Zestaw 11 Działania na wektorach i macierzach

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

1

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI

Dodaj

ą

c( b

ą

d

ź

odejmuj

ą

c) do siebie dwa wektory (lub wi

ę

cej), dodajemy (b

ą

d

ź

odejmujemy) ich odpowiednie współrz

ę

dne. Mno

żą

c wektor przez liczb

ę

rzeczywist

ą

, mno

ż

ymy ka

ż

d

ą

współrz

ę

dn

ą

danego wektora przez t

ę

liczb

ę

.

Zadanie 1

Oblicz sum

ę

i ró

ż

nic

ę

podanych wektorów:

[

]

3

,

2

,

1

1

=

u

,

[

]

6

,

5

,

2

2

=

u

.

Rozwi

ą

zanie:

Mamy:

[

] [

]

( )

[

] [

]

9

,

3

,

1

6

3

,

5

2

,

2

1

6

,

5

,

2

3

,

2

,

1

2

1

=

+

+

+

=

+

=

+

u

u

[

] [

]

( )

[

] [

]

3

,

7

,

3

6

3

,

5

2

,

2

1

6

,

5

,

2

3

,

2

,

1

2

1

=

=

=

u

u

.

Zadanie 2

Dane s

ą

wektory

[

]

3

,

1

,

1

1

=

u

,

[

]

5

,

1

,

4

2

=

u

,

[

]

5

,

3

,

2

3

=

u

.

Wyznacz wektor

+

=

1

2

3

2

3

u

u

u

u

.

Rozwi

ą

zanie:

Mo

ż

emy obliczy

ć

po kolei :

1

2

3

2

,

,

3

u

u

u

, a nast

ę

pnie doda

ć

do siebie otrzymane

wektory.

Mamy zatem:

[

]

15

,

9

,

6

3

3

=

u

,

[

]

9

,

3

,

3

2

=

u

,

[

]

6

,

2

,

2

2

1

=

u

,

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

2

i dalej:

( ) ( )

[

] [

]

0

,

4

,

11

6

9

15

,

2

3

9

,

2

3

6

2

3

1

2

3

=

+

+

+

+

+

+

=

+

=

u

u

u

u

Długo

ść

wektora

[ ]

2

,

R

y

x

u

=

obliczamy korzystaj

ą

c z nast

ę

puj

ą

cego wzoru:

2

2

y

x

u

+

=

. Oczywi

ś

cie dla wektorów z przestrzeni

3

R

wzór jest

analogiczny, czyli je

ś

li

[

]

3

,

,

R

z

y

x

u

=

, to

2

2

2

z

y

x

u

+

+

=

.

Iloczynem skalarnym pary wektorów niezerowych

w

u,

nazywamy liczb

ę

rzeczywist

ą

równ

ą

α

cos

=

w

u

w

uo

, gdzie

α

jest k

ą

tem zawartym mi

ę

dzy

tymi wektorami. Je

ś

li przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy, to

przyjmujemy,

ż

e iloczyn skalarny tych wektorów jest równy

0

. Innym

sposobem na obliczenie iloczynu skalarnego jest nast

ę

puj

ą

cy wzór:

Je

ś

li

[

]

[

]

2

1

2

1

,

,

,

w

w

w

u

u

u

=

=

, to

2

2

1

1

w

u

w

u

w

u

+

=

o

;

Je

ś

li

[

]

[

]

3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

,

w

w

w

w

u

u

u

u

=

=

, to

3

3

2

2

1

1

w

u

w

u

w

u

w

u

+

+

=

o

.

Zauwa

ż

my,

ż

e iloczyn skalarny dwóch wektorów niezerowych jest równy

0

wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te s

ą

prostopadłe. Mówimy równie

ż

w takiej

sytuacji,

ż

e wektory te s

ą

ortogonalne.

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

3

Zadanie 6.

Oblicz długo

ś

ci nast

ę

puj

ą

cych wektorów:

a)

[ ]

1

,

3

=

u

b)

PQ

;

(

)

(

)

1

,

3

,

2

;

5

,

0

,

1

=

=

Q

P

Rozwi

ą

zanie:

a)

( )

10

1

9

1

3

2

2

=

+

=

+

=

u

b) Aby obliczy

ć

długo

ść

wektora, korzystaj

ą

c z podanego powy

ż

ej wzoru,

obliczymy najpierw jego współrz

ę

dne:

( )

[

] [

]

6

,

3

,

3

5

1

,

0

3

,

1

2

=

=

PQ

, i

dalej:

( )

6

3

6

9

54

36

9

9

6

3

3

2

2

2

=

=

=

+

+

=

+

+

=

PQ

.

