WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I

DR BOŻENA SZKOPIŃSKA

Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Definicja Zbiór ograniczony

Zbiór

nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje liczba

taka, że

ÎX

Zbiór

nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli istnieje liczba

taka, że

ÎX

Zbiór nazywamy ograniczonym jeśli jest ograniczony z góry i z dolu .

Twierdzenie. Jeśli zbiór

ograniczony z góry, to

istnieje najmniejsza liczba M ograniczająca zbiór X z góry, nazywamy ją

kresem górnym zbioru X i oznaczamy :

sup

Twierdzenie. Jeśli zbiór

jest ograniczony z dołu

to istnieje największa liczba m ograniczająca zbiór X z dołu, nazywamy ją

kresem dolnym zbioru X i oznaczamy :

inf

Uwagi:

inf

-¥

sup

3) Jeśli

nie jest ograniczony z góry, to

sup

4)Jeśli

nie jest ograniczony z dołu, to

-¥

inf

Definicja.

= M

sup

ÎX

= m

inf

ÎX

< m

Ciągi liczbowe

}

{

Ograniczony

Monotoniczny

Rosnący

ÎN

Niemalejący

ÎN

Twierdzenia

}

{

jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy

ÎN

}

{

o wyrazach dodatnich jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy

ÎN

Podciąg

}

{

}

{

- ciąg rosnący liczb naturalnych

ÎN

}

{

- podciąg ciągu

}

{

Granica

}

{

1.Właściwa

)]

(

)

[(

lim

2.Niewłaściwa

)]

(

)

[(

lim

)]

(

)

[(

lim

-¥

Twierdzenia o ciągach

1. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy
2. Ciąg posiada co najwyżej jedną granicę
3. Jeśli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej to jest ograniczony

4. Jeśli ciąg

}

{

jest niemalejący, to

}

sup{

lim

5. Bolzano-Weierstrassa
Jeśli ciąg jest ograniczony, to ma podciąg zbieżny do granicy właściwej.
Jeśli ciąg nie jest ograniczony, to ma podciąg zbieżny do

lub

6. Arytmetyka granic.
7. Twierdzenie o trzech ciągach

}

{

}

{

}

{

(i)

(ii)

lim

Wniosek:

= lim

lim

8. Twierdzenie o dwóch ciągach.

}

{

}

{

(i)

(ii)

lim

9. Jeśli

)

(

lim

-¥

oraz

0 to

)

(

lim

2,71...

10. Twierdzenie Cauchy’ego

)

lim

(

]

(

)

[(

11. Jeśli

ÎN

lim

...

lim

Wniosek

ÎN

lim

12.

³ lim

lim

Wniosek

lim

13. Jeśli ciąg

}

{

jest zbieżny do zera natomiast ciąg

}

{

jest

ograniczony to granica iloczynu tych ciągów jest zero 13.
Wyrażenia nieoznaczone.

13. Iloczyn ciągu ograniczonego przez ciąg zbieżny do zera jest ciągiem
zbieżnym do zera .

Definicja
Granica dolna (górna)

)

(sup

inf

lim

. Niech x

Î R.

Definicja otoczenia, sąsiedztwa i punktu skupienia
Niech a, b

Î R i a < x

< b. Otoczeniem (otoczeniem lewostronnym,

prawostronnym) punktu x

nazywamy przedział (a, b) ((a, x

], [x

, b)). Rodzinę

zbiorów będących otoczeniami (otoczeniami lewostronnymi, prawostronnymi)
punktu x

oznaczać będziemy symbolem O(x

) (O

), O

)). Każdy zbiór

postaci U \ {x

}, gdzie U

Î O(x

) (U

Î O

), U

Î O

)) nazywać będziemy

sąsiedztwem (sąsiedztwem lewostronnym, prawostronnym) punktu x

. Rodzinę

zbiorów będących sąsiedztwami (sąsiedztwami lewostronnymi,
prawostronnymi) oznaczać będziemy symbolem S(x

) (S

), S

)).

Niech X

Ì R. Mówimy, że x

jest punktem skupienia (lewostronnym,

prawostronnym punktem skupienia) zbioru X, jeśli

( )

(

( )

Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia)
zbioru X oznaczamy jako X

, X

Niech f będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.
Definicja granicy funkcji
Niech x

Î (Df)

, x

Î (Df)

). Mówimy, że g

Î R jest granicą

(granicą lewostronną, prawostronną) funkcji f w punkcie x

, gdy

( )

[ ]

)

(

( )

[ ]

)

(

( )

[ ]

)

(

Fakt, że g jest granicą (granicą lewostronną, prawostronną) zapisujemy
symbolicznie

)

(

lim

(

)

(

lim

)

(

lim

)

Definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie
Niech

oraz

a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x

, gdy

( )

[

]

b) Funkcja f ma w punkcie x

granicę niewłaściwą

, gdy

[

]

)

(

c) Funkcja f ma w punkcie x

granicę niewłaściwą

, gdy

[

]

)

(

Niech

- zbiór nieograniczony z dołu.

a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w

, gdy

[

]

)

(

b) Funkcja f ma w

granicę niewłaściwą

, gdy

[

]

)

c) Funkcja f ma w

granicę niewłaściwą

, gdy

[

]

)

Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w

Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie

Niech

)

(

Î R

)

(

Î R

)]

)

(

lim

(

)

lim

[(

)

(

lim

)

(

}

{

Twierdzenia o granicach:
1.Arytmetyka granic
2.Granica funkcji złożonej:

)

(

lim

)

(

)

(

)

(

lim

))

(

lim

3.O trzech funkcjach
4.O dwóch funkcjach

Wyrażenia nieoznaczone.

Definicja asymptoty pionowej
Załóżmy, że

jest funkcją określoną na pewnym sąsiedztwie punktu

. Prostą

o równaniu

nazywamy asymptotą pionową funkcji

gdy

( )

±¥

lim

Definicja asymptoty ukośnej
Załóżmy, że

jest funkcją określoną na pewnym przedziale

(

) ( )

)

(

Prostą o równaniu

nazywamy asymptotą ukośną w minus

nieskończoności (plus nieskończoności) funkcji

gdy

( )

(

)

lim

-¥

(

( )

(

)

lim

+¥

Twierdzenie o współczynnikach asymptoty ukośnej
Prosta o równaniu

jest asymptotą ukośną funkcji

w minus

nieskończoności (plus nieskończoności) wtedy i tylko wtedy, gdy

( )

(

)

-¥

lim

(

( )

(

)

+¥

lim

Definicja ciągłości funkcji
Niech x

Î Df.

f jest ciągła w x

Û x

Ï (Df)

(

)

(

lim

f jest lewostronnie ciągła w x

Û x

Ï (Df)

(

)

(

lim

f jest prawostronnie ciągła w x

Û x

Ï (Df)

(

)

(

lim

Niech X

Ì R. Mówimy, że f jest ciągła w zbiorze X, gdy jest ciągła w każdym

punkcie tego zbioru. Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczać będziemy przez
Cf.
Uwaga. Funkcja jest ciągła w punkcie x

wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła

lewostronnie i prawostronnie w tym punkcie.

