algebra wektorow 5 wyklad

background image

Algebra wektorów w przestrzeni R

3

.

Niech w przestrzeni R

3

b

ędzie zadany prostokątny prawoskrętny układ współrzędnych Oxyz.

Mówimy,

że punkt M ma współrzędne

1

1

1

,

,

z

y

x

pisz

ąc

)

,

,

(

1

1

1

z

y

x

M

=

.

Niech

)

,

,

(

2

2

2

z

y

x

P

=

.

Odległo

ść między dwoma punktami

)

,

,

(

1

1

1

z

y

x

M

=

i

)

,

,

(

2

2

2

z

y

x

P

=

okre

ślamy wzorem:

2

1

2

2

1

2

2

1

2

)

(

)

(

)

(

)

,

(

z

z

y

y

x

x

MP

P

M

d

+

+

=

=

(jest to długo

ść odcinka MP

).

W szczególno

ści odległość punktu M od początku układu

współrz

ędnych

)

0

,

0

,

0

(

=

O

wynosi

2

1

2

1

2

1

z

y

x

d

+

+

=

.

Podział odcinka.

Je

żeli punkt Q dzieli odcinek MP w stosunku

λ

(tzn.

)

λ

=

QP

MQ

, to współrz

ędne punktu

)

,

,

(

3

3

3

z

y

x

Q

=

okre

ślamy

wzorami

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

=

+

=

+

=

+

+

+

1

,

1

,

1

2

1

3

2

1

3

2

1

3

z

z

y

y

x

x

z

x

y

.

W szczególno

ści współrzędne środka

)

,

,

(

0

0

0

z

y

x

S

=

odcinka MP

okre

ślamy wzorami

2

,

2

,

2

2

1

0

2

1

0

2

1

0

z

z

y

y

x

x

z

x

y

+

+

+

=

=

=

.

Wektorem

P

M

r

(dokładnie: wektorem zwi

ązanym) nazywamy parę uporządkowaną punktów

M i P. Punkt M to pocz

ątek, punkt P to koniec wektora P

M

r

. Je

żeli

P

M

=

, to wektor

0

r

r

=

M

M

nazywamy wektorem zerowym.

Długo

ścią (modułem) P

M

r

wektora

P

M

r

nazywamy długo

ść odcinka MP

.

Kierunkiem wektora

P

M

r

nazywamy kierunek prostej, do której

odcinek MP jest równoległy.

Zwrotem wektora

P

M

r

nazywamy jedno z dwu mo

żliwych

uporz

ądkowań punktów na prostej l wyznaczonej przez punkty

M i P.

Dwa wektory nazywamy równymi, je

żeli mają tę samą długość, ten sam kierunek i ten sam

zwrot.

Zbiór wszystkich wektorów równych mi

ędzy sobą nazywamy wektorem swobodnym (krótko:

wektorem) i oznaczamy symbolem

...

,

,

...,

,

,

r

u

b

a

r

r

r

r

Ka

żdy wektor związany wyznacza jednocześnie pewien wektor swobodny.

background image

Współrz

ędne wektora

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

, gdy dany jest pocz

ątek

)

,

,

(

1

1

1

z

y

x

M

=

i koniec

)

,

,

(

2

2

2

z

y

x

P

=

obliczamy nast

ępująco:

1

2

1

2

1

2

,

,

z

z

a

y

y

a

x

x

a

z

y

x

=

=

=

.

St

ąd długość wektora

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

okre

śla wzór

2

2

2

z

y

x

a

a

a

a

+

+

=

r

.

W układzie kartezja

ńskim Oxyz określamy wektory

jednostkowe, równoległe do poszczególnych osi układu
współrz

ędnych i mające zwrot zgodny ze zwrotem tych osi.

