1. CIĄGI LICZBOWE

1.1. Definicja ciągu i ciągu liczbowego

Definicja 1.1.

• Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.

• Jeśli funkcja a jest ciągiem, to wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy przez

a

n

def

= a(n),

n ∈ N.

• Ciąg o wyrazach a

n

oznaczamy symbolem

(a

n

) lub a

1

, a

2

, . . . .

• Zbiór wartości ciągu (a

n

) oznaczamy przez {a

n

}

n∈N

.

Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o

wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wszystkie wyrazy są funkc-
jami nazywamy ciągami funkcyjnymi.

1.2. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywi-

stych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność

Definicja 1.2.

• Ciąg (a

n

) jest rosnący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

> a

n

.

• Ciąg (a

n

) jest niemalejący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

­ a

n

.

• Ciąg (a

n

) jest malejący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

< a

n

.

• Ciąg (a

n

) jest nierosnący

def

⇔

V

n∈N

a

n+1

¬ a

n

.

Twierdzenie 1.3.

Jeśli a

n

> 0 dla n ∈ N, to

ciąg (a

n

) jest rosnący ⇔

V

n∈N

a

n+1

a

n

> 1.

Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego.

Definicja 1.5.

• Ciąg (a

n

) jest ograniczony z dołu

def

⇔

W

m∈R

V

n∈N

a

n

­ m.

• Ciąg (a

n

) jest ograniczony z góry

def

⇔

W

M ∈R

V

n∈N

a

n

¬ M.

• Ciąg (a

n

) jest ograniczony

def

⇔ (a

n

) jest ograniczony z dołu i z góry.

2009, E. Kotlicka

1. CIĄGI LICZBOWE

2

Definicja 1.6.

• Ciąg liczbowy (a

n

) jest zbieżny do a ∈ R, gdy prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną ilością)

wyrazy ciągu (a

n

) znajdują się dowolnie blisko a, czyli

V

ε>0

W

K∈N

V

n­K

|a

n

− a| < ε.

• Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a

n

) i zapisujemy

lim

n→∞

a

n

= a lub a

n

→ a.

Przykład 1.7. Wykazać, że zachodzą równości:

a) lim

n→∞

1

n

= 0;

b) lim

n→∞

1

n

3

= 0.

Definicja 1.8.

• Mówimy, że ciąg (a

n

) jest rozbieżny do +∞ i zapisujemy

lim

n→∞

a

n

= +∞,

gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu (a

n

) są większe od dowolnej liczby dodatniej, czyli

V

ε>0

W

K∈N

V

n­K

a

n

> ε.

• Mówimy, że ciąg (a

n

) jest rozbieżny do −∞ i zapisujemy

lim

n→∞

a

n

= −∞,

gdy

V

ε>0

W

K∈N

V

n­K

a

n

< −ε.

• Mówimy, że ciąg (a

n

) jest rozbieżny, gdy nie posiada granicy (właściwej ani niewłaściwej).

Przykład 1.9. Wykazać, że lim

n→∞

n

2

= +∞.

Twierdzenie 1.10.

Każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).

Ćwiczenie 1.11. Wykazać, że:

a) lim

n→∞

a

n

= ±∞ ⇒

lim

n→∞

1

a

n

= 0;

{

1

±∞

= 0}

2009, E. Kotlicka

1. CIĄGI LICZBOWE

3

b) lim

n→∞

a

n

= 0

⇒ lim

n→∞

1

a

n

=

+∞,

gdy a

n

> 0 dla prawie wszystkich n ∈ N,

−∞, gdy a

n

< 0 dla prawie wszystkich n ∈ N.

{

1

0

+

= +∞}

{

1

0

−

= −∞}

Ćwiczenie 1.12. Wykazać, że

a) lim

n→∞

n

α

=







0

dla

α < 0,

1

dla

α = 0,

+∞

dla

α > 0.

b) lim

n→∞

q

n

=















nie istnieje

dla

q ¬ −1,

0

dla

q ∈ (−1; 1),

1

dla

q = 1,

+∞

dla

q > 1.

1.3. Arytmetyka granic

Twierdzenie 1.13.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a oraz c 6= 0, to

lim

n→∞

c · a

n

=

c · a,

gdy a ∈ R,

±∞, gdy a = ±∞.

W szczególności dla c > 0 mamy

{c · (+∞) = +∞}

oraz

{c · (−∞) = −∞}

Twierdzenie 1.14.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a oraz

lim

n→∞

b

n

= b, to

2009, E. Kotlicka

1. CIĄGI LICZBOWE

4

Twierdzenie 1.15.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a,

lim

n→∞

b

n

= b oraz b

n

6= 0 dla n ∈ N, to

Twierdzenie 1.16.

Jeśli lim

n→∞

a

n

= a,

lim

n→∞

b

n

= b oraz b

n

­ 0 dla n ∈ N, to

Symbole nieoznaczone:

∞ − ∞ 0 · ∞

∞
∞

0

0

0

0

∞

0

1

∞

1.4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych

Definicja 1.17.

Podciągiem ciągu (a

n

) nazywamy każdy ciąg (a

k

n

), gdzie (k

n

) jest dowolnym rosnącym

ciągiem liczb naturalnych.

Np. Podciągami ciągu (a

n

) są ciągi:

a

1

, a

3

, a

5

, . . .

a

2

, a

4

, a

6

, . . .

a

3

, a

4

, a

5

, . . .

(a

2n−1

)

∞
n=1

(a

2n

)

n∈N

(a

n

)

n­3

Twierdzenie 1.18.

Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.

Przykład 1.19. Zbadać, czy istnieją granice:

a) lim

n→∞

(−1)

n

;

b) lim

n→∞

cos

nπ

2

;

c) lim

n→∞

(−1)

n

+n

n+1

.

Twierdzenie 1.20.

Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.

Uwaga 1.21. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.20 nie jest prawdziwe.

2009, E. Kotlicka

1. CIĄGI LICZBOWE

5

Twierdzenie 1.22 (Bolzano-Weierstrassa).

Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg

zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do −∞ lub +∞.

Twierdzenie 1.23.

Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.

Lemat 1.24. Jeśli ciągi (a

n

), (b

n

) są zbieżne oraz

W

K∈N

V

n­K

a

n

¬ b

n

,

to lim

n→∞

a

n

¬ lim

n→∞

b

n

.

Twierdzenie 1.25 (o trzech ciągach).

Załóżmy,że

(∗)

W

K∈N

V

n­K

a

n

¬ b

n

¬ c

n

,

a) Jeśli lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

c

n

= a, to istnieje granica ciągu (b

n

), przy czym lim

n→∞

b

n

= a.

b) Jeśli lim

n→∞

a

n

= +∞, to lim

n→∞

b

n

= +∞.

c) Jeśli lim

n→∞

c

n

= −∞, to lim

n→∞

b

n

= −∞.

1.5. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e

Twierdzenie 1.26.

a) lim

n→∞

n

√

n = 1.

b) lim

n→∞

n

√

a = 1, gdy a > 0.

c) Jeśli a

n

­ 0 dla każdego n ∈ N oraz lim

n→∞

a

n

= a > 0, to lim

n→∞

n

√

a

n

= 1.

Uwaga 1.27. Tw. 1.26 3) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +∞ lub a = 0.

Twierdzenie 1.28.

Ciąg a

n

= (1 +

1

n

)

n

dla n ∈ N jest ograniczony i monotoniczny.

Definicja 1.29.

Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 +

1

n

)

n

, n ∈ N.

Twierdzenie 1.30.

a)

∗

lim

n→∞

n

X

k=0

1

k!

= e.

b) Liczba e jest liczbą niewymierną.

e = 2, 7182818284 . . .

Twierdzenie 1.31.

Jeśli a

n

6= 0 dla każdego n ∈ N oraz lim

n→∞

a

n

= ±∞, to lim

n→∞

(1 +

1

a

n

)

a

n

= e.

Definicja 1.32.

Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy sym-

bolem ln.

ln x

def

= log

e

x dla x > 0

2009, E. Kotlicka

1. CIĄGI LICZBOWE

6

1.6. Zbiory ograniczone na prostej, kres górny i dolny

Definicja 1.33.

Niech E ⊂ R, E 6= ∅.