Rodzaje nieciągłości – definicja
Niech x

Î Df. Mówimy, że x

jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju

funkcji f, jeśli istnieją i są skończone granice

)

(

lim

)

(

lim

przy czym

)

(

)

(

lim

lub

(

)

(

lim

Mówimy, że x

jest punktem nieciągłości

drugiego rodzaju, jeśli x

Ï Cf i x

nie jest punktem nieciągłości pierwszego

rodzaju.

Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Twierdzenie Weierstrassa-Darboux. Niech a, b

Î R, a < b, [a, b] Ì Cf.

Wówczas funkcja f jest ograniczona na [a, b]. Ponadto

[

]

[

sup

)

(

]

[

;

[

]

[

inf

)

(

]

[

;

[

]

[

]

[

]

(

]

[

]

[

sup

]

[

inf

Twierdzenie o klasie funkcji ciągłych
Funkcje elementarne są ciągłe. Działania algebraiczne wykonywane na
funkcjach ciągłych dają funkcje ciągłe. Złożenia funkcji ciągłych są funkcjami
ciągłymi. Funkcje odwrotne do funkcji ciągłych (o ile istnieją) też są funkcjami
ciągłymi.

Uwaga. Jeśli x

Î Cf i f(x

) > 0, to

(

]

[

)

(

Definicja ciągłości jednostajnej
Niech X

Ì Df. Mówimy, że funkcja f jest jednostajnie ciągła na X, jeśli

)

(

)

(

Uwaga. Jeśli f jest jednostajnie ciągła na zbiorze X, to jest ciągła w każdym
punkcie tego zbioru.
Uwaga. Istnieją funkcje ciągłe w każdym punkcie zbioru X lecz nie będące
jednostajnie ciągłymi na tym zbiorze.
Uwaga. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest na tym
przedziale jednostajnie ciągła.

Własności funkcji ciągłych:

1. Zbiór

)

(

[

)

{(

funkcja ciągła}
jest spójny w R (tzn. ø lub przedział właściwy lub przedział niewłaściwy).

2. Jeśli f jest ciągła i rosnąca a [a,b] to

jest ciągła i rosnąca na[f(a), f(b)].

3. Niech f ciągła na [a,b]. Wówczas f jest różnowartościowa na [a,b] wtedy i
tylko wtedy, gdy jest malejąca albo rosnąca na [a,b].
4. Istnieje funkcja nieciągła, która ma własność Darboux

Niech

będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej

Definicja ilorazu różnicowego
Niech

oraz

. Ilorazem różnicowym funkcji

pomiędzy

punktami

nazywamy liczbę

( ) ( )

Załóżmy, że

wraz z pewnym otoczeniem (otoczeniem lewostronnym,

otoczeniem prawostronnym).

Definicja pochodnej .
Pochodną (pochodną lewostronną, prawostronną) funkcji

w punkcie

nazywamy granicę

( ) ( )

lim

(

( ) ( )

lim

( ) ( )

lim

) o ile ona

istnieje. Oznaczamy ją wtedy jako

( )

' x

(

( )

' x

(

)

' x

Definicja różniczkowalności funkcji.
Mówimy, że funkcja

jest różniczkowalna (różniczkowalna lewostronnie,

prawostronnie) w punkcie

jeśli ma w tym punkcie skończoną pochodną

(pochodną lewostronną, prawostronną).
Mówimy, że funkcja

jest różniczkowalna w przedziale otwartym, jeśli jest

różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja

jest różniczkowalna w przedziale domkniętym, jeśli jest

różniczkowalna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału, oraz
prawostronnie różniczkowalna w lewym krańcu i lewostronnie różniczkowalna
w prawym krańcu.

Definicja kąta nachylenia.
Niech

będzie dowolną prostą na płaszczyźnie

XOY

w której

oznacza oś

odciętych. Jeśli

, to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej

jest zero.

Jeśli

{ }

to przyjmujemy, że kątem nachylenia prostej

jest kąt,

którego jednym z ramion jest

[

)

, a drugim odcinek

przebiegający w górnej

półpłaszczyźnie.

Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej.
Prostą przechodzącą przez punkty,

( )

(

)

( )

(

)

nazywać będziemy

sieczną. Zauważmy, że iloraz różnicowy funkcji

pomiędzy punktami

jest tangensem kąta nachylenia siecznej. Przy ustalonym

zmierzającym

zauważamy, że sieczne wyznaczone przez te punkty przyjmują w granicy

o ile ona istnieje położenie prostej, którą nazwiemy styczną do wykresu funkcji

w punkcie

( )

(

)

. Pozwala to na spostrzeżenie, że pochodna funkcji jest

tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie

( )

(

)

Wniosek.
Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie

( )

(

)

ma postać

)

(

)

(

)

(

Definicja.
Normalną do wykresu funkcji f w punkcie

(

)

(

nazywamy prostą

prostopadłą do stycznej w tym punkcie i przechodzącą przez ten punkt.

Definicja.
Niech funkcje f i g przecinające się w punkcie o odciętej będą różniczkowalne w

. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy nie większy od prostego

kąt

, pomiędzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.

Wniosek.

( ) ( )

ï
î

ïï

)

(

)

(

)

(

)

(

gdy

arctg

Twierdzenie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym punkcie, to jest w tym punkcie
ciągła.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

Twierdzenie.
Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie

oraz

, to funkcje

są różniczkowalne w tym punkcie, oraz prawdziwe są wzory:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

÷÷

çç

Ostatni wzór jest prawdziwy przy dodatkowym założeniu, że

( )

Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe również dla pochodnych
jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują
symbole nieoznaczone.

Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej).
Jeśli funkcja

jest różniczkowalna w punkcie

, zaś funkcja

jest

różniczkowalna w punkcie

)

(

to funkcja

g o

jest różniczkowalna w punkcie

przy czym

)

(

))

(

)

(

)

(

Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Niech

( )

. Jeśli

jest ciągłą i różnowartościową funkcją

różniczkowalną w punkcie

, taką, że

)

(

, to funkcja odwrotna

jest

różniczkowalna w punkcie

)

(

( )

)

(

)

(

Uwaga. Twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej i pochodnej funkcji
odwrotnej są prawdziwe również dla pochodnych jednostronnych i dla
pochodnych niewłaściwych, o ile nie występują symbole nieoznaczone.

Wzory na pochodne funkcji elementarnych

const

¢ cos

)

(sin

sin

)

(cos

tgx

)

(

cos

)

(

ctgx

sin

)

(

)

(ln

(log

)

(

¢)

(

)

(

)

(

)

;

(

)

(arcsin

)

;

(

)

(arccos

arctgx

)

(

arcctgx

)

(

Definicja różniczki .
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie

. Różniczką funkcji f w

punkcie

nazywamy funkcję liniową, która dowolnej liczbie rzeczywistej

przypisuje liczbę

)

(

. Różniczkę funkcji f w punkcie

będziemy

oznaczać jako

( )

Uwaga. Zauważmy, że różniczka funkcji identycznościowej obliczana w
dowolnym punkcie przypisuje dowolnej liczbie rzeczywistej

nią samą. Stąd

wniosek, że

( )( )

. Ponieważ różniczka funkcji f w dowolnym punkcie

( )

, więc możemy zapisać, że

( )

. W powyższym wzorze

( )

jest funkcją,

jest funkcją, a

)

(

jest liczbą. Wzór ten można

zapisać w postaci

( )

. Jest on oczywiście prawdziwy dla dowolnego

argumentu

i stwierdza, że iloraz dwóch różniczek jest funkcją stałą.