Nazywamy je wersorami:

]

0

,

0

,

1

[

=

i

r

,

]

0

,

1

,

0

[

=

j

r

,

]

1

,

0

,

0

[

=

k

r

Ka

żdy wektor

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

mo

żemy zapisać jako

kombinacj

ę liniową wersorów

k

j

i

r

r

r

,

,

:

k

a

j

a

i

a

a

z

y

x

r

r

r

r

+

+

=

Oznaczmy przez

γ

β

α

,

,

k

ąty, jakie tworzy wektor a

r

z odpowiednimi osiami układu

współrz

ędnych.

γ

β

α

cos

,

cos

,

cos

to cosinusy kierunkowe wektora

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

:

a

a

a

a

a

a

z

y

x

r

r

r

=

=

=

γ

β

α

cos

,

cos

,

cos

.

Zachodzi zwi

ązek:

1

cos

cos

cos

2

2

2

=

+

+

γ

β

α

.

Przykład. Niech

k

j

i

B

A

r

r

r

r

5

2

+

+

=

oraz

)

2

,

1

-

,

1

(

=

B

. Znale

źć współrzędne początku A tego

wektora, jego długo

ść i cosinusy kierunkowe.

Je

śli oznaczymy

)

,

,

(

1

1

1

z

y

x

A

=

, to

5

-

2

,

1

-

1

-

,

2

-

-

1

1

1

1

=

=

=

z

y

x

St

ąd

3

-

,

2

-

,

3

1

1

1

=

=

=

z

y

x

, czyli

)

3

-

,

2

-

,

3

(

=

A

;

30

5

1

)

2

(

2

2

2

=

+

+

=

B

A

r

;

6

30

30

5

30

30

30

1

15

30

30

2

cos

,

cos

,

cos

=

=

=

=

=

=

γ

β

α

.


Suma dwóch wektorów:

Je

żeli

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

,

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

b

=

r

,

to

]

,

,

[

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

a

+

+

+

=

+

r

r


Iloczyn wektora przez liczb

ę

λ

:

Je

żeli

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

, to

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

λ

λ

λ

λ

=

r

.

Przykład. Wyznaczy

ć

b

a

r

r

3

5

je

żeli

]

1

,

2

-

,

3

[

=

a

r

i

]

2

-

,

3

,

2

[

=

b

r

.

k

j

i

b

a

r

r

r

r

r

11

19

9

]

1

1

,

19

-

,

9

[

]

6

,

9

-

,

6

-

[

]

5

,

10

-

,

15

[

3

5

+

=

=

+

=

.

Uwaga. Wektory

i

a

a

r

r

λ

s

ą równoległe i mają ten sam zwrot gdy

0

>

λ

, a przeciwne zwroty, gdy

0

<

λ

.

background image

Uwaga. Mno

żąc wektor a

r

przez liczb

ę

a

r

1 otrzymamy wektor jednostkowy (wersor) o zwrocie

wektora a

r

:

1

=

a

a

r

r

. Współrz

ędnymi wektora

a

a

r

r

s

ą cosinusy kierunkowe wektora a

r

.

Przykład. Je

żeli

]

6

,

1

-

,

3

[

=

a

r

, to

4

16

6

1

9

=

=

+

+

=

a

r

i wtedy wektor

]

[

4

6

,

4

1

-

,

4

3

=

a

a

r

r

jest wektorem jednostkowym (o długo

ści 1).



Iloczyn skalarny dwóch wektorów.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów

a

r

i

b

r

nazywamy liczb

ę równą iloczynowi długości tych

wektorów przez cosinus k

ąta zawartego między nimi:

)

,

(

cos

b

a

b

a

b

a

r

r

r

r

r

o

r

=

Zauwa

żmy, że dla wersorów

k

j

i

r

r

r

,

,

mamy:

0

90

cos

1

1

o

=

=

j

i

r

o

r

,

0

=

k

i

r

o

r

,

0

=

k

j

r

o

r

,

1

0

cos

1

1

o

=

=

i

i

r

o

r

,

1

=

j

j

r

o

r

,

1

=

k

k

r

o

r

.

