2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje
Niech X ⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 2.1.
Niech x
0
∈ R.
• Sąsiedztwem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
S(x
0
) = (a, x
0
) ∪ (x
0
, b),
gdzie a, b ∈ R, a < x
0
< b. Zbiory: S
−
(x
0
) = (a, x
0
) oraz S
+
(x
0
) = (x
0
, b) nazywamy odpowiednio
lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x
0
.
• Otoczeniem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
U (x
0
) = S(x
0
) ∪ {x
0
}.
Zbiory: U
−
(x
0
) = S
−
(x
0
) ∪ {x
0
},
U
+
(x
0
) = S
+
(x
0
) ∪ {x
0
} nazywamy odpowiednio lewostronnym i
prawostronnym otoczeniem punktu x
0
.
• Sąsiedztwem −∞ nazywamy zbiór
S(−∞) = (−∞, b), gdzie b ∈ R.
• Sąsiedztwem +∞ nazywamy zbiór
S(+∞) = (a, +∞), gdzie a ∈ R.
Definicja 2.2.
• Mówimy, że punkt x
0
∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x
n
) taki, że
{x
n
} ⊂ X \ {x
0
} oraz
lim
n→∞
x
n
= x
0
.
• Jeśli dodatkowo wiadomo, że x
n
> x
0
dla n ∈ N (x
n
< x
0
dla n ∈ N), to x
0
nazywamy prawostronnym
(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.
• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d
. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów
skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d+
(X
d−
).
Definicja 2.3 (definicja Heinego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R, zaś X będzie zbiorem
nieograniczonym z dołu.
• Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = g
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
9
lim
x→+∞
f (x) = +∞
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = −∞].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = −∞
Analogicznie definiujemy granice:
lim
x→−∞
f (x) = g,
lim
x→−∞
f (x) = +∞ oraz
lim
x→−∞
f (x) = −∞.
Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x
0
, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = g
• Funkcja f posiada w x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = +∞
Analogicznie definiujemy granicę: lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Definicja 2.5.
Niech f : X → R.
• Niech x
0
∈ X
d−
. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(−∞,x
0
)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
−
0
f (x) = g lub f (x
−
0
) = g
• Niech x
0
∈ X
d+
. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(x
0
,+∞)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
+
0
f (x) = g lub f (x
+
0
) = g
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
10
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R oraz niech X będzie zbiorem
nieograniczonym z góry.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[x > δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) < −ε].
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w −∞.
Definicja 2.7 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą −∞, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) < −ε].
Twierdzenie 2.8.
Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie).
Jeśli
x
0
∈ X
d−
∩ X
d+
, to
lim
x→x
0
f (x) = g
⇔
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = g.
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji
Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.10 − 2.14) zachodzą zarówno
dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +∞ i −∞.
Twierdzenie 2.10 (arytmetyka granic właściwych funkcji).
Jeśli f, g : X → R, lim
x→x
0
f (x) = a oraz
lim
x→x
0
g(x) = b, to
a) lim
x→x
0
(c · f (x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;
b) lim
x→x
0
(f (x) ± g(x) = a ± b;
c) lim
x→x
0
(f (x) · g(x)) = a · b;
d) lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
a
b
, o ile b 6= 0;
e) lim
x→x
0
(g(x))
f (x)
= b
a
, o ile b > 0 i a 6= 0.
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
11
Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).
a + ∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a · (+∞) = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a
∞
= 0 dla −∞ < a < +∞
a
0
+
= +∞ dla 0 < a ¬ +∞
b
∞
= 0 dla 0
+
¬ b < 1,
b
∞
= +∞ dla 1 < b ¬
+∞
∞
a
= 0
dla
−∞ ¬ a < 0,
∞
a
= +∞
dla
0 < a ¬ +∞
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej).
Niech f : X → Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli spełnione są
warunki:
(1)
lim
x→x
0
f (x) = a,
(2)
f (x) 6= a dla każdego x ∈ S(x
0
),
(3)
lim
t→a
g(t) = b,
to lim
x→x
0
g(f (x)) = b.
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach).
Jeśli funkcje f, g, h : X → R spełniają warunki:
(1)
∧
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x) ¬ h(x),
(2)
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = a,
to lim
x→x
0
g(x) = a.
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach).