Argument

z przyczyn praktycznych w powyższym wzorze nie występuje.

Definicja pochodnej rzędu n (indukcja).
Załóżmy, że

wraz z pewnym otoczeniem, oraz że zdefiniowaliśmy już

pochodną

( )

funkcji

rzędu

w każdym punkcie wspomnianego otoczenia.

Jeśli

( )

jest funkcją różniczkowalną w punkcie

to jej pochodną w tym

punkcie nazywać będziemy pochodną rzędu

(

)

funkcji

w punkcie

Pochodną rzędu

funkcji

w punkcie

oznaczać będziemy jako

( )

Przyjmujemy ponadto, że

( )

Twierdzenie
Jeżeli f i g mają pochodne rzędu

w punkcie

, to funkcja

(

)

ma pochodną

rzędu n w punkcie

i wyraża się ona wzorem

(

)

÷÷

çç

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(wzór Leibniza).

Załóżmy, że

Î ,

Twierdzenie (ROLLE’A)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale

]

[ b

, różniczkowalna w przedziale

( )

, oraz

( )

)

, to istnieje przynajmniej jeden punkt

( )

taki, że

)

(

Twierdzenie (CAUCHE’EGO )
Jeżeli funkcje

są ciągłe w przedziale

]

[ b

, różniczkowalne w przedziale

( )

to istnieje przynajmniej jeden punkt

( )

taki,

że

( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( )

(

)

(

Twierdzenie (LAGRANGEA).
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale

]

[ b

i różniczkowalna w przedziale

( )

, to istnieje punkt

( )

taki, że

( )

( ) ( )

Powyższe trzy twierdzenia zwane są twierdzeniami o wartości średniej.

Twierdzenie.
Niech funkcja

będzie różniczkowalna w przedziale

1) Jeśli

)

(

to funkcja f jest stała w przedziale I.

2) Jeśli

)

(

to funkcja f jest rosnąca w przedziale I.

3) Jeśli

)

(

to funkcja f jest niemalejąca w przedziale I.

4) Jeśli

)

(

to funkcja f jest malejąca w przedziale I.

5) Jeśli

)

(

to funkcja f jest nierosnąca w przedziale I.

Twierdzenie.
Jeżeli funkcja

jest różniczkowalna w przedziale I oraz jest niemalejąca

w tym przedziale, to

)

(

Twierdzenie.
Jeżeli funkcja

jest różniczkowalna w przedziale I, to jest ona rosnąca

w tym przedziale, wtedy i tylko wtedy, gdy

)

(

oraz zbiór

}

)

(

;

{

nie zawiera przedziału.

Twierdzenie.
Niech

będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale I oraz

niech

. Jeżeli

)

(

)

(

oraz

)

(

, to

)

(

)

(

Twierdzenie. (REGUŁA DE L’HOSPITALA)
Niech

będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym sąsiedztwie

punktu

oraz

)

(

. Jeżeli

)

(

lim

)

(

lim

, oraz istnieje granica

)

(

)

(

lim

(właściwa lub nie), to istnieje również granica

)

(

)

(

lim

przy czym

)

(

)

(

lim

)

(

)

(

lim

Uwaga: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Twierdzenie (WZÓR TAYLORA)
Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu

w przedziale

]

[ b

oraz pochodną

rzędu

(

)

w przedziale

( )

, to istnieje punkt

)

( b

taki, że

(

)

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Ostatni składnik sumy występującej w powyższym wzorze oznaczać będziemy

jako

i nazywać resztą w postaci Lagrange’a. Tak więc

(

)

( )

(

) (

)

Wniosek. Dla

otrzymujemy twierdzenie Lagrange’a.

Uwaga Wzory twierdzeń o wartości średniej i wzór Taylora są prawdziwe
również w przypadku, gdy

Wniosek. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy

= ,

, to otrzymujemy wzór

Maclaurina

(

)

( )

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

Załóżmy teraz, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu

Definicja.
Funkcja

f osiąga w punkcie

maksimum (minimum) lokalne, jeżeli

( )

(

( )

Definicja.
Funkcja f osiąga w punkcie

maksimum (minimum) lokalne właściwe, jeżeli

( )

(

( )

Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami tej funkcji.

Twierdzenie Fermata. (warunek konieczny istnienia ekstremum).
Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie

oraz jest różniczkowalna w

tym punkcie, to

)

(

Twierdzenie. ( I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego .
Załóżmy, że

( )

. Przyjmijmy, że

jest ciągła na

{ }

i różniczkowalna na

. Jeśli

( )

(

)

w punkcie

minimum właściwe. Jeśli

( )

(

)

ma w

punkcie

maksimum właściwe.

Twierdzenie. (II warunek wystarczający).
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu

w pewnym otoczeniu punktu

, ciągłą w

punkcie

, oraz

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

, to w przypadku

gdy n jest liczbą parzystą, funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie

. Jest to

maksimum właściwe, gdy

)

(

)

(

, zaś minimum właściwe, gdy

)

(

)

(

Jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie

Definicja ekstremum absolutnego.
Niech

i niech f będzie funkcją rzeczywistą taka, że

. Mówimy,

że

osiąga w punkcie

maksimum (minimum) absolutne na zbiorze A,

jeżeli

)

(

)

(

)

(

)

(

Twierdzenie
Niech

będzie ciągła w przedziale

[ ]

i różniczkowalna w

( )

. Funkcja

osiąga w tym przedziale swoje ekstrema absolutne w punktach zbioru

{ }

( ) ( )

{

}

Definicja.
Załóżmy, że

jest funkcją różniczkowalną w punkcie

. Funkcję

nazywamy

ściśle wypukłą (wklęsłą) w punkcie

jeśli

( )

( )(

)

(

( )

( )(

)

). Funkcję

nazywamy ściśle wypukłą

(wklęsłą) na przedziale

( )

, gdy jest ściśle wypukła (wklęsła) w każdym

punkcie tego przedziału.

Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości (wklęsłości))

Załóżmy, że istnieje druga pochodna funkcji

w przedziale

( )

. Jeśli

)

(

)

(

)

(

)

(

) to funkcja

jest ściśle wypukła (wklęsła) na

( )

Definicja punktu przegięcia
Mówimy, że funkcja

ciągła w punkcie

ma w punkcie

punkt przegięcia,

jeśli funkcja ta jest ściśle wypukła (wklęsła) na pewnym lewostronnym
sąsiedztwie punktu

i ścisle wklęsła (wypukła) na pewnym prawostronnym

sąsiedztwie punktu

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia )
Jeśli funkcja

ma pochodną rzędu drugiego w pewnym otoczeniu punktu

ciągłą w

jest punktem przegięcia funkcji

( )

Twierdzenie ( I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy, że

( )

. Przyjmijmy, że

ma pochodną

rzędu pierwszego na

{ }

i pochodną rzędu drugiego na

. Jeśli

( )

(

)

lub

( )

(

)

ma w punkcie

punkt przegięcia.

