Fizykon str. główna

|

Fizykon - spis treści

|

Fizyka - mat. uzupełniające

|

Indeks pojęć

|

Wzory z fizyki

|

Wzory z matematyki

Wektory, Skalary

Wprowadzenie

Definicja

Ujęcie graficzne i
analityczne
Równość wektorów
Wektory przeciwne

Wartość wektora

Wektor zerowy

Wektor jednostkowy
Różnice między
skalarami, a wektorami
Rozkład wektora na
składowe - rzutowanie
Działania Na Wektorach

Mnożenie skalarne
wektorów

Przykłady działań na
wektorach

Dodawanie algebraiczne
Wektory w postaci
analitycznej
Dodawanie graficzne
Odejmowanie graficzne

Wektory
jednowymiarowe i
umowa znaku osi

Tensory - wzmianka

Wektory i skalary -
patrz także

Działania na wektorach

W poniższej tabeli zgromadzono (opisywane także w innych rozdziałach) operacje na wektorach.

rodzaj

działania

zapis i typ wielkości wynikowej

opis wielkości wynikowej

Dodawanie

wektorów

Żeby dodać dwa wektory, gdy

znamy ich współrzędne, należy

dodać odpowiednie współrzędne -

x-owe do x-owych, a y-owe do y-

owych (ew. z-owe do z-owych).

Na płaszczyźnie

(w

x

, w

y

) + (u

x

, u

y

) =

(w

x

+u

x

, w

y

+u

y

)

W przestrzeni

(w

x

, w

y

, w

z

) + (u

x

, u

y

, u

z

) =

(w

x

+u

x

, w

y

+u

y

, w

z

+ u

z

)

W odróżnieniu od dodawania

liczb całkowitych wektor-suma

wcale nie musi być dłuższy od

któregoś z wektorów

wyjściowych, a często bywa

krótszy.

Suma dwóch wektorów może

być też wektorem zerowym

(mimo, że wektory wyjściowe

miały długości różne od zera)

Zachodzi to w dwóch

przypadkach:

- oba sumowane wektory są

zerowe

- dodawane

wektory są

przeciwne

- tzn. mają ten sam

kierunek i wartość, ale

przeciwne zwroty.

Patrz także:

Dodawanie

graficzne wektorów

oraz

Dodawanie algebraiczne

wektorów

,

Siła

.

Odejmowanie

wektorów

Żeby odjąć dwa wektory, gdy

znamy ich współrzędne, należy

odjąć odpowiednie współrzędne -

x-owe od x-owych, a y-owe od y-

owych (ew. z-owe od z-owych).

Na płaszczyźnie

(w

x

, w

y

) - (u

x

, u

y

) =

(w

x

- u

x

, w

y

- u

y

)

W przestrzeni

(w

x

, w

y

, w

z

) - (u

x

, u

y

, u

z

) =

(w

x

- u

x

, w

y

- u

y

, w

z

- u

z

)

Wektor-różnica wcale nie musi

być krótszy od pierwszego z

wektorów wyjściowych. Może

być dłuższy.

Różnica dwóch wektorów jest

równa zero (jest wektorem

zerowym) w dwóch

przypadkach:

1. oba odejmowane

wektory są zerowe

2. odejmowane wektory

są równe - tzn. mają

ten sam kierunek,

zwrot i wartość.

Patrz też:

Dodawanie

graficzne wektorów

oraz

Dodawanie algebraiczne

wektorów

.

mnożenie

wektora

przez liczbę

Tak samo

dzielenie przez

liczbę.

otrzymujemy nowy wektor

Aby wektor podzielić przez liczbę,

mnożymy go przez odwrotność tej

liczby

powstaje wektor a razy

dłuższy od wektora

wyjściowego.

Zwrot wektora wynikowego

jest:

- taki sam jak wyjściowy, gdy
a jest dodatnie

- przeciwny do wyjściowego,

gdy a jest ujemne

Wynik może być równy zero

(będzie tzw. wektorem

zerowym) gdy:

- wektor wyjściowy jest równy

zero, lub

- liczba a jest równa zero

mnożenie

skalarne

wektorów

otrzymujemy skalar

Powstaje liczba (skalar) o

wartości równej iloczynowi

wartości obu wektorów razy

kosinus kąta między nimi

zawartego.

Lub inaczej:

Iloczyn skalarny jest równy

iloczynowi długości jednego

wektora mnożonego przez

długość rzutu drugiego

wektora na kierunek

wyznaczony przez pierwszy

wektor (skomplikowane jest to

zdanie, ale prościej chyba się

nie da...). Dokładniej

wyjaśnione jest to w dziale

Energia

przy omawianiu

pracy

.

Iloczyn skalarny stanie się

równy Zero, gdy którykolwiek

z wektorów wyjściowych jest

zerowy, lub wektory są do

siebie prostopadłe.

Patrz także:

Mnożenie

skalarne wektorów

.

mnożenie

wektorowe

wektorów

(stosuje się

wyłącznie do

wektorów w

trzech

wymiarach)

otrzymujemy nowy wektor

prostopadły do obu wektorów

wyjściowych.

Długość (wartość) tego wektora

wynosi:

Uwaga:

tak naprawdę efektem mnożenia

wektorowego wektorów jest

tensor... Ale w uproszczeniu

możemy go traktować jako wektor

a właściwie tzw. "pseudowektor".

- wartość wektora

wynikowego jest równa

iloczynowi wartości obu

wektorów wyjściowych razy

sinus kąta między nimi

zawartego (ma to sens tylko w

trzech wymiarach);

- kierunek wektora

wynikowego jest prostopadły

do płaszczyzny wyznaczonej

przez wektory wyjściowe;

- zwrot ustalamy w oparciu o

regułę śruby prawoskrętnej

Interpretacja iloczynu

wektorowego 2:

Wartość iloczynu

wektorowego jest równa

iloczynowi długości

pierwszego wektora przez

długość rzutu drugiego

wektora na kierunek

prostopadły do pierwszego

wektora.

Wektor zerowy otrzymamy,

gdy jeden z wektorów

wyjściowych jest zerowy, lub

gdy wyjściowe wektory są

równoległe.

znajdowanie

wartości

(długości)

wektora gdy

znamy jego

współrzędne

Długość wektora na płaszczyźnie

obliczamy stosując twierdzenie

Pitagorasa.

Żeby obliczyć wartość wektora

trójwymiarowego trzeba

zastosować to twierdzenie dwa

razy.

Długość wektora jest równa

zero tylko wtedy, gdy

wszystkie współrzędne

wektora są równe zero (ew.

patrz

wektor zerowy

).

Jeśli wektor podany jest w

postaci rysunkowej, to trzeba

zmierzyć długość strzałki tego

wektora, a następnie

pomnożyć przez skalę w jakiej

został narysowany - np. jeśli

centymetr oznacza 3 m/s, to

wektor 5 centymetrowy

oznacza prędkość o wartości

15 m/s.

Patrz także:

Wartość wektora

Rozkład wektora na składowe - rzutowanie

< Działania Na Wektorach >

Mnożenie skalarne wektorów