WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
I
dr Elżbieta Kotlicka
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2006
Spis treści
4
Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność,
4
Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych.
6
Zbieżność pewnych ciągów specjalnych.
8
Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny.
9
11
11
Twierdzenia o granicach funkcji.
14
15
16
17
17
18
Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych.
20
23
23
24
25
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
27
Definicja pochodnej i różniczki
funkcji, podstawowe własności.
27
Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania.
30
34
Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia.
35
37
37
Całka nieoznaczona - podstawowe wzory.
37
Całka nieoznaczona - podstawowe własności.
39
39
Całkowanie funkcji wymiernych.
41
Całkowanie funkcji z niewymiernościami.
42
Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
43
3
1. CIĄGI LICZBOWE
4
1. CIĄGI LICZBOWE
Definicja 1.1.
Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze
liczb naturalnych.
Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy
a
n
≡ f(n),
n
∈ N.
Ciąg o wyrazach a
n
zapisujemy symbolem
(a
n
) lub a
1
, a
2
, . . . ,
zaś zbiór wartości ciągu oznaczamy przez
{a
n
}
n
∈N
.
Ciągi, których wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o
wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wyrazy są
funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi.
1.1. Własności
ciągów
liczbowych o wyra-
zach rzeczywistych: monotoniczność, ogra-
niczoność, zbieżność.
Definicja 1.2.
a) Ciąg (a
n
) jest rosnący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
> a
n
.
b) Ciąg (a
n
) jest niemalejący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
a
n
.
c) Ciąg (a
n
) jest malejący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
< a
n
.
d) Ciąg (a
n
) jest nierosnący
def
⇔
V
n
∈N
a
n+1
¬ a
n
.
Twierdzenie 1.3.
Jeśli a
n
> 0 dla n
∈ N, to
ciąg (a
n
) jest rosnący
⇔
V
n
∈N
a
n+1
a
n
> 1.
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nie-
rosnącego.
Definicja 1.5.
a) Ciąg (a
n
) jest ograniczony z dołu
def
⇔
W
m
∈R
V
n
∈N
a
n
m.
b) Ciąg (a
n
) jest ograniczony z góry
def
⇔
W
M
∈R
V
n
∈N
a
n
¬ M.
c) Ciąg (a
n
) jest ograniczony
def
⇔ (a
n
) jest ograniczony z dołu i z góry.
1. CIĄGI LICZBOWE
5
Ćwiczenie 1.6. Zbadać własności ciągów o wyrazach ogólnych:
a) a
n
=
√
n;
c) a
n
=
(
−1)
n
n
−1
;
b) a
n
= (
−3)
n
;
d) a
n
=
1
n
2
+ 1
.
Definicja 1.7.
Ciąg liczbowy (a
n
) jest zbieżny do a
∈ R, gdy
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
|a
n
− a| < ε,
czyli
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
a
− ε < a
n
< a + ε.
Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a
n
) i zapisujemy
lim
n
→∞
a
n
= a lub a
n
→ a.
Przykład 1.8. Wykazać, że lim
n
→∞
1
n
= 0.
Definicja 1.9.
a) Ciąg (a
n
) jest rozbieżny do +
∞, gdy
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
a
n
> ε.
b) Ciąg (a
n
) jest rozbieżny do
−∞, gdy
V
ε>0
W
K
∈N
V
n
K
a
n
<
−ε.
Zapisujemy odpowiednio:
lim
n
→∞
a
n
= +
∞ lub lim
n
→∞
a
n
=
−∞.
Jeśli ciąg (a
n
) nie posiada granicy (właściwej lub niewłaściwej), to mówimy, że jest rozbieżny.
Przykład 1.10. Wykazać, że lim
n
→∞
n
2
= +
∞.
Twierdzenie 1.11.
Każdy ciąg posiada conajwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Definicja 1.12.
Podciągiem ciągu (a
n
) nazywamy każdy ciąg (a
k
n
), gdzie (k
n
) jest dowolnym
rosnącym ciągiem liczb naturalnych.
Np. Podciągami ciągu (a
n
) są ciągi:
a
1
, a
3
, a
5
, . . .
a
2
, a
4
, a
6
, . . .
a
3
, a
4
, a
5
, . . .
(a
2n
−1
)
∞
n=1
(a
2n
)
n
∈N
(a
n
)
n
3
Twierdzenie 1.13.
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany
ciąg.
Przykład 1.14. Wykazać, że nie istnieją granice:
a) lim
n
→∞
(
−1)
n
,
b) lim
n
→∞
cos
nπ
2
.
Ćwiczenie 1.15. Wykazać, że:
1. CIĄGI LICZBOWE
6
a) lim
n
→∞
a
n
=
±∞ ⇒ lim
n
→∞
1
a
n
= 0;
{
1
±∞
= 0
}
b) lim
n
→∞
a
n
= 0
⇒ lim
n
→∞
1
a
n
=
(
+
∞, gdy a
n
> 0 dla prawie wszystkich n
∈ N,
−∞, gdy a
n
< 0 dla prawie wszystkich n
∈ N.
{
1
0
+
= +
∞}
{
1
0
−
=
−∞}
Ćwiczenie 1.16. Wykazać, że
a) lim
n
→∞
q
n
=
nie istnieje dla q
¬ −1,
0
dla q
∈ (−1; 1),
1
dla q = 1,
+
∞
dla q > 1.
b) lim
n
→∞
n
α
=
0
dla α < 0,
1
dla α = 0,
+
∞ dla α > 0.
1.2. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i roz-
bieżnych.
Twierdzenie 1.17.
Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.18. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.17 nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 1.19 (Bolzano-Weierstrassa).
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje
podciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do
−∞
lub +
∞.
Twierdzenie 1.20.
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.21. Jeśli ciągi (a
n
), (b
n
) są zbieżne oraz
W
K
∈N
V
n
K
a
n
¬ b
n
,
to lim
n
→∞
a
n
¬ lim
n
→∞
b
n
.
Twierdzenie 1.22 (o trzech ciągach).
Załóżmy,że
(
∗)
W
K
∈N
V
n
K
a
n
¬ b
n
¬ c
n
,
a) Jeśli lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
c
n
= a, to istnieje granica ciągu (b
n
), przy czym lim
n
→∞
b
n
= a.
1. CIĄGI LICZBOWE
7
b) Jeśli lim
n
→∞
a
n
= +
∞, to lim
n
→∞
b
n
= +
∞.
c) Jeśli lim
n
→∞
c
n
=
−∞, to lim
n
→∞
b
n
=
−∞.
Twierdzenie 1.23.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a oraz c
6= 0, to
lim
n
→∞
c
· a
n
=
(
c
· a, gdy a ∈ R,
±∞, gdy a = ±∞.
W szczególności dla c > 0
{c · (+∞) = +∞}
oraz
{c · (−∞) = −∞}
Twierdzenie 1.24.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a oraz
lim
n
→∞
b
n
= b, to
Twierdzenie 1.25.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a,
lim
n
→∞
b
n
= b oraz b
n
6= 0 dla n ∈ N, to
Twierdzenie 1.26.
Jeśli lim
n
→∞
a
n
= a,
lim
n
→∞
b
n
= b oraz b
n
0 dla n ∈ N, to
1. CIĄGI LICZBOWE
8
Symbole nieoznaczone:
∞ − ∞ 0 · ∞
∞
∞
0
0
0
0
∞
0
1
∞
1.3. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych.
Liczba
e.
Twierdzenie 1.27.
a) lim
n
→∞
n
√
n = 1.
b) lim
n
→∞
n
√
a = 1.
c) Jeśli a
n
0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n
→∞
a
n
= a > 0, to lim
n
→∞
n
√
a
n
= 1.
Uwaga 1.28. Tw. 1.27 c) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +
∞.
Twierdzenie 1.29.
Ciąg a
n
= (1 +
1
n
)
n
dla n
∈ N jest ograniczony i monotoniczny.
Definicja 1.30.
Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 +
1
n
)
n
, n
∈ N.
Twierdzenie 1.31.
a)
∗
lim
n
→∞
n
X
k=0
1
k!
= e.
b) Liczba e jest liczbą niewymierną.
e = 2, 7182818284 . . .
Twierdzenie 1.32.
Jeśli a
n
6= 0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n
→∞
a
n
=
±∞, to lim
n
→∞
(1 +
1
a
n
)
a
n
= e.
Definicja 1.33.
Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i ozna-
czamy symbolem ln.
ln x
def
= log
a
x dla x > 0
1. CIĄGI LICZBOWE
9
1.4. Zbiory ograniczone na prostej. Kresy gór-
ny i dolny.
Definicja 1.34.
Niech E
⊂ R, E 6= ∅.
a) Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy
∨
M
∈R
∧
x
∈E
x
¬ M.
Lczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E.
b) Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy
∨
m
∈R
∧
x
∈E
x
m.
Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
c) Zbiór E jest ograniczony, gdy zbiór E jest ograniczony z góry i z dołu.
Definicja 1.35.
Niech E
⊂ R, E 6= ∅.
a) Liczbę M
0
∈ E taką, że
∧
x
∈E
x
¬ M
0
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
b) Liczbę m
0
∈ E taką, że
∧
x
∈E
x
m
0
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.36.
Niech E
⊂ R, E 6= ∅.
a) Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to liczbę M
∈ R taką, że
(1)
∧
x
∈E
x
¬ M,
(2)
∧
M
1
<M
∨
x
∈E
x > M
1
nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E.
(Liczba sup E jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +
∞.
b) Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, liczbę m
∈ R taką, że
(1)
∧
x
∈E
x
m,
(2)
∧
m
1
>m
∨
x
∈E
x < m
1
nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy przez inf E.
1. CIĄGI LICZBOWE
10
(Liczba inf E jest największym ograniczeniem dolnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E =
−∞.
Twierdzenie 1.37.
Każdy niepusty zbiór E
⊂ R posiada kresy górny i dolny, które należą do
zbioru R.
Twierdzenie 1.38.
a) Jeśli ciąg (a
n
) jest niemalejący, to
sup
{a
n
: n
∈ N} = lim
n
→∞
a
n
,
inf
{a
n
: n
∈ N} = a
1
.
b) Jeśli ciąg (a
n
) jest nierosnący, to
sup
{a
n
: n
∈ N} = a
1
,
inf
{a
n
: n
∈ N} = lim
n
→∞
a
n
.
2. GRANICE FUNKCJI
11
2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje.
Niech X
⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 2.1.
Niech x
0
∈ R.
• Sąsiedztwem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór
S(x
0
) = (a, x
0
)
∪ (x
0
, b),
gdzie a, b
∈ R, a < x
0
< b.
Zbiory
S
−
(x
0
) = (a, x
0
),
S
+
(x
0
) = (x
0
, b),
nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x
0
.
• Otoczeniem punktu x
0
nazywamy zbiór
U (x
0
) = S(x
0
)
∪ {x
0
}.
Zbiory
U
−
(x
0
) = S
−
(x
0
)
∪ {x
0
},
U
+
(x
0
) = S
+
(x
0
)
∪ {x
0
}.
nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym otoczeniem punktu x
0
.
• Sąsiedztwem −∞ nazywamy zbiór
S(
−∞) = (−∞, b), gdzie b ∈ R.
• Sąsiedztwem +∞ nazywamy zbiór
S(+
∞) = (a, +∞), gdzie a ∈ R.
Definicja 2.2.
• Punkt x
0
∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x
n
) taki, że
{x
n
} ⊂ X \ {x
0
} oraz
lim
n
→∞
x
n
= x
0
.
• Jeśli x
n
< x
0
dla n
∈ N (x
n
> x
0
dla n
∈ N), to x
0
nazywamy lewostronnym
(prawostronnym) punktem skupienia zbioru X.
• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X ozna-
czamy przez X
d
(X
d
−
, X
d+
).
2. GRANICE FUNKCJI
12
Definicja 2.3 (Heinego granicy funkcji w +
∞).
Niech f : X
→ R, X− zbiór nieograniczony z dołu.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +
∞, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X
[ lim
n
→∞
x
n
= +
∞ ⇒
lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x
→+∞
f (x) = g
b) Funkcja f ma w +
∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X
[ lim
n
→∞
x
n
= +
∞ ⇒
lim
n
→∞
f (x
n
) = +
∞].
Zapisujemy
lim
x
→+∞
f (x) = +
∞
Analogicznie definiujemy lim
x
→+∞
f (x) =
−∞, lim
x
→−∞
f (x) = g oraz lim
x
→−∞
f (x) =
±∞.
Definicja 2.4 (Heinego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X
→ R oraz x
0
∈ X
d
.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x
0
, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x
→x
0
f (x) = g
b) Funkcja f posiada w x
0
granicę niewłaściwą +
∞, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = +
∞].
Zapisujemy
lim
x
→x
0
f (x) = +
∞
Analogicznie definiujemy lim
x
→x
0
f (x) =
−∞.
Definicja 2.5.
Niech f : X
→ R.
a) Niech x
0
∈ X
d
−
. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f
w punkcie
x
0
, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X∩(−∞,x
0
)
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
2. GRANICE FUNKCJI
13
lim
x
→x
−
0
f (x) = g lub f (x
−
0
) = g
b) Niech x
0
∈ X
d+
. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie
x
0
, gdy
∧
(x
n
),
{x
n
}⊂X∩(x
0
,+
∞)
[ lim
n
→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n
→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x
→x
+
0
f (x) = g lub f (x
+
0
) = g
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (Cauchy’ego granicy funkcji w +
∞).
Niech f : X
→ R, X− zbiór nieograniczony z dołu.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +
∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[x > δ
⇒ |f(x) − g| < ε].
b) Funkcja f ma w +
∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[x > δ
⇒ f(x) > ε].
c) Funkcja f ma w +
∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[x > δ
⇒ f(x) < −ε].
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w +
∞.
Definicja 2.7 (Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X
→ R oraz x
0
∈ X
d
.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[0 <
|x − x
0
| < δ ⇒ |f(x) − g| < ε].
b) Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą +
∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[0 <
|x − x
0
| < δ ⇒ f(x) > ε].
c) Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą
−∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
∈X
[0 <
|x − x
0
| < δ ⇒ f(x) < −ε].
Twierdzenie 2.8.
Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są rów-
noważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy).
Jeśli x
0
∈ X
d
−
∩ X
d+
, to
lim
x
→x
0
f (x) = g
⇔
lim
x
→x
−
0
f (x) = lim
x
→x
+
0
f (x) = g.
2. GRANICE FUNKCJI
14
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji.
Twierdzenie 2.10 (o arytmetyce granic właściwych funkcji).
Jeśli f, g : X
→ R, lim
x
→x
0
f (x) = a oraz lim
x
→x
0
g(x) = b, to
a) lim
x
→x
0
(c
· f(x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;
b) lim
x
→x
0
(f (x)
± g(x) = a ± b;
c) lim
x
→x
0
(f (x)
· g(x)) = a · b;
d) lim
x
→x
0
f (x)
g(x)
=
a
b
, o ile b
6= 0;
e) lim
x
→x
0
(g(x))
f (x)
= b
a
, o ile b > 0 i a
6= 0.
Twierdzenie 2.11 (o arytmetyce granic niewłaściwych funkcji).
a +
∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a
· (+∞) = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a
∞
= 0 dla
−∞ < a < +∞
a
0
+
= +
∞ dla 0 < a ¬ +∞
b
∞
= 0 dla 0
+
¬ b < 1,
b
∞
= +
∞ dla 1 < b ¬ +∞
∞
a
= 0 dla
−∞ ¬ a < 0,
∞
a
= +
∞ dla 0 < a ¬ +∞
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej).
Niech f : X
→ Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli
(1)
lim
x
→x
0
f (x) = a,
(2)
f (x)
6= a dla każdego x ∈ S(x
0
),
(3)
lim
x
→a
g(x) = b,
to lim
x
→x
0
g(f (x)) = b.
2. GRANICE FUNKCJI
15
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach).
Jeśli funkcje f, g, h : X
→ R spełniają warunki
(1)
∧
x
∈S(x
0
)
f (x)
¬ g(x) ¬ h(x),
(2)
lim
x
→x
0
f (x) = lim
x
→x
0
h(x) = a,
to lim
x
→x
0
g(x) = a.
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach).
Niech f, g : X
→ R oraz
∧
x
∈S(x
0
)
f (x)
¬ g(x).
Jeśli lim
x
→x
0
f (x) = +
∞, to lim
x
→x
0
g(x) = +
∞.
Jeśli lim
x
→x
0
g(x) =
−∞, to lim
x
→x
0
f (x) =
−∞.
Powyższe twierdzenia o granicach funkcji zachodzą zarówno dla granic w punkcie, jak i dla
granic jednostronnych oraz granic w
±∞.
Twierdzenie 2.15.
lim
x
→0
sin x
x
= 1.
Twierdzenie 2.16.
lim
x
→0
(1 + x)
1
x
= e.
2.3. Asymptoty funkcji.
Definicja 2.17.
Niech f : X
→ R, x
0
∈ X
d
.
a) Prosta x = x
0
jest lewostronną (prawostronną) asymtotą pionową wykresu funkcji
f , jeśli
lim
x
→x
−
0
f (x) =
±∞ ( lim
x
→x
+
0
f (x) =
±∞).
b) Prosta x = x
0
jest obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest jedno-
cześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18.
