WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I

dr inż. Elżbieta Kotlicka-Dwurznik

Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

http://cmf.p.lodz.pl

Łódź 2012

1. CIĄGI LICZBOWE

3

1. CIĄGI LICZBOWE

1.1. Definicja ciągu i ciągu liczbowego

Definicja 1.1.

• Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.

• Jeśli funkcja a jest ciągiem, to wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy przez

a

n

def

= a(n),

n ∈ N.

• Ciąg o wyrazach a

n

oznaczamy symbolem

(a

n

) lub a

1

, a

2

, . . . .

• Zbiór wartości ciągu (a

n

) oznaczamy przez {a

n

}

n∈N

.

Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o wy-

razach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wszystkie wyrazy są funkcjami
nazywamy ciągami funkcyjnymi.

1.2. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywi-

stych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność

Definicja 1.2.

• Ciąg (a

n

) jest rosnący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

> a

n

.

• Ciąg (a

n

) jest niemalejący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

­ a

n

.

• Ciąg (a

n

) jest malejący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

< a

n

.

• Ciąg (a

n

) jest nierosnący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

¬ a

n

.

Twierdzenie 1.3.

Jeśli a

n

> 0 dla n ∈ N, to

ciąg (a

n

) jest rosnący ⇔

V

n∈N

a

n+1

a

n

> 1.

Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego.

Definicja 1.5.

• Ciąg (a

n

) jest ograniczony z dołu

def

⇔

W

m∈R

V

n∈N

a

n

­ m.

• Ciąg (a

n

) jest ograniczony z góry

def

⇔

W

M ∈R

V

n∈N

a

n

¬ M.

• Ciąg (a

n

) jest ograniczony

def

⇔ (a

n

) jest ograniczony z dołu i z góry.

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

1. CIĄGI LICZBOWE

4

Definicja 1.6.

• Ciąg liczbowy (a

n

) jest zbieżny do a ∈ R, gdy prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną ilością)

wyrazy ciągu (a

n

) znajdują się dowolnie blisko a, czyli

V

ε>0

W

K∈N

V

n­K

|a

n

− a| < ε.

• Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a

n

) i zapisujemy

lim

n→∞

a

n

= a lub a

n

→ a.

Przykład 1.7. Wykazać, że zachodzą równości:

a) lim

n→∞

1

n

= 0;

b) lim

n→∞

1

n

3

= 0.

Definicja 1.8.

• Mówimy, że ciąg (a

n

) jest rozbieżny do +∞ i zapisujemy

lim

n→∞

a

n

= +∞,

gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu (a

n

) są większe od dowolnej liczby dodatniej, czyli

V

ε>0

W

K∈N

V

n­K

a

n

> ε.

• Mówimy, że ciąg (a

n

) jest rozbieżny do −∞ i zapisujemy

lim

n→∞

a

n

= −∞,

gdy

V

ε>0

W

K∈N

V

n­K

a

n

< −ε.

• Mówimy, że ciąg (a

n

) jest rozbieżny, gdy nie posiada granicy (właściwej ani niewłaściwej).

Przykład 1.9. Wykazać, że lim

n→∞

n

2

= +∞.

Twierdzenie 1.10.

Każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Ćwiczenie 1.11. Wykazać, że:

a) lim

n→∞

a

n

= ±∞ ⇒

lim

n→∞

1

a

n

= 0;

{

1

±∞

= 0}

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

1. CIĄGI LICZBOWE

5

b) lim

n→∞

a

n

= 0

⇒ lim

n→∞

1

a

n

=



+∞,

gdy a

n

> 0 dla prawie wszystkich n ∈ N,

−∞, gdy a

n

< 0 dla prawie wszystkich n ∈ N.

{

1

0

+

= +∞}

{

1

0

−

= −∞}

Ćwiczenie 1.12. Wykazać, że

a) lim

n→∞

n

α

=







0

dla

α < 0,

1

dla

α = 0,

+∞

dla

α > 0.

b) lim

n→∞

q

n

=















nie istnieje

dla

q ¬ −1,

0

dla

q ∈ (−1; 1),

1

dla

q = 1,

+∞

dla

q > 1.

1.3. Arytmetyka granic

Twierdzenie 1.13.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a oraz c 6= 0, to

lim

n→∞

c · a

n

=



c · a,

gdy a ∈ R,

±∞, gdy a = ±∞.

