Struktury algebraiczne.

Rozważmy dwa niepuste zbiory X i Y.

Przez parę uporządkowaną nazywamy parę

)

,

( b

a

złożoną z elementów

X

a

∈

oraz

Y

b

∈

, w której wiadomo, który element jest pierwszy, a który

drugi.

Mówimy wówczas, że a jest poprzednikiem, zaś b następnikiem pary

uporządkowanej

)

,

(

b

a

.

Iloczynem kartezjańskim zbioru X i zbioru Y nazywamy zbiór wszystkich par

uporządkowanych

)

,

(

b

a

takich, że

X

a

∈

oraz

Y

b

∈

, tzn. zbiór





























∈

∧

∈

=

×

Y

b

X

a

b

a

Y

X

;

,

.

Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Działaniem

dwuargumentowym wewnętrznym nazywamy każdą funkcję

X

X

X

f

→

×

:

Zbiór X z wprowadzonym działaniem wewnętrznym „ * ” oznaczamy jako

parę (X,*).

Działanie „ * ” nazywamy :

a) łącznym, gdy

)

c

(b

a

c

b)

(a

X

c

b,

a,

∗

∗

=

∗

∗

∈

∧

,

b) przemiennym, gdy

a

b

b

a

b

a,

∗

=

∗

∈

∧

X

.

Jeżeli

a

e

a

a

e

X

a

X

e

=

∗

=

∗

∈

∧

∈

∨

, to element

X

e

∈

nazywamy elementem

neutralnym względem działania „*”

Przykład. W zbiorze R, liczb rzeczywistych, elementem neutralnym

względem dodawania jest 0, zaś elementem neutralnym względem mnożenia

jest 1.

TWIERDZENIE. Jeżeli w zbiorze X określone jest działanie wewnętrzne „ * ”

i e jest elementem neutralnym względem tego działania, to jest to element

jedyny.

W zbiorze X, w którym określone jest działanie „ * ” posiadające element

neutralny e, element

X

a

∈

'

nazywamy elementem symetrycznym do elementu

X

a

∈

względem działania „ * ”, jeżeli

e

a'

a

a

a'

X

a'

X

a

=

∗

=

∗

∈

∨

∈

∧

TWIERDZENIE. Jeżeli w zbiorze X określone jest działanie łączne „ * ”

mające element neutralny e , i dla dowolnego elementu

X

a

∈

istnieje element

symetryczny

X

a

∈

'

, to element ten jest jedyny,

Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i K.

Funkcję

X

X

K

g

→

×

:

, która każdej parze

( )

X

K

a

k

×

∈

,

przyporządkowuje pewien element

( )

x

k

g ,

ze zbioru X nazywamy działaniem

zewnętrznym w zbiorze X.

Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze A nazywamy każdy zespół

(

)

n

m

n

g

g

f

f

K

K

A

,...,

,

,...,

;

,...,

,

1

1

1

złożony ze zbioru A, z pewnej liczby działań wewnętrznych

m

f

f ,...,

1

w

zbiorze A oraz z pewnej liczby działań zewnętrznych

n

g

g ,...,

1

określonych w

zbiorze A za pomocą zbiorów

n

K

K ,...,

1

.

Parę

( )

o

,

G

nazywamy grupą, jeżeli

G

jest niepustym zbiorem, w którym

określone jest działanie wewnętrzne

G

c

b

a

b)

(a,

G

G

:

∈

=

∋

×

o

a

o

,

mające wymienione niżej własności:

− jest łączne

,)

c

(b

a

c

b)

(a

G

c

b,

a,

o

o

o

o

=

∈

∧

− ma element neutralny

,

a

e

a

a

e

G

a

G

e

=

=

∈

∧

∈

∨

o

o

− każdy element

G

a

∈

ma element symetryczny

G

a'

∈

Jeżeli dodatkowo działanie „○” jest przemienne grupę

( )

o

,

G

nazywamy

przemienną lub abelową.

Uporządkowaną trójkę (P,+,*), gdzie P jest niepustym zbiorem P

wyposażonym w dwa działania wewnętrzne oznaczone przez + i * nazywamy

pierścieniem jeżeli

1.(P,+) jest grupą abelową,

2.(P,*) jest półgrupą tzn. jest to zbiór P z działaniem łącznym,

3.drugie działanie jest rozdzielne względem pierwszego

Inaczej

1. (P,+) jest grupą abelową

• + : P×P ∋ (a,b) a a+b = c ∈ P
•

,)

(

)

(

,

,

c

b

a

c

b

a

P

c

b

a

+

+

=

+

+

∈

∧

•

,

0

0

0

a

a

a

P

a

P

=

+

=

+

∈

∧

∈

∨

Element neutralny 0 pierwszego działania

nazywamy zerem pierścienia,

•

.

