Spis treści

4.

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

14

4.1.

Definicja całki podwójnej w sensie Riemanna.

14

4.2.

Własności całki podwójnej.

15

4.3.

Metody obliczania całek podwójnych.

17

4.4.

Metody obliczania całek potrójnych.

19

4.5.

Zastosowania całek wielokrotnych.

21

15

4. Rachunek całkowy funkcji wielu

zmiennych

4.1. Definicja całki podwójnej w sensie Rie-

manna.

Niech I = (a

1

, b

1

)

× (a

2

, b

2

), gdzie a

1

, b

1

, a

2

, b

2

∈ R oraz a

1

< b

1

i a

2

< b

2

.

Oznaczenia stosowane w definicji całki podwójnej:

• Podziałem prostokąta I nazywamy zbiór prostokątów P

n

=

{R

i

}

i

¬n

, n

∈ N, taki że

I =

n

[

i=1

R

i

oraz

V

i,j

∈{1,2,... ,n}, i6=j

Int(R

i

)

∩ Int(R

j

) =

∅.

• Średnicą podziału P

n

nazywamy liczbę

δ(P

n

)

def

= max

{δ(R

i

) : i

∈ {1, 2, . . . , n}}.

• Zbiór punktów pośrednich podziału P

n

:

T

n

=

{t

i

}

i

¬n

,

gdzie

V

i

∈{1,2,... ,n}

t

i

∈ R

i

.

Definicja 4.1.

Ciąg podziałów (P

n

) prostokąta I nazywamy normalnym, gdy lim

n

→∞

δ(P

n

) = 0.

Definicja 4.2.

Niech f : I

→ R będzie funkcją ograniczoną, zaś P

n

− dowolnym podziałem

prostokąta I. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi P

n

i zbiorowi punktów pośrednich T

n

nazywamy liczbę

S(f, P

n

, T

n

)

def

=

n

X

i=1

f (t

i

)

|R

i

| ,

gdzie

|R

i

| oznacza pole prostokąta R

i

.

Definicja 4.3.

Niech f : I

→ R będzie funkcją ograniczoną. Jeśli dla dowolnego normalnego

ciągu podziałów (P

n

) prostokąta I oraz dowolnego ciągu zbiorów punktów pośrednich (T

n

)

istnieje właściwa granica lim

n

→∞

S(f, P

n

, T

n

) i granica ta nie zależy od sposobu wyboru tych ciągów,

16

to nazywamy ją całką podwójną w sensie Riemanna z funkcji f na prostokącie I.
Zapisujemy

ZZ

I

f (x, y) dxdy

def

= lim

n

→∞

S(f, P

n

, T

n

)

i mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I.

Definicja 4.4.

Niech D

⊂ R

2

będzie zbiorem ograniczonym, zaś I – dowolnym prostokątem

zawierającym D. Niech f : D

→ R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że f jest całkowalna

w sensie Riemanna na zbiorze D, jeśli funkcja

f

?

(x, y) =

(

f (x, y), (x, y)

∈ D,

0,

(x, y)

∈ I \ D,

jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I.

Uwaga 4.5. Wartość całki

ZZ

I

f

?

(x, y) dxdy nie zależy od wyboru prostokąta I. Możemy więc

przyjąć, że

ZZ

D

f (x, y) dxdy

def

=

ZZ

I

f

?

(x, y) dxdy.

Uwaga 4.6. Niech n

∈ N, zaś I

n

= (a

1

, b

1

)

× (a

2

, b

2

)

× · · · × (a

n

, b

n

), gdzie a

i

, b

i

∈ R oraz

a

i

< b

i

dla każdego i

∈ {1, 2, . . . , n}. Analogicznie definiujemy całkę n-krotną z funkcji ograni-

czonej określonej na zbiorze I

n

, a następnie całkę n-krotną z funkcji ograniczonej określonej na

dowolnym ograniczonym zbiorze D

⊂ R

n

.

Uwaga 4.7. Rodzinę funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na ograniczonym zbiorze D

⊂

R

n

oznaczamy przez

R(D).

4.2. Własności całki podwójnej.

Niech D

⊂ R

2

będzie zbiorem ograniczonym.

Twierdzenie 4.8 (warunek konieczny całkowalności).

Jeśli funkcja f : D

→ R jest

całkowalna na D, to jest na tym zbiorze ograniczona.