Twierdzenie. (II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli funkcja f ma pochodną rzędu

w pewnym otoczeniu punktu

, ciągłą w

punkcie

, oraz

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

, to w przypadku

gdy n jest liczbą nieparzystą, funkcja f ma w punkcie

punkt przegięcia.. Jeśli n

jest liczbą parzystą, to f nie ma punktu przegięcia w punkcie

CIĄGI FUNKCYJNE

Przyjmijmy, że

Definicja ciągu funkcyjnego
Ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze

nazywamy każdą funkcję

odwzorowującą zbiór

w zbiór

. Załóżmy, że

. Wówczas dla

oznaczenia ciągu funkcyjnego, którego n-tym wyrazem jest funkcja

używamy oznaczenie

{ }

Niech

{ }

oznacza ciąg funkcyjny taki, że

. Niech

Definicja zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego
Mówimy, że ciąg

{ }

jest punktowo zbieżny na zbiorze

do funkcji

jeśli

)

(

)

(

lim

Definicja zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego
Mówimy, że ciąg

{ }

jest jednostajnie zbieżny na zbiorze

do funkcji

jeśli

)

(

)

(

Fakt, że

{ }

jest punktowo zbieżny do funkcji

na zbiorze

oznaczamy

pisząc

Fakt, że

{ }

jest jednostajnie zbieżny do funkcji

na zbiorze

oznaczamy

pisząc

Twierdzenie
Jeśli

Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Twierdzenie Weierstrassa
Niech

}

{

]

[

sup

dla

. Wówczas

lim

Twierdzenie
Jeśli

jest ciągła na X, to również f jest ciągła na X.

Definicja funkcji przedziałami liniowej
Niech

i niech

]

[

. Funkcję f nazywamy przedziałami

liniową na przedziale

]

[ b

jeśli f jest ciągła na

]

[ b

oraz jeśli istnieją układy

liczb

oraz

,...,

oraz

,...,

takie, że

)

(

]

[

}

,...,

{

Twierdzenie
Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest granicą jednostajnie
zbieżnego ciągu funkcji przedziałami liniowych na tym przedziale.

Twierdzenie (o różniczkowaniu ciągu funkcyjnego)

Załóżmy, że

{ }

jest ciągiem funkcyjnym złożonym z funkcji mających

ciągłe pochodne na przedziale

[ ]

. Jeśli

[ ]

, oraz

[ ]

, to

jest

różniczkowalna na

[ ]

, przy czym

[ ]

. Definicja funkcji pierwotnej

Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeśli

)

(

)

(

Gdy I jest przedziałem domkniętym (I=[a,b]) lub jednostronnie domkniętym
(I=[a,b) lub I=(a,b]), to przez pochodną funkcji w punktach a i b należy
rozumieć pochodną jednostronną, odpowiednio F’

(a) i F’

(b).

Twierdzenie (Podstawowe własności funkcji pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Wówczas

(1) każda funkcja postaci F(x)+C, gdzie C=const, jest również funkcją

pierwotną funkcji f

(2) jeśli ponadto funkcja G jest też funkcja pierwotną funkcji f na przedziale

I, to G=F+C na przedziale I, gdzie C=const.

Uwaga:
Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcje pierwotne funkcji f na przedziale
I mają postać:
(*) F(x)+C gdzie c

ÎR i F jest pewną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale

I
oraz tylko funkcje postaci (*) są funkcjami pierwotnymi funkcji f na przedziale
I.

Definicja (całki nieoznaczonej).
Niech F będzie funkcja pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną
funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji:

{F(x)+C: C

ÎR}

i oznaczamy

)

(

Uwaga
Działania i operacje na całkach nieoznaczonych oznaczają działania i operacje
na funkcjach pierwotnych reprezentujących te całki. Jeśli F jest pewną funkcją
pierwotną funkcji f na przedziale I, to zapisujemy

)

(

)

(

, gdzie

ÎR.

Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące

Wnioski:

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy:
(1)

( )

[

]

( )

(2)

( )

)

(

Twierdzenie
Niech dany będzie punkt x

wewnątrz przedziału I i niech dana będzie dowolna

liczba y

ÎR. Jeśli funkcja f posiada funkcję pierwotną w przedziale I, to istnieje

tylko jedna funkcja pierwotna F taka, że F(x

)=y

Uwaga:
Geometrycznie twierdzenie to oznacza, że przez każdy punkt płaszczyzny o
odciętej x

ÎI przechodzi krzywa całkowa (tzn. wykres funkcji pierwotnej).

Ponieważ krzywe całkowe są do siebie równoległe, więc przez każdy punkt
płaszczyzny przechodzić może tylko jedna krzywa całkowa danej funkcji f.

Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej wynikają następujące wzory na
całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych:

(

)

( )

)

(

)

(

)

(

)

(

( )
( )
( )

(

)

( )

(

)

tgx

ctgx

xdx

cos

)

(

sin

cos

sin

( )

arcsin

arctgx

( )
( )
( )

( )

thx

cthx

shx

chxdx

chx

shxdx

Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne na przedziale I, to:

(1)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(2)

(

)

(

)

(

Twierdzenie (o całkowaniu granicy ciągu funkcyjnego)
Jeżeli funkcje f

są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz ciąg

} jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale I, to funkcja f również

posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość

)

(

lim

)

(

Korzystając z powyższego twierdzenia dowodzi się
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Każda funkcja ciągła na przedziale I posiada w tym przedziale funkcję
pierwotną

Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne, to

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli :

1) funkcja

jest ciągła na przedziale I

2) funkcja

ma ciągłą pochodną na przedziale

( )

)

(

)

(

)

(

)

(

+c , gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną

funkcji f oraz c

ÎR.

Definicja (całki oznaczonej Riemanna).

Niech f będzie funkcją ograniczoną na przedziale [a,b] i niech zbiór P

={x

,…, x

} oznacza podział odcinka [a,b] na n części, przy czym a= x

< x

<…<

=b. Niech

-x

k-1

oznacza długość k-tego odcinka podziału P

, gdzie 1

£k£n oraz

d(P

)=max{

: 1

£k£n} oznacza średnicę podziału P

, zaś x

Î[ x

k-1

, x

]

oznacza punkt pośredni k-tego odcinka podziału P

, gdzie 1

£k£n.

Sumą całkową funkcji f na przedziale [a,b] odpowiadającą podziałowi P

oraz

punktom pośrednim x

tego podziału gdzie 1

£k£n, nazywamy liczbę

(

)

def

)

(

Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem;

( )

(

lim

)

(

def

o ile istnieje granica właściwa występująca po prawej stronie znaku równości
oraz granica ta nie zależy od sposobu podziałów P

przedziału [a,b] ani od

sposobu wyboru punktów pośrednich x

, gdzie1

£k£n.. Ponadto przyjmujemy

def

oraz

)

(

)

(

)

(

dla a<b.

Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [a,b] nazywamy
funkcją całkowalną na [a,b].

Uwaga
Każda funkcja całkowalna jest ograniczona, ale nie każda funkcja ograniczona
na przedziale jest na nim całkowalna np. funkcja Dirichleta na przedziale [0,1].