Zadanie 7.

Oblicz iloczyn skalarny nast

ę

puj

ą

cych par wektorów. Czy podane wektory s

ą

ortogonalne?

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

4

a)

[ ]

4

,

1

=

u

,

[ ]

1

,

2

=

v

b)

[

]

2

,

6

,

2

=

u

,

[

]

1

,

1

,

2

=

v

Rozwi

ą

zanie:

a) Aby sprawdzi

ć

, czy podane wektory s

ą

ortogonalne, obliczymy ich iloczyn

skalarny:

( ) ( )

6

1

4

2

1

=

+

=

v

uo

, zatem wektory nie s

ą

ortogonalne.

b) Mamy :

( )

( )

0

2

6

4

1

2

1

6

2

2

=

+

=

+

+

=

v

uo

, zatem wektory te s

ą

ortogonalne.

Je

ś

li macierz

A

ma

n

kolumn oraz

l

wierszy, to mówimy,

ż

e jest ona wymiaru

l

n

×

. Wyraz tej macierzy, znajduj

ą

cy si

ę

w

i

-tym wierszu i

j

-tej kolumnie,

oznaczamy symbolem

ij

a

.

Sum

ą

(ró

ż

nic

ą

) macierzy

A

i

B

jest macierz

C

, której ka

ż

dy wyraz jest sum

ą

(ró

ż

nic

ą

) odpowiednich wyrazów macierzy

A

i

B

, tj.

ij

ij

ij

b

a

c

+

=

w przypadku

sumy, oraz

ij

ij

ij

b

a

c

=

w przypadku ró

ż

nicy. Oczywi

ś

cie, aby dało si

ę

doda

ć

(odj

ąć

) dwie macierze

A

i

B

, musz

ą

by

ć

one tego samego wymiaru.

Iloczynem macierzy

A

przez liczb

ę

rzeczywist

ą

a

nazywamy macierz

A

a

,

której ka

ż

dy wyraz jest iloczynem odpowiedniego wyrazu macierzy

A

przez

liczb

ę

a

.

Macierz

ą

transponowan

ą

do macierzy

A

wymiaru

l

n

×

nazywamy macierz

T

A

, która powstaje przez zast

ą

pienie

i

tej kolumny macierzy

A

i

tym

wierszem , dla ka

ż

dego

l

i

...,

,

2

,

1

=

. W wyniku takiej zamiany miejscami wierszy

i kolumn, otrzymujemy macierz o wymiarze

n

l

×

.

Macierz kwadratowa to ka

ż

da macierz, w której liczba kolumn jest równa

liczbie wierszy. Główn

ą

przek

ą

tn

ą

macierzy kwadratowej

A

wymiaru

n

n

×

(w

skrócie- wymiaru

n

) nazywamy wyrazy

nn

a

a

a

,...,

,

22

11

.

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

5

Macierz

ą

jednostkow

ą

nazywamy macierz kwadratow

ą

dowolnego wymiaru, w

której ka

ż

dy wyraz na głównej przek

ą

tnej jest równy

1

, za

ś

wszystkie pozostałe

s

ą

równe

0

. Oznaczamy j

ą

I

.

Zadanie 8.

Dla podanych macierzy:

=

2

0

3

4

5

1

A

,

=

1

2

0

3

1

3

B

, oblicz

a)

T

B

A

+

,

b)

B

A

T

3

.

Rozwi

ą

zanie:

a) Wyznaczymy najpierw macierz transponowan

ą

do

B

:

=

1

3

2

1

0

3

T

B

,

a nast

ę

pnie wykonamy dodawanie:

( )

( )

( )

=

+

+

+

+

+

+

=

+

1

3

1

5

5

4

1

2

3

0

2

3

1

4

0

5

3

1

T

B

A

.

b) Wyznaczymy najpierw macierz transponowan

ą

do

A

:

=

2

3

5

0

4

1

T

A

,

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

6

oraz obliczymy iloczyn macierzy

B

przez liczb

ę

3

:

=

3

6

0

9

3

9

3

B

.