Twierdzenie 4.9 (liniowość całki Riemanna).

Jeśli funkcje f, g

∈ R(D), to

a) f + g

∈ R(D) oraz

ZZ

D

(f (x, y) + g(x, y)) dxdy =

ZZ

D

f (x, y) dxdy +

ZZ

D

g(x, y) dxdy;

b) kf

∈ R(D) dla dowolnej liczby k ∈ R oraz

ZZ

D

kf (x, y) dxdy = k

ZZ

D

f (x, y) dxdy.

2006

−E

K

17

Twierdzenie 4.10 (addytywność całki Riemanna względem obszarów całkowania).

Niech

D = D

1

∪ D

2

oraz Int(D

1

)

∩ Int(D

2

) =

∅.

Wówczas funkcja f

∈ R(D) wtedy i tylko wtedy, gdy f ∈ R(D

1

)

∩ R(D

2

), przy czym zachodzi

równość

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

ZZ

D

1

f (x, y) dxdy +

ZZ

D

2

f (x, y) dxdy.

Twierdzenie 4.11.

Jeśli funkcje f, g

∈ R(D) oraz

V

(x,y)

∈D

f (x, y)

¬ g(x, y),

to

ZZ

D

f (x, y) dxdy

¬

ZZ

D

g(x, y) dxdy.

Twierdzenie 4.12.

Jeśli f

∈ R(D), to |f| ∈ R(D) oraz








ZZ

D

f (x, y) dxdy








¬

ZZ

D

|f(x, y)| dxdy.

Uwaga 4.13. Analogiczne własności zachodzą dla funkcji n-krotnie całkowalnych określonych
na dowolnych ograniczonych zbiorach D

⊂ R

n

.

Definicja 4.14.

Mówimy, że obszar D

⊂ R

2

jest

• normalny względem osi Ox, gdy

D =

{(x, y) ∈ R

2

: a

¬ x ¬ b ∧ h(x) ¬ y ¬ g(x)},

gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na [a, b] oraz h(x) < g(x) dla każdego x

∈ (a, b);

• normalny względem osi Oy, gdy

D =

{(x, y) ∈ R

2

: c

¬ y ¬ d ∧ p(y) ¬ x ¬ q(y)},

gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y

∈ (c, d);

• regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych

wnętrzach.

Twierdzenie 4.15.

Jeśli f jest całkowalna na regularnym zbiorze D oraz istnieją liczby m, M

∈

R

takie, że

V

(x,y)

∈D

m

¬ f(x, y) ¬ M,

to

m

|D| ¬

ZZ

D

f (x, y) dxdy

¬ M |D| .

Wniosek 4.16.

18

Twierdzenie 4.17.

Jeśli f

∈ R(D) oraz g jest funkcją ograniczoną na D, różniącą się od

funkcji f tylko na zbiorze będącym sumą skończonej ilości łuków zawartych w D i będących
wykresami ciągłych funkcji y = y(x) lub x = x(y), to g

∈ R(D) oraz

ZZ

D

g(x, y) dxdy =

ZZ

D

f (x, y) dxdy.

Twierdzenie 4.18 (warunek wystarczający całkowalności).

Jeśli funkcja f : D

→ R jest

ciągła na regularnym zbiorze D, to jest na tym zbiorze całkowalna.

Uwaga 4.19. W powyższym twierdzeniu wystarczy założyć, że f jest ciągła na zbiorze D
z wyjątkiem skończonej ilości łuków zawartych w D i będących wykresami ciągłych funkcji
y = y(x) lub x = x(y).

Twierdzenie 4.20 (całkowe o wartości średniej).

Jeśli funkcja f : D

→ R jest ciągła na

regularnym zbiorze D, to

W

(x

0

,y

0

)

∈D

f (x

0

, y

0

) =

1

|D|

ZZ

D

f (x, y) dxdy.

Liczbę

f

´

sr

def

=

1

|D|

ZZ

D

f (x, y) dxdy

nazywamy wartością średnią funkcji f na zbiorze D.

4.3. Metody obliczania całek podwójnych.

Twierdzenie 4.21 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną).