Niech f : X
→ R, X− zbiór nieograniczony z dołu. Prosta y = ax + b jest
asymptotą ukośną wykresu funkcji f w
−∞, gdy
lim
x
→−∞
[f (x)
− (ax + b)] = 0.
Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną w +
∞.
Przykład 2.19. Wykazać, że prosta y = x
− 1 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f(x) =
x
2
x+1
.
Twierdzenie 2.20.
a) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w
−∞ ⇔
a = lim
x
→−∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x
→−∞
(f (x)
− ax).
b) Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +
∞ ⇔
A = lim
x
→+∞
f (x)
x
oraz
B = lim
x
→+∞
(f (x)
− Ax).
3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
16
3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Niech X
⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 3.1.
Niech f : X
→ R, x
0
∈ X.
• Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d
lub
lim
x
→x
0
f (x) = f (x
0
).
• Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d
−
lub
lim
x
→x
−
0
f (x) = f (x
0
).
• Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d+
lub
lim
x
→x
+
0
f (x) = f (x
0
).
Zbiór punktów ciągłości funkcji f (punktów lewostronnej, prawostronnej ciągłości) oznaczamy
przez C
f
(C
−
f
, C
+
f
).
Twierdzenie 3.2.
Niech f : X
→ R, x
0
∈ X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
⇔ f jest
lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x
0
.
Definicja 3.3.
Niech f : X
→ R, A ⊂ X. Funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła
w każdym punkcie tego zbioru.
Przykład 3.4. Zbadać ciągłość funkcji
a) f (x) =
sin x
x
dla x < 0,
1
dla x = 0,
2
x
dla x
∈ (0, 1),
2
x
dla x
∈ [1, 2] ∪ {3}.
b) f (x) =
(
1
dla x
∈ Q,
0
dla x /
∈ Q.
Definicja 3.5 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X
→ R, x
0
∈ X \ C
f
.
• x
0
jest punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne
lim
x
→x
−
0
f (x) oraz lim
x
→x
+
0
f (x) istnieją i są skończone.
• x
0
jest punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z
granic jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 3.6.
Jeśli funkcje f, g : X
→ R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
|f| , f + g, f · g oraz
f
g
(o ile g(x)
6= 0 dla x ∈ X).
Twierdzenie 3.7.
Jeśli funkcje f : X
→ Y, g : Y → R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ◦ f.
3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
17
Twierdzenie 3.8.
Jeśli funkcja f : X
→ R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna
f
−1
jest ciągła.
Twierdzenie 3.9.
Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach.
3.1. Własności funkcji ciągłych.
Niech a, b
∈ R, a < b.
Twierdzenie 3.10 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a; b]
→ R jest ciągła oraz f(x
0
) > 0 dla pewnego x
0
∈ [a; b], to
∨
U (x
0
)
∧
x
∈U(x
0
)
f (x) > 0.
Twierdzenie 3.11 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a; b]
→ R jest ciągła, to jest ograniczona na [a; b], przy czym istnieją punkty
c
1
, c
2
∈ [a; b] takie, że
∧
x
∈[a;b]
f (c
1
)
¬ f(x) ¬ f(c
2
).
Twierdzenie 3.12 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = inf f [[a; b]] oraz M = sup f [[a; b]].
Jeśli funkcja f : [a; b]
→ R jest ciągła, to
∧
y
∈[m;M]
∨
x
∈[a;b]
y = f (x).
Wniosek 3.13.
Przykład 3.14. Wykazać, że równanie
x
3
= 2
x
posiada rozwiązanie w przedziale [0; 2].
3.2. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 3.15.
Niech f : X
→ R oraz A ⊂ X.
Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze A, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
1
,x
2
∈A
[
|x
1
− x
2
| < δ ⇒ |f(x
1
)
− f(x
2
)
| < ε ].
Twierdzenie 3.16.
Jeśli funkcja f jest jednostajnie ciągła w A
⊂ X, to jest ciągła w tym
zbiorze.
Uwaga 3.17.
Twierdzenie 3.18.
Niech a, b
∈ R, a < b oraz [a; b] ⊂ X. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a; b]
to jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.
4. SZEREGI LICZBOWE
18
4. SZEREGI LICZBOWE
Definicja 4.1.
Niech (a
n
) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
• Liczbę S
n
, gdzie
S
n
def
= a
1
+ a
2
+
· · · + a
n
,
nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (a
n
).
• Ciąg (S
n
) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a
n
.
Definicja 4.2.
• Jeśli istnieje skończona granica
S = lim
n
→∞
S
n
,
to mówimy, że dany szereg jest zbieżny.
Liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem
∞
X
n=1
a
n
.
• Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny.
Uwaga 4.3. Symbolem
∞
X
n=1
a
n
(lub krótko
X
a
n
) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o
wyrazie a
n
, jak i jego sumę.
Przykład 4.4. Zbadać zbieżność podanych szeregów:
a)
∞
X
n=1
n,
b)
∞
X
n=1
(
−1)
n
,
c)
∞
X
n=1
1
n(n+1)
.
Definicja 4.5.
Szereg postaci
∞
X
n=1
q
n
, gdzie q
∈ R,
nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q.
Twierdzenie 4.6.
Szereg geometryczny jest zbieżny
⇔ |q| < 1.
Definicja 4.7.
Szereg postaci
∞
X
n=1
1
n
α
, gdzie α
∈ R,
nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α.
Twierdzenie 4.8.
Szereg harmoniczny jest zbieżny
⇔ α > 1.
4. SZEREGI LICZBOWE
19
Twierdzenie 4.9.
Niech n
0
∈ N. Wówczas
szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny
⇔ szereg
∞
X
n=n
0
a
n
jest zbieżny.
Twierdzenie 4.10.
Jeśli szeregi
∞
X
n=1
a
n
i
∞
X
n=1
b
n
są zbieżne, to
a) szereg
∞
X
n=1
(a
n
+ b
n
) jest zbieżny oraz
∞
X
n=1
(a
n
+ b
n
) =
∞
X
n=1
a
n
+
∞
X
n=1
b
n
,
b) szereg
∞
X
n=1
ca
n
, gdzie c
∈ R, jest zbieżny oraz
∞
X
n=1
ca
n
= c
∞
X
n=1
a
n
.
Twierdzenie 4.11 (warunek konieczny zbieżności szeregu).
Jeśli szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny, to lim
n
→∞
a
n
= 0.
Uwaga 4.12. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Wniosek 4.13.
Twierdzenie 4.14.
Szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny
⇔ spełnia warunek Cauchy’ego, tzn.
∧
ε>0
∨
K
∈N
∧
m,n
∈N
[m > n
K ⇒ |a
n+1
+ a
n+2
+
· · · + a
m
| < ε].
Twierdzenie 4.15 (o zagęszczaniu).
Załóżmy, że (a
n
) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas
szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny
⇔ szereg
∞
X
n=1
2
n
a
2
n
jest zbieżny.
Definicja 4.16.
Niech
∞
X
n=1
a
n
będzie szeregiem zbieżnym.
• Mówimy, że szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg
∞
X
n=1
|a
n
| .
• Mówimy, że szereg
∞
X
n=1
a
n
jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bez-
względnie zbieżny.
Twierdzenie 4.17.
Jeśli szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.
4. SZEREGI LICZBOWE
20
Uwaga 4.18. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 4.19.
Każdy szereg
∞
X
n=1
a
n
bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej
permutacji (k
n
) liczb naturalnych szereg
∞
X
n=1
a
k
n
jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg.
Twierdzenie 4.20 (Riemanna).
Jeśli szereg
∞
X
n=1
a
n
jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego
S
∈ R istnieje permutacja (k
n
) liczb naturalnych taka, że
S =
∞
X
n=1
a
k
n
.
4.1. Kryteria zbieżności i rozbieżności szere-
gów liczbowych.
Twierdzenie 4.21 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych).
Załóżmy, że
∧
n
∈N
0
¬ a
n
¬ b
n
.
a) Jeśli
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny.
b) Jeśli
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny, to szereg
∞
X
n=1
b
n
jest rozbieżny.
Wniosek 4.22 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli
∧
n
∈N
|a
n
| ¬ b
n
oraz szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny bezwzględnie.
Twierdzenie 4.23 (kryterium ilorazowe).
Niech a
n
, b
n
0 dla n ∈ N oraz
lim
n
→∞
a
n
b
n
= c
∈ (0, +∞).
Wówczas
szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny
⇔ szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny.
Przykład 4.24. Zbadać zbieżność szeregu
a)
∞
X
n=1
2n
2
−1
n
3
−n+2
;
b)
∞
X
n=1
sin(2n)
n
2
.
c)
∞
X
n=1
sin(
1
n
).