• Liczbę M

0

∈ E taką, że

V

x∈E

x ¬ M

0

nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.

• Liczbę m

0

∈ E taką, że

V

x∈E

x ­ m

0

nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.

Definicja 1.34.

Niech E ⊂ R, E 6= ∅.

• Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy

W

M ∈R

V

x∈E

x ¬ M.

Liczbę M nazywamy wówczas ograniczeniem górnym zbioru E.

• Liczbę będącą najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem górnym

zbioru E i oznaczamy przez sup E. Inaczej: sup E = M , gdy

(1)

V

x∈E

x ¬ M,

(2)

V

M

1

<M

W

x∈E

x > M

1

.

• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +∞.

Definicja 1.35.

Niech E ⊂ R, E 6= ∅.

• Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy

W

m∈R

V

x∈E

x ­ m.

Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.

• Liczbę będącą największym ograniczeniem dolnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym

zbioru E i oznaczamy przez inf E. Inaczej: inf E = m, gdy

(1)

V

x∈E

x ­ m,

(2)

V

m

1

>m

W

x∈E

x < m

1

.

• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = −∞.

• Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy jest zbiorem ograniczonym z góry i z dołu.

Twierdzenie 1.36.

Każdy niepusty zbiór E ⊂ R posiada kresy górny i dolny.

Twierdzenie 1.37.

a) Jeśli ciąg (a

n

) jest niemalejący, to

sup{a

n

: n ∈ N} = lim

n→∞

a

n

,

inf{a

n

: n ∈ N} = a

1

.

2009, E. Kotlicka

1. CIĄGI LICZBOWE

7

b) Jeśli ciąg (a

n

) jest nierosnący, to

sup{a

n

: n ∈ N} = a

1

,

inf{a

n

: n ∈ N} = lim

n→∞

a

n

.

2009, E. Kotlicka

2. GRANICE FUNKCJI

8

2. GRANICE FUNKCJI

2.1. Podstawowe definicje

Definicja 2.1.

Niech x

0

∈ R.

• Sąsiedztwem punktu x

0

nazywamy każdy zbiór postaci

S(x

0

) = (a, x

0

) ∪ (x

0

, b),

gdzie a, b ∈ R, a < x

0

< b. Zbiory: S

−

(x

0

) = (a, x

0

) oraz S

+

(x

0

) = (x

0

, b) nazywamy odpowiednio

lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x

0

.

• Otoczeniem punktu x

0

nazywamy każdy zbiór postaci

U (x

0

) = S(x

0

) ∪ {x

0

}.

Zbiory: U

−

(x

0

) = S

−

(x

0

) ∪ {x

0

},

U

+

(x

0

) = S

+

(x

0

) ∪ {x

0

} nazywamy odpowiednio lewostronnym i

prawostronnym otoczeniem punktu x

0

.

• Sąsiedztwem −∞ nazywamy zbiór

S(−∞) = (−∞, b), gdzie b ∈ R.

• Sąsiedztwem +∞ nazywamy zbiór

S(+∞) = (a, +∞), gdzie a ∈ R.

Niech X ⊂ R, X 6= ∅.

Definicja 2.2.

• Mówimy, że punkt x

0

∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x

n

) taki, że

{x

n

} ⊂ X \ {x

0

} oraz

lim

n→∞

x

n

= x

0

.

• Jeśli dodatkowo wiadomo, że x

n

> x

0

dla n ∈ N (x

n

< x

0

dla n ∈ N), to x

0

nazywamy prawostronnym

(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.

• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.

Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez X

d

. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów

skupienia zbioru X oznaczamy przez X

d+

(X

d−

).

Definicja 2.3 (definicja Heinego granicy funkcji w +∞).

Niech f : X → R, zaś X będzie zbiorem nieogranic-

zonym z góry.

• Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X

[ lim

n→∞

x

n

= +∞

⇒

lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→+∞

f (x) = g

• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X

[ lim

n→∞

x

n

= +∞

⇒

lim

n→∞

f (x

n

) = +∞].

Zapisujemy

2009, E. Kotlicka

2. GRANICE FUNKCJI

9

lim

x→+∞

f (x) = +∞

• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X

[ lim

n→∞

x

n

= +∞

⇒

lim

n→∞

f (x

n

) = −∞].

Zapisujemy

lim

x→+∞

f (x) = −∞

Analogicznie definiujemy granice:

lim

x→−∞

f (x) = g,

lim

x→−∞

f (x) = +∞ oraz

lim

x→−∞

f (x) = −∞.

Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie).

Niech f : X → R oraz x

0

∈ X

d

.

• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x

0

, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X\{x

0

}

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→x

0

f (x) = g

• Funkcja f posiada w x

0

granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X\{x

0

}

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = +∞].

Zapisujemy

lim

x→x

0

f (x) = +∞

Analogicznie definiujemy granicę: lim

x→x

0

f (x) = −∞.

Definicja 2.5.

Niech f : X → R.

• Niech x

0

∈ X

d−

. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x

0

, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X∩(−∞,x

0

)

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→x

−
0

f (x) = g lub f (x

−
0

) = g

• Niech x

0

∈ X

d+

. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x

0

, gdy

V

(x

n

), {x

n

}⊂X∩(x

0

,+∞)

[ lim

n→∞

x

n

= x

0

⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g].

Zapisujemy

lim

x→x

+
0

f (x) = g lub f (x

+
0

) = g

2009, E. Kotlicka

2. GRANICE FUNKCJI

10

Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.

Definicja 2.6 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w +∞).

Niech f : X → R oraz niech X będzie zbiorem

nieograniczonym z góry.

• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[x > δ

⇒

|f (x) − g| < ε].

• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[x > δ

⇒

f (x) > ε].

• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[x > δ

⇒

f (x) < −ε].

Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w −∞.

Definicja 2.7 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).

Niech f : X → R oraz x

0

∈ X

d

.

• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x

0

, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[0 < |x − x

0

| < δ

⇒

|f (x) − g| < ε].

• Funkcja f ma w punkcie x

0

granicę niewłaściwą +∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[0 < |x − x

0

| < δ

⇒

f (x) > ε].

• Funkcja f ma w punkcie x

0

granicę niewłaściwą −∞, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x∈X

[0 < |x − x

0

| < δ

⇒

f (x) < −ε].

Twierdzenie 2.8.

Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.

Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie).

Jeśli

x

0

∈ X

d−

∩ X

d+

, to

lim

x→x

0

f (x) = g

⇔

lim

x→x

−
0

f (x) = lim

x→x

+
0

f (x) = g.

2.2. Twierdzenia o granicach funkcji

Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.10 − 2.14) zachodzą zarówno

dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +∞ i −∞.

Twierdzenie 2.10 (arytmetyka granic właściwych funkcji).

Jeśli f, g : X → R, lim

x→x

0

f (x) = a oraz

lim

x→x

0

g(x) = b, to

a) lim

x→x

0

(c · f (x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;

b) lim

x→x

0

(f (x) ± g(x) = a ± b;

c) lim

x→x

0

(f (x) · g(x)) = a · b;

d) lim

x→x

0

f (x)

g(x)

=

a

b

, o ile b 6= 0;

e) lim

x→x

0

(g(x))

f (x)

= b

a

, o ile b > 0 i a 6= 0.

2009, E. Kotlicka

2. GRANICE FUNKCJI

11

Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).

a + ∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞

a · (+∞) = +∞ dla 0 < a ¬ +∞

a · (+∞) = −∞

dla −∞ ¬ a < 0

a

∞

= 0 dla −∞ < a < +∞

a

0

+

= +∞

dla

0 < a ¬ +∞

a

0

+

= −∞

dla

−∞ ¬ a < 0

b

∞

= 0 dla 0

+

¬ b < 1,

b

∞

= +∞ dla 1 < b ¬

+∞

∞

a

= 0

dla

−∞ ¬ a < 0,

∞

a

= +∞

dla

0 < a ¬ +∞

Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej).

Niech f : X → Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli spełnione są

warunki:

(1)

lim

x→x

0

f (x) = a,

(2)

f (x) 6= a dla każdego x ∈ S(x

0

),

(3)

lim

t→a

g(t) = b,

to lim

x→x

0

g(f (x)) = b.

Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach).