Twierdzenia o funkcjach całkowalnych w sensie (R)

Twierdzenie 1
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale I=[a,b], to jest również całkowalna
na każdym podprzedziale [c,d]

ÌI.

Twierdzenie 2
Jeśli f jest całkowalna na przedziale I, zaś

j jest funkcją ciągłą, to funkcja j×f

jest całkowalna na I.

Twierdzenie 3.
Jeśli a=t

< t

<… t

n-1

< t

=b oraz f jest całkowalna na każdym przedziale [t

i+1

Î{0,…,n-1}, to f jest całkowalna na [a,b].

Twierdzenie 4 (warunek wystarczający całkowalności)

Jeśli funkcja f jest ograniczona na przedziale [a,b] i ma na tym przedziale
skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na nim całkowalna.

Uwaga *
Z powyższego twierdzenia wynika, że funkcja ciągła na przedziale jest na nim
całkowalna. Z drugiej strony funkcja całkowalna na przedziale może mieć
nieskończenie wiele punktów nieciągłości.

Twierdzenie 5
Jeśli funkcja f jest monotoniczna i ograniczona na przedziale [a,b], to jest
całkowalna na [a,b].

Twierdzenie 6 (Newtona - Leibnitza, I podstawowe twierdzenie rachunku
całkowego)

Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to

)

(

)

(

)

(

, gdzie F

oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale. Różnicę F(b)-
F(a) oznaczamy

b
a

F )

(

Twierdzenie 7 (o liniowości całki oznaczonej)
Jeżeli funkcja f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

gdzie c

ÎR

Twierdzenie 8 (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne na przedziale [a,b], to

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Twierdzenie 9 (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli:

1) funkcja

[ ] [ ]

ma ciągłą pochodną na przedziale [

a,b]

j(a)=a, j(b)=b,

3) funkcja f jest ciągła na [a,b],

wówczas

(

)

(

)

(

)

(

Twierdzenie 10 (o równości całek)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech funkcja g różni
się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziału. Wtedy
funkcja g także jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz

)

(

)

(

Twierdzenie 11 (addytywność całki względem przedziału całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz c

Î(a,b), to

)

(

)

(

)

(

Twierdzenie 12 (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu)
Jeżeli funkcja f i g spełniają warunki:

1) są całkowalne na przedziale [a,b],
2)

( )

(

]

[

)

(

)

(

Uwaga
Jeżeli nierówność w założeniu twierdzenia jest ostra, to także nierówność w
tezie jest ostra.

Twierdzenie 13 (o całce funkcji nieparzystej, parzystej i okresowej)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna oraz

1) jest nieparzysta, to

)

(

;

2) jest parzysta, to

)

(

)

(

;

3) ma okres T, to

)

(

)

(

Twierdzenie 14
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz istnieją liczby m, M

ÎR takie, że

( )

]

[

wówczas

(

)

(

)

(

Definicja (wartości średniej funkcji)

Niech f będzie całkowalną na przedziale [a,b]. Wartością średnią funkcji f na
przedziale [a,b] nazywamy liczbę

śr

)

(

Twierdzenie 15 (całkowe o wartości średniej funkcji)
Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b], to

(

)

śr

tzn

)

(

)

(

]

[

Twierdzenie 16 (nierówność Schwartza)
Jeśli f i g są całkowalne na przedziale [a,b], to

÷÷

çç

)

(

)

(

)

(

)

(

Definicja (funkcji górnej granicy całkowania)
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziale [a,b] oraz niech c

Î[a,b].

Funkcję

)

(

)

(

, gdzie x

Î[a,b], nazywamy funkcja górnej granicy

całkowania.

Twierdzenie 17 (o ciągłości funkcji górnej granicy całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] i c

Î[a,b], to funkcja

)

(

)

(

, gdzie x

Î[a,b] jest ciągła na przedziale [a,b].

Twierdzenie 18 (II główne twierdzenie rachunku całkowego)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a,b] oraz ciągła w punkcie

[a,b], to funkcja

)

(

)

(

, gdzie c

Î[a,b], ma pochodną właściwą w

punkcie x

oraz

)

(

)

(

Uwaga
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [a,b], to jej funkcja górnej granicy
całkowania F jest funkcją pierwotną funkcji f.

Twierdzenie 19 (O całkowaniu ciągu funkcyjnego)

Jeżeli ciąg {f

}

ÎN

funkcji ciągłych na przedziale [a,b] jest zbieżny jednostajnie

do funkcji f na [a,b], to

)

(

lim

)

(

Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

1) Pole figury płaskiej
Twierdzenie 1
Niech krzywa AB będzie określona równaniem y=f(x) dla x

Î[a,b], gdzie f jest

funkcją dodatnią i ciągłą w przedziale [a,b]. Wtedy pole

êPú trapezu

krzywoliniowego ograniczonego krzywa AB z góry oraz prostymi y=0, x=a,
x=b, wyraża się wzorem:

)

(

Wniosek 1
Jeżeli krzywa AB ograniczająca z góry trapez krzywoliniowy P opisany w
twierdzeniu 1 jest określona za pomocą równań parametrycznych:
(*)

[ ]

(

gdzie x=a dla t=

a, x=b dla t=b, funkcje x i y mają ciągłe pochodne i y jest

dodatnia w przedziale [

a,b], zaś krzywa AB nie ma punktów wielokrotnych,

wówczas pole trapezu krzywoliniowego P wyraża się wzorem:

)

(

)

(

Wniosek 2
Jeżeli trapez krzywoliniowy P określony jest następująco:

( )

{

}

)

(

)

(

gdzie funkcje f

i f

są ciągłe na przedziale [a,b] oraz f

(x)

£f

(x) dla każdego

Î[a,b], wtedy pole trapezu krzywoliniowego wyraża się wzorem:

[

]

)

(

)

(

Twierdzenie 2
Niech AOB będzie wycinkiem ograniczonym krzywa AB i dwoma promieniami
Oa i OB. (z których każdy może być punktem) i niech krzywa AB będzie
określona równaniem biegunowym:

( )

[ ]

= g

gdzie g jest funkcją ciągłą i dodatnią w przedziale

[ ]

. Wtedy pole

çP÷

wycinka AOB wyraża się wzorem:

[

]

)

(

Wniosek 3
Jeśli krzywa AB jest określona równaniami parametrycznymi (*) i spełnia
założenia z wniosku 1, wówczas pole wycinka AOB wyraża się wzorem:

[

]

)

(

)

(

)

(

)

(

2) Długość łuku krzywej
Twierdzenie 3
Jeżeli łuk l dany jest równaniami parametrycznymi:

[ ]

(

przy czym nie ma punktów wielokrotnych oraz funkcje x i y posiadają ciągłe
pochodne na przedziale [

a,b], to długość çl÷ łuku l wyraża się wzorem:

[

] [

]

)

(

)

(

Twierdzenie 4
Jeżeli łuk l dany jest równaniem jawnym

[ ]

(

, gdzie f jest

funkcją posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b], wówczas długość

çl÷

tego łuku wyraża się wzorem:

[

]

)

(

Twierdzenie 5
Jeżeli łuk l dany jest równaniem biegunowym

( )

[

]

= g

, gdzie g jest

funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale

[

]

, wówczas

długość

çl÷ łuku l wyraża się wzorem:

( )

[

]

3) Objętość bryły obrotowej.
Twierdzenie 6 (objętość bryły)

Niech S(x), gdzie x

Î[a.b], oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną

prostopadłą do osi OX w przestrzeni X oraz niech S będzie funkcją ciągłą na
przedziale [a,b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem;

)

(

Twierdzenie 7 (objętość bryły obrotowej)
Niech

( )

{

}

, gdzie f jest funkcją ciągłą na

przedziale [a,b], oznacza trapez krzywoliniowy. Wtedy objętość bryły V
powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego D wokół osi 0x wyraża się
wzorem:

)

(

4) Pole powierzchni obrotowej.