4. SZEREGI LICZBOWE
21
Twierdzenie 4.25 (kryterium Cauchy’ego).
Niech g = lim
n
→∞
n
q
|a
n
|. Wówczas
a) jeśli g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzględnie zbieżny,
b) jeśli 1 < g
¬ ∞, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Twierdzenie 4.26 (kryterium d’Alamberta).
Załóżmy, że a
n
6= 0 dla n ∈ N oraz g = lim
n
→∞
a
n+1
a
n
. Wówczas
a) jeśli g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzględnie zbieżny,
b) jeśli 1 < g
¬ ∞, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Uwaga 4.27.
Twierdzenie 4.28 (kryterium Raabego).
Załóżmy, że a
n
> 0 dla n
∈ N oraz g =
lim
n
→∞
n(
a
n
a
n+1
− 1). Wówczas
a) jeśli g > 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny,
b) jeśli g < 1, to szereg
∞
X
n=1
a
n
jest rozbieżny.
Przykład 4.29. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n=1
n!
(x + 1)(x + 2) . . . (x + n)
dla x > 0.
Twierdzenie 4.30 (kryterium Dirichleta).
Jeśli
(1) ciąg (a
n
) jest monotonicznie zbieżny do 0,
(2) ciąg (S
n
) sum częściowych szeregu
∞
X
n=1
b
n
jest ograniczony,
to szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
Wniosek 4.31 (kryterium Leibniza).
4. SZEREGI LICZBOWE
22
Twierdzenie 4.32 (kryterium Abela).
Jeśli
(1) ciąg (a
n
) jest monotoniczny i ograniczony,
(2) szereg
∞
X
n=1
b
n
jest zbieżny,
to szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbieżny.
Przykład 4.33. Zbadać zbieżność szeregów:
a)
∞
X
n=1
(
−1)
n
n
;
b)
∞
X
n=1
(
−1)
n
arc tg n
n
;
c)
∞
X
n=1
(
−1)
n
n
√
2 ln n
;
d)
∞
X
n=1
sin n
n
;
e)
∞
X
n=1
(
−1)
n
(
n
n
−1
)
n
2
.
Przykład 4.34. Wiedząc, że
π = 4
∞
X
n=1
(
−1)
n+1
2n
− 1
wyznaczyć π z dokładnością do ε = 0, 5 (ε = 0, 001).
5. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
23
5. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
5.1. Ciągi funkcyjne.
Niech X
⊂ R i X 6= ∅.
Definicja 5.1.
• Ciąg (f
n
) funkcji f
n
: X
→ R, n ∈ N, nazywamy ciągiem funkcyjnym.
• Zbiór {x ∈ X : ciąg liczbowy (f
n
(x)) jest zbieżny
} nazywamy obszarem zbieżności ciągu
(f
n
).
Załóżmy dalej, że f
n
: X
→ R dla n ∈ N, f : X → R oraz E ⊂ X.
Definicja 5.2.
• Mówimy, że ciąg funkcyjny (f
n
) jest punktowo zbieżny na zbiorze E do funkcji f i
piszemy
f
n
E
→ f,
gdy
∧
x
∈E
lim
n
→∞
f
n
(x) = f (x).
Funkcję f nazywamy granicą punktową ciągu (f
n
) na zbiorze E.
• Mówimy, że ciąg funkcyjny (f
n
) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze E do funkcji f i
piszemy
f
n
E
⇒ f,
gdy
∧
ε>0
∨
K
∈N
∧
n
K
∧
x
∈E
|f
n
(x)
− f(x)| < ε.
Funkcję f nazywamy granicą jednostajną ciągu (f
n
) na zbiorze E.
Twierdzenie 5.3.
Jeśli f
n
E
⇒ f, to f
n
E
→ f.
Twierdzenie 5.4.
Niech M
n
= sup
{|f
n
(x)
− f(x)| : x ∈ E} dla n ∈ N. Wówczas
f
n
E
⇒ f
⇔
lim
n
→∞
M
n
= 0.
Twierdzenie 5.5.
Jeśli funkcje f
n
, gdzie n
∈ N, są ciągłe na E oraz f
n
E
⇒ f, to f jest również
ciągła na tym zbiorze.
5. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
24
Przykład 5.6. Wyznaczyć granice oraz obszary zbieżności podanych ciągów funkcyjnych.
Określić rodzaj zbieżności na tych zbiorach.
a) f
n
(x) = x
n
;
b) f
n
(x) =
x
n
;
c) f
n
(x) = x +
1
n
;
d) f
n
(x) = (
−1)
n
x;
e) f
n
(x) =
n
√
x;
f ) f
n
(x) = (1 +
x
n
)
n
.
Twierdzenie 5.7 (aproksymacyjne Weierstrassa).
Dla każdej funkcji ciągłej f : [a, b]
→ R
istnieje ciąg wielomianów (W
n
) taki, że
W
n
[a,b]
⇒ f.
5.2. Szeregi funkcyjne.
Niech X
⊂ R i X 6= ∅. Załóżmy, że f
n
: X
→ R dla n ∈ N, f : X → R oraz E ⊂ X.
Definicja 5.8.
Niech (f
n
) będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech
∧
x
∈X
S
n
(x)
def
= f
1
(x) + f
2
(x) +
· · · + f
n
(x).
• Ciąg funkcyjny (S
n
) nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazie ogólnym f
n
i ozna-
czamy przez
∞
X
n=1
f
n
.
• Zbiór {x ∈ X : szereg liczbowy
∞
X
n=1
f
n
(x) jest zbieżny
} nazywamy obszarem zbieżności
danego szeregu funkcyjnego.
Definicja 5.9.
Mówimy, że szereg
∞
X
n=1
f
n
jest
• bezwzględnie zbieżny na E, gdy szereg
∞
X
n=1
|f
n
(x)
| jest zbieżny dla x ∈ E,
• punktowo zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (S
n
) jest punktowo zbieżny na E (tzn. gdy
szereg
∞
X
n=1
f
n
(x) jest zbieżny dla x
∈ E),
• jednostajnie zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (S
n
) jest jednostajnie zbieżny na E.
Granicę punktową ciągu (S
n
) nazywamy sumą szeregu i oznaczamy przez
∞
X
n=1
f
n
.
Przykład 5.10. Wyznaczyć sumy (w a) i c)) oraz obszary zbieżności szeregów:
a)
∞
X
n=1
x
n
;
b)
∞
X
n=1
(
−3x)
n
n!
;
c)
∞
X
n=1
(
1
x
)
n
;
d)
∞
X
n=1
(x
−1)
n
n
.
5. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
25
Twierdzenie 5.11 (kryterium Weierstrassa).
Niech f
n
: X
→ R, n ∈ N. Załóżmy, że
∧
n
∈N
∧
x
∈X
|f
n
(x)
| ¬ a
n
oraz szereg liczbowy
∞
X
n=1
a
n
jest zbieżny. Wówczas szereg funkcyjny
∞
X
n=1
f
n
jest bezwzględnie i
jednostajnie zbieżny na X.
Przykład 5.12. Zbadać zbieżność podanych szeregów na X:
a)
∞
X
n=1
sin(n
2
x)
n
2
, X = R;
b)
∞
X
n=1
(
−3x)
n
n!
, X = [
−M; M], M > 0;
c)
∞
X
n=1
ln(nx)
x
n
, X = (M ; +
∞], M > 1;
d)
∞
X
n=1
1
nx
sin
1
nx
, X = [1; +
∞).
5.3. Szeregi potęgowe.
Definicja 5.13.
Niech x
0
∈ R oraz niech (a
n
)
∞
n=0
będzie ciągiem liczbowym o wartościach
rzeczywistych. Szereg funkcyjny postaci
a
0
+
∞
X
n=1
a
n
(x
− x
0
)
n
, x
∈ R,
nazywamy szeregiem potęgowym o środku x
0
i współczynnikach a
n
, n
∈ N.
Twierdzenie 5.14 (Abela).
Jeśli szereg
∞
X
n=1
a
n
x
n
jest zbieżny w punkcie x
1
6= 0, to jest bezwzględnie zbieżny w przedziale
(
− |x
1
| ; |x
1
|).
Definicja 5.15.
Promieniem zbieżności szeregu
∞
X
n=1
a
n
x
n
nazywamy
• liczbę R > 0, gdy szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale (−R; R), zaś rozbieżny w
zbiorze (
−∞; R) ∪ (R; +∞),
• liczbę R = 0, gdy dany szereg jest zbieżny tylko dla x = 0,
• +∞, gdy szereg jest zbieżny dla wszystkich x ∈ R.
Przedział (
−R; R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego.