Jeśli funkcje f, g, h : X → R spełniają warunki:

(1)

V

x∈S(x

0

)

f (x) ¬ g(x) ¬ h(x),

(2)

lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

h(x) = a,

to lim

x→x

0

g(x) = a.

Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach).

Niech f, g : X → R oraz

V

x∈S(x

0

)

f (x) ¬ g(x).

a) Jeśli lim

x→x

0

f (x) = +∞, to lim

x→x

0

g(x) = +∞.

b) Jeśli lim

x→x

0

g(x) = −∞, to lim

x→x

0

f (x) = −∞.

Twierdzenie 2.15.

lim

x→0

sin x

x

= 1.

Twierdzenie 2.16.

lim

x→0

(1 + x)

1
x

= e.

2009, E. Kotlicka

2. GRANICE FUNKCJI

12

2.3. Asymptoty funkcji

Definicja 2.17.

Niech f : X → R, x

0

∈ X

d

.

• Prostą o równaniu x = x

0

nazywamy prawostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli

lim

x→x

+
0

f (x) = −∞ albo

lim

x→x

+
0

f (x) = +∞.

• Prostą o równaniu x = x

0

nazywamy lewostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli

lim

x→x

−
0

f (x) = −∞ albo

lim

x→x

−
0

f (x) = +∞.

• Prostą o równaniu x = x

0

nazywamy obustronną asymptotą pionową wykresu funkcji f (lub krótko

asymptotą pionową), jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.

Definicja 2.18.

Niech f : X → R.

• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z góry. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą

ukośną wykresu funkcji f w +∞, gdy

lim

x→+∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z dołu. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą

ukośną wykresu funkcji f w −∞, gdy

lim

x→−∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

• Jeśli a = 0 to odpowiednią asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą.

Uwaga Prosta o równaniu y = b jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w +∞ ⇔

lim

x→+∞

f (x) = b.

Prosta o równaniu y = b jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w −∞ ⇔

lim

x→−∞

f (x) = b.

Twierdzenie 2.19.

a) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞ ⇔

a = lim

x→+∞

f (x)

x

oraz

b = lim

x→+∞

(f (x) − ax).

b) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞ ⇔

a = lim

x→−∞

f (x)

x

oraz

b = lim

x→−∞

(f (x) − ax).

2.4. Ciągłość funkcji

Definicja 2.20.

Niech f : X → R, x

0

∈ X.

• Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

, gdy

x

0

/

∈ X

d

albo (istnieje lim

x→x

0

f (x) i

lim

x→x

0

f (x) = f (x

0

)).

• Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x

0

, gdy

x

0

/

∈ X

d−

albo (istnieje lim

x→x

−
0

f (x) i

lim

x→x

−
0

f (x) = f (x

0

)).

• Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x

0

, gdy

x

0

/

∈ X

d+

albo (istnieje lim

x→x

+
0

f (x) i

lim

x→x

+
0

f (x) = f (x

0

)).

Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez C

f

.

Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej)

ciągłości funkcji f oznaczamy przez C

+

f

(C

−

f

).

2009, E. Kotlicka

2. GRANICE FUNKCJI

13

Twierdzenie 2.21 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji).

Niech f : X → R oraz

x

0

∈ X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

⇔ f jest lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x

0

.

Definicja 2.22.

Niech f : X → R, A ⊂ X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła

w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = D

f

, to krótko mówimy, że f jest ciągła.

Definicja 2.23 (rodzaje nieciągłości).

Niech f : X → R, x

0

∈ X \ C

f

.

• x

0

nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:

lim

x→x

−
0

f (x) oraz lim

x→x

+
0

f (x), istnieją i są skończone.

• x

0

nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic

jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.

Twierdzenie 2.24.

Jeśli funkcje f, g : X → R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje

|f | , f + g, f · g oraz

f

g

(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ X).

Twierdzenie 2.25.

Jeśli funkcje f : X → Y, g : Y → R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ◦ f.

Twierdzenie 2.26.

Jeśli funkcja f : X → R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f

−1

jest

ciągła.

Twierdzenie 2.27.

Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.

2.5. Własności funkcji ciągłych

Niech a, b ∈ R, a < b.

Twierdzenie 2.28 (o lokalnym zachowaniu znaku).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła oraz f (x

0

) > 0 dla pewnego x

0

∈ [a, b], to

W

U (x

0

)

V

x∈U (x

0

)

f (x) > 0.

Twierdzenie 2.29 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c

1

, c

2

∈ [a, b]

takie, że

V

x∈[a,b]

f (c

1

) ¬ f (x) ¬ f (c

2

).

Twierdzenie 2.30 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).

Niech m = min f [[a, b]] oraz M = max f [[a, b]]. Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to

V

y∈[m,M ]

W

x∈[a,b]

y = f (x).

Ile jest tych rozwiązań?

Jak je wyznaczyć?

−→ metody numeryczne

2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe

Definicja 2.31.

Niech f : X → R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy

V

ε>0

W

δ>0

V

x

1

∈X

V

x

2

∈X

[ |x

1

− x

2

| < δ ⇒ |f (x

1

) − f (x

2

)| < ε ].

Twierdzenie 2.32.

Jeśli funkcja f : X → R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.

Twierdzenie 2.33.

Niech a, b ∈ R, a < b oraz f : [a, b] → R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest

jednostajnie ciągła w tym przedziale.

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

14

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RZECZYWISTEJ

3.1. Definicja pochodnej i różniczki funkcji, podstawowe

własności

Niech a, b ∈ R i a < b.

Definicja 3.1.

Niech f : (a, b) → R oraz x

0

∈ (a, b).

• Funkcję ϕ : (a, b) \ {x

0

} → R daną wzorem

ϕ(x)

def

=

f (x) − f (x

0

)

x − x

0

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x

0

.

• Jeśli granica lim

x→x

0

ϕ(x) istnieje i jest skończona, to nazywamy ją pochodną właściwą funkcji f w

punkcie x

0

i mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x

0

. Zapisujemy

f

0

(x

0

)

def

= lim

x→x

0

f (x) − f (x

0

)

x − x

0

.

• Jeśli x

0

∈ C

f

i powyższa granica jest niewłaściwa, to nazywamy ją pochodną niewłaściwą funkcji f

w punkcie x

0

.

Analogicznie definiujemy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x

0

i oznaczamy je odpowiednio przez

f

0

(x

+
0

) oraz f

0

(x

−
0

).

Definicja 3.2.

Niech f : [a, b] → R.

• Jeśli A ⊂ (a, b) oraz funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x ∈ A, to mówimy, że f jest

różniczkowalna na zbiorze A.

• Mówimy, że

f jest różniczkowalna na [a, b], gdy f jest różniczkowalna na (a, b), prawostronnie

różniczkowalna w punkcie a i lewostronnie różniczkowalna w b.

• Funkcję

x 7−→ f

0

(x),

określoną na zbiorze punktów, w których f jest różniczkowalna, nazywamy funkcją pochodną funkcji
f i oznaczamy przez f

0

.

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie www

Twierdzenie 3.3 (warunek konieczny różniczkowalności funkcji).

Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest

różniczkowalna w punkcie x

0

∈ (a, b), to jest ciągła w tym punkcie.

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

15

Twierdzenie 3.4 (o pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji).

Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) → R

są różniczkowalne w punkcie x

0

∈ (a, b). Wówczas funkcje f +g, f ·g oraz

f

g

są różniczkowalne w tym punkcie

oraz

a) (f + g)

0

(x

0

) = f

0

(x

0

) + g

0

(x

0

),

b) (f · g)

0

(x

0

) = f

0

(x

0

)g(x

0

) + f (x

0

)g

0

(x

0

),

c) (

f

g

)

0

(x

0

) =

f

0

(x

0

)g(x

0

) − f (x

0

)g

0

(x

0

)

g

2

(x

0

)

, o ile g(x

0

) 6= 0.

Twierdzenie 3.5 (o pochodnej funkcji złożonej).

Załóżmy, że

(1) funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x

0

∈ (a, b),

(2) f [(a, b)] ⊂ (c, d) oraz

(3) funkcja g : (c, d) → R jest różniczkowalna w punkcie f (x

0

).

Wówczas funkcja g ◦ f jest różniczkowalna w punkcie x

0

oraz

(g ◦ f )

0

(x

0

) = g

0

(f (x

0

))f

0

(x

0

).