Je

żeli więc

k

a

j

a

i

a

a

a

a

a

z

y

x

z

y

x

r

r

r

r

+

+

=

=

]

,

,

[

,

k

b

j

b

i

b

b

b

b

b

z

y

x

z

y

x

r

r

r

r

+

+

=

=

]

,

,

[

, wtedy

.

)

(

)

(

z

z

y

y

x

x

z

z

z

x

z

z

y

y

y

x

y

z

x

y

x

x

x

z

y

x

z

y

x

b

a

b

a

b

a

k

k

b

a

j

k

b

a

i

k

b

a

k

j

b

a

j

j

b

a

i

j

b

a

k

i

b

a

j

i

b

a

i

i

b

a

k

b

j

b

i

b

k

a

j

a

i

a

b

a

y

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

r

r

o

r

r

r

r

o

r


Iloczyn skalarny dwóch wektorów obliczamy wi

ęc też wg wzoru:

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

a

+

+

=

r

o

r

Nieznany cosinus k

ąta między wektorami a

r

i

b

r

mo

żemy wyznaczyć ze wzoru

b

a

b

a

b

a

r

r

r

o

r

r

r

=

)

,

(

cos


Własno

ści iloczynu skalarnego wektorów:

1.

2

a

a

a

r

r

o

r

=

(czyli

a

a

a

r

o

r

r

=

),

2.

b

a

b

a

b

a

r

r

r

r

r

r

r

o

r

=

=

=

0

0

0

,

3.

a

b

b

a

r

o

r

r

o

r

=

(iloczyn skalarny jest przemienny)

,

4.

c

a

b

a

c

b

a

r

o

r

r

o

r

r

r

o

r

+

=

+

)

(

(rozdzielno

ść mnożenia skalarnego względem dodawania wektorów),

5.

)

(

)

(

)

(

b

a

m

b

m

a

b

a

m

r

o

r

r

o

r

r

o

r

=

=

.

Przykład. Niech

w

u

a

v

r

r

3

+

=

,

w

u

b

v

r

r

=

2

,

2

=

u

r

,

1

=

w

r

,

3

)

,

(

π

=

w

u

r

r

.

Obliczy

ć

b

a

r

o

r

,

a

r

,

b

r

,

)

,

(

cos

b

a

r

r

.

Rozwi

ązanie:

background image

.

10

10

5

)

,

(

cos

1

2

5

5

1

3

5

4

2

3

6

2

)

2

(

)

3

(

2

1

=

+

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

w

u

w

u

w

w

u

w

w

u

u

u

w

u

w

u

b

a

v

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

r

o

r

v

r

o

v

r

r

o

r

19

9

2

6

4

9

6

)

3

(

)

3

(

2

1

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

w

w

w

u

u

u

w

u

w

u

a

v

o

v

v

o

r

r

o

r

v

r

o

v

r

r

.

13

1

2

4

16

4

4

)

2

(

)

2

(

2

1

=

+

=

+

=

=

w

w

w

u

u

u

w

u

w

u

b

v

o

v

v

o

r

r

o

r

v

r

o

v

r

r

.

6363

,

0

247

10

13

19

10

)

,

(

cos

=

=

b

a

r

r

.


Przykład. Iloczyn skalarny wykorzystywany jest w fizyce, np. przy obliczaniu pracy:

Ciało przesuwa si

ę pod działaniem siły F

r

o wektor

S

r

.

Interesuje

nas praca L tej siły wzdłu

ż przesunięcia

S

r

. Prac

ę wykonuje

składowa

s

F

r

.

S

F

S

F

S

F

L

s

r

o

r

r

r

r

r

=

=

=

α

cos

Praca jest równa iloczynowi skalarnemu wektora siły przez wektor
przesuni

ęcia.



Iloczyn wektorowy dwóch wektorów w przestrzeni R

3

.

Iloczyn wektorowy wektorów a

r

i

b

r

oznaczamy symbolem:

b

a

r

r

×

Definicja.