Twierdzenie 5.16 (Cauchy’ego-Hadamarda).
Jeśli istnieje granica lim
n
→∞
n
q
|a
n
| = g, to szereg potęgowy
∞
X
n=1
a
n
x
n
ma promień zbieżności
R =
1/g,
gdy 0 < g < +
∞,
0,
gdy g = +
∞,
+
∞, gdy g = 0.
5. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE
26
Twierdzenie 5.17 (d’Alemberta).
Jeśli a
n
6= 0 dla n ∈ N oraz istnieje granica lim
n
→∞
a
n+1
a
n
= g, to szereg potęgowy
∞
X
n=1
a
n
x
n
ma
promień zbieżności
R =
1/g,
gdy 0 < g < +
∞,
0,
gdy g = +
∞,
+
∞, gdy g = 0.
Twierdzenie 5.18.
Szereg potęgowy
∞
X
n=1
a
n
x
n
jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny w każdym
przedziale domkniętym zawartym w przedziale zbieżnosci tego szeregu.
Przykład 5.19. Wyznaczyć przedziały i obszary zbieżności podanych szeregów:
a)
∞
X
n=1
n!x
n
;
b)
∞
X
n=1
(x
− 2)
n
n
;
c)
∞
X
n=1
(
−1)
n
−1
x
2n
−1
2n
− 1
.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
27
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RZECZYWISTEJ
6.1. Definicja pochodnej i różniczki
funkcji,
podstawowe własności.
Niech a, b
∈ R i a < b.
Definicja 6.1.
Niech f : (a, b)
→ R oraz x
0
∈ (a, b).
• Funkcję ϕ : (a, b) \ {x
0
} → R daną wzorem
ϕ(x)
def
=
f (x)
− f(x
0
)
x
− x
0
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x
0
.
• Jeśli granica lim
x
→x
0
ϕ(x) istnieje i jest skończona, to nazywamy ją pochodną właściwą
funkcji f w punkcie x
0
i mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x
0
. Zapisujemy
f
0
(x
0
)
def
= lim
x
→x
0
f (x)
− f(x
0
)
x
− x
0
.
• Jeśli x
0
∈ C
f
i powyższa granica jest niewłaściwa, to nazywamy ją pochodną niewłaściwą
funkcji f w punkcie x
0
.
Analogicznie definiujemy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy je odpo-
wiednio przez f
0
(x
+
0
) oraz f
0
(x
−
0
).
Definicja 6.2.
Niech f : [a, b]
→ R.
• Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x ∈ A ⊂ (a, b), to mówimy, że f jest
różniczkowalna na zbiorze A.
• Mówimy, że f jest różniczkowalna na [a, b], gdy f jest różniczkowalna na (a, b), prawo-
stronnie różniczkowalna w punkcie a i lewostronnie różniczkowalna w b.
• Funkcję
x
7−→ f
0
(x),
określoną na zbiorze punktów, w których f jest różniczkowalna, nazywamy funkcją po-
chodną funkcji f i oznaczamy przez f
0
.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie:
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
28
Przykład 6.3. Zbadać różniczkowalność funkcji f w punkcie x
0
i wyznaczyć (o ile to możliwe)
równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x
0
, f (x
0
)), jeśli
a) f (x) =
√
x,
x
0
= 0, x
0
= 1;
b) f (x) =
|x| ,
x
0
= 0;
c) f (x) =
(
sin x, x
¬ 0,
x,
x > 0,
x
0
= 0;
d) f (x) =
(
−x
2
,
x
¬ 1,
ln(x
− 1), x > 1,
x
0
= 1.
Twierdzenie 6.4 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji).
Jeśli funkcja f : (a, b)
→ R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b), to jest ciągła w tym
punkcie.
Wniosek 6.5.
Twierdzenie 6.6 (O pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji).
Załóżmy, że funkcje
f, g : (a, b)
→ R są różniczkowalne w punkcie x
0
∈ (a, b). Wówczas funkcje f + g, f · g oraz
f
g
są różniczkowalne w tym punkcie oraz
a) (f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
),
b) (f
· g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
),
c) (
f
g
)
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)g(x
0
)
− f(x
0
)g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
, o ile g(x
0
)
6= 0.
Twierdzenie 6.7 (O pochodnej funkcji złożonej).
Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b)
→ R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b),
(2) f [(a, b)]
⊂ (c, d) oraz
(3) funkcja g : (c, d)
→ R jest różniczkowalna w punkcie f(x
0
).
Wówczas funkcja g
◦ f jest różniczkowalna w punkcie x
0
oraz
(g
◦ f)
0
(x
0
) = g
0
(f (x
0
))f
0
(x
0
).
Twierdzenie 6.8 (O pochodnej funkcji odwrotnej).
Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b)
→ R jest różnowartościowa,
(2) f jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b), przy czym f
0
(x
0
)
6= 0.
Wówczas funkcja f
−1
jest różniczkowalna w punkcie y
0
= f (x
0
) oraz
(f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
29
Twierdzenie 6.9 (Pochodne podstawowych funkcji).
Wzór
Założenia
(c)
0
= 0
c
∈ R
(x
α
)
0
= αx
α
−1
α
∈ R, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}
(a
x
)
0
= a
x
ln a
a
∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
a
∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x > 0
(sin x)
0
= cos x
x
∈ R
(cos x)
0
=
− sin x
x
∈ R
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
x
∈ R\{
π
2
+ kπ : k
∈ Z}
(ctg x)
0
=
−
1
sin
2
x
x
∈ R\{kπ : k ∈ Z}
(arc sin x)
0
=
1
√
1
− x
2
x
∈ (−1, 1)
(arc cos x)
0
=
−
1
√
1
− x
2
x
∈ (−1, 1)
(arctg x)
0
=
1
1 + x
2
x
∈ R
(arcctg x)
0
=
−
1
1 + x
2
x
∈ R
Definicja 6.10.
Załóżmy, że funkcja f : (a, b)
→ R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b).
Funkcję liniową
h
7−→ f
0
(x
0
)h
nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy przez df (x
0
).
Przykład 6.11. Korzystając z różniczki funkcji wyznaczyć przybliżone wartości:
a)
√
4.01;
b) arctg 1.05;
c) ln 1.001;
d) e
−0.001
.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
30
Definicja 6.12.
Niech f : (a, b)
→ R oraz n ∈ N.
• Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x
0
∈ (a, b) definiujemy induk-
cyjnie:
f
(n)
(x
0
)
def
= [f
(n
−1)
]
0
(x
0
),
gdzie f
(1)
(x
0
)
def
= f
0
(x
0
) oraz f
(0)
(x
0
)
def
= f (x
0
).
• Funkcję
x
7−→ f
(n)
(x),
określoną na zbiorze punktów, w których istnieje pochodna wlaściwa n-tego rzędu, nazy-
wamy funkcją pochodną n-tego rzędu funkcji f .
6.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich za-
stosowania.
Lemat 6.13 (Fermata). Jeśli funkcja f : (a, b)
→ R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b)
oraz
∧
x
∈(a,b)
f (x)
¬ f(x
0
)
(lub
∧
x
∈(a,b)
f (x)
f(x
0
)),
to f
0
(x
0
) = 0.
Twierdzenie 6.14 (Rolle’a).
Jeśli funkcja f : [a, b]
→ R jest
(1) ciągła na [a, b],
(2) różniczkowalna na (a, b) oraz
(3) f (a) = f (b),
to istnieje punkt x
0
∈ (a, b) taki, że f
0
(x
0
) = 0.
Twierdzenie 6.15 (Cauchy’ego).
Jeśli funkcje f, g : [a, b]
→ R są
(1) ciągłe na [a, b],
(2) różniczkowalne na (a, b),
to istnieje punkt x
0
∈ (a, b) taki, że
(f (b)
− f(a))g
0
(x
0
) = (g(b)
− g(a))f
0
(x
0
).
Twierdzenie 6.16 (Lagrange’a).
Jeśli funkcja f : [a, b]
→ R jest
(1) ciągła na [a, b] oraz
(2) różniczkowalna na (a, b),
to istnieje punkt x
0
∈ (a, b) taki, że
f
0
(x
0
) =
f (b)
− f(a)
b
− a
.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
31
Niech
I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie
domknięty).
Twierdzenie 6.17 (warunki wystarczające monotoniczości funkcji).
Niech f :
I → R.
Wówczas
a) jeśli f
0
(x) = 0 dla każdego x
∈ I, to f jest stała na I;
b) jeśli f
0
(x) > 0 dla każdego x
∈ I, to f jest rosnąca na I;
c) jeśli f
0
(x)
0 dla każdego x ∈ I, to f jest niemalejąca na I;
d) jeśli f
0
(x) < 0 dla każdego x
∈ I, to f jest malejąca na I;
e) jeśli f
0
(x)
¬ 0 dla każdego x ∈ I, to f jest nierosnąca na I.