Twierdzenie 3.6 (o pochodnej funkcji odwrotnej).

Załóżmy, że

(1) funkcja f : (a, b) → R jest różnowartościowa,

(2) f jest różniczkowalna w punkcie x

0

∈ (a, b), przy czym f

0

(x

0

) 6= 0.

Wówczas funkcja f

−1

jest różniczkowalna w punkcie y

0

= f (x

0

) oraz

(f

−1

)

0

(y

0

) =

1

f

0

(x

0

)

.

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

16

Twierdzenie 3.7 (pochodne podstawowych funkcji).

jj

Wzór

Założenia

(c)

0

= 0

c ∈ R

(x

α

)

0

= αx

α−1

α ∈ R, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}

(a

x

)

0

= a

x

ln a

a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R

(log

a

x)

0

=

1

x ln a

a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x > 0

(sin x)

0

= cos x

x ∈ R

(cos x)

0

= − sin x

x ∈ R

(tg x)

0

=

1

cos

2

x

x ∈ R\{

π

2

+ kπ : k ∈ Z}

(ctg x)

0

= −

1

sin

2

x

x ∈ R\{kπ : k ∈ Z}

(arc sin x)

0

=

1

√

1 − x

2

x ∈ (−1, 1)

(arc cos x)

0

= −

1

√

1 − x

2

x ∈ (−1, 1)

(arctg x)

0

=

1

1 + x

2

x ∈ R

(arcctg x)

0

= −

1

1 + x

2

x ∈ R

Definicja 3.8.

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x

0

∈ (a, b). Funkcję liniową

h 7−→ f

0

(x

0

)h

nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x

0

i oznaczamy przez df (x

0

).

Definicja 3.9.

Niech f : (a, b) → R oraz n ∈ N.

• Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x

0

∈ (a, b) definiujemy indukcyjnie:

f

(n)

(x

0

)

def

= [f

(n−1)

]

0

(x

0

),

gdzie f

(1)

(x

0

)

def

= f

0

(x

0

) oraz f

(0)

(x

0

)

def

= f (x

0

).

• Funkcję

x 7−→ f

(n)

(x),

określoną na zbiorze punktów, w których istnieje pochodna wlaściwa n-tego rzędu, nazywamy funkcją
pochodną n-tego rzędu funkcji f .

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

17

3.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania

Twierdzenie 3.10 (Rolle’a).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest

(1) ciągła na [a, b],

(2) różniczkowalna na (a, b) oraz

(3) f (a) = f (b),

to istnieje punkt x

0

∈ (a, b) taki, że f

0

(x

0

) = 0.

Twierdzenie 3.11 (Lagrange’a).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest

(1) ciągła na [a, b] oraz

(2) różniczkowalna na (a, b),

to istnieje punkt x

0

∈ (a, b) taki, że

f

0

(x

0

) =

f (b) − f (a)

b − a

.

Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).

Twierdzenie 3.12 (warunki wystarczające monotoniczości funkcji).

Niech f : I → R. Wówczas

a) jeśli f

0

(x) = 0 dla każdego x ∈ I, to f jest stała na I;

b) jeśli f

0

(x) > 0 dla każdego x ∈ I, to f jest rosnąca na I;

c) jeśli f

0

(x) ­ 0 dla każdego x ∈ I, to f jest niemalejąca na I;

d) jeśli f

0

(x) < 0 dla każdego x ∈ I, to f jest malejąca na I;

e) jeśli f

0

(x) ¬ 0 dla każdego x ∈ I, to f jest nierosnąca na I.

Twierdzenie 3.13.

Załóżmy, że funkcja f : I → R jest różniczkowalna na I. Jeśli

a) f jest rosnąca na I, to f

0

(x) ­ 0 dla każdego x ∈ I oraz f

0

nie jest równa 0 na żadnym przedziale

zawartym w I;

b) f jest malejąca na I, to f

0

(x) ¬ 0 dla każdego x ∈ I oraz f

0

nie jest równa 0 na żadnym przedziale

zawartym w I.

Twierdzenie 3.14.

Załóżmy, że f, g : I → R i x

0

∈ I.

a) Jeśli

(1) f (x

0

) = g(x

0

) oraz

(2)

V

x∈I

f

0

(x) = g

0

(x),

to f (x) = g(x) dla wszystkich x ∈ I.

b) Jeśli funkcje f, g są ciągłe na I oraz

(1) f (x

0

) ¬ g(x

0

) i

(2)

V

x∈I∩(x

0

,+∞)

f

0

(x) ¬ g

0

(x),

to f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ I ∩ (x

0

, +∞).

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

18

Twierdzenie 3.15 (reguła de l’Hospitala).

Niech x

0

∈ R oraz niech S(x

0

) będzie pewnym sąsiedztwem

punktu x

0

. Załóżmy, że funkcje f, g : S(x

0

) → R są różniczkowalne na S(x

0

), przy czym g

0

(x) 6= 0 dla

x ∈ S(x

0

). Jeśli

lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

g(x) = 0

albo

lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

g(x) = ±∞,

oraz istnieje granica lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

= g ∈

R, to lim

x→x

0

f (x)

g(x)

= g.

Twierdzenie zachodzi także dla granic jednostronnych w punkcie.

Uwaga 3.16. Regułę de l’Hospitala można stosować również do oblicznia granic funkcji w przypadku sym-
boli nieoznaczonych innych niż

0
0

i

∞
∞

, posługując się odpowiednio niżej podanymi przekształceniami.

Symbol przed

Przekształcenie

Symbol po

przekształceniem

przekształceniu

∞ − ∞

f − g =















f (1 −

g

f

)

1
g

−

1

f

1

f ·g

∞(1 −

∞
∞

)

0
0

0 · ∞

f · g =











f

1
g

g

1

f

0
0

∞
∞

0

0

, ∞

0

lub 1

∞

f

g

= e

g ln f

e

0·(±∞)

Twierdzenie 3.17 (wzór Taylora).

Niech f : [a, b] → R oraz n ∈ N. Załóżmy, że pochodna f

(n−1)

funkcji

f istnieje i jest ciągła na [a, b], zaś pochodna f

(n)

istnieje wszędzie na (a, b). Niech x

0

∈ [a, b]. Wówczas dla

każdego x ∈ [a, x

0

) ∪ (x

0

, b] istnieje punkt c leżący pomiędzy x i x

0

taki, że

f (x) = f (x

0

) +

f

0

(x

0

)

1!

(x − x

0

) + · · · +

f

(n−1)

(x

0

)

(n − 1)!

(x − x

0

)

n−1

|

{z

}

P

n−1

(x) − wielomian Taylora

+

f

(n)

(c)

n!

(x − x

0

)

n

.

|

{z

}

R

n

(x) − reszta w postaci Lagrange’a

Uwaga 3.18.

(1) Jeśli x

0

= 0, to powyższy wzór przyjmuje postać

f (x) = f (0) +

f

0

(0)

1!

x + · · · +

f

(n−1)

(0)

(n − 1)!

x

n−1

|

{z

}

P

n−1

(x) − wielomian Maclaurina

+

f

(n)

(c)

n!

x

n

i nosi nazwę wzoru Maclaurina.

(2) Jeśli założymy, że

W

M >0

V

n∈N

V

x∈(a,b)

f

(n)

(x)

¬ M,

to lim

n→∞

R

n

(x) = 0 dla x ∈ (a, b).

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

19

(3)

Wzór Maclaurina dla wybranych funkcji

e

x

= 1 +

x

1!

+

x

2

2!

+ · · · +

x

n−1

(n − 1)!

+

x

n

n!

e

c

sin x =

x

1!

−

x

3

3!

+

x

5

5!

− · · · + (−1)

n−1

x

2n−1

(2n − 1)!

+ (−1)

n

x

2n+1

(2n + 1)!

sin c

cos x = 1 −

x

2

2!

+

x

4

4!

− · · · + (−1)

n−1

x

2n−2

(2n − 2)!

+ (−1)

n

x

2n

(2n)!

cos c

ln(1 + x) = x −

x

2

2

+

x

3

3

− · · · + (−1)

n−1

x

n

n

+ (−1)

n

x

n+1

(n + 1)(1 + c)

n+1

3¿ 4¿ 3¿

3.3. Ekstrema globalne i lokalne funkcji

Niech X ⊂ R, X 6= ∅.