Mamy nast

ę

pnie:

( )

( )

( )

=

=

5

9

5

9

1

8

3

2

6

3

0

5

9

0

3

4

9

1

3

B

A

T

.

Iloczynem dwóch macierzy:

A

o wymiarze

l

n

×

, oraz

B

o wymiarze

k

l

×

,

nazywamy macierz

C

wymiaru

k

n

×

, w której ka

ż

dy wyraz

ij

c

liczymy

posługuj

ą

c si

ę

nast

ę

puj

ą

cym wzorem:

lj

il

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

c

+

+

+

=

...

2

2

1

1

.

Zadanie 8.

Dla podanych macierzy

=

3

1

2

3

0

1

A

,

=

2

4

2

1

B

, oblicz:

a)

T

A

B

,

b)

B

A

c)

(

)

T

A

I

B

4

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

7

d)

2

B

Rozwi

ą

zania:

a) Zaczniemy od wyznaczenia macierzy

T

A

:

=

3

2

0

1

3

1

T

A

. Macierz

t

A

B

ma wymiar

3

2

×

; obliczymy wg. wzoru wyrazy

ij

c

macierzy

T

A

B

: ( przez

a

b

ę

dziemy oznacza

ć

odpowiednie wyrazy macierzy

T

A

, za

ś

b

- wyrazy

macierzy

B

)

( ) ( )

1

0

1

0

2

1

1

21

12

11

11

11

=

+

=

+

=

+

=

a

b

a

b

c

,

( )

1

4

3

2

2

3

1

22

12

12

11

12

=

=

+

=

+

=

a

b

a

b

c

,

( ) ( )

7

6

1

3

2

1

1

23

12

13

11

13

=

+

=

+

=

+

=

a

b

a

b

c

,

( )

4

0

4

0

2

1

4

21

22

11

21

21

=

+

=

+

=

+

=

a

b

a

b

c

,

16

4

12

2

2

3

4

22

22

12

21

22

=

+

=

+

=

+

=

a

b

a

b

c

,

( )

2

6

4

3

2

1

4

23

22

13

21

23

=

=

+

=

+

=

a

b

a

b

c

.

Mamy wi

ę

c:

=

2

16

4

7

1

1

T

A

B

.

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

8

Mno

ż

enie macierzy wydaje si

ę

prostsze, gdy zapiszemy dane macierze w

tabeli takiej jak poni

ż

ej; wówczas w ka

ż

dym z sze

ś

ciu pól wpisujemy sum

ę

iloczynów odpowiednich wyrazów :

-1

0

3

2

1

-3

1 -2

( ) ( )

0

2

1

1

+

( )

2

2

3

1

+

( ) ( )

3

2

1

1

+

4 2

( )

0

2

1

4

+

2

2

3

4

+

( )

3

2

1

4

+

Wykonuj

ą

c teraz obliczenia w ka

ż

dym z pól, polegaj

ą

ce na pomno

ż

eniu przez

siebie ka

ż

dego wyrazu wiersza pierwszej macierzy, przez odpowiedni wyraz

kolumny drugiej macierzy, otrzymujemy wynik taki sam, jak wtedy, gdy

posługiwali

ś

my si

ę

definicj

ą

iloczynu macierzy. Metoda pokazana tutaj zmniejsza

mo

ż

liwo

ść

pomyłki przy podstawianiu do wzoru.

b) Skorzystamy z tabeli:

1

4

-2

2

-1 0

( )

4

0

1

1

+

( ) ( )

2

0

2

1

+

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

9

3 2

4

2

1

3

+

( )

2

2

2

3

+

1 -3

( )

4

3

1

1

+

( ) ( )

2

3

2

1

+

Z tabeli odczytujemy,

ż

e

=

8

11

2

11

2

1

B

A

.

c) Obliczymy najpierw macierz

=

=

=

1

4

2

3

4

0

0

4

2

4

2

1

1

0

0

1

4

2

4

2

1

4I

B

, a nast

ę

pnie

zapiszemy macierze w odpowiedniej tabeli:

-1

0

3

2

1

-3

-3 -2

( ) ( ) ( )

0

2

1

3

+

( ) ( )

2

2

3

3

+

( ) ( ) ( )

3

2

1

3

+

4 -1

( ) ( )

0

1

1

4

+

( )

2

1

3

4

+

( ) ( )

3

1

1

4

+

sk

ą

d odczytujemy,

ż

e

(

)

=

7

10

4

3

13

3

4

T

A

I

B

.