Twierdzenie 6.18.
Załóżmy, że funkcja f :
I → R jest różniczkowalna na I. Jeśli
a) f jest rosnąca na
I, to f
0
(x)
0 dla każdego x ∈ I oraz f
0
nie jest równa 0 na żadnym
przedziale zawartym w
I;
b) f jest malejąca na
I, to f
0
(x)
¬ 0 dla każdego x ∈ I oraz f
0
nie jest równa 0 na żadnym
przedziale zawartym w
I.
Twierdzenie 6.19.
Niech f, g :
I → R oraz niech x
0
∈ I.
a) Jeśli
(1) f (x
0
) = g(x
0
),
(2)
∧
x
∈I
f
0
(x) = g
0
(x),
to f (x) = g(x) dla wszystkich x
∈ I.
b) Jeśli funkcje f, g są ciągłe na
I oraz
(1) f (x
0
)
¬ g(x
0
),
(2)
∧
x
∈I∩(x
0
,+
∞)
f
0
(x)
¬ g
0
(x),
to f (x)
¬ g(x) dla wszystkich x ∈ I ∩ (x
0
, +
∞).
Przykład 6.20. Wykazać, że
a)
∧
x
∈[−1,1]
arc sin x + arc cos x =
π
2
;
b)
∧
x
∈[0,+∞)
arctg x + arcctg x =
π
2
;
c)
∧
x
∈(0,+∞)
sin x < x;
d)
∧
x
∈(1,+∞)
x
−1
x+1
< ln x < x.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
32
Twierdzenie 6.21 (reguła de l’Hospitala).
Niech x
0
∈ R oraz niech S(x
0
) będzie pewnym
sąsiedztwem punktu x
0
. Załóżmy, że funkcje f, g : S(x
0
)
→ R są różniczkowalne na S(x
0
), przy
czym g
0
(x)
6= 0 dla x ∈ S(x
0
). Jeśli
lim
x
→x
0
f (x) = lim
x
→x
0
g(x) = 0
albo
lim
x
→x
0
f (x) = lim
x
→x
0
g(x) =
±∞,
oraz istnieje granica lim
x
→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
= g
∈ R, to lim
x
→x
0
f (x)
g(x)
= g.
Twierdzenie zachodzi także dla granic jednostronnych w punkcie.
Uwaga 6.22.
Regułę de l’Hospitala można stosować również do oblicznia granic funkcji w przypadku symboli
nieoznaczonych innych niż
0
0
i
∞
∞
, posługując się odpowiednio niżej podanymi przekształceniami.
Symbol przed
Przekształcenie
Symbol po
przekształceniem
przekształceniu
∞ − ∞
f
− g =
f (1
−
g
f
)
1
g
−
1
f
1
f
·g
∞(1 −
∞
∞
)
0
0
0
· ∞
f
· g =
f
1
g
g
1
f
0
0
∞
∞
0
0
,
∞
0
lub 1
∞
f
g
= e
g ln f
e
0
·(±∞)
Przykład 6.23. Obliczyć granice funkcji:
a)
lim
x
→+∞
e
x
2
x
;
b) lim
x
→0
x
arc tg x
;
c)
lim
x
→+∞
(e
x
2
− x);
d) lim
x
→0
+
(
1
sin x
−
1
x
);
e) lim
x
→0
+
x ln x;
f ) lim
x
→0
+
x
x
.
Twierdzenie 6.24 (wzór Taylora).
Niech f : [a, b]
→ R oraz n ∈ N. Załóżmy, że pochodna
f
(n
−1)
funkcji f istnieje i jest ciągła na [a, b], zaś pochodna f
(n)
istnieje wszędzie na (a, b). Niech
x
0
∈ [a, b]. Wówczas dla każdego x ∈ [a, x
0
)
∪ (x
0
, b] istnieje punkt c leżący pomiędzy x i x
0
taki,
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
33
że
f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x
− x
0
) +
· · · +
f
(n
−1)
(x
0
)
(n
− 1)!
(x
− x
0
)
n
−1
|
{z
}
P
n
−1
(x)
− wielomian Taylora
+
f
(n)
(c)
n!
(x
− x
0
)
n
.
|
{z
}
R
n
(x)
− reszta w postaci Lagrange’a
Uwaga 6.25.
1. Jeśli x
0
= 0, to powyższy wzór przyjmuje postać
f (x) = f (0) +
f
0
(0)
1!
x +
· · · +
f
(n
−1)
(0)
(n
− 1)!
x
n
−1
|
{z
}
P
n
−1
(x)
− wielomian Maclaurina
+
f
(n)
(c)
n!
x
n
i nosi nazwę wzoru Maclaurina.
2. Jeśli założymy, że
∨
M >0
∧
n
∈N
∧
x
∈(a,b)
f
(n)
(x)
¬ M,
to lim
n
→∞
R
n
(x) = 0 dla x
∈ (a, b).
3.
Wzór Maclaurina dla wybranych funkcji
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+
· · · +
x
n
−1
(n
− 1)!
+
x
n
n!
e
c
sin x =
x
1!
−
x
3
3!
+
x
5
5!
− · · · + (−1)
n
−1
x
2n
−1
(2n
− 1)!
+ (
−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
sin c
cos x = 1
−
x
2
2!
+
x
4
4!
− · · · + (−1)
n
−1
x
2n
−2
(2n
− 2)!
+ (
−1)
n
x
2n
(2n)!
cos c
ln(1 + x) = x
−
x
2
2
+
x
3
3
− · · · + (−1)
n
−1
x
n
n
+ (
−1)
n
x
n+1
(n + 1)(1 + c)
n+1
Przykład 6.26. Wykazać, że
a)
∧
x
∈(0,+∞)
e
x
> 1 + x +
x
2
2
;
b)
∧
x
∈(0,+∞)
sin x < x.
Przykład 6.27. Na jakim przedziale funkcję f (x) = e
x
można aproksymować jej wielomianem
Maclaurina stopnia drugiego z błędem nieprzekraczającym
a) ε = 0, 004;
b) ε = 0, 0001.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
34
6.3. Ekstrema lokalne i globalne.
Niech X
⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 6.28.
Mówimy, że funkcja f : X
→ R ma w punkcie x
0
∈ X
• maksimum lokalne, gdy
∨
S(x
0
)
∧
x
∈S(x
0
)
∩X
f (x)
¬ f(x
0
),
• minimum lokalne, gdy
∨
S(x
0
)
∧
x
∈S(x
0
)
∩X
f (x)
f(x
0
).
Definicja 6.29.
Mówimy, że funkcja f : X
→ R ma w punkcie x
0
∈ X
• maksimum globalne na X, gdy
∧
x
∈X
f (x)
¬ f(x
0
),
• minimum globalne na X, gdy
∧
x
∈X
f (x)
f(x
0
).
Jeśli w powyższych definicjach nierówności ”
¬” i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<” i ”>”,
to otrzymamy definicje ekstremów lokalnych i globalnych właściwych.
Twierdzenie 6.30 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego - tw. Ferma-
ta).
Jeśli funkcja f : (a, b)
→ R jest różniczkowalna w x
0
∈ (a, b) oraz ma w tym punkcie
ekstremum lokalne, to f
0
(x
0
) = 0.
Twierdzenie 6.31.
Załóżmy, że funkcja f : [a, b]
→ R jest ciągła na [a, b]. Niech A = {x ∈
(a, b) : f
0
(x) = 0
}, B = {x ∈ (a, b) : f
0
(x) nie istnieje
}. Wówczas
sup
{f(x) : x ∈ [a, b]} = max{f(x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B},
inf
{f(x) : x ∈ [a, b]} = min{f(x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B}.
Przykład 6.32. Wyznaczyć ekstrema globalne (największą i najmniejszą wartość) funkcji f
na zbiorze X, jeśli
a) f (x) = e
x
3
−3x
, X = [0, 2];
b) f (x) = x
|x − 2| , X = [−1, 3];
c) f (x) = 3 cos x
− 2 cos
3
x, X = [
−
π
2
,
π
2
];
d) f (x) = 3 cos x
− 2 cos
3
x, X = [0, π].
Twierdzenie 6.33 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b)
→ R jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U(x
0
) = S(x
0
)
∪
{x
0
⊂ (a, b). Jeśli
(1) f
0
(x
0
) = 0,
(2)
∧
x
∈S
−
(x
0
)
f
0
(x) > 0 i
∧
x
∈S
+
(x
0
)
f
0
(x) < 0
(albo
∧
x
∈S
−
(x
0
)
f
0
(x) < 0 i
∧
x
∈S
+
(x
0
)
f
0
(x) > 0),
to f ma w x
0
maksimum lokalne właściwe (albo odpowiednio, minimum lokalne właściwe).