Definicja 3.19.

Mówimy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x

0

∈ X

• maksimum globalne na X, gdy

V

x∈X

f (x) ¬ f (x

0

),

• minimum globalne na X, gdy

V

x∈X

f (x) ­ f (x

0

).

Definicja 3.20.

Mówimy, że funkcja f : X → R ma w punkcie x

0

∈ X

• maksimum lokalne, gdy

W

S(x

0

)

V

x∈S(x

0

)∩X

f (x) ¬ f (x

0

),

• minimum lokalne, gdy

W

S(x

0

)

V

x∈S(x

0

)∩X

f (x) ­ f (x

0

).

Jeśli w powyższych definicjach nierówności ”¬”i ”­” zastąpić odpowiednio przez ”<”i ”>”, to otrzymamy
definicje ekstremów globalnych i lokalnych właściwych.

Twierdzenie 3.21 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego - tw. Fermata).

Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w x

0

∈ (a, b) oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to

f

0

(x

0

) = 0.

Twierdzenie 3.22.

Załóżmy, że funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na [a, b]. Niech

A = {x ∈ (a, b) : f

0

(x) = 0}

oraz B = {x ∈ (a, b) : f

0

(x) nie istnieje}.

Wówczas

sup{f (x) : x ∈ [a, b]} = max{f (x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B},

inf{f (x) : x ∈ [a, b]} = min{f (x) : x ∈ {a, b} ∪ A ∪ B}.

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

20

Twierdzenie 3.23 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U (x

0

) = S(x

0

) ∪ {x

0

} ⊂ (a, b).

Jeśli

(1) f

0

(x

0

) = 0,

(2)

V

x∈S

−

(x

0

)

f

0

(x) > 0 i

V

x∈S

+

(x

0

)

f

0

(x) < 0

(albo

V

x∈S

−

(x

0

)

f

0

(x) < 0 i

V

x∈S

+

(x

0

)

f

0

(x) > 0),

to f ma w x

0

maksimum lokalne właściwe (albo odpowiednio, minimum lokalne właściwe).

-2¿ 1¿

Uwaga 3.24.

(1) Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku, gdy f jest różniczowalna tylko w pewnym sąsiedztwie

S(x

0

) i ciągła w punkcie x

0

.

(2) Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

3¿

Twierdzenie 3.25 (II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x

0

∈ (a, b).

Jeśli

(1) f

0

(x

0

) = 0,

(2) f

00

jest ciągła w x

0

,

(3) f

00

(x

0

) 6= 0,

to f ma w x

0

ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to

• maksimum lokalne w przypadku, gdy f

00

(x

0

) < 0,

• minimum lokalne w przypadku, gdy f

00

(x

0

) > 0.

3.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji, punkty przegięcia

Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).

Definicja 3.26.

Niech f : I → R. Dla dowolnych x

1

, x

2

∈ I oznaczmy przez l

x

1

,x

2

funkcję, której wykresem

jest prosta przechodząca przez punkty (x

1

, f (x

1

)) i (x

2

, f (x

2

)).

Mówimy, że funkcja f jest

• wypukła na I, gdy

V

x

1

,x

2

∈I, x

1

<x

2

V

x∈(x

1

,x

2

)

f (x) ¬ l

x

1

,x

2

(x),

• wklęsła na I, gdy

V

x

1

,x

2

∈I, x

1

<x

2

V

x∈(x

1

,x

2

)

f (x) ­ l

x

1

,x

2

(x).

Jeśli w powyższych warunkach nierówności ”¬”i ”­” zastąpić odpowiednio przez ”<”i ”>”, to otrzymamy
definicje ścisłej wypukłości i ścisłej wklęsłości funkcji f na przedziale I.

Twierdzenie 3.27.

Niech f : I → R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas

a) f jest wypukła na I ⇔

V

x

0

∈I

V

x∈I\{x

0

}

f (x) ­ f

0

(x

0

)(x − x

0

) + f (x

0

);

b) f jest wklęsła na I ⇔

V

x

0

∈I

V

x∈I\{x

0

}

f (x) ¬ f

0

(x

0

)(x − x

0

) + f (x

0

).

Analogiczne stwierdzenia zachodzą dla funkcji ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.

2009, E. Kotlicka

3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

21

Twierdzenie 3.28 (warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości funkcji).

Niech f : I → R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas

a) jeśli f

00

(x) > 0 dla każdego x ∈ I, to f jest ściśle wypukła na I;

b) jeśli f

00

(x) < 0 dla każdego x ∈ I, to f jest ściśle wklęsła na I.

Definicja 3.29.

Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x

0

∈ (a, b). Mówimy, że x

0

jest punktem przegięcia funkcji f, gdy istnieje sąsiedztwo S(x

0

) ⊂ (a, b) takie, że

f jest ściśle wypukła na S

−

(x

0

) i ściśle wklęsła na S

+

(x

0

)

albo

f jest ściśle wklęsła na S

−

(x

0

) i ściśle wypukła na S

+

(x

0

).

Twierdzenie 3.30 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).

Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) oraz x

0

jest punktem przegięcia funkcji

f, to f

00

(x

0

) = 0.

Uwaga 3.31. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.

Twierdzenie 3.32 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).

Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie S(x

0

) ⊂ (a, b)

punktu x

0

. Jeśli

(1) f jest różniczkowalna w x

0

,

(2)

V

x∈S

−

(x

0

)

f

00

(x) > 0 i

V

x∈S

+

(x

0

)

f

00

(x) < 0

albo

V

x∈S

−

(x

0

)

f

00

(x) < 0 i

V

x∈S

+

(x

0

)

f

00

(x) > 0,

to x

0

jest punktem przegięcia funkcji f.

Twierdzenie 3.33.

Niech n ∈ N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) → R jest n-krotnie różniczkowalna na

pewnym otoczeniu punktu x

0

∈ (a, b). Jeśli

(1)

V

k∈{1,...,n−1}

f

(k)

(x

0

) = 0,

(2) f

(n)

jest ciągła w x

0

,

(3) f

(n)

(x

0

) 6= 0,

to f ma w x

0

a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą;

b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to

• maksimum lokalne w przypadku, gdy f

(n)

(x

0

) < 0,

• minimum lokalne w przypadku, gdy f

(n)

(x

0

) > 0.

2009, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

22

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

W całym rozdziale niech I oznacza dowolny przedział (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).

4.1. Funkcja pierwotna

Definicja 4.1.

Niech f : I → R. Funkcję F : I → R nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale

I, gdy

V

x∈I

F

0

(x) = f (x).

Twierdzenie 4.2.

Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to

a) funkcja F + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f,

b) każdą funkcję pierwotną funkcji f można przedstawić w postaci F +C

0

, gdzie C

0

jest odpowiednio dobraną

stałą.

Wniosek 4.3. Dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

), gdzie x

0

∈ I, istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna,

której wykres przechodzi przez ten punkt.

Definicja 4.4.

Niech f : I → R. Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale I (o ile jest

niepusty) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I i oznaczamy przez

Z

f (x) dx

lub

Z

f.

Jeśli funkcja F : I → R jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy

Z

f (x) dx = F (x) + C, gdzie C ∈ R.

Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpowiednich funkcji wynikają wzory na
podstawowe całki nieoznaczone (patrz tabela w paragrafie 5.4).

4.2. Własności całki nieoznaczonej

Twierdzenie 4.5.

Niech f : I → R.

a) Jeśli istnieje całka

Z

f, to

Z

f

0

= f.

b) Jeśli istnieje całka

Z

(f

0

), to

Z

(f

0

) = f + C, gdzie C ∈ R.

Twierdzenie 4.6 (liniowość całki nieoznaczonej).

Niech f, g : I → R. Jeśli istnieją całki

Z

f i

Z

g,

to

a) istnieje całka

Z

(f + g) oraz

Z

(f + g) =

Z

f +

Z

g;

b) dla dowolnej liczby rzeczywistej k istnieje całka

Z

(kf ) oraz

Z

(kf ) = k

Z

f

.

2009, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

23

Twierdzenie 4.7 (warunek wystarczający istnienia całki nieoznczonej).

Jeśli funkcja f : I → R

jest ciągła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I.