Twierdzenie 8
Niech krzywa AB będzie dana równaniem

( )

]

[

, gdzie f jest

funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wówczas
pole powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB dokoła osi Ox
wyraża się wzorem:

[

]

)

(

)

(

Twierdzenie 9
Niech krzywa AB będzie dana równaniami parametrycznymi:

[ ]

(

gdzie funkcje x i y posiadają ciągłe pochodne i y jest nieujemna na przedziale

[ ]

, oraz krzywa AB nie posiada punktów wielokrotnych. Wówczas pole

powierzchni S powstałej w wyniku obrotu krzywej AB wokół osi Ox wyraża się
wzorem:

[

] [

]

)

(

)

(

)

(

SZEREGI LICZBOWE

Definicja szeregu liczbowego

Niech

{ }

będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg

{ }

gdzie

. Taki szereg liczbowy oznaczamy

symbolem

. Liczbę

nazywamy n-tym wyrazem, a liczbę

- n-tą sumą

tego szeregu.

Definicja szeregu zbieżnego, rozbieżnego i sumy szeregu

Mówimy, że szereg

jest zbieżny jeśli ciąg

{ }

jest zbieżny do granicy

skończonej zwanej w tym przypadku sumą szeregu i oznaczanej symbolem
identycznym z symbolem szeregu.

Mówimy, że szereg

jest rozbieżny gdy nie jest zbieżny.

Twierdzenie o kombinacji liniowej szeregów

Jeśli szeregi

są zbieżne odpowiednio do liczb

, to dla

dowolnych liczb rzeczywistych

zbieżny jest również szereg

(

)

przy czym suma tego szeregu wynosi

Twierdzenie o zbieżności szeregu geometrycznego

Szereg

zwany szeregiem geometrycznym o podstawie

jest zbieżny

wtedy i tylko wtedy gdy

Twierdzenie o zbieżności szeregu harmonicznego

Szereg

zwany szeregiem harmonicznym rzędu

jest zbieżny wtedy i

tylko wtedy gdy

Warunek konieczny zbieżności szeregu

Jeśli szereg

jest zbieżny to

lim

Niech

oznaczają szeregi liczbowe.

Uwaga. Jeśli ciągi

{ }

różnią się skończoną ilością wyrazów, to oba

szeregi

są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

Kryterium porównawcze

Jeśli

to ze zbieżności szeregu

wynika zbieżność szeregu

i z rozbieżności szeregu

wynika rozbieżność szeregu

Kryterium ilorazowe

Jeśli

(

)

oraz

( )

lim

, to oba szeregi

są

jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Kryterium Cauchy’ego

Jeśli

lim

jest zbieżny gdy

i rozbieżny gdy

Kryterium d’Alemberta

Jeśli

oraz

lim

to szereg

jest zbieżny gdy

rozbieżny gdy

Kryterium Raabego

Jeśli

oraz

÷÷

çç

lim

to szereg

jest zbieżny gdy

rozbieżny gdy

Twierdzenie o zagęszczaniu

Jeśli

{ }

jest ciągiem nierosnącym o wyrazach nieujemnych to szeregi

są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Kryterium Dirichleta

Jeśli ciąg sum częściowych szeregu

jest ograniczony oraz

{ }

jest

ciągiem nierosnącym zbieżnym do zera to szereg

jest zbieżny.

Kryterium Abela

Jeśli szereg

jest zbieżny i ciąg

{ }

jest monotoniczny i ograniczony, to

szereg

jest zbieżny.

Kryterium Leibniza

Jeśli

{ }

jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg

)

(

zwany szeregiem naprzemiennym jest zbieżny.

Definicja zbieżności bezwzględnej

Mówimy, że szereg

jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg

Uwaga Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny.
Uwaga Istnieją szeregi zbieżne lecz nie bezwzględnie zbieżne.

Definicja szeregu zbieżnego warunkowo
Szereg zbieżny lecz nie bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem zbieżnym
warunkowo.

Twierdzenie

Jeśli szereg

jest bezwzględnie zbieżny, to dla dowolnej permutacji

{ }

liczb naturalnych szereg

jest zbieżny i ma taką samą sumę jak szereg

Twierdzenie Cauchy’ego

Jeśli szeregi

są bezwzględnie zbieżne, to szereg

å å

)

(

jest zbieżny przy czym suma tego szeregu wynosi

gdzie

oznacza sumę

szeregu

, a

sumę szeregu

Twierdzenie Riemanna

Niech

będzie szeregiem warunkowo zbieżnym. Dla dowolnego

}

{

istnieje permutacja

{ }

zbioru liczb naturalnych taka, że

jest sumą szeregu

Definicja szeregu funkcyjnego
Niech

{ }

będzie ciągiem funkcyjnym takim, że

. Szeregiem

funkcyjnym nazywamy ciąg funkcyjny

{ }

gdzie

)

(

)

(

)

(

)

(

. Taki szereg funkcyjny oznaczamy

symbolem

. Funkcję

nazywamy n-tym wyrazem a funkcję

nazywamy n-tą sumą tego szeregu.

Definicja zbieżności punktowej i jednostajnej szeregu funkcyjnego

Szereg funkcyjny

jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na zbiorze X gdy

ciąg funkcyjny

{ }

jest punktowo (jednostajnie) zbieżny na tym zbiorze.

Funkcję będącą granicą ciągu funkcyjnego

{ }

o ile ona istnieje nazywamy

sumą szeregu

i oznaczamy tak jak sam szereg.

Wniosek. Szereg funkcyjny

jest punktowo zbieżny na zbiorze X wtedy i

tylko wtedy gdy

)

(

jest zbieżny.

Wniosek. Jeśli szereg funkcyjny

)

(

jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X,

to jest punktowo zbieżny na tym zbiorze.

Twierdzenie Weierstrassa
Niech

będzie szeregiem funkcyjnym funkcji określonych na zbiorze X, a

szeregiem liczbowym zbieżnym takim, że

)

(

Wówczas szereg

jest jednostajnie zbieżny oraz

)

(

jest

bezwzględnie zbieżny.

Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)
Jeżeli funkcje f

są ciągłe i posiadają funkcje pierwotne w przedziale I oraz

szereg funkcyjny

)

(

jest jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale

I, to funkcja f również posiada funkcję pierwotną i zachodzi równość:

åò

)

(

)

(

Definicja szeregu potęgowego
Niech

i niech

dla

}

{

Î N

. Załóżmy, że

jest funkcją taką, że

)

(

jest funkcją taką, że

)

(

)

(

dla

Szereg funkcyjny

nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie

i współczynnikach

. Oznaczamy go symbolicznie jako

)

(

Definicja promienia zbieżności szeregu potęgowego

Liczbę

sup

nazywamy promieniem zbieżności szeregu

potęgowego

)

(

Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego nie zależy od jego środka

jedynie od współczynników

dla

Uwaga. Promień zbieżności szeregu potęgowego jest zawsze liczbą nieujemną.

Niech R oznacza promień zbieżności szeregu potęgowego

)

(

Twierdzenie Cauchy'ego – Hadamarda

a) Jeśli

lim

, to

ïï

gdy

)

;

(

gdy

b) Jeśli

lim

, to

ïï

gdy

)

;

(

gdy

Twierdzenie o punktach zbieżności szeregu potęgowego
Jeśli R = 0, to szereg

)

(

jest zbieżny jedynie dla

Jeśli R = ∞, to szereg

)

(

jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego

Jeśli R

)

;

(

, to szereg

)

(

jest zbieżny bezwzględnie dla dowolnego

)

;

(

oraz rozbieżny dla

)

;

(

)

;

(

-¥

Definicja przedziału zbieżności szeregu potęgowego

Przedziałem zbieżności szeregu

)

(

nazywamy zbiór

zbiezny

jest

)

(

Twierdzenie
Szereg potęgowy

)

(

jest zbieżny jednostajnie w każdym przedziale

domkniętym zawartym w przedziale zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie.

Jeśli

)

(

, to

ma pochodną dowolnego rzędu

w każdym punkcie

położonym wewnątrz przedziału zbieżności szeregu

przy czym

( )

(

) (

)

1 K

dla

, oraz

( )

dla.

Szeregi Taylora i Maclaurina

Definicja (Szeregu Taylora)

Niech funkcja f ma w punkcie x

pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy

( )

(

)

(

nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x

. Jeżeli x

=0, to

szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

Uwaga

Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji f wynika, że jego suma jest równa tej

funkcji.

Twierdzenie (O rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).

Jeżeli:

(1) funkcja f ma w otoczeniu U(x

) pochodne dowolnego rzędu,

(2) dla każdego x

ÎU(x

)

(

lim

, gdzie

( )

( )(

)

(

oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f.

Wówczas:

( )

( )(

)

(

dla każdego x

ÎU(x

Uwaga

Zamiast założenia (2) można przyjąć:

(2’) wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.

{ }

( )

)

(

)

(

Twierdzenie.
Załóżmy, że funkcja

ma pochodną dowolnego rzędu

w przedziale

[ ]

Jeśli

lim

, to

)

(

)

(

)

(

)

(

Uwaga. Założenie istnienia pochodnych dowolnego rzędu

nie wystarcza do

udowodnienia powyższego wzoru nawet wtedy, gdy wzbogacić je założeniem

zbieżności szeregu

)

(

)

(

)

(

Twierdzenie (O jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy)

Jeżeli

(

)

(

dla każdego x z pewnego otoczenia U(x

), to

( )

dla n=0,1,2,…

Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji

(

)

(

sin

(

)

(

cos

)

(

Twierdzenie (O całkowaniu szeregu funkcyjnego)

Jeżeli funkcje f

, dla n=1, 2, …, są ciągłe na przedziale [a,b] i szereg

)

(

jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na [a,b], to

åò

ò å

)

(

)

(

Z powyższego twierdzenia jako bezpośredni wniosek mamy

Twierdzenie (O całkowaniu szeregów potęgowych)

Niech 0<R

£+¥ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego

(

)

, wówczas

(

)

åò

0 0

ma ten sam promień zbieżności R oraz

(

)

(

)

(

)

0 0

åò

òå

dla każdego t

Î(x

-R, x

+R).

Całki niewłaściwe

W rozważaniach tego rozdziału będziemy zakładać, że wszystkie funkcje sa

całkowalne na dowolnym przedziale domkniętym zawartym w ich dziedzinie.

Definicja (całki niewłaściwej pierwszego rodzaju)
Niech funkcja f: [a, +

¥) ®R. Całką niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f

na półprostej [a, +

¥) definiujemy następująco:

+¥

def

)

(

lim

)

(

Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że
całka niewłaściwa z funkcji f na [a, +

¥)jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa

¥ lub -¥, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +¥ lub do -¥.

W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju z funkcji f na

¥,b], a mianowicie:

-¥

def

)

(

lim

)

(

Niech f: R

®R. Całkę niewłaściwą z funkcji f na prostej (-¥, +¥) definiujemy

następująco:

def

)

(

)

(

)

(

gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie

znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka niewłaściwa z funkcji f na (-

¥,

¥) jest zbieżna.

Uwaga:

Zbieżność całki niewłaściwej na (-

¥, +¥) nie zależy od wyboru liczby a.

Wniosek:

Całka niewłaściwa postaci

+¥

, gdzie a>0, jest zbieżna dla p>1 i rozbieżna do

¥ dla p£1.

Analogiczny fakt jest prawdziwy dla całek

, gdzie b<0, o ile funkcja

podcałkowa jest poprawnie określona.

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju

Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze)

Niech funkcje f i g spełniają warunek:

(

)

(

)

[

+¥

Wówczas:

1) jeśli całka

+¥

g )

(

jest zbieżna, to także całka

+¥

)

(

jest zbieżna;

2) jeśli całka

+¥

)

(

jest rozbieżna, to także całka

+¥

g )

(

jest rozbieżna.

Uwaga:

Twierdzenie to zachodzi także dla funkcji f i g niedodatnich. Ponadto

prawdziwe są analogiczne twierdzenie dla całek niewłaściwych na półprostej

¥,b].

Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe)

Niech funkcje f i g będą dodatnie (ujemne) na półprostej [a, +

¥) oraz niech

spełniają warunek:

+¥

)

(

)

(

lim

, gdzie 0<k<+

¥. Wówczas całki

+¥

)

(

+¥

g )

(

są jednocześnie

zbieżne albo rozbieżne.

Definicja (zbieżności bezwzględnej całek niewłaściwych I rodzaju).

Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie,

gdy zbieżna jest całka niewłaściwa z funkcji

çfç.

Twierdzenie 3

Jeżeli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna.

Ponadto

+¥

)

(

)

(

Definicja (całek niewłaściwych drugiego rodzaju)

Niech funkcja f: (a,b]

®R będzie nieograniczona tylko na prawostronnym

sąsiedztwie punktu a. Całką niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji f na (a,b]

definiujemy następująco:

def

)

(

lim

)

(

Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że

całka niewłaściwa z funkcji f na (a,b] jest zbieżna. Jeżeli granica ta jest równa

¥ lub -¥, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do +¥ lub -¥. W

pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.

Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwa drugiego rodzaju z funkcji f:{a,b) i

nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b:

def

)

(

lim

)

(

Niech funkcja f: [a,c)

È(c,b]®R będzie nieograniczona tylko na obu

jednostronnych sąsiedztwach punktu c. Całka niewłaściwą z funkcji f na [a,b]

definiujemy następująco:

)

(

)

(

)

(

Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne to mówimy, że

całka niewłaściwa z funkcji f na [a,b] jest zbieżna.