W szczególności dla c > 0 mamy

{c · (+∞) = +∞}

oraz

{c · (−∞) = −∞}

Twierdzenie 1.14.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b, to

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

1. CIĄGI LICZBOWE

6

Twierdzenie 1.15.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a,

lim

n→∞

b

n

= b oraz b

n

6= 0 dla n ∈ N, to

Twierdzenie 1.16.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a,

lim

n→∞

b

n

= b oraz b

n

­ 0 dla n ∈ N, to

Symbole nieoznaczone:

∞ − ∞ 0 · ∞

∞
∞

0

0

0

0

∞

0

1

∞

1.4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych

Definicja 1.17.

Podciągiem ciągu (a

n

) nazywamy każdy ciąg (a

k

n

), gdzie (k

n

) jest dowolnym rosnącym

ciągiem liczb naturalnych.

Np. Podciągami ciągu (a

n

) są ciągi:

a

1

, a

3

, a

5

, . . .

a

2

, a

4

, a

6

, . . .

a

3

, a

4

, a

5

, . . .

(a

2n−1

)

∞
n=1

(a

2n

)

n∈N

(a

n

)

n­3

Twierdzenie 1.18.

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.

Przykład 1.19. Zbadać, czy istnieją granice:

a) lim

n→∞

(−1)

n

;

b) lim

n→∞

cos

nπ

2

;

c) lim

n→∞

(−1)

n

+n

n+1

.

Twierdzenie 1.20.

Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.

Uwaga 1.21. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.20 nie jest prawdziwe.

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

1. CIĄGI LICZBOWE

7

Twierdzenie 1.22 (Bolzano-Weierstrassa).

Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg

zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do −∞ lub +∞.

Twierdzenie 1.23.

Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.

Lemat 1.24. Jeśli ciągi (a

n

), (b

n

) są zbieżne oraz

W

K∈N

V

n­K

a

n

¬ b

n

,

to lim

n→∞

a

n

¬ lim

n→∞

b

n

.

Twierdzenie 1.25 (o trzech ciągach).

Załóżmy,że

(∗)

W

K∈N

V

n­K

a

n

¬ b

n

¬ c

n

,

a) Jeśli lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a, to istnieje granica ciągu (b

n

), przy czym lim

n→∞

b

n

= a.

b) Jeśli lim

n→∞

a

n

= +∞, to lim

n→∞

b

n

= +∞.

c) Jeśli lim

n→∞

c

n

= −∞, to lim

n→∞

b

n

= −∞.

1.5. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e

Twierdzenie 1.26.

a) lim

n→∞

n

√

n = 1.

b) lim

n→∞

n

√

a = 1, gdy a > 0.

c) Jeśli a

n

­ 0 dla każdego n ∈ N oraz lim

n→∞

a

n

= a > 0, to lim

n→∞

n

√

a

n

= 1.

Uwaga 1.27. Tw. 1.26 3) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +∞ lub a = 0.

Twierdzenie 1.28.

Ciąg a

n

= (1 +

1

n

)

n

dla n ∈ N jest ograniczony i monotoniczny.

Definicja 1.29.

Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 +

1

n

)

n

, n ∈ N.

Twierdzenie 1.30.

a)

∗

lim

n→∞

n

X

k=0

1

k!

= e.

b) Liczba e jest liczbą niewymierną.

e = 2, 7182818284 . . .

Twierdzenie 1.31.

Jeśli a

n

6= 0 dla każdego n ∈ N oraz lim

n→∞

a

n

= ±∞, to lim

n→∞

(1 +

1

a

n

)

a

n

= e.

Definicja 1.32.

Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy sym-

bolem ln.

ln x

def

= log

e

x dla x > 0

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

1. CIĄGI LICZBOWE

8

1.6. Zbiory ograniczone na prostej, kres górny i dolny

Definicja 1.33.

Niech E ⊂ R, E 6= ∅.

• Liczbę M

0

∈ E taką, że

V

x∈E

x ¬ M

0

nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.

• Liczbę m

0

∈ E taką, że

V

x∈E

x ­ m

0

nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.

Definicja 1.34.

Niech E ⊂ R, E 6= ∅.

• Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy

W

M ∈R

V

x∈E

x ¬ M.