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
35
Uwaga 6.34.
1. Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku, gdy f jest różniczowalna tylko w pewnym
sąsiedztwie S(x
0
) i ciągła w punkcie x
0
.
2. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 6.35 (II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b)
→ R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu
x
0
∈ (a, b). Jeśli
(1) f
0
(x
0
) = 0,
(2) f
00
jest ciągła w x
0
,
(3) f
00
(x
0
)
6= 0,
to f ma w x
0
ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy f
00
(x
0
) < 0,
oraz minimum lokalne, gdy f
00
(x
0
) > 0.
Przykład 6.36. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z przykładu 6.32.
6.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty
przegięcia.
Niech
I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie
domknięty).
Definicja 6.37.
Niech f :
I → R. Dla dowolnych x
1
, x
2
∈ I oznaczmy przez l
x
1
,x
2
funkcję,
której wykresem jest prosta przechodząca przez punkty (x
1
, f (x
1
)) i (x
2
, f (x
2
)).
Mówimy, że funkcja f jest
• wypukła na I, gdy
∧
x
1
,x
2
∈I, x
1
<x
2
∧
x
∈(x
1
,x
2
)
f (x)
¬ l
x
1
,x
2
(x),
• wklęsła na I, gdy
∧
x
1
,x
2
∈I, x
1
<x
2
∧
x
∈(x
1
,x
2
)
f (x)
l
x
1
,x
2
(x).
Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”
¬” i ”” zastąpić odpowiednio przez ”<” i ”>”,
to otrzymamy definicje ścisłej wypukłości i ścisłej wklęsłości funkcji f na przedziale
I.
Twierdzenie 6.38.
Niech f : (a, b)
→ R będzie funkcją różniczkowalną na (a, b). Wówczas
a) f jest wypukła na (a, b)
⇔
∧
x
0
∈(a,b)
∧
x
∈(a,b)\{x
0
}
f (x)
f
0
(x
0
)(x
− x
0
) + f (x
0
);
b) f jest wklęsła na (a, b)
⇔
∧
x
0
∈(a,b)
∧
x
∈(a,b)\{x
0
}
f (x)
¬ f
0
(x
0
)(x
− x
0
) + f (x
0
).
Analogiczne stwierdzenia zachodzą dla funkcji ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
36
Twierdzenie 6.39 (warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości funkcji).
Niech f : (a, b)
→ R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną na (a, b). Wówczas jeśli dla
każdego x
∈ (a, b)
a) f
00
(x) > 0, to f jest ściśle wypukła na (a, b);
b) f
00
(x) < 0, to f jest ściśle wklęsła na (a, b).
Definicja 6.40.
Niech f : (a, b)
→ R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x
0
∈ (a, b).
Mówimy, że x
0
jest punktem przegięcia funkcji f, gdy istnieje sąsiedztwo S(x
0
)
⊂ (a, b) takie,
że
f jest ściśle wypukła na S
−
(x
0
) i ściśle wklęsła na S
+
(x
0
)
albo
f jest ściśle wklęsła na S
−
(x
0
) i ściśle wypukła na S
+
(x
0
).
Twierdzenie 6.41 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).
Jeśli funkcja
f : (a, b)
→ R jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) oraz x
0
jest punktem przegięcia funk-
cji f, to f
00
(x
0
) = 0.
Uwaga 6.42. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 6.43 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy,
że funkcja f : (a, b)
→ R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie S(x
0
)
⊂ (a, b)
punktu x
0
. Jeśli
(1) f jest różniczkowalna w x
0
,
(2)
∧
x
∈S
−
(x
0
)
f
00
(x) > 0 i
∧
x
∈S
+
(x
0
)
f
00
(x) < 0
albo
∧
x
∈S
−
(x
0
)
f
00
(x) < 0 i
∧
x
∈S
+
(x
0
)
f
00
(x) > 0,
to x
0
jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 6.44.
Niech n
∈ N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest n-krotnie
różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x
0
∈ (a, b). Jeśli
(1)
∧
k=1,... ,n
−1
f
(k)
(x
0
) = 0,
(2) f
(n)
jest ciągła w x
0
,
(3) f
(n)
(x
0
)
6= 0,
to f ma w x
0
a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą,
b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to maksimum lokalne,
gdy f
(n)
(x
0
) < 0, oraz minimum lokalne, gdy f
(n)
(x
0
) > 0.
Przykład 6.45. Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji
f (x) =
3
5
x
5
− x
4
+ 2x
− 1, x ∈ R.
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
37
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
W całym rozdziale niech
I oznacza dowolny przedział (otwarty, domknięty lub jednostronnie
domknięty).
7.1. Funkcja pierwotna.
Niech f :
I → R.
Definicja 7.1.
Funkcję F :
I → R nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I,
gdy
∧
x
∈I
F
0
(x) = f (x).
Przykład 7.2. Wyznaczyć funkcje pierwotne funkcji
a) f (x) = sin x, x
∈ R;
b) f (x) =
|x| , x ∈ R.
Przykład 7.3. Wykazać, że funkcja f (x) = sgn x nie posiada funkcji pierwotnej na przedziale
[
−1, 1].
Twierdzenie 7.4.
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale
I, to
a) funkcja F + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji f można przedstawić w postaci F + C
0
, gdzie C
0
jest od-
powiednio dobraną stałą.
Wniosek 7.5. Dla dowolnego punktu (x
0
, y
0
), gdzie x
0
∈ I, istnieje dokładnie jedna funkcja
pierwotna, której wykres przechodzi przez ten punkt.
7.2. Całka nieoznaczona - podstawowe wzory.
Niech f :
I → R.
Definicja 7.6.
Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale
I (o ile jest niepu-
sty) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale
I i oznaczamy przez
Z
f (x)dx
lub
Z
f.
Jeśli funkcja F :
I → R jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy
Z
f (x)dx = F (x) + C, gdzie C
∈ R.
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
38
Podstawowe wzory na całki nieoznaczone
(Wzory, te wynikają bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpo-
wiednich funkcji.)
Wzór
Założenia
(1)
Z
0dx = C
x
∈ R
(2)
Z
x
α
dx =
x
α+1
α+1
+ C
α
∈ R \ {1}, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}
(3)
Z
1
x
dx = ln
|x| + C
x
6= 0
(4)
Z
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C
a
∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R
(5)
Z
sin xdx =
− cos x + C
x
∈ R
(6)
Z
cos xdx = sin x + C
x
∈ R
(7)
Z
1
sin
2
x
dx =
− ctg x + C
x
∈ (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z
(8)
Z
1
cos
2
x
dx = tg x + C
x
∈ ((2k − 1)
π
2
, (2k + 1)
π
2
), k
∈ Z
(9)
Z
1
1 + x
2
dx = arctg x + C
x
∈ R
(10)
Z
1
√
1
− x
2
dx = arc sin x + C
x
∈ (−1, 1)
(11)
Z
f
0
(x)
f (x)
dx = ln
|f(x)| + C
f (x)
6= 0
(12)
Z
f
0
(x)
q
f (x)
dx = 2
q
f (x) + C
f (x) > 0
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
39
7.3. Całka nieoznaczona - podstawowe wła-
sności.
Twierdzenie 7.7.
Niech f :
I → R.
a) Jeśli istnieje całka
Z
f, to
(
Z
f )
0
= f.
b) Jeśli istnieje całka
Z
(f
0
), to
Z
(f
0
) = f + C, C
∈ R.
Twierdzenie 7.8 (liniowość całki nieoznaczonej).
Niech f, g :
I → R. Jeśli istnieją całki
Z
f i
Z
g, to
a) istnieje całka
Z
(f + g) oraz
Z
(f + g) =
Z
f +
Z
g;
b) dla dowolnej liczby k
∈ R istnieje całka
Z
(kf ) oraz
Z
(kf ) = k(
Z
f ).
Twierdzenie 7.9 (warunek wystarczający istnienia całki nieoznczonej).
Jeśli funkcja
f :
I → R jest ciągła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I.
Uwaga 7.10.
1. O ile pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne
funkcji elementarnych nie muszą być funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istnieją
funkcje elementarne, których całki nieoznaczone nie wyrażają się przy pomocy funkcji ele-
mentarnych,
np.
Z
e
−x
2
dx,
Z
sin(x
2
)dx,
Z
cosx
x
dx.
2. Istnieją funkcje nieciągłe, które posiadają całkę nieoznaczoną.
7.4. Metody całkowania
Twierdzenie 7.11 (o całkowaniu przez części).
