WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
II
dr. Elżbieta Kotlicka
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2006
2006
−E
K
1
1. Przestrzenie metryczne.
Definicja 1.1.
Przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, d), gdzie X
6= ∅ oraz funkcja
d : X
× X → [0, +∞) spełnia następujące warunki:
(1)
∧
x,y
∈X
[d(x, y) = 0
⇔ x = y],
(2)
∧
x,y
∈X
d(x, y) = d(y, x),
(3)
∧
x,y,z
∈X
d(x, y)
¬ d(x, z) + d(z, y).
Elementy zbioru X nazywamy punktami, zas funkcję d – metryką na X. Wartość d(x, y)
nazywamy odległością punktów x i y w metryce d.
Załóżmy dalej, że (X, d) jest dowolną przestrzenią metryczną.
Definicja 1.2.
Kulą (otwartą) o środku w punkcie p
0
∈ X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
K(p
0
, r)
def
=
{p ∈ X : d(p, p
0
) < r
}.
Definicja 1.3.
Niech A
⊂ X.
• Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy jest zawarty w pewnej kuli.
• Średnicą zbioru A nazywamy liczbę
δ(A)
def
= sup
{d(x, y) : x, y ∈ A}.
Definicja 1.4.
Niech p
n
∈ X dla n ∈ N. Ciąg (p
n
)
n
∈N
nazywamy zbieżnym w przestrzeni
metrycznej (X, d) do punktu p
0
∈ X, gdy
lim
n
→∞
d(p
n
, p
0
) = 0.
Zapisujemy wówczas: lim
n
→∞
p
n
= p
0
lub p
n
→ p
0
.
Twierdzenie 1.5.
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony, tj. ograni-
czony jest zbiór jego wartości.
Twierdzenie 1.6.
Niech X = R
n
, n
∈ N. Jeśli p
k
= (x
k
1
, x
k
2
, . . . , x
k
n
)
∈ X dla k ∈ N ∪ {0}, to
lim
k
→∞
p
k
= p
0
⇔
∧
n
∈N
lim
k
→∞
x
k
n
= x
0
n
.
Definicja 1.7.
Niech A
⊂ X.
• Punkt p
0
∈ X nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, gdy
∨
r>0
K(p
0
, r)
⊂ A.
• Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem tego zbioru i oznaczamy
przez Int(A).
• Mówimy, że zbiór A jest otwarty, gdy każdy punkt zbioru A jest jego punktem wewnętrz-
nym.
Uwaga 1.8. Zbiór A
⊂ X jest otwarty ⇔ A = Int(A).
2
Twierdzenie 1.9.
Każda kula jest zbiorem otwartym w dowolnej przestrzeni metrycznej.
Definicja 1.10.
Niech p
0
∈ X.
• Otoczeniem U(p
0
) punktu p
0
nazywamy każdy zbiór otwarty zawierający ten punkt.
• Sąsiedztwem S(p
0
) punktu p
0
nazywamy każdy zbiór postaci U (p
0
)
\ {p
0
}.
Definicja 1.11.
Niech A
⊂ X.
• Mówimy, że zbiór A jest domknięty, gdy X \ A jest otwarty.
• Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór
A =
{p
0
∈ X : ∧
r>0
K(p
0
, r)
∩ A 6= ∅}.
Twierdzenie 1.12.
Zbiór A
⊂ X jest domknięty ⇔ A = A.
Definicja 1.13.
Brzegiem zbioru A
⊂ X nazywamy zbiór
Fr(A)
def
= A
∩ X \ A.
Uwaga 1.14. Można wykazać, że Fr(A) = A
\ Int(A).
Definicja 1.15.
Niech p
0
∈ X oraz A ⊂ X.
• Mówimy, że punkt p
0
jest punktem skupienia zbioru A, gdy
∧
r>0
K(p
0
, r)
∩ (A \ {p
0
}) 6= ∅.
Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A
d
.
• Punkt p
0
nazywamy punktem izolowanym zbioru A, gdy nie jest punktem skupienia
zbioru A.
Uwaga 1.16. Można wykazać, że A = A
∪ A
d
.
Twierdzenie 1.17.
Punkt p
0
∈ X jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje ciąg (p
n
)
n
∈N
taki, że
∧
n
∈N
p
n
∈ A \ {p
0
} ∧
lim
n
→∞
p
n
= p
0
.
Definicja 1.18.
Zbiór A
⊂ R
n
, n
∈ N, nazywamy zbiorem spójnym, jeśli jego dwa dowolne
punkty można połączyć łamaną zawartą w A. Na prostej zbiór A jest spójny wtedy i tylko
wtedy, gdy A jest przedziałem.
Uwaga 1.19. Pojęcie zbioru spójnego można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej
w następujący sposób: Zbiór A
⊂ X jest spójny, gdy nie da się przedstawić w postaci sumy
(U
1
∩A)∪(U
2
∩A), gdzie U
1
, U
2
są zbiorami niepustymi i otwartymi takimi, że U
1
∩ U
2
∩ A = ∅.
Definicja 1.20.
Niech n
∈ N. Zbiór otwarty i spójny w R
n
nazywamy obszarem.
2006
−E
K
3
2. Granica i ciągłość funkcji wielu
zmiennych
Niech n
∈ N.
Definicja 2.1.
Funkcję f : A
→ R, gdzie A ⊂ R
n
, nazywamy funkcją rzeczywistą n
zmiennych rzeczywistych.
Definicja 2.2.
Niech f : R
2
→ R.
• Wykresem funkcji f nazywamy zbiór
G(f ) =
{(x, y, z) ∈ R
3
: (x, y)
∈ D
f
∧ z = f(x, y)},
gdzie D
f
oznacza dziedzinę funkcji f .
• Poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R nazywamy zbiór
{(x, y) ∈ D
f
: f (x, y) = h
}.
Definicja 2.3 (wg Cauchy’ego).
Niech A
⊂ R
n
i p
0
∈ R
n
. Załóżmy, że f : A
→ R oraz p
0
jest
punktem skupienia zbioru A. Liczbę g nazywamy n-krotną granicą właściwą funkcji f w
punkcie p
0
, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
p
∈A
[d(p, p
0
) < δ
⇒ |f(p) − g| < ε].
Zapisujemy lim
p
→p
0
f (p) = g.
Definicja 2.4 (wg Heinego).
Niech A
⊂ R
n
i p
0
∈ R
n
. Załóżmy, że f : A
→ R oraz p
0
jest
punktem skupienia zbioru A. Wówczas lim
p
→p
0
f (p) = g, gdy
∧
(p
n
)
[(p
n
∈ A \ {p
0
} ∧ lim
n
→∞
p
n
= p
0
)
⇒ lim
n
→∞
f (p
n
) = g].
Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie.
Uwaga 2.5. Dla n-krotnej granicy funkcji zachodzą twierdzenia o arytmetyce granic funkcji,
twierdzenie o granicy funkcji złożonej oraz twierdzenie o trzech funkcjach analogicznie jak dla
funkcji jednej zmiennej.
Definicja 2.6.
Niech A
⊂ R
2
oraz niech (x
0
, y
0
)
∈ R
2
. Załóżmy, że f : A
→ R, zaś (x
0
, y
0
) jest
punktem skupienia zbioru A. Jeśli istnieją granice
lim
x
→x
0
( lim
y
→y
0
f (x, y)) oraz lim
y
→y
0
( lim
x
→x
0
f (x, y)),
to nazywamy je granicami iterowanymi funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
).
Uwaga 2.7. Istnienie granicy podwójnej w punkcie (x
0
, y
0
)
∈ R
2
jest niezależne od istnienia
granic iterowanych. Można jedynie wykazać, że jeśli istnieje granica podwójna i przynajmniej
jedna granica iterowana funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
), to granice te są równe.