Je

żeli

0

r

r

a

i

0

r

r

b

i a

r

nie jest równoległy do

b

r

, to

c

b

a

r

r

r

=

×

, przy czym

1

o

.

a

c

r

r

i

b

c

r

r

,

2

o

.

)

,

(

sin

b

a

b

a

c

r

r

r

r

r

=

,

3

o

. układ wektorów

c

b

a

r

r

r

,

,

jest prawoskr

ętny

(zorientowany zgodnie z układem kartezja

ńskim Oxyz).

Geometrycznie długo

ść iloczynu

wektorowego

b

a

r

r

×

jest równa ilo

ści

jednostek

pola

równoległoboku

zbudowanego na wektorach a

r

i

b

r

.

Przypomnijmy,

że pole

równoległoboku

h

a

S

=

ale

ϕ

sin

=

b

h

, wi

ęc

ϕ

sin

=

b

h

,

sk

ąd

ϕ

sin

=

b

a

S

.


Własno

ści iloczynu wektorowego:

1.

b

a

a

b

r

r

r

r

×

=

×

(antyprzemienno

ść)

,

2.

0

r

r

r

=

×

b

a

je

śli

0

r

r

=

a

lub

0

r

r

=

b

lub

b

a

r

r

,

3.

)

(

)

(

)

(

b

a

m

b

m

a

b

a

m

r

r

r

r

r

r

×

=

×

=

×

,

4.

c

a

b

a

c

b

a

r

r

r

r

r

r

r

×

+

×

=

+

×

)

(

(rozdzielno

ść mnożenia wektorowego względem dodawania wektorów),


background image

Zauwa

żmy, że dla wersorów

k

j

i

r

r

r

,

,

mamy:

0

r

r

r

r

r

r

r

=

×

=

×

=

×

k

k

j

j

i

i

;

k

j

i

r

r

r

=

×

,

i

k

j

r

r

r

=

×

,

j

i

k

r

r

r

=

×

,

k

i

j

r

r

r

=

×

,

i

j

k

r

r

r

=

×

,

j

k

i

r

r

r

=

×

.

Współrz

ędne iloczynu wektorowego wektorów

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

i

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

b

=

r

najwygodniej

jest oblicza

ć wg następującego wzoru, w którym wykorzystujemy symboliczny wyznacznik:

k

b

b

a

a

j

b

b

a

a

i

b

b

a

a

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a

y

x

y

x

z

x

z

x

z

y

z

y

z

y

x

z

y

x

r

r

r

r

r

r

r

r

+

=

=

×


Przykład. Dane s

ą trzy punkty w przestrzeni R

3

:

)

1

-

2,

,

1

(

=

M

,

2)

2,

,

3

(

=

P

,

1)

1,

,

2

(

=

Q

.

Obliczy

ć iloczyn wektorowy wektorów P

M

r

i

Q

M

r

. Wyznaczy

ć pole trójkąta o wierzchołkach

M, P, Q.

Mamy tu

3]

0,

,

2

[

=

P

M

r

,

2]

1,

-

,

1

[

=

Q

M

r

.

]

2

-

,

1

-

,

3

[

2

3

1

-

1

0

2

2

1

3

2

2

1

-

3

0

2

1

-

1

3

0

2

=

=

+

=

=

×

k

j

i

k

j

i

Q

M

P

M

k

j

i

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

.

2

14

2

1

2

1

4

1

9

=

+

+

=

×

=

Q

M

P

M

S

MPQ

r

r

.


Uwaga.

Dla wektorów na płaszczy

źnie R

2

:

]

,

[

y

x

a

a

a

=

r

,

]

,

[

y

x

b

b

b

=

r

, pole równoległoboku zbudowanego

na tych wektorach obliczamy wg wzoru:

S =

y

x

y

x

b

b

a

a

│.

Przykład. Iloczyn wektorowy ma zastosowanie w fizyce do obliczania np. momentu siły.