Uwaga 4.8.

(1) O ile pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne funkcji elemen-

tarnych nie muszą być funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istnieją funkcje elementarne, których
całki nieoznaczone nie wyrażają się przy pomocy funkcji elementarnych,

np.

Z

e

−x

2

dx,

Z

sin(x

2

) dx,

Z

cosx

x

dx.

(2) Istnieją funkcje nieciągłe, które posiadają całkę nieoznaczoną. Np. można sprawdzić, że funkcja f

określona wzorem

f (x) =

2x sin

1
x

− cos

1

x

,

gdy x 6= 0,

0,

gdy x = 0,

nie jest ciągła w punkcie 0, zaś

Z

f (x) dx = g(x) + C, gdzie C ∈ R oraz

g(x) =

x

2

sin

1

x

,

gdy x 6= 0,

0,

gdy x = 0.

4.3. Metody całkowania

Twierdzenie 4.9 (o całkowaniu przez części).

Załóżmy, że

(1) funkcje f, g : I → R są różniczkowalne na przedziale I,
(2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f

0

g na przedziale I.

Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji f g

0

na przedziale I oraz zachodzi wzór

Z

f g

0

= f g −

Z

f

0

g.

Twierdzenie 4.10 (o całkowaniu przez podstawienie).

Załóżmy, że I, J są przedziałami oraz

(1) funkcja g : I → J jest różniczkowalna na I,
(2) funkcja f : J → R ma na przedziale J funkcję pierwotną F .

Wówczas funkcja (f ◦ g)g

0

ma całkę nieoznaczoną na I oraz zachodzi wzór

Z

(f ◦ g)g

0

= F ◦ g + C, gdzie C ∈ R.

2009, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

24

4.4. Podstawowe wzory na całki nieoznaczone

Wzór

Założenia

(1)

Z

0 dx = C

x ∈ R

(2)

Z

x

α

dx =

x

α+1

α+1

+ C

α ∈ R \ {1}, x ∈ R lub x ∈ R \ {0}

(3)

Z

1

x

dx = ln |x| + C

x 6= 0

(4)

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), x ∈ R

(5)

Z

sin x dx = − cos x + C

x ∈ R

(6)

Z

cos x dx = sin x + C

x ∈ R

(7)

Z

1

sin

2

x

dx = − ctg x + C

x ∈ (kπ, (k + 1)π), k ∈ Z

(8)

Z

1

cos

2

x

dx = tg x + C

x ∈ ((2k − 1)

π

2

, (2k + 1)

π

2

), k ∈ Z

(9)

Z

1

1 + x

2

dx = arctg x + C

x ∈ R

(10)

Z

1

√

1 − x

2

dx = arc sin x + C

x ∈ (−1, 1)

(11)

Z

f

0

(x)

f (x)

dx = ln |f (x)| + C

f (x) 6= 0

(12)

Z

f

0

(x)

p

f (x)

dx = 2

p

f (x) + C

f (x) > 0

2009, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

25

4.5. Całkowanie funkcji wymiernych.

(A) Każdą funkcję wymierną postaci

V (x)
Q(x)

, gdzie V i Q są wielomianami niezerowymi można jednozncznie

przedstawić w postaci

W (x) +

P (x)

Q(x)

,

gdzie W i P są wielomianami, przy czym stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q.

(B) Każdą funkcję wymierną postaci

P (x)
Q(x)

, gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego niż stopień wielo-

mianu Q, można jednoznacznie przedstawić jako skończoną sumę ułamków prostych pierwszego lub
drugiego rodzaju, tzn. funkcji postaci

(I)

A

(x − p)

n

,

(II)

Ax + B

((x − p)

2

+ k)

n

,

gdzie n ∈ N, A, B, p ∈ R, k > 0.

(C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:

Z

A

(x − p)

n

dx =

t = x − p
dt = dx

= A

Z

1

t

n

dt = . . .

(W przypadku n = 1 można zastosować wzór (11)).

Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:

Z

Ax + B

((x − p)

2

+ k)

n

dx

=

o

o

o

o

t = x − p

dt = dx

o

o

o

o

=

Z

A(t + p) + B

(t

2

+ k)

n

dt =

=

Z

At

(t

2

+ k)

n

dt

|

{z

}

J

n

+ (pA + B)

Z

1

(t

2

+ k)

n

dt

|

{z

}

I

n

= . . .

Wzór

Założenia

(13) I

1

=

Z

1

x

2

+ k

dx =

1

√

k

arc tg

x

√

k

+ C

k > 0, x ∈ R

(14)

?

I

n

=

Z

1

(x

2

+ k)

n

dx =

1

k(2n − 2)

x

(x

2

+ k)

n−1

+ (2n − 3)I

n−1

n = 2, 3, . . . , k > 0, x ∈ R

Wskazówki:

J

n

=







gdy n = 1 stosujemy wzór (11),

gdy n > 1 stosujemy podstawienie s = t

2

+ k

I

1

=

o

o

o

o

s =

x

√

k

ds =

dx

√

k

o

o

o

o

= . . .

2009, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

26

4.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami.

Niech R : R

2

→ R będzie funkcją wymierną.

(A)

Z

R(x,

n

√

ax + b ) dx =

o

o

o

o

t =

n

√

ax + b

dt = . . .

o

o

o

o

lub

o

o

o

o

x =

t

n

−b

a

dx = . . .

o

o

o

o

= . . . ,

a 6= 0

(B)

Z

R

x,

s

ax + b

cx + d

dx =

o

o

o

o

t =

q

ax+b
cx+d

dt = . . .

o

o

o

o

lub jw. . . . ,

Niech W

n

: R → R będzie wielomianem n-tego stopnia, n ∈ N ∪ {0}.

(C)

Z

W

n

(x)

p

k + a(x − p)

2

dx,

k, p ∈ R, a 6= 0

• n = 0

Z

A

p

k + a(x − p)

2

dx =

o

o

o

o

t = x − p

dt = dx

o

o

o

o

= . . . (stosujemy wzór (15) lub (16)),

Wzór

Założenia

(15)

Z

1

√

k − x

2

dx = arc sin

x

√

k

+ C

k > 0, k − x

2

> 0

(16)

Z

1

√

k + x

2

dx = ln

x +

√

k + x

2

+ C

k 6= 0, k + x

2

> 0

Wskazówki:

ad. (15)

o

o

o

o

t =

x

√

k

dt =

dx

√

k

o

o

o

o

lub

o

o

o

o

x =

√

k sin t

dx =

√

k cos tdt

o

o

o

o

ad. (16)

o

o

o

o

t = x +

√

k + x

2

dt =

x+

√

k+x

2

√

k+x

2

dx ⇒

dt

t

=

dx

√

k+x

2

o

o

o

o

• n > 0 – stosujemy tzw. metodę współczynników nieoznaczonych:

?

Z

W

n

(x)

p

k + a(x − p)

2

dx = Q

n−1

(x)

q

k + a(x − p)

2

+ β

Z

1

p

k + a(x − p)

2

dx,

gdzie Q

n−1

oznacza wielomian stopnia n − 1, zaś β jest pewną stałą.

2009, E. Kotlicka

4. CAŁKA NIEOZNACZONA

27

4.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Niech R : R

2

→ R będzie funkcją wymierną.

(A) R(−u, v) = −R(u, v)

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = cos x

dt = − sin xdx

o

o

o

o

= . . .

np.

Z

sin

n

x cos

m

x dx, gdzie n, m ∈ Z, n− liczba nieparzysta, m− liczba . . . . . . . . . . . . .

(B) R(u, −v) = −R(u, v)

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = sin x

dt = cos xdx

o

o

o

o

= . . .

np.

Z

sin

n

x cos

m

x dx, gdzie n, m ∈ Z, n− liczba . . . . . . . . . . . . . m− liczba . . . . . . . . . . . . .

(C) R(−u, −v) = R(u, v)

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = tg x ⇒ x = arc tg t

dx =

dt

t

2

+1

o

o

o

o

= . . . ,

(sin

2

x =

t

2

1 + t

2

, cos

2

x =

1

1 + t

2

, sin x cos x =

t

1 + t

2

),

np.