0

)

(

=

−

+

∈

−

∨

∈

∧

a

a

P

a

P

a

Element symetryczny do a

względem pierwszego działania nazywamy elementem przeciwnym i

oznaczamy symbolem -a.

•

.

,

a

b

b

a

P

b

a

+

=

+

∈

∧

2.(P,*) jest półgrupą

• * : P×P ∋ (a,b) a a*b = c ∈ P
•

,)

*

(

*

*

)

*

(

,

,

c

b

a

c

b

a

P

c

b

a

=

∈

∧

3. drugie działanie jest rozdzielne względem pierwszego









+

=

+

∈

∧

+

=

+

∈

∧

b

c

a

c

b

a

c

P

c

b

a

c

b

c

a

c

b

a

P

c

b

a

*

*

)

(

*

,

,

*

*

*

)

(

,

,

Pierścień (P,+,*) nazywamy

• przemiennym jeżeli drugie działanie jest przemienne

,

*

*

,

a

b

b

a

P

b

a

=

∈

∧

• pierścieniem z jednością lub pierścieniem unitarnym, jeżeli istnieje w nim

element neutralny drugiego działania

.

1

*

*

1

1

a

a

a

P

a

P

=

=

∈

∧

∈

∨

Element neutralny drugiego działania oznaczamy przez 1

i nazywamy jednością pierścienia.

Co najmniej dwuelementowy pierścień (K,+,*), w którym (K\{0},*) jest

grupą, nazywamy ciałem i oznaczamy analogicznie jak pierścień tzn. (K,+,*).

Oznacza to, że dla każdego x

∈(K\{0},*) istnieje takie

x

-1

∈(K\{0},*), że x

-1

*x = x*x

-1

= 1, czyli po usunięciu ze zbioru K elementu

neutralnego pierwszego działania, każdy z pozostałych elementów tego zbioru

ma element symetryczny względem drugiego działania.

Jeżeli w ciele (K,+,*) drugie działanie jest przemienne, to ciało nazywamy

przemiennym.

W ciele (K,+,*), równanie x + a = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie -a,

podobnie równanie a*x = 1, ma dokładnie jedno rozwiązanie a

-1

. Można więc

powiedzieć, że w ciele istnieje odejmowanie i dzielenie.

Przykłady. Ciałami przemiennymi ze względu na dodawanie i mnożenie są

zbiory wszystkich liczb

1.wymiernych Q

2.rzeczywistych R

3.zespolonych C.

Przestrzeń liniowa.

Przy podanych wyżej oznaczeniach przestrzenią liniową nad ciałem K

nazywamy czwórkę (L,+,K,

•), gdzie:

1. para (L,+) jest grupą abelową

2. trójka (L,K,

•) jest zbiorem L wyposażonym w działanie zewnętrzne nad

ciałem K tj. takie, które dowolnej parze (a,

α), gdzie a ∈K i α ∈ L,

przypisujemy element a

α ∈ L tzn. (α,a) a αa ∈L,

3. oba działania dodawanie w zbiorze L i mnożenie zewnętrzne, spełniają

cztery warunki zgodności : dla dowolnych a,b

∈K i dowolnych α,β∈L

• a • (α+β) = a • α + a • β rozdzielność mnożenia przez skalar względem

dodawania wektorów

• (a+b) • α = a • α + b • α rozdzielność mnożenia przez wektor względem

dodawania skalarów

• a • (b • α) = (ab) • α "łączność"

• 1 • α = α jedność ciała K jest jednością mnożenia

zewnętrznego.

Przykład. Zbiór wektorów w przestrzeni R

3

z dodawaniem wektorów i mnożeniem

wektora przez liczbę rzeczywistą, jest przestrzenią liniową nad ciałem R liczb

rzeczywistych.

MACIERZE

Niech dane będą: ciało liczbowe (K,+,

⋅), oraz zbiory {1, 2,...,m} i {1,

2,... ,n}.

Macierzą

nazywamy funkcję

K

n

∈

=

→

∋

}

,

2,...