Niech f będzie funkcją

ciągłą na zbiorze D

⊂ R

2

. Wówczas

a) jeśli D jest zbiorem normalnym względem osi Ox, to

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

b

Z

a






g(x)

Z

h(x)

f (x, y)dy






dx;

b) jeśli D jest zbiorem normalnym względem osi Oy, to

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

d

Z

c






q(y)

Z

p(y)

f (x, y)dx






dy.

Wniosek 4.22.

2006

−E

K

19

Twierdzenie 4.23 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej).

Załóżmy, że

(1) ∆

⊂ R

2

jest obszarem regularnym,

(2) funkcje Φ, Ψ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U zawiera-

jącym ∆,

(3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ] : U

→ R

2

jest różnowartościowe na zbiorze Int(∆),

(4) J

T

(u, v)

6= 0 dla każdego (u, v) ∈ Int(∆),

(5) D = T [∆] jest obszarem regularnym,
(6) funkcja f : D

→ R jest ciągła.

Wówczas zachodzi wzór

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

ZZ

∆

f (Φ(u, v), Ψ(u, v))

|J

T

(u, v)

| dudv.

Definicja 4.24.

Niech p

∈ R

2

\ {(0, 0)}. Parę liczb (r, ϕ) ∈ (0, +∞) × [0, 2π), gdzie

r – oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0),

ϕ – oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a promieniem wodzącym punktu p,

nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu p. Dla punktu (x, y) = (0, 0) przyjmuje-
my (r, ϕ) = (0, 0).

Uwaga 4.25. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ), to jego współrzędne kartezjańskie
określone są wzorami:

(

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ.

Definicja 4.26.

Przekształcenie T

B

: [0, +

∞) × [0, 2π] → R

2

takie, że

T

B

(r, ϕ)

def

= [r cos ϕ, r sin ϕ],

nazywamy przekształceniem biegunowym.

Własności przekształcenia T

B

:

Twierdzenie 4.27.

Załóżmy, że

(1) ∆

⊂ R

2

jest obszarem regularnym,

(2) D = T

B

[∆],

(3) funkcja f : D

→ R jest ciągła.

Wówczas

ZZ

D

f (x, y) dxdy =

ZZ

∆

f (r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ.

20

4.4. Metody obliczania całek potrójnych.

Definicja 4.28.

Mówimy, ze obszar V

⊂ R

3

jest

• normalny względem płaszczyzny Oxy, gdy

V =

{(x, y, z) ∈ R

3

: (x, y)

∈ D

xy

∧ h(x, y) ¬ z ¬ g(x, y)},

gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze D

xy

⊂ R

2

oraz h(x, y) < g(x, y)

dla każdego (x, y)

∈ D

xy

;

• normalny względem płaszczyzny Oyz, gdy

V =

{(x, y, z) ∈ R

3

: (y, z)

∈ D

yz

∧ p(y, z) ¬ x ¬ q(y, z)},

gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze D

yz

⊂ R

2

oraz p(y, z) < q(y, z)

dla każdego (y, z)

∈ D

yz

;

• normalny względem płaszczyzny Oxz, gdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych

wnętrzach.

Twierdzenie 4.29.

Jeśli funkcja f : V

→ R jest ciągła, zaś obszar ⊂ R

3

jest normalny

względem płaszczyzny Oxy i określony podobnie jak w definicji 4.28 , to

ZZZ

V

f (x, y, z) dxdydz =

ZZ

D

xy






g(x,y)

Z

h(x,y)

f (x, y, z) dz






dxdy.

Analogiczne twierdzenia zachodzą w przypadku, gdy V jest obszarem normalnym względem
płaszczyzny Oyz lub Oxz.

Wniosek 4.30.

Twierdzenie 4.31 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej).

Załóżmy, że

(1) ∆

⊂ R

3

jest obszarem regularnym,

(2) funkcje Φ, Ψ, Γ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U

⊃ ∆,

(3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ, Γ] : U

→ R

3

jest różnowartościowe na zbiorze Int(∆),

(4) J

T

(u, v, t)

6= 0 dla każdego (u, v, t) ∈ Int(∆),

(5) D = T [∆] jest obszarem regularnym,
(6) funkcja f : D

→ R jest ciągła.

Wówczas zachodzi wzór

ZZZ

V

f (x, y, z) dxdydz =

ZZZ

∆

f (Φ(u, v, t), Ψ(u, v, t), Γ(u, v, t))

|J

T

(u, v, t)

| dudvdt.