Załóżmy, że
(1) funkcje f, g :
I → R są różniczkowalne na przedziale I,
(2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f
0
g na przedziale
I.
Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji f g
0
na przedziale
I oraz zachodzi wzór
Z
f g
0
= f g
−
Z
f
0
g.
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
40
Przykład 7.12. Obliczyć całki:
a)
Z
xe
−x
dx;
b)
Z
x
2
e
−x
dx;
c)
Z
x
3
ln(2x)dx;
d)
Z
arc sin xdx.
Twierdzenie 7.13 (o całkowaniu przez podstawienie).
Załóżmy, że
I, J są przedziałami
oraz
(1) funkcja g :
I → J jest różniczkowalna na I,
(2) funkcja f :
J → R ma całkę nieoznaczoną na J .
Wówczas funkcja (f
◦ g)g
0
ma całkę nieoznaczoną na
I oraz zachodzi wzór
Z
(f
◦ g)g
0
= (
Z
f )
◦ g.
Przykład 7.14. Obliczyć całki:
a)
Z
1+ln
2
x
x
dx;
b)
Z
1
x
2
e
1
x
dx;
c)
Z
sin
3
x cos xdx;
d)
Z
x
√
1
−x
dx.
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
41
7.5. Całkowanie funkcji wymiernych.
(A) Każdą funkcję wymierną postaci
V (x)
Q(x)
, gdzie V i Q są wielomianami niezerowymi można
jednoznacznie przedstawić w postaci
W (x) +
P (x)
Q(x)
,
gdzie W i P są wielomianami, przy czym stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień
wielomianu Q.
(B) Każdą funkcję wymierną postaci
P (x)
Q(x)
, gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego niż
stopień wielomianu Q, można jednoznacznie przedstawić jako skończoną sumę ułamków
prostych pierwszego lub drugiego rodzaju, tzn. funkcji postaci
(I)
A
(x
− p)
n
,
(II)
Ax + B
((x
− p)
2
+ k)
n
,
gdzie n
∈ N, A, B, p ∈ R, k > 0.
(C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:
Z
A
(x
− p)
n
dx =
gdy n = 1 stosujemy wzór (11),
gdy n > 1
o
o
o
o
t = x
− p
dt = dx
o
o
o
o
= A
Z
1
t
n
dt = . . .
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:
Z
Ax + B
((x
− p)
2
+ k)
n
dx =
o
o
o
o
t = x
− p
dt = dx
o
o
o
o
=
Z
A(t + p) + B
(t
2
+ k)
n
dt =
=
Z
At
(t
2
+ k)
n
dt
|
{z
}
J
n
+ (pA + B)
Z
1
(t
2
+ k)
n
dt
|
{z
}
I
n
= . . . ,
Wzór
Założenia
(13) I
1
=
Z
1
x
2
+ k
dx =
1
√
k
arc tg
x
√
k
+ C
k > 0, x
∈ R
(14)
?
I
n
=
Z
1
(x
2
+ k)
n
dx =
1
k(2n
− 2)
(
x
(x
2
+ k)
n
−1
+ (2n
− 3)I
n
−1
) n = 2, 3, . . . , k > 0, x
∈ R
Wskazówki:
J
n
=
gdy n = 1 stosujemy wzór (11),
gdy n > 1
o
o
o
o
s = t
2
+ k
ds = 2tdt
o
o
o
o
= . . . ,
I
1
=
o
o
o
o
s =
x
√
k
ds =
dx
√
k
o
o
o
o
= . . .
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
42
7.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami.
Niech R : R
2
→ R będzie funkcją wymierną.
(A)
Z
R(x,
n
√
ax + b )dx =
o
o
o
o
t =
n
√
ax + b
dt = . . .
o
o
o
o
lub
o
o
o
o
x =
t
n
−b
a
dx = . . .
o
o
o
o
= . . . ,
a
6= 0
(B)
Z
R(x,
s
ax + b
cx + d
)dx =
o
o
o
o
t =
q
ax+b
cx+d
dt = . . .
o
o
o
o
lub jw. . . . ,
Niech W
n
: R
→ R będzie wielomianem n-tego stopnia, n ∈ N ∪ {0}.
(C)
Z
W
n
(x)
q
k + a(x
− p)
2
dx,
k, p
∈ R, a 6= 0
• n = 0
Z
A
q
k + a(x
− p)
2
dx =
o
o
o
o
t = x
− p
dt = dx
o
o
o
o
= . . . (stosujemy wzór (15) lub (16)),
Wzór
Założenia
(15)
Z
1
√
k
− x
2
dx = arc sin
x
√
k
+ C
k > 0, k
− x
2
> 0
(16)
Z
1
√
k + x
2
dx = ln
x +
√
k + x
2
+ C
k
6= 0, k + x
2
> 0
Wskazówki:
ad. (15)
o
o
o
o
t =
x
√
k
dt =
dx
√
k
o
o
o
o
lub
o
o
o
o
x =
√
k sin t
dx =
√
k cos tdt
o
o
o
o
ad. (16)
o
o
o
o
t = x +
√
k + x
2
dt =
x+
√
k+x
2
√
k+x
2
dx
⇒
dt
t
=
dx
√
k+x
2
o
o
o
o
• n > 0 – stosujemy tzw. metodę współczynników nieoznaczonych:
?
Z
W
n
(x)
q
k + a(x
− p)
2
dx = Q
n
−1
(x)
q
k + a(x
− p)
2
+ β
Z
1
q
k + a(x
− p)
2
dx,
gdzie Q
n
−1
oznacza wielomian stopnia n
− 1, zaś β jest pewną stałą.
7. CAŁKA NIEOZNACZONA
43
7.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
Niech R : R
2
→ R będzie funkcją wymierną.
(A) R(
−u, v) = −R(u, v)
Z
R(sin x, cos x)dx =
o
o
o
o
t = cos x
dt =
− sin xdx
o
o
o
o
= . . . ,
np.
Z
sin
n
x cos
m
xdx, gdzie n, m
∈ Z, n− liczba nieparzysta, m− liczba . . . . . . . . . . . . .
(B) R(u,
−v) = −R(u, v)
Z
R(sin x, cos x)dx =
o
o
o
o
t = sin x
dt = cos xdx
o
o
o
o
= . . . ,
np.
Z
sin
n
x cos
m
xdx, gdzie n, m
∈ Z, n− liczba . . . . . . . . . . . . . m− liczba . . . . . . . . . . . . .
(C) R(
−u, −v) = R(u, v)
Z
R(sin x, cos x)dx =
o
o
o
o
t = tg x
⇒ x = arc tg t
dx =
dt
t
2
+1
o
o
o
o
= . . . ,
(sin
2
x =
t
2
1 + t
2
, cos
2
x =
1
1 + t
2
, sin x cos x =
t
1 + t
2
),
np.
Z
sin
n
x cos
m
xdx, gdzie n, m
∈ Z, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(D) R – dowolna funkcja
Z
R(sin x, cos x)dx =
o
o
o
o
t = tg
x
2
⇒ x = 2 arc tg t
dx =
2dt
t
2
+1
o
o
o
o
= . . . ,
(sin x =
2t
1 + t
2
, cos x =
1
− t
2
1 + t
2
).
Wzór
Założenia
(17)
?
Z
sin
n
xdx =
−
1
n
cos x sin
n
−1
x +
n
−1
n
Z
sin
n
−2
xdx
n = 2, 3, . . . , x
∈ R
(18)
?
Z
cos
n
xdx =
1
n
sin x cos
n
−1
x +
n
−1
n
Z
cos
n
−2
xdx
n = 2, 3, . . . , x
∈ R
Wskazówka: wykorzystać wzór na całkowanie przez części.
Document Outline
- 1. CIAGI LICZBOWE
- 2. GRANICE FUNKCJI
- 3. CIAGLOSC FUNKCJI
- 4. SZEREGI LICZBOWE
- 5. CIAGI I SZEREGI FUNKCYJNE
- 6. RACHUNEK RÓZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
- 7. CALKA NIEOZNACZONA
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad 11
WYKŁAD 11 SPS 2 regulatory 0
wyklad 11 toksyczno niemetali
BUD OG wykład 11 3 Geosyntetyki
Psychometria 2009, Wykład 11, Inwentarz MMPI
BUD OG wykład 11 1 Tworzywa sztuczne
Wyklad 11 2010
Wyklad 2 11
F II wyklad 11 30 04 12
chem wykład 11
Chemia fizyczna wykład 11
6 Miedzynarodowy transfer wyklad 11 04 2012 id 43355
Socjologia - wykład 11, geografia UJ, socjologia, wykłady 2010
Wykład 11.01.15 - Audiologia, Logopedia - podyplomowe, I sem - Audiologia
więcej podobnych podstron