{1,

×

ik

a

k)

f(i,

k)

(i,

m}

2,...,

{1,

:

f

,

czyli skończony dwuwskaźnikowy ciąg elementów a

ik

.

Macierz zapisujemy w postaci tablicy prostokątnej

































mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

.....

2

1

2

22

21

1

12

11

lub symbolicznie

[ ]

(

)

n

m

ik

a

,

. Symbol (m,n)

określa wymiar macierzy (na pierwszym miejscu liczba wierszy, na

drugim liczba kolumn).

Dwie macierze tego samego wymiaru

A

= [aik]

(m,n)

i B = [bik]

(m,n)

są równe, jeżeli

dla każdego i

∈{1,2,...,m} i dla każdego k ∈ {1,2,...,n} mamy

aik = bik .

Symbolem Kroneckera

nazywamy funkcję

δ

ik

gdy i k

gdy i k

=

=

≠







1

0

,

i,k

∈N.

Macierz kwadratową A =[a

ik

]

(n,n)

nazywamy:

• diagonalną, gdy jest postaci D =[δ

ik

a

ik

]

(n,n)

• skalarną, gdy jest postaci S = [δ

ik

a]

(n,n)

• jednostkową, gdy jest postaci 1 = [δ

ik

]

(n,n)

• symetryczną, jeżeli dla każdego i,k∈{1,2,...,n} aik = aki
• skośnie symetryczną, jeżeli dla każdego i,k∈{1,2,...,n}

ki

ik

a

a

−

=

(macierz skośnie symetryczna ma na głównej przekątnej same zera)

Symbolem 1 oznaczać będziemy macierze jednostkowe dowolnego

stopnia np.

[ ]

.

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

1

0

0

1

,

1





























Macierzą transponowaną

A

T

macierzy

A nazywamy macierz

A

T

= [aik]

T

(m,n) = [aki] (n,m) .

Działania

na

macierzach.

Dodawanie macierzy.

Sumą macierzy

A =[aik](m,n) i macierzy B = [bik](m,n) nazywamy

macierz

C

= [cik](m,n) ,

gdzie

cik = aik + bik

dla każdego i

∈ {1,2,...,m} i każdego k ∈ {1,2,...,n}.

Odejmowanie macierzy.

Różnicą macierzy

A =[aik](m,n) i macierzy B

= [bik](m,n) nazywamy macierz

C

= [cik](m,n) ,

gdzie

cik = aik - bik

dla każdego i

∈ {1,2,...,m} i każdego k ∈ {1,2,...,n}.

Mnożenie macierzy przez liczbę.

Iloczynem macierzy

A = [aik] przez liczbę α ∈ K nazywamy macierz

α·A = [α·aik],

dla każdego i

∈ {1,2,...,m} i każdego k ∈ {1,2,...,n}.

Mnożenie macierzy.

Iloczynem macierzy

A =[aij](m,p) przez macierz

B

= [bjk](p,n) nazywamy macierz

C

= [cik](m,n),

gdzie

∑

=

+

+

+

=

=

p

j

pk

ip

k

i

k

i

jk

ij

ik

b

a

b

a

b

a

b

a

c

1

2

2

1

1

...

dla każdego i

∈ {1,2,...,m} i każdego k ∈ {1,2,...,n}

Własności działań na macierzach.

1.

Dodawanie macierzy jest przemienne

A + B = B + A.

2. Dodawanie macierzy jest łączne (A + B) + C = A + (B + C).

3. A + X = A

⇒ X = 0.

4. A + Y = 0

⇒ Y = -A.

5. Mnożenie macierzy przez liczbę jest przemienne

a

a

⋅

=

⋅

A

A

,

dla każdego a

∈Κ

6. ,

)

(

B

A

B

A

⋅

+

⋅

=

+

⋅

a

a

a

dla każdego a

∈Κ

7.

B

A

A

⋅

+

⋅

=

⋅

+

b

a

b

a

)

(

, dla każdego a,b

∈Κ

8. )

(

)

(

)

(

A

A

A

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

a

b

ab

b

a

, dla każdego a,b

∈Κ

9.

A

A

1

=

⋅

10.

a

a

a

a

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

)

(

)

(

)

(

)

(

B

A

B

A

B

A

B

A

, dla każdego a

∈Κ

11. )

(

)

(

C

B

A

C

B

A

⋅

⋅

=

⋅

⋅

mnożenie macierzy jest łączne

12.