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

10

d) Symbol

2

B

rozumiemy jako iloczyn

B

B

.

1

4

-2

2

1 -2

( )

4

2

1

1

+

( ) ( )

2

2

2

1

+

4 2

4

2

1

4

+

( )

2

2

2

4

+

czyli

=

4

12

6

7

2

B

.

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest liczb

ą

rzeczywist

ą

, któr

ą

obliczamy w

nast

ę

puj

ą

cy sposób:

1) Je

ś

li

=

d

c

b

a

A

, to

bc

ad

A

=

det

;

2) Je

ś

li

=

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

, to

12

21

33

23

32

11

13

22

31

23

12

31

32

21

13

33

22

11

det

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

+

+

=

.

Uwaga!

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach,

wyznacznik i rząd macierzy

11

Wyznacznik, b

ę

d

ą

cy pewn

ą

liczb

ą

rzeczywist

ą

, posiada ka

ż

da macierz

kwadratowa, jednak sposoby obliczania wyznaczników macierzy wi

ę

kszego

wymiaru, s

ą

bardziej skomplikowane; pomijamy je tutaj .

Je

ś

li macierz jest wymiaru

2

2

×

, mówimy o wyznaczniku drugiego stopnia; je

ś

li

3

3

×

-

to trzeciego, itd

Zadanie 10.

Oblicz wyznaczniki macierzy:

a)

=

2

3

1

5

A

b)

=

2

2

0

6

1

2

3

0

1

A

Rozwi

ą

zania:

a) Zgodnie z powy

ż

szym, prostym wzorem, mamy:

( ) ( )

7

1

3

2

5

det

=

=

A

background image

Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych

12

b) Aby łatwiej było wykona

ć

podane obliczenia, zapiszemy raz jeszcze dan

ą

macierz, dopisuj

ą

c dodatkowo dwie pierwsze kolumny:

2

0

1

2

0

1

2

2

0

6

1

2

3

0

1

det

=

A

B

ę

dziemy nast

ę

pnie mno

ż

y

ć

przez siebie wyrazy znajduj

ą

ce si

ę

na głównej

przek

ą

tnej macierzy

A

oraz wzdłu

ż

dwóch kolejnych linii równoległych do

głównej przek

ą

tnej; otrzymane iloczyny dodajemy. Podobne działania

wykonamy zaczynaj

ą

c od drugiej przek

ą

tnej macierzy

A

, otrzymane w ten

sposób iloczyny iloczyny b

ę

dziemy odejmowa

ć

od sumy poprzednich:

( ) ( )

( )

( )

=

+

+

=

=

0

2

2

1

6

2

3

1

0

2

2

3

0

6

0

2

1

1

2

0

1

2

0

1

2

2

0

6

1

2

3

0

1

det A

26

12

12

2

=

+

+

=

.

Rz

ę

dem dowolnej macierzy

A

nazywamy stopie

ń

najwi

ę

kszego ( w sensie

wymiaru) podwyznacznika niezerowego macierzy

A

.

Zadanie 11

Oblicz rz

ą

d macierzy

A

.

a)

=

3

1

2

2

2

4

A

background image

Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych

13

b)

=

2

1

1

1

0

3

3

1

2

A

c)

=

1

1

3

0

3

1

1

0

2

A

Rozwi

ą

zania:

a) Rz

ą

d tej macierzy mo

ż

e by

ć

równy co najwy

ż

ej

2

; zapiszemy wszystkie

podwyznaczniki drugiego stopnia:

1

2

2

4

,

3

1

2

2

oraz

3

2

2

4

. Mamy:

0

4

4

1

2

2

4

=

=

;

0

8

2

6

3

1

2

2

=

=

, zatem nie ma potrzeby

obliczania trzeciego podwyznacznika drugiego stopnia; stwierdzamy,

ż

e rz

ą

d

macierzy

A

jest równy 2; piszemy

2

=

rzA

.

b) Rz

ą

d tej macierzy mo

ż

e by

ć

równy co najwy

ż

ej

3

; jedynym jej

podwyznacznikiem trzeciego stopnia jest wyznacznik macierzy

A

. Mamy

zatem:

( )

0

6

2

0

9

1

0

1

1

0

3

1

2

2

1

1

1

0

3

3

1

2

det

=

+

+

=

=

A

, zatem

3

<

rzA

.