Liczbę M nazywamy wówczas ograniczeniem górnym zbioru E.

• Liczbę będącą najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem górnym

zbioru E i oznaczamy przez sup E. Inaczej: sup E = M , gdy

(1)

V

x∈E

x ¬ M,

(2)

V

M

1

<M

W

x∈E

x > M

1

.

• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +∞.

Definicja 1.35.

Niech E ⊂ R, E 6= ∅.

• Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy

W

m∈R

V

x∈E

x ­ m.

Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.

• Liczbę będącą największym ograniczeniem dolnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym

zbioru E i oznaczamy przez inf E. Inaczej: inf E = m, gdy

(1)

V

x∈E

x ­ m,

(2)

V

m

1

>m

W

x∈E

x < m

1

.

• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = −∞.

• Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy jest zbiorem ograniczonym z góry i z dołu.

Twierdzenie 1.36.

Każdy niepusty zbiór E ⊂ R posiada kresy górny i dolny.

Twierdzenie 1.37.

a) Jeśli ciąg (a

n

) jest niemalejący, to

sup{a

n

: n ∈ N} = lim

n→∞

a

n

,

inf{a

n

: n ∈ N} = a

1

.

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

1. CIĄGI LICZBOWE

9

b) Jeśli ciąg (a

n

) jest nierosnący, to

sup{a

n

: n ∈ N} = a

1

,

inf{a

n

: n ∈ N} = lim

n→∞

a

n

.

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

2. GRANICE FUNKCJI

10

2. GRANICE FUNKCJI

2.1. Podstawowe definicje

Definicja 2.1.

Niech x

0

∈ R.

• Sąsiedztwem punktu x

0

nazywamy każdy zbiór postaci

S(x

0

) = (a, x

0

) ∪ (x

0

, b),

gdzie a, b ∈ R, a < x

0

< b. Zbiory: S

−

(x

0

) = (a, x

0

) oraz S

+

(x

0

) = (x

0

, b) nazywamy odpowiednio

lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x

0

.

• Otoczeniem punktu x

0

nazywamy każdy zbiór postaci

U (x

0

) = S(x

0

) ∪ {x

0

}.

Zbiory: U

−

(x

0

) = S

−

(x

0

) ∪ {x

0

} oraz U

+

(x

0

) = S

+

(x

0

) ∪ {x

0

} nazywamy odpowiednio lewostronnym

i prawostronnym otoczeniem punktu x

0

.

Definicja 2.2.

• Sąsiedztwem −∞ nazywamy każdy przedział

S(−∞) = (−∞, b),

gdzie b ∈ R.

• Sąsiedztwem +∞ nazywamy każdy przedział

S(+∞) = (a, +∞),

gdzie a ∈ R.

Niech X ⊂ R, X 6= ∅.

Definicja 2.3.

• Mówimy, że punkt x

0

∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x

n

) taki, że

{x

n

} ⊂ X \ {x

0

} oraz

lim

n→∞

x

n

= x

0

.

• Jeśli dodatkowo wiadomo, że x

n

> x

0

dla n ∈ N (x

n

< x

0

dla n ∈ N), to x

0

nazywamy prawostronnym

(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.

• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.

Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez X

d

. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów

skupienia zbioru X oznaczamy przez X

d+

(X

d−

).

Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w +∞).

Niech f : X → R, zaś X będzie zbiorem nieogra-

niczonym z góry.

• Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X

[ lim

n→∞

x

n

= +∞

⇒

lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→+∞

f (x) = g

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

2. GRANICE FUNKCJI

11

• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X

[ lim

n→∞

x

n

= +∞

⇒

lim

n→∞

f (x

n

) = +∞].

Zapisujemy

lim

x→+∞

f (x) = +∞

• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X

[ lim

n→∞

x

n

= +∞

⇒

lim

n→∞

f (x

n

) = −∞].

Zapisujemy

lim

x→+∞

f (x) = −∞

Analogicznie definiujemy granice:

lim

x→−∞

f (x) = g,

lim

x→−∞

f (x) = +∞ oraz

lim

x→−∞

f (x) = −∞.

Definicja 2.5 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie).

Niech f : X → R oraz x

0

∈ X

d

.

• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x

0

, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X\{x

0

}

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→x

0

f (x) = g

• Funkcja f posiada w x

0

granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X\{x

0

}

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = +∞].