Niech f, g : X → R oraz
∧
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x).
a) Jeśli lim
x→x
0
f (x) = +∞, to lim
x→x
0
g(x) = +∞.
b) Jeśli lim
x→x
0
g(x) = −∞, to lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Twierdzenie 2.15.
lim
x→0
sin x
x
= 1.
Twierdzenie 2.16.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
12
2.3. Asymptoty funkcji
Definicja 2.17.
Niech f : X → R, x
0
∈ X
d
.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy prawostronną asymtotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
+
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
+
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy lewostronną asymtotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
−
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
−
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f (lub krótko
asymptotą pionową), jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18.
Niech f : X → R.
• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z góry. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w +∞, gdy
lim
x→+∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z dołu. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w −∞, gdy
lim
x→−∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Jeśli a = 0 to odpowiednią asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą.
Twierdzenie 2.19.
a) Prosta o równaniu y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞ ⇔
A = lim
x→+∞
f (x)
x
oraz
B = lim
x→+∞
(f (x) − Ax).
b) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞ ⇔
a = lim
x→−∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x→−∞
(f (x) − ax).
2.4. Ciągłość funkcji
Definicja 2.20.
Niech f : X → R, x
0
∈ X.
• Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d
albo
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
• Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d−
albo
lim
x→x
−
0
f (x) = f (x
0
).
• Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d+
albo
lim
x→x
+
0
f (x) = f (x
0
).
Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez C
f
.
Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej)
ciągłości funkcji f oznaczamy przez C
+
f
(C
−
f
).
Twierdzenie 2.21 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji).
Niech f : X → R oraz
x
0
∈ X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy f jest lewostronnnie i prawostronnie
ciągła w punkcie x
0
.
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI
13
Definicja 2.22.
Niech f : X → R, A ⊂ X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła
w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = D
f
, to krótko mówimy, że f jest ciągła.
Definicja 2.23 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X → R, x
0
∈ X \ C
f
.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:
lim
x→x
−
0
f (x) oraz lim
x→x
+
0
f (x), istnieją i są skończone.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic
jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 2.24.
Jeśli funkcje f, g : X → R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
|f | , f + g, f · g oraz
f
g
(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ X).
Twierdzenie 2.25.
Jeśli funkcje f : X → Y, g : Y → R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ◦ f.
Twierdzenie 2.26.
Jeśli funkcja f : X → R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f
−1
jest
ciągła.
Twierdzenie 2.27.
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.
2.5. Własności funkcji ciągłych.
Niech a, b ∈ R, a < b.
Twierdzenie 2.28 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła oraz f (x
0
) > 0 dla pewnego x
0
∈ [a, b], to
∨
U (x
0
)
∧
x∈U (x
0
)
f (x) > 0.
Twierdzenie 2.29 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c
1
, c
2
∈ [a, b]
takie, że
∧
x∈[a,b]
f (c
1
) ¬ f (x) ¬ f (c
2
).
Twierdzenie 2.30 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = min[[a, b]] oraz M = max f [[a, b]].
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to
∧
y∈[m,M ]
∨
x∈[a,b]
y = f (x).
2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 2.31.
Niech f : X → R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy
∧
ε>0
∨
δ>0
∧
x
1
,x
2
∈X
[ |x
1
− x
2
| < δ ⇒ |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε ].
Twierdzenie 2.32.
Jeśli funkcja f : X → R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.
Twierdzenie 2.33.
Niech a, b ∈ R, a < b oraz f : [a, b] → R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest
jednostajnie ciągła w tym przedziale.
2007, E. Kotlicka
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
002 Analiza 2007 AMI wyklad pri Nieznany (2)
2007 AMI wyklad print
2007 AMI wyklad print 1 7
2007 AMI wyklad print 1 7
2007 AMI wyklad print
2012 AMI wyklad print cz1
2012 AMI wyklad print
2007 AMI wyklad print4 id 55147 Nieznany (2)
2012 AMI wyklad print
2012 AMI wyklad print cz1
002 Analiza AMI Wyklad r1 id 59 Nieznany (2)
2007 AMII wyklad 567
2007 AMII 1 2 Wyklad
higiena 02.03.2007, HIGIENA - WYKłADY NA PWSZ
2007 AMII wyklad 4
ANALIZA bakoma, Ekonomia- wykłady, opracowania
Analiza otoczenia organizacji, Analiza otoczenia organizacji-wykłady
więcej podobnych podstron