Spróbujemy teraz znale

źć

podwyznacznik drugiego stopnia, ró

ż

ny od zera:

( )

0

3

3

0

0

3

1

2

=

=

, zatem

2

=

rzA

.

c) Podobnie jak poprzednio,

3

rzA

. Aby stwierdzi

ć

, czy zachodzi równo

ść

,

obliczymy wyznacznik macierzy

A

:

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach;

wyznacznik i rząd macierzy.

14

( ) ( )

0

14

0

0

9

1

0

6

1

3

3

1

0

2

1

1

3

0

3

1

1

0

2

det

=

+

+

=

=

A

,

zatem

3

=

rzA

.

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI

Ą

ZANIA

Zadanie 1

Dane s

ą

wektory

[

]

2

,

1

,

3

1

=

u

,

[

]

2

,

1

,

5

2

=

u

,

[

]

4

,

8

,

2

3

=

u

Wyznacz wektor

u

a)

+

=

3

2

1

2

1

3

2

u

u

u

u

b)

+

=

1

2

3

2 u

u

u

u

c)

+

=

3

2

1

2

u

u

u

u

Zadanie 2

Wyznacz wektor

+

=

3

2

1

5

3

2

u

u

u

u

, je

ż

eli

a)

[

]

1

,

2

1

=

u

,

[ ]

2

,

0

2

=

u

,

[ ]

3

,

1

3

=

u

b)

[

]

2

,

1

,

0

1

=

u

,

[

]

4

,

3

,

2

2

=

u

,

[

]

1

,

1

,

1

3

=

u

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach;

wyznacznik i rząd macierzy.

15

c)

[

]

0

,

2

,

4

1

=

u

,

[

]

1

,

2

,

3

2

=

u

,

[

]

0

,

2

,

1

3

=

u

Zadanie 3

Oblicz długo

ś

ci nast

ę

puj

ą

cych wektorów:

c)

[

]

4

,

2

=

u

d)

[ ]

1

,

3

,

1

=

u

e)

[

]

6

,

1

,

2

=

u

f)

[

]

5

,

3

,

1

=

u

g)

PQ

;

( )

(

)

4

,

2

;

3

,

1

=

=

Q

P

h)

PQ

;

(

)

(

)

1

,

0

,

0

;

2

,

3

,

1

=

=

Q

P

i)

PQ

;

(

)

(

)

7

,

3

,

1

;

4

,

3

,

1

=

=

Q

P

j)

PQ

;

(

)

(

)

2

,

2

,

1

;

1

,

3

,

0

=

=

Q

P

Zadanie 4

Oblicz iloczyn skalarny nast

ę

puj

ą

cych par wektorów. Czy podane wektory s

ą

ortogonalne?

c)

[

]

4

,

2

=

u

,

[ ]

1

,

3

=

v

d)

[ ]

2

,

1

=

u

,

[ ]

2

,

4

=

v

e)

[ ]

2

,

0

=

u

,

[ ]

1

,

1

=

v

f)

[

]

2

,

4

,

2

=

u

,

[

]

5

,

1

,

3

=

v

g)

[

]

0

,

1

,

1

=

u

,

[

]

0

,

1

,

2

=

v

h)

[

]

2

,

1

,

3

=

u

,

[

]

6

,

4

,

2

=

v

Zadanie 5

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach;

wyznacznik i rząd macierzy.