4
Definicja 2.8.
Niech A
⊂ R
n
, f : A
→ R i p
0
∈ R
n
.
• Funkcja f jest ciągła w punkcie p
0
, gdy
p
0
/
∈ A
d
∨ (p
0
∈ A
d
∧ lim
p
→p
0
f (p) = f (p
0
)).
• Funkcja f jest ciągła na zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Uwaga 2.9.
1. Każda funkcja n-zmiennych jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny.
2. Jeśli funkcja n-zmiennych jest ciągła w punkcie, to jest ciągła ze względu na każdą zmienną
oddzielnie. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
2.1. Własności funkcji ciągłych.
Niech n
∈ N oraz p
0
∈ R
n
.
Twierdzenie 2.10.
Jeśli funkcje f, g : U (p
0
)
→ R są ciągłe w punkcie p
0
, to funkcje f + g,
f
· g oraz
f
g
(o ile g(p
0
)
6= 0) są również ciągłe w tym punkcie.
Twierdzenie 2.11.
Jeśli funkcje f
1
, f
2
, . . . , f
k
: U (p
0
)
→ R, gdzie k ∈ N, są ciągłe w
punkcie p
0
, zaś funkcja g jest ciągła w q
0
= (f
1
(p
0
), f
2
(p
0
), . . . , f
k
(p
0
)), to funkcja złożona
g(f
1
, f
2
, . . . , f
k
) jest ciągła w p
0
.
Twierdzenie 2.12 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Niech p
0
∈ R
n
. Jeśli funkcja
f : U (p
0
)
→ R jest ciągła w punkcie p
0
oraz f (p
0
) > 0, to
∨
U
0
(p
0
)
⊂U(p
0
)
∧
p
∈U
0
(p
0
)
f (p) > 0.
Twierdzenie 2.13 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A
→ R jest ciągła, to jest
ograniczona na zbiorze A, przy czym istnieją punkty p
1
, p
2
∈ A takie, że
∧
p
∈A
f (p
1
)
¬ f(p) ¬ f(p
2
).
Twierdzenie 2.14 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym oraz niech m = inf f [A], M = sup f [A]. Jeśli
f : A
→ R jest ciągła, to
∧
z
∈[m,M]
∨
p
∈A
z = f (p).
Twierdzenie 2.15 (Cantora – o ciągłości jednostajnej).
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem
domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A
→ R jest ciągła, to f jest jednostajnie ciągła na A,
tzn.
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
p
1
, p
2
∈A
[d(p
1
, p
2
) < δ
⇒
|f(p
1
)
− f(p
2
)
| < ε].
Twierdzenie 2.16.
Niech A
⊂ R
n
będzie zbiorem spójnym. Jeśli funkcja f : A
→ R jest ciągła,
to zbiór f [A] jest spójny w R.
2006
−E
K
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2007 AMII wyklad 567
2007 AMII wyklad 4
2007 AMII 6 7 8 Wyklad
2007 AMII wyklad 3
2007 AMII wyklad 567
higiena 02.03.2007, HIGIENA - WYKłADY NA PWSZ
materiałożnawstwo 9 - 08.05.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
2007 AMI wyklad print
materiałoznawstwo 4 - 13.03.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
materiałoznawstwo 7 - 03.04.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
materiałoznawstwo 3 - 06.03.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
materiałoznawstwo 6 - 27.03.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
2007 AMI wyklad print4 id 55147 Nieznany (2)
002 Analiza, 2007 AMI wyklad print
PODSTAWY FINANSÓW 2007 2008 WYKŁADY I ROK
wyklad I - 01.03.2007, Higiena, wykłady (amwro)
materiałoznawstwo 10 - 15.05.2007, Materiałoznawstwo - wykłady
więcej podobnych podstron