wektor – ciąg liczb rzeczywistych (a1, a2,…, an) o wyrazach a[i] € R o postaci [a1,a2…an]^T , gdzie a1,a2…an to składowe wektora.

n-wymiarową przestrzenią wektorową (Rⁿ) nazywamy zbiór wszystkich wektorów zawierających n składowych.

Działania na wektorach:

1. Dodawanie wektorów należących do jednej przestrzeni (przemienność, łączność, el. neutralny 0, el. przeciwny)

2. Mnożenie wek. Przez liczbę (rozdzielność mnożenia wzg. sumy dwóch wek.; łączność)

3. ILOCZYN SKALARNY

a o b = a1*b1+…+an*bn

a o b = |a|*|b|*cos(a,b)

Liniową przestrzenią wektorową nazywamy (uporządkowaną czwórkę składającą się ze zbioru wszystkich wektorów n- składowych) strukturę algebraiczną składającą się z:

1. zbioru Rⁿ

2. zbioru wektorów V

3. działań wewnętrznych (+)

4. działań zewnętrznych (-)

liniowa kombinacja – sposób do zrobienia nowych wektorów.

Wektor nazywamy liniową kombinacją wek. a1, a2…ak należących do przestrzeni Rⁿ, gdy:

a= α1a1 + α2a2+...+αkak ;α1...αk należą do R – współczynniki liniowej kombinacji

Układ wek. a1…ak nazywamy liniowo ZALEŻNYM  α1..αk≠0 i α1a1+…+αkak=0

Układ wek. jest liniowo NIEZALEŻNY  równanie α1a1+…+αkak=0 jest prawdziwe  α1=…=αk=0

Własności:

a. rzAn=n  układ wektorów jest liniowo niezależny

b. rzAn<n  układ wektorów jest liniowo zależny

Baza Przestrzeni Wekt. Rⁿ – każdy układ n-wektorów a1,a2…an € Rⁿ liniowo niezależnych.

Aby wektory tworzyły bazę to:

1. ^{ilość wektorów n = n w przestrzeni} Rⁿ

2. rz[a1,a2…an]=n czyli det[a1,a2…an]≠0

Przestrzeń wektorowa - niepusty zbiór L taki, że:

/\ a+b€L /\ i /\ a*α € L

a,b€L i a€L α€L

Bazą liniowej podprzestrzeni wektorowej (L) nazywać będziemy a1,a2…ak € Rⁿ spełniające warunki:

1. wektory są liniowo niezależne

2. jeżeli do układu wektorów dołączymy dowolny wektor ze zbioru L to układ ten jest układem wektorów liniowo zależnym.

Stożek algebraiczny (S) – nazywać będziemy zbiór wszystkich wektorów € Rⁿ , które są liniowymi kombinacjami wektorów o współczynnikach NIEUJEMNYCH:

(α1…αk>0).

Wielościan wypukły (W) utworzony przez wek. a1…ak nazywać będziemy podzbiór przestrzeni wektorowej utworzony przez wszystkie liniowe kombinacje wek. o współczynnikach NIEUJEMNYCH SUMUJĄCYCH SIĘ DO JEDYNKI:

(α1…αk>0 i α1+...+αk=1)

Rozmaitość liniowa (P) wyznaczona przez wek. a1…ak nazywać będziemy podzbiór przestrzeni wektorowej utworzonej przez liniowe, wypukłe kombinacje wektorów, których współczynniki SUMUJĄ SIĘ DO JEDYNKI:

(α1+…+αk=1)