Zapisujemy

lim

x→x

0

f (x) = +∞

Analogicznie definiujemy granicę: lim

x→x

0

f (x) = −∞.

Definicja 2.6.

Niech f : X → R.

• Niech x

0

∈ X

d−

. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x

0

, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X∩(−∞,x

0

)

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→x

−
0

f (x) = g lub f (x

−
0

) = g

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

2. GRANICE FUNKCJI

12

• Niech x

0

∈ X

d+

. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x

0

, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X∩(x

0

,+∞)

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→x

+
0

f (x) = g lub f (x

+
0

) = g

Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.

Definicja 2.7 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w +∞).

Niech f : X → R oraz niech X będzie zbiorem

nieograniczonym z góry.

• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[x > δ

⇒

|f (x) − g| < ε].

• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[x > δ

⇒

f (x) > ε].

• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[x > δ

⇒

f (x) < −ε].

Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w −∞.

Definicja 2.8 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).

Niech f : X → R oraz niech x

0

∈ X

d

.

• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x

0

, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[0 < |x − x

0

| < δ

⇒

|f (x) − g| < ε].

• Funkcja f ma w punkcie x

0

granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[0 < |x − x

0

| < δ

⇒

f (x) > ε].

• Funkcja f ma w punkcie x

0

granicę niewłaściwą −∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[0 < |x − x

0

| < δ

⇒

f (x) < −ε].

Twierdzenie 2.9.

Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.

Twierdzenie 2.10 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie).

Jeśli x

0

∈ X

d−

∩ X

d+

, to

lim

x→x

0

f (x) = g

⇔

lim

x→x

−
0

f (x) = lim

x→x

+
0

f (x) = g.

2.2. Twierdzenia o granicach funkcji

Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.11 − 2.15) zachodzą zarówno

dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +∞ i −∞.

Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic właściwych funkcji).

Jeśli f, g : X → R, lim

x→x

0

f (x) = a oraz

lim

x→x

0

g(x) = b, to

a) lim

x→x

0

(c · f (x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;

b) lim

x→x

0

(f (x) ± g(x) = a ± b;

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

2. GRANICE FUNKCJI

13

c) lim

x→x

0

(f (x) · g(x)) = a · b;

d) lim

x→x

0

f (x)

g(x)

=

a

b

, o ile b 6= 0;

e) lim

x→x

0

(g(x))

f (x)

= b

a

, o ile b > 0 i a 6= 0.

Twierdzenie 2.12 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).

a + ∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞

a · (+∞) = +∞ dla 0 < a ¬ +∞

a · (+∞) = −∞

dla −∞ ¬ a < 0

a

∞

= 0 dla −∞ < a < +∞

a

0

+

= +∞

dla

0 < a ¬ +∞

a

0

+

= −∞

dla

−∞ ¬ a < 0

b

∞

= 0 dla 0

+

¬ b < 1,

b

∞

= +∞ dla 1 < b ¬

+∞

∞

a

= 0

dla

−∞ ¬ a < 0,

∞

a

= +∞

dla

0 < a ¬ +∞

Twierdzenie 2.13 (o granicy funkcji złożonej).

Niech f : X → Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli spełnione są

warunki:

(1)

lim

x→x

0

f (x) = a,

(2)

f (x) 6= a dla każdego x ∈ S(x

0

),

(3)

lim

t→a

g(t) = b,

to lim

x→x

0

g(f (x)) = b.

Twierdzenie 2.14 (o trzech funkcjach).

Jeśli funkcje f, g, h : X → R spełniają warunki:

(1)

V

x∈S(x

0

)

f (x) ¬ g(x) ¬ h(x),

(2)

lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

h(x) = a,

to lim

x→x

0

g(x) = a.

Twierdzenie 2.15 (o dwóch funkcjach).

Niech f, g : X → R oraz

V

x∈S(x

0

)

f (x) ¬ g(x).

a) Jeśli lim

x→x

0

f (x) = +∞, to lim

x→x

0

g(x) = +∞.

b) Jeśli lim

x→x

0

g(x) = −∞, to lim

x→x

0

f (x) = −∞.

Twierdzenie 2.16.

lim

x→0

sin x

x

= 1.

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

2. GRANICE FUNKCJI

14

Twierdzenie 2.17.

lim

x→0

(1 + x)

1
x

= e.