Z

sin

n

x cos

m

x dx, gdzie n, m ∈ Z, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(D) R – dowolna funkcja

Z

R(sin x, cos x) dx =

o

o

o

o

t = tg

x

2

⇒ x = 2 arc tg t

dx =

2dt

t

2

+1

o

o

o

o

= . . . ,

(sin x =

2t

1 + t

2

, cos x =

1 − t

2

1 + t

2

).

Wzór

Założenia

(17)

?

Z

sin

n

x dx = −

1

n

cos x sin

n−1

x +

n−1

n

Z

sin

n−2

x dx

n = 2, 3, . . . , x ∈ R

(18)

?

Z

cos

n

x dx =

1

n

sin x cos

n−1

x +

n−1

n

Z

cos

n−2

x dx

n = 2, 3, . . . , x ∈ R

Wskazówka: wykorzystać wzór na całkowanie przez części.

2009, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

28

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I

CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

5.1. Definicja całki oznaczonej Riemanna

Niech a, b ∈ R i a < b.

Definicja 5.1 (Oznaczenia stosowane w definicji całki oznaczonej).

• Podziałem przedziału [a, b] nazywamy zbiór P

n

= {x

0

, x

1

, . . . , x

n

}, gdzie n ∈ N, punktów spełniają-

cych warunek:

a = x

0

< x

1

< . . . < x

n−1

< x

n

= b.

• Średnicą podziału P

n

przedziału [a, b] nazywamy liczbę

δ(P

n

)

def

= max{∆x

i

: i = 1, 2, . . . , n},

gdzie ∆x

i

= x

i

− x

i−1

.

• Układem punktów pośrednich podziału P

n

przedziału [a, b] nazywamy dowolny zbiór T

n

= {t

1

, . . . , t

n

}

taki, że

t

i

∈ [x

i−1

, x

i

] dla i = 1, . . . , n.

Definicja 5.2.

Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną, zaś P

n

− dowolnym podziałem przedziału

[a, b]. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi P

n

i układowi punktów pośrednich T

n

nazywamy liczbę

S(f, P

n

, T

n

)

def

=

n

X

i=1

f (t

i

)∆x

i

.

Definicja 5.3.

Mówimy, że ograniczona funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna na

przedziale [a, b], gdy istnieje granica

lim

δ(P

n

)→0

S(f, P

n

, T

n

) (przyjmujemy, że

lim

δ(P

n

)→0

S(f, P

n

, T

n

) = A wtedy i

tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (P

n

) podziałów przedziału [a, b] takiego, że lim

n→∞

δ(P

n

) = 0, i dowol-

nego ciągu (T

n

) układów punktów pośrednich zachodzi równość A = lim

n→∞

S(f, P

n

, T

n

)). Rozważaną granicę

nazywamy wówczas całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i zapisujemy

b

Z

a

f (x) dx

def

=

lim

δ(P

n

)→0

S(f, P

n

, T

n

).

Ponadto przyjmujemy, że

a

Z

a

f (x) dx

def

= 0

oraz

a

Z

b

f (x) dx

def

= −

b

Z

a

f (x) dx.

Rodzinę funkcji całkowalnych na przedziale [a, b] oznaczamy przez R[a, b].

Uwaga 5.4. Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale, to jest tam ograniczona, ale odwrotnie nie musi
być.

2009, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

29

5.2. Własności całki oznaczonej

Twierdzenie 5.5 (warunki wystarczające całkowalności funkcji).

Niech f : [a, b] → R będzie funkcją

ograniczoną.

a) Jeśli f ma na przedziale [a, b] skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to f ∈ R[a, b].

b) Jeśli f jest monotoniczna na przedziale [a, b], to f ∈ R[a, b].

Twierdzenie 5.6 (liniowość całki oznaczonej).

Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b], to

a) f + g ∈ R[a, b] oraz

b

Z

a

(f (x) + g(x)) dx =

b

Z

a

f (x) dx +

b

Z

a

g(x) dx;

b) kf ∈ R[a, b] dla dowolnej liczby rzeczywistej k oraz

b

Z

a

kf (x) dx = k

b

Z

a

f (x) dx.

Twierdzenie 5.7.

a) Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b], to f g ∈ R[a, b].

b) Jeśli funkcja g ∈ R[a, b] oraz f jest funkcją ciągłą na g[[a, b]], to f ◦ g ∈ R[a, b]. W szczególności, jeśli

g ∈ R[a, b], to |g| ∈ R[a, b].

Twierdzenie 5.8 (monotoniczność całki oznaczonej).

Jeśli funkcje f, g ∈ R[a, b] oraz f (x) ¬ g(x) dla

każdego x ∈ [a, b], to

b

Z

a

f (x) dx ¬

b

Z

a

g(x) dx.

Twierdzenie 5.9 (addytywność całki względem przedziałów całkowania).

Jeśli f ∈ R[a, b], to dla dowolnego c ∈ (a, b) funkcja f ∈ R[a, c] ∩ R[c, b] oraz

b

Z

a

f (x) dx =

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx.

Twierdzenie 5.10.

Jeśli f ∈ R[a, b] oraz funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów

przedziału [a, b], to g ∈ R[a, b] oraz

b

Z

a

g(x) dx =

b

Z

a

f (x) dx.

Twierdzenie 5.11 (całkowe o wartości średniej).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na przedziale

[a, b], to

W

c∈(a,b)

f (c) =

1

b − a

b

Z

a

f (x) dx.

Twierdzenie 5.12.

Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ciągłą na przedziale [a, b] oraz niech D oznacza

figurę ograniczoną wykresem funkcji f i prostymi o równaniach x = a, x = b, y = 0.

a) Jeśli f (x) ­ 0 dla każdego x ∈ [a, b], to

|D| =

b

Z

a

f (x) dx.

b) Jeśli f (x) ¬ 0 dla każdego x ∈ [a, b], to

|D| = −

b

Z

a

f (x) dx.

2009, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

30

5.3. Funkcja górnej granicy całkowania, wzór Newtona-

Leibniza

Definicja 5.13.

Niech f ∈ R[a, b]. Funkcję F : [a, b] → R określoną wzorem

F (x)

def

=

x

Z

a

f (t) dt

nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.

Twierdzenie 5.14.

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna na [a, b], to funkcja górnej granicy całkowa-

nia F jest ciągła na [a, b]. Ponadto jeśli f jest ciągła w punkcie x

0

∈ [a, b], to funkcja F jest różniczkowalna

w x

0

oraz

F

0

(x

0

) = f (x

0

).

Twierdzenie 5.15 (Newtona-Leibniza).

Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła na [a, b], to

b

Z

a

f (x) dx = G(b) − G(a),

gdzie G jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f na przedziale [a, b].

Uwaga 5.16.

(1) Zamiast G(b) − G(a) piszemy najczęściej [G(x)]

b

a

lub G(x)|

b
a

.

(2) Powyższy wzór pozostaje nadal prawdziwy, gdy zamiast ciągłości założymy całkowalność funkcji f oraz

istnienie funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale [a, b].

5.4. Metody obliczania całek oznaczonych

Twierdzenie 5.17 (o całkowaniu przez części).

Niech f, g : [a, b] → R. Jeśli funkcje f, g mają ciągłe

pochodne na przedziale [a, b], to zachodzi wzór

b

Z

a

f (x)g

0

(x) dx = [f (x)g(x)]

b
a

−

b

Z

a

f

0

(x)g(x) dx.

Twierdzenie 5.18 (o całkowaniu przez podstawienie).

Załóżmy, że

(1) funkcja g : [a, b]

na

→ [α, β] ma ciągłą pochodną na [a, b],

(2) g(a) = α, g(b) = β,
(3) funkcja f : [α, β] → R jest ciągła na [α, β].

Wówczas zachodzi wzór

b

Z

a

f (g(x))g

0

(x) dx =

β

Z

α

f (t) dt.

Twierdzenie 5.19 (całka funkcji parzystej i nieparzystej).

Niech a ∈ (0, +∞) oraz f ∈ R[−a, a].

a) Jeśli f jest parzysta na [−a, a], to

a

Z

−a

f (x) dx = 2

a

Z

0

f (x) dx;

b) Jeśli f jest nieparzysta na [−a, a], to

a

Z

−a

f (x) dx = 0.