Analogicznie, jeśli f: (a,b)

®R jest nieograniczona na prawostronnym

sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie punktu b, to całkę

niewłaściwą z funkcji f na (a,b) definiujemy następująco:

)

(

)

(

)

(

gdzie d jest dowolnym punktem przedziału (a,b), przy czym zbieżność

powyższej całki niewłaściwej nie zależy od wyboru punktu d.

Uwaga 1

Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju (analogicznie jak dla całek

niewłaściwych pierwszego rodzaju) całka niewłaściwa postaci

, gdzie b>0

jest zbieżna dla p<1 i rozbieżna do +

¥ dla p³1.

Uwaga 2

Dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju z funkcji f na przedziale (a,b] ( lub

[a,b) ) prawdziwe są kryteria zbieżności porównawcze i ilorazowe analogiczne

jak dla całek pierwszego rodzaju w twierdzeniach 1 i 2.

Twierdzenie 4 (Kryterium całkowe zbieżności szeregów)

Niech funkcja f: [n

, +

¥)®[0, +¥), gdzie n

ÎN, będzie nierosnąca. Wówczas

+¥

)

(

i całka niewłaściwa

+¥

)

(

są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

Wiadomości uzupełniające.

Ciągi i szeregi ortogonalne

Niech V={f:[a,b]

®R; f-całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]}. V jest

przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych z dodawaniem funkcji i

mnożeniem funkcji przez liczbę. W przestrzeni V określamy iloczyn skalarny

następująco:

(

)

(

)

(

;

oraz określamy normę kwadratową funkcji f:

(

)

Definicja

Ciąg funkcyjny {f

}

ÎN

nazywamy ortogonalnym na [a,b], jeżeli (f

)=0 dla

¹m i

dla wszystkich n.

Definicja

Jeżeli {c

}

ÎN

jest ciągiem liczbowym, zaś {f

}

ÎN

jest ciągiem funkcyjnym

ortogonalnym w przedziale [a,b], to szereg funkcyjny

+¥

)

(

nazywamy

szeregiem ortogonalnym.

Twierdzenie (O szeregu ortogonalnym)

Jeżeli szereg ortogonalny

+¥

)

(

jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w

przedziale [a,b] i funkcja ta jest całkowalna na [a,b], to współczynniki c

wyrażają się wzorami:

(

)

Uwaga

Dla każdego ciągu ortogonalnego w przedziale [a,b] i funkcji f całkowalnej w

tym przedziale istnieje więc co najwyżej jeden taki szereg ortogonalny, który

jest jednocześnie zbieżny w tym przedziale do funkcji f. Jeżeli taki szereg

istnieje, to jest nim szereg

+¥

, gdzie

(

)

Liczby c

określone powyższymi wzorami nazywamy współczynnikami

Fouriera funkcji f względem ciągu {f

}

ÎN

Szereg trygonometryczny Fouriera

Lemat

Ciąg funkcyjny {

}

ÎN

określony następująco:

( )

,...

cos

sin

gdzie l>0, jest ciągiem funkcji okresowych o okresie 2l, ortogonalnych w

przedziale [-l,l] (ogólniej: w każdym przedziale [a, 2l+a] ), przy czym

Wniosek

Współczynniki Fouriera funkcji f(x) w przedziale [a, 2l+a] względem ciągu

ortogonalnego {

}

ÎN

wyrażają się następująco:

(

)

(

)

(

)

cos

)

(

sin

)

(

)

(

Definicja (Szeregu trygonometrycznego Fouriera)

Szereg ortogonalny funkcji f(x) względem ciągu ortogonalnego {

}

ÎN

przedziale [-l, l] zapisujemy tradycyjnie:

sin

cos

gdzie a

, a

2n-1

, b

określone są wzorami z powyższego wniosku.

Szereg ten nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) w

przedziale [-l, l] i zapisujemy

f(x)~

sin

cos

Uwaga

Wychodząc od dowolnej funkcji całkowalnej f(x) i określając współczynniki a

, b

wzorami Fouriera nie otrzymujemy na ogół w powyższym wyrażeniu

równości. Funkcja musi spełniać dość silne warunki, aby równość zachodziła.

Definicja

Mówimy, że funkcja f(x) spełnia w przedziale [a,b] warunki Dirichleta, jeżeli:

(1) f(x) jest przedziałami monotoniczna w (a,b)
(2) f(x) jest ciągła w przedziale (a,b), z wyjątkiem co najwyżej skończonej

liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (tzn. istnieją skończone
granice jednostronne w tych punktach), przy czym w każdym punkcie
nieciągłości x

spełniony jest warunek:

( )

(

)

(

)

(

, gdzie

)

(

lim

)

(

def

)

(

lim

)

(

def

(3) w końcach przedziału [a,b] zachodzą równości:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Uwaga:

Jest wiadome, że funkcja spełniająca warunki Dirichleta w przedziale [a,b] jest

całkowalna w sensie Riemanna w [a,b].

Twierdzenie (Dirichleta)

Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale [a, 2l+a] warunki Dirichleta, to jest

rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera

sin

cos

)

(

dla x

Î[a, 2l+a] o współczynnikach zadanych wzorami z wniosku powyżej. Jeśli

ponadto funkcja f(x) jest okresowa o okresie 2l, to równość powyższa zachodzi

dla każdego x z dziedziny funkcji.

Uwaga

Jeśli funkcja f(x) spełniająca w przedziale [-l, l] warunki Dirichleta jest parzysta,

to rozwija się w szereg Fouriera postaci:

cos

)

(

Jeśli natomiast f(x) jest nieparzysta w [-l, l], to jej szereg Fouriera jest równy:

sin

)

(

Document Outline

Definicja otoczenia, sąsiedztwa i punktu skupienia
Definicja granicy funkcji
- Definicja asymptoty ukośnej
Rodzaje nieciągłości – definicja
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Twierdzenie o klasie funkcji ciągłych
- Definicja ilorazu różnicowego
Uwaga
Twierdzenie
Uwaga
Twierdzenie 1
Twierdzenie 2
Uwaga *
Twierdzenie 5
Uwaga
Twierdzenie 14
Uwaga
Twierdzenie 1
Wniosek 1
Wniosek 2
Wniosek 3
Twierdzenie 3
Twierdzenie 4
Twierdzenie 5
- Twierdzenie 8
- Twierdzenie 9
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
- KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
  - Całki niewłaściwe

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
algebra 200x wyklad 43 strony
AMI 2007 wyklad 1
2012 AMI wyklad print cz1
2007 AMI wyklad print
AMI Wyklad1 rozdz9
ami wyklad1 11
2010 AMI wyklad
2012 AMI wyklad print
002 Analiza AMI Wyklad r1 id 59 Nieznany (2)
Zadania na wykład 2012 MSR 16, W lutym 200X jednostka rozpoczęła budowę nowej linii produkcyjnej
2007 AMI wyklad print4 id 55147 Nieznany (2)
AMI 18 Równania i nierówności wykładnicze

więcej podobnych podstron

AMI 200x wyklad

Document Outline