2.3. Asymptoty funkcji

Definicja 2.18.

Niech f : X → R oraz niech x

0

∈ X

d

.

• Prostą o równaniu x = x

0

nazywamy prawostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli

lim

x→x

+
0

f (x) = −∞ albo

lim

x→x

+
0

f (x) = +∞.

• Prostą o równaniu x = x

0

nazywamy lewostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli

lim

x→x

−
0

f (x) = −∞ albo

lim

x→x

−
0

f (x) = +∞.

• Prostą o równaniu x = x

0

nazywamy obustronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli jest

jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.

Definicja 2.19.

Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z góry oraz f : X → R.

• Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞, gdy

lim

x→+∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

• Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji f w +∞, gdy

lim

x→+∞

f (x) = b.

Definicja 2.20.

Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z dołu oraz f : X → R.

• Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞, gdy

lim

x→−∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

• Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji f w −∞, gdy

lim

x→−∞

f (x) = b.

Twierdzenie 2.21.

Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z góry oraz f : X → R. Prosta o równaniu

y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy

a = lim

x→+∞

f (x)

x

oraz

b = lim

x→+∞

(f (x) − ax).

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla asymptoty ukośnej w −∞.

2.4. Ciągłość funkcji

Definicja 2.22.

Niech f : X → R, x

0

∈ X.

• Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

, gdy

x

0

/

∈ X

d

albo (istnieje lim

x→x

0

f (x) i

lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

)).

• Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x

0

, gdy

x

0

/

∈ X

d−

albo (istnieje lim

x→x

−
0

f (x) i

lim

x→x

−
0

f (x) = f (x

0

)).

• Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x

0

, gdy

x

0

/

∈ X

d+

albo (istnieje lim

x→x

+
0

f (x) i

lim

x→x

+
0

f (x) = f (x

0

)).

Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez C

f

. Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej) cią-

głości funkcji f oznaczamy przez C

+

f

(C

−

f

).

2012, E. Kotlicka-Dwurznik

2. GRANICE FUNKCJI

15

Twierdzenie 2.23 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji).

Niech f : X → R oraz

x

0

∈ X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

⇔ f jest lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x

0

.

Definicja 2.24.

Niech f : X → R, A ⊂ X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła

w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = D

f

, to krótko mówimy, że f jest ciągła.

Definicja 2.25 (rodzaje nieciągłości).

Niech f : X → R, x

0

∈ X \ C

f

.

• x

0

nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:

lim

x→x

−
0

f (x) oraz lim

x→x

+
0

f (x), istnieją i są skończone.

• x

0

nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic

jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.

Twierdzenie 2.26.

Jeśli funkcje f, g : X → R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje

|f | , f + g, f · g oraz

f

g

(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ X).

Twierdzenie 2.27.

Jeśli funkcje f : X → Y, g : Y → R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ◦ f.

Twierdzenie 2.28.

Jeśli funkcja f : X → R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f

−1

jest

ciągła.

Twierdzenie 2.29.

Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.

2.5. Własności funkcji ciągłych

Niech a, b ∈ R, a < b.

Twierdzenie 2.30 (o lokalnym zachowaniu znaku).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła oraz f (x

0

) > 0 dla pewnego x

0

∈ [a, b], to

W

U (x

0

)

V

x∈U (x

0

)

f (x) > 0.

Twierdzenie 2.31 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c

1

, c

2

∈ [a, b]

takie, że

V

x∈[a,b]

f (c

1

) ¬ f (x) ¬ f (c

2

).

Twierdzenie 2.32 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).

Niech m = min f [[a, b]] oraz M = max f [[a, b]]. Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to

V

y∈[m,M ]

W

x∈[a,b]

y = f (x).

Ile jest tych rozwiązań?

Jak je wyznaczyć?

−→ metody numeryczne

2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe

Definicja 2.33.

Niech f : X → R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x

1

∈X

V

x

2

∈X

[ |x

1

− x

2

| < δ ⇒ |f (x

1

) − f (x

2

)| < ε ].

Twierdzenie 2.34.

Jeśli funkcja f : X → R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.

Twierdzenie 2.35.

Niech a, b ∈ R, a < b oraz f : [a, b] → R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest

jednostajnie ciągła w tym przedziale.

2012, E. Kotlicka-Dwurznik