A

1

1

A

⋅

=

⋅

13.

B

C

A

C

B

A

C

C

B

C

A

C

B

A

⋅

±

⋅

=

±

⋅

⋅

±

⋅

=

⋅

±

)

(

,

)

(

⋅

mnożenie

macierzy jest rozdzielne względem dodawania

14.

A

B

B

A

⋅

≠

⋅

mnożenie macierzy nie jest przemienne

15. (

A

T

)

T

=

A

16.

T

T

T

A

B

B

A

⋅

=

⋅ )

(

Wyznaczniki. Wyznacznikiem nazywamy funkcję przyporządkowującą

każdej macierzy kwadratowej

A = [aik](n,n) stopnia n o elementach z

ciała K pewien element tego ciała - oznaczany przez det

A - która to

funkcja określona jest przez warunki:

1. dla n = 1, det[a

11

] = a

11

,

2. dla n >1

,

det

1

1

*

1

∑

=

=

n

k

k

k

A

a

A

gdzie wyrażenie A

*

ik

= (-1)

i+k

A

ik

, nazywamy dopełnieniem

algebraicznym elementu a

ik

, zaś wyrażenie A

ik

- nazywane

podwyznacznikiem wyznacznika det

A, odpowiadającym elementowi a

ik

,

- jest wyznacznikiem stopnia n-1 powstałym z wyznacznika det

A, przez

skreślenie w nim i-tego wiersza i k-tej kolumny. Oprócz oznaczenia

det

A wyznacznik macierzy A zapisujemy również jako A (rzadko), lub

też podobnie jak macierz w tablicy

21

12

22

11

12

3

12

11

2

11

*

1

1

2

1

*

1

1

22

21

12

11

)

1

(

)

1

(

a

a

a

a

A

a

A

a

A

a

A

a

a

a

a

a

k

k

k

k

k

k

−

=

−

+

−

=

=

=

∑

=

=

T

WIERDZENIE

L

APLACE

’

A

.

Wartość wyznacznika macierzy

kwadratowej A równa jest sumie iloczynów kolejnych elementów

dowolnego wiersza (kolumny) przez odpowiadające tym elementom

dopełnienia algebraiczne. Suma iloczynów kolejnych elementów

dowolnego wiersza (kolumny) przez odpowiednie dopełnienia

algebraiczne innego wiersza (kolumny) jest zawsze równa zero.

Własności wyznaczników.

1.(det

A)

T

= det

A

T

= det A.

2.Jeżeli w wyznaczniku zamienimy miejscami dwa dowolne wiersze

(kolumny), to wartość wyznacznika zmieni się na przeciwną.

3.Aby wyznacznik pomnożyć przez liczbę należy wszystkie elementy

dowolnego wiersza (kolumny) pomnożyć przez tę liczbę.

4.Jeżeli w wyznaczniku wszystkie elementy znajdujące się nad (lub pod)

diagonalą są równe zeru, to wartość wyznacznika równa jest

iloczynowi elementów diagonali. O takim wyznaczniku mówimy, że ma

postać trójkątną.

5.Jeżeli w wyznaczniku

a) wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) są równe zeru lub

b) dwa wiersze (kolumny) są identyczne lub

c) wszystkie elementy pewnego wiersza ( kolumny ) są

proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza

(kolumny) lub d) pewien wiersz

(kolumna) jest kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn) to

wartość wyznacznika równa jest zeru.

6.Jeżeli w wyznaczniku do elementów pewnego wiersza (kolumny)

dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone

przez jedną i tę samą liczbę, to wartość wyznacznika nie ulegnie

zmianie.

7.Wyznacznik jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy jego wiersze

(kolumny) są liniowo niezależne.

8.T

WIERDZENIE

C

AUCHY

'

EGO

. Jeżeli A i B są macierzami tego samego

stopnia to

det(

A·B) = detA·detB

Macierz nieosobliwa, macierz odwrotna, macierz ortogonalna.

Macierz kwadratową A nazywamy

• nieosobliwą , gdy detA ≠ 0,

• osobliwą , gdy detA = 0.

Macierzą dołączoną A

D

macierzy kwadratowej A = [a

ik

]

(n,n)

nazywamy transponowaną macierz dopełnień algebraicznych A

*

ik

odpowiadających elementom a

ik

macierzy A

A

D

= [A

*

ik

]

T

.