2006

−E

K

21

Definicja 4.32.

Niech p = (z, y, z)

∈ R

3

\{(0, 0, 0)}. Trójkę liczb (r, ϕ, h) ∈ (0, +∞)×[0, 2π)×

R

, gdzie

r – oznacza odległość rzutu punktu p na płaszczyznę Oxy od punktu (0, 0, 0),

ϕ – oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a rzutem promienia wodzącego punktu p na płaszczyznę Oxy,

h = z,

nazywamy współrzędnymi walcowymi (cylindrycznymi) punktu p.

Uwaga 4.33. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, h), to jego współrzędne karte-
zjańskie określone są wzorami:











x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z = h.

Definicja 4.34.

Przekształcenie T

W

: [0, +

∞) × [0, 2π] × R → R

3

takie, że

T

W

(r, ϕ, h)

def

= [r cos ϕ, r sin ϕ, h]

nazywamy przekształceniem walcowym.

Własności przekształcenia T

W

:

Definicja 4.35.

Niech p

∈ R

3

\ {(0, 0, 0)}. Trójkę liczb (r, ϕ, θ) ∈ (0, +∞) × [0, 2π) × [−

π

2

,

π

2

],

gdzie

r – oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0, 0),

ϕ – oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a rzutem promienia wodzącego punktu p

na płaszczyznę Oxy,

θ – oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu p a płaszczyzną Oxy,

nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu p.

Uwaga 4.36. Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, θ), to jego współrzędne karte-
zjańskie określone są wzorami:











x = r cos ϕ cos θ,
y = r sin ϕc cos θ,
z = r sin θ.

Definicja 4.37.

Przekształcenie T

S

: [0, +

∞) × [0, 2π] × [−

π

2

,

π

2

]

→ R

3

takie, że

T

S

(r, ϕ, h)

def

= [r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ]

nazywamy przekształceniem sferycznym.

Własności przekształcenia T

S

:

22

4.5. Zastosowania całek wielokrotnych.

• Pole obszaru: Jeśli D ⊂ R

2

jest obszarem regularnym, to

|D| =

ZZ

D

dxdy.

(P 1)

W szczególności, gdy D

⊂ R

2

jest obszarem normalnym względem osi Ox określonym jak

w definicji 4.14, to

|D| =

b

Z

a






g(x)

Z

h(x)

dy






dx =

b

Z

a

(g(x)

− h(x)) dx.

(P 2)

• Objętość bryły: Jeśli V ⊂ R

3

jest obszarem regularnym, to

|V | =

ZZZ

V

dxdydz.

(O1)

W szczególności, gdy V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy określonym
jak w definicji 4.28, to

|V | =

ZZ

D

xy






g(x,y)

Z

h(x,y)

dz






dxdy =

ZZ

D

xy

(g(x, y)

− h(x, y))dxdy.

(O2)

Jeśli V jest bryłą obrotową powstałą z obrotu dookoła osi Oz trapezu krzywoliniowego

D =

{(x, z) : a ¬ x ¬ b ∧ 0 ¬ z ¬ f(x)},

gdzie 0 < a < b oraz f : [a, b] jest funkcją ciągłą, to

|V | = 2π

b

Z

a

xf (x) dx.

(O3)

• Pole płata: Niech f : D → R będzie funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe na

obszarze regularnym D

⊂ R

2

. Wówczas pole płata S będącego wykresem funkcji f wyraża

się wzorem:

|S| =

ZZ

D

q

1 + (f

0

x

(x, y))

2

+ (f

0

y

(x, y))

2

dxdy.

• Masa obszaru: Niech σ : D → R będzie funkcją ciągłą na obszarze regularnym D.

Wówczas masa m obszaru D

⊂ R

2

o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem:

m =

ZZ

D

σ(x, y) dxdy.

Masa M obszaru D

⊂ R

3

o gęstości objętościowej masy σ wyraża się wzorem:

M =

ZZZ

D

σ(x, y, z) dxdydz.

2006

−E

K

23

• Inne zastosowania fizyczne: wyznaczanie momentów statycznych, współrzędnych środka

masy, momentów bezwładności, energii kinetycznej i potencjalnej, itd. (Patrz: M. Gewert,
Z. Skoczylas, ”Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory”.)