2009, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

31

5.5. Całki niewłaściwe

W paragrafie tym podamy definicje całki oznaczonej na przedziale nieograniczonym i całki z funkcji

nieograniczonej.

Definicja 5.20 (całka niewłaściwa pierwszego rodzaju).

Niech f : [a, +∞) → R będzie funkcją całkowalną

na każdym przedziale postaci [a, β], gdzie β > a. Granicę

lim

β→+∞

β

Z

a

f (x) dx nazywamy całką niewłaściwą

funkcji f na przedziale [a, +∞) i oznaczamy przez

∞

Z

a

f (x) dx. Zatem

∞

Z

a

f (x) dx

def

=

lim

β→+∞

β

Z

a

f (x) dx.

Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Gdy rozważana granica
jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (−∞, b] :

b

Z

−∞

f (x) dx

def

=

lim

α→−∞

b

Z

α

f (x) dx.

Ponadto przyjmujemy, że

∞

Z

−∞

f (x) dx

def

=

c

Z

−∞

f (x) dx +

∞

Z

c

f (x) dx,

gdzie c jest dowolną stałą. Tak zdefiniowana całka jest zbieżna, gdy obie całki niewłaściwe po prawej stronie
są zbieżne.

Definicja 5.21 (całka niewłaściwa drugiego rodzaju).

Niech f : [a, b) → R będzie funkcją całkowalną na

każdym przedziale postaci [a, β], gdzie a < β < b, oraz nieograniczoną w każdym lewostronnym sąsiedztwie

punktu b. Granicę lim

β→b

−

β

Z

a

f (x) dx nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale

[a, b) i oznaczamy przez

b

Z

a

f (x) dx. Zatem

b

Z

a

f (x) dx

def

= lim

β→b

−

β

Z

a

f (x) dx.

Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka jest zbieżna, jeśli zaś granica jest niewłaściwa
lub nie istnieje, to całka jest rozbieżna.

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f : (a, b] → R nieograniczonej w każdym prawostronnym
sąsiedztwie punktu a:

b

Z

a

f (x) dx

def

= lim

α→a

+

b

Z

α

f (x) dx.

2009, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

32

• Jeśli f jest jednocześnie nieograniczona w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b i w każdym

prawostronnym sąsiedztwie punktu a, to przyjmujemy

b

Z

a

f (x) dx

def

=

c

Z

a

f (x) dx +

b

Z

c

f (x) dx,

gdzie c jest dowolną stałą z przedziału (a, b).

• Jeśli f jest nieograniczona w każdym sąsiedztwie punktu x

0

∈ (a, b), to

b

Z

a

f (x) dx

def

=

x

0

Z

a

f (x) dx +

b

Z

x

0

f (x) dx.

W obu przypadkach mówimy, że tak zdefniowane całki są zbieżne, gdy obie całki niewłaściwe po prawej
stronie są zbieżne.

W przypadku gdy funkcja pierwotna funkcji podcałkowej jest trudna do znalezienia, można stosować

przybliżone metody całkowania. Wymaga to jednak uprzedniego stwierdzenia, czy dana całka niewłaściwa
jest zbieżna. Służą do tego tzw. kryteria zbieżności całek niewłaściwych.

Twierdzenie 5.22 (kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych).

Załóżmy, że funkcje

f, g : [a, b) → R są całkowalne na każdym przedziale postaci [a, β], gdzie a < β < b, przy czym b = +∞ lub
f i g są nieograniczone w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b.

a) Jeśli

V

x∈[a,b)

|f (x)| ¬ g(x)

i całka

b

Z

a

g(x) dx jest zbieżna, to całka

b

Z

a

f (x) dx jest bezwzględnie zbieżna (tzn. zbieżna jest również

całka

b

Z

a

|f (x)| dx).

b) Jeśli

V

x∈[a,b)

f (x) ­ g(x) ­ 0

i całka

b

Z

a

g(x) dx jest rozbieżna, to całka

b

Z

a

f (x) dx jest rozbieżna.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla całek niewłaściwych funkcji określonych na przedziale (a, b].

Uwaga 5.23. Jeśli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto zachodzi
nierówność

b

Z

a

f (x) dx

¬

b

Z

a

|f (x)| dx.

Twierdzenie 5.24 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych).

Niech n

0

∈ N. Jeśli funkcja

f : [n

0

, +∞) → (0, +∞) jest nierosnąca, to

∞

X

n=n

0

f (n) jest zbieżny

⇔

∞

Z

n

0

f (x) dx jest zbieżna.

2009, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

33

5.6. Zastosowania całki oznaczonej w geometrii

A. POLE OBSZARU

• Pole trapezu krzywoliniowego (opis parametryczny). Niech dana krzywa będzie określona rów-

naniami w postaci parametrycznej

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

gdzie x(t) jest funkcją ściśle monotoniczną i posiadającą ciągłą pochodną na przedziale [α, β], zaś y(t)
jest funkcją ciągłą na w tym przedziale. Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem danej krzywej oraz
prostymi x = a, x = b i y = 0. Wówczas pole |D| tego obszaru wyraża się wzorem

|D| =

β

Z

α

y(t)x

0

(t)

dt.

• Pole trapezu krzywoliniowego. W przypadku, gdy D jest obszarem normalnym względem osi Ox,

tzn.

D = {(x, y) ∈ R

2

: a ¬ x ¬ b ∧ f (x) ¬ y ¬ g(x)},

gdzie f, g są funkcjami ciągłymi na [a, b], to

|D| =

b

Z

a

(g(x) − f (x)) dx.

Jeśli natomiast D jest obszarem normalnym względem osi Oy, tzn.

D = {(x, y) ∈ R

2

: c ¬ y ¬ d ∧ l(x) ¬ x ¬ p(x)},

gdzie l, p są funkcjami ciągłymi na [c, d], to

|D| =

d

Z

c

(p(y) − l(y)) dy.

• Pole wycinka krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona we współrzędnych biegunowych

równaniem

r = f (θ), θ ∈ [α, β],

gdzie f jest funkcją nieujemną ciągłą na przedziale [α, β] (0 < β − α < 2π). Wówczas pole obszaru D
ograniczonego łukiem danej krzywej oraz promieniami wodzącymi r

α

i r

β

wyraża się wzorem

|D| =

1

2

β

Z

α

(f (θ))

2

dθ.

B. DŁUGOŚĆ ŁUKU

• Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

przy czym funkcje x(t), y(t) mają ciągłe pochodne na przedziale [α, β], oraz łuk nie ma punktów
wielokrotnych, to jego długość |l| wyraża się wzorem

|l| =

β

Z

α

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt.

W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym

l :

y = f (x), x ∈ [a, b],

2009, E. Kotlicka

5. CAŁKA OZNACZONA RIEMANNA I CAŁKA NIEWŁAŚCIWA

34

gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to

|l| =

b

Z

a

q

1 + (f

0

(x))

2

dx.

• Jeśli łuk l dany jest równaniem we współrzędnych biegunowych

r = f (θ), θ ∈ [α, β],

przy czym funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [α, β], oraz łuk nie ma punktów wielokrotnych,
to jego długość |l| wyraża się wzorem

|l| =

β

Z

α

q

(f (θ))

2

+ (f

0

(θ))

2

dθ.

C. OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZGNI BOCZNEJ BRYŁY OBROTOWEJ

Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem l danej krzywej oraz prostymi x = a, x = b i y = 0. Niech
V będzie bryłą powstałą z obrotu obszaru D dookoła osi Ox, zaś S – powierzchnią boczną tej bryły.

• Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β],

przy czym funkcje x(t), y(t) mają ciągłe pochodne na przedziale [α, β], funkcja x(t) jest ściśle monoton-
iczna, zaś funkcja y(t) – nieujemna na przedziale [α, β], to objętość |V | bryły V oraz pole |S| powierzchni
S wyrażają się wzorami

|V | = π

β

Z

α

(y(t))

2

x

0

(t)

dt,

|S| = 2π

β

Z

α

y(t)

q

(x

0

(t))

2

+ (y

0

(t))

2

dt.

W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym

l :

y = f (x), x ∈ [a, b],

gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to

|V | = π

b

Z

a

(f (x))

2

dx,

|S| = 2π

b

Z

a

f (t)

q

1 + (f

0

(x))

2

dx.

2009, E. Kotlicka