(wektor

Q

P

r

to

rami

ę siły)

Obliczy

ć moment siły

1]

2,

,

3

[

=

F

r

wzgl

ędem punktu

3)

2,

,

2

(

=

P

. Siła F

r

zaczepiona jest w punkcie

0)

2,

,

1

(

=

Q

.

].

2

-

,

8

-

,

6

[

2

8

6

]

1

,

2

,

3

[

]

3

-

,

0

,

1

-

[

)

(

M

1

2

3

3

-

0

1

-

=

=

=

×

=

×

=

k

j

i

F

Q

P

F

k

j

i

P

r

r

r

r

r

r

r

r

r

Iloczyn mieszany trzech wektorów.

Niech

]

,

,

[

z

y

x

a

a

a

a

=

r

,

]

,

,

[

z

y

x

b

b

b

b

=

r

,

]

,

,

[

z

y

x

c

c

c

c

=

r

. Iloczyn mieszany tych trzech wektorów

zapisujemy symbolicznie

c

b

a

r

r

r

. Zachodz

ą równości:

)

(

)

(

c

b

a

c

b

a

c

b

a

r

r

o

r

r

o

r

r

r

r

r

×

=

×

=


background image

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

=

r

r

r


Iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy zero je

żeli:

a) co najmniej jeden z tych wektorów jest zerowy,
b) dwa z tych wektorów s

ą równoległe (są kolinearne),

c) wszystkie trzy wektory s

ą równoległe do jednej płaszczyzny (są komplanarne).


Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego wektorów:

Warto

ść bezwzględna iloczynu mieszanego trzech wektorów

c

b

a

r

r

r

,

,

jest równa ilo

ści jednostek objętości równoległościanu zbudowanego

na tych wektorach.

(

h

S

V

p

=

(

p

S

oznacza pole podstawy),

b

a

S

p

r

r

×

=

,

γ

cos

=

c

h

r

,

c

b

a

c

b

a

c

b

a

h

S

V

p

r

r

r

r

o

r

r

r

r

r

=

×

=

×

=

=

)

(

cos

γ

).

Obj

ętość czworościanu zbudowanego na wektorach

c

b

a

r

r

r

,

,

:

c

b

a

V

czw

r

r

r

6

1

=

.

Zadanie. Dane s

ą punkty

)

0

1,

,

0

(

=

M

,

1)

1,

,

2

(

=

P

,

2)

2,

,

3

(

=

Q

,

1)

3,

,

0

(

=

S

.

Wyznaczy

ć objętość czworościanu o wierzchołkach MPQS

.

Do zapami

ętania.

Niech

0

]

,

,

[

r

r

=

z

y

x

a

a

a

a

,

0

]

,

,

[

r

r

=

z

y

x

b

b

b

b

,

0

]

,

,

[

r

r

=

z

y

x

c

c

c

c

.

0

0

=

+

+

=

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

r

o

r

r

r

;

b

m

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

z

z

y

y

x

x

r

r

r

r

r

r

r

=

=

=

=

×

0

dla pewnego

0

m

;

c

b

a

r

r

r

,

,

s

ą współpłaszczyznowe (komplanarne)

0

=

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

r

r

r

.







Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 Algebra wektorów
algebra 2006 wyklad id 57189 Nieznany (2)
C 03 Algebra wektorow
120 Algebra wektorów
Wyklad7ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Relacje i funkcje ćw 2(2), stud, I semsetr, ALGEBRA, Ćwicenia i wyklady
Wyklad8ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Wyklad2ALG2001a, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych
Wyklad5ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Algebra wektory
algebra 200x wyklad 43 strony
algebra wektorów i tensorów
Wyklad6ALG2001, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszych r
Egzamin z algebry, Informatyka i Ekonometria SGGW, Semestr 1, Algebra Liniowa, materialy od starszyc
Algebra wektorów
Bud algebra i wektory lista4
5 Algebra wektorów

więcej podobnych podstron