16

Dla podanych macierzy:

=

2

1

2

0

3

1

A

,

=

1

0

7

8

5

1

B

, oblicz

c)

B

A

+

,

d)

B

A

2

,

e)

B

A

5

3

+

,

f)

T

T

B

A

3

2

,

g)

B

A

2

3

2

1

+

Zadanie 6

Dla podanych macierzy

=

1

0

0

2

3

1

A

,

=

1

3

2

1

B

, oblicz:

e)

A

B

,

f)

B

A

T

g)

(

)

A

I

B

2

h)

(

)

I

B

A

T

3

+

Zadanie 7

Oblicz

B

A

, je

ż

eli

a)

=

4

2

1

0

1

3

A

,

=

3

2

1

B

b)

=

2

3

0

1

A

,

=

0

3

1

2

0

1

B

c)

=

2

1

2

3

0

1

A

,

=

0

1

1

0

2

1

B

d)

[

]

4

2

1

=

A

,

=

2

3

0

1

2

1

B

background image

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach;

wyznacznik i rząd macierzy.

17

e)

=

4

3

1

4

2

1

A

,

=

2

1

3

0

1

0

2

1

B

Zadanie 8

Oblicz wyznaczniki macierzy:

c)

5

3

2

1

d)

4

1

1

0

e)

2

1

1

1

3

0

2

1

1

f)

1

2

1

1

3

0

1

1

3

g)

3

0

1

1

2

1

3

4

5

h)

1

1

0

5

4

3

2

1

2

i)

2

1

1

0

5

3

4

2

1

j)

1

2

3

0

1

5

3

2

1

k)

1

5

2

1

1

3

4

0

2

l)

3

1

4

2

0

1

4

3

1

background image

Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych

18

Zadanie 9

Oblicz rz

ą

d macierzy

A

.

d)

=

3

4

2

0

2

1

A

e)

=

0

1

1

1

1

0

1

2

1

A

f)

=

2

2

3

1

0

0

1

2

3

A

g)

=

1

2

6

4

3

1

3

2

A

h)

=

0

2

0

1

0

1

1

2

1

A

ODPOWIEDZI

Zadanie 1

a)

[

]

12

,

9

,

22

b)

[

]

10

,

11

,

13

c)

[

]

10

,

11

,

13

Zadanie 2

a)

[

]

11

,

9

b)

[

]

3

,

12

,

11

c)

[

]

3

,

0

,

4

background image

Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych

19

Zadanie 3

a)

5

2

=

u

b)

11

=

u

c)

3

=

u

d)

3

=

u

e)

2

5

=

u

f)

11

=

u

g)

3

=

u

h)

3

=

u

Zadanie 4

a)

10

=

v

uo

, nie

b)

0

=

v

uo

, tak

c)

2

=

v

uo

, nie

d)

0

=

v

uo

, tak

e)

3

=

v

uo

, nie

f)

2

=

v

uo

, nie

Zadanie 5

a)

3

1

9

8

8

0

b)

3

2

3

8

1

3

c)

1

3

29

40

16

8

d)

1

24

2

9

17

5

e)



2

5

2

1

2

23

12

9

1

Zadanie 6

a)

7

9

3

0

3

1

b)

5

1

6

3

2

1

c)

5

9

3

4

9

3

d)

8

7

6

6

2

2

background image

Zestaw 11- Rząd macierzy, układy równań liniowych

20

Zadanie 7

a)

17

1

b)

6

6

5

2

0

1

c)

5

0

2

4

d)

10

13

e)

11

4

6

3

2

1

11

4

5

2

4

1

Zadanie 8

a)

11

det

=

A

b)

1

det

=

A

c)

2

det

=

A

d)

19

det

=

A

e)

40

det

=

A

f)

7

det

=

A

g)

30

det

=

A

h)

12

det

=

A

i)

40

det

=

A

j)

13

det

=

A

Zadanie 9

a)

2

=

rzA

b)

2

=

rzA

c)

3

=

rzA

d)

2

=

rzA

e)

2

=

rzA


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach
Tematlementy działań na wektorach
Dzialania na wektorach Zastoso zadania id 146885
Cwiczenia dzialania na wektorach
Cwiczenia dzialania na wektorach
Przykłady działań na wektorach
Działania na wektorach
Wektory definicja i działania na wektorach
,algebra 1,wektor i działanie na wektorach
nt podstawy dzialan na wektorach odejmowanie
anestezjologia ZESTAW 11, OPIEKA PALIATYWNA - pytania na zaliczenie pisemne
3 Zadania do wykladu Dzialania na macierzach rzad macierzy
3.Zadania do wykladu Dzialania na macierzach rzad macierzy
Wzór nr 11, zestawienie zbiorcze wyd na wyżywienie

więcej podobnych podstron