych

współrzędnych.

Założenie:



danych jest dwuwymiarowych wektorów

o znanych współrzędnych

Problem ogólny:



jak obliczyć wartość wektora

danego zależnością:

Aby wyznaczyć wartość wektora

wystarczy wyznaczyć wartości jego współrzędnych

i

, po czym skorzystać

z zależności:

Każda ze współrzędnych wektora

jest sumą odpowiednich współrzędnych wektorów składowych, tzn.:

Uwaga:

analogicznie postępuje się w przypadku wektora trójwymiarowego

:

[2a]

[2b]

[2c]

Podstawy działań na wektorach - odejmowanie wektorów

Strona 4

Przykład.

Dane są wektory:

oraz .

a. Oblicz wartość każdego z wektorów.

b. Oblicz wartość sumy tych wektorów:

c. Oblicz wartość różnicy wektorów

i .

d. Oblicz współrzędne i wartość wektora:

.