Spis treści

6.

Równiania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

1

6.1.

Wstęp.

1

6.2.

Równanie o zmiennych rozdzielonych i równanie jednorodne względem x i y.

2

6.3.

Równanie liniowe i równanie Bernouliego.

3

7.

Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu.

5

7.1.

Wstęp

5

7.2.

Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego.

6

7.3.

Równanie liniowe n-tego rzędu.

6

7.4.

Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

8

8.

Elementy rachunku operatorowego

10

8.1.

Transformata Laplace’a.

10

8.2.

Własności przekształcenia Laplace’a.

11

8.3.

Zastosowania przekształacenia Laplace’a.

12

1

6. Równiania różniczkowe zwyczajne

pierwszego rzędu

6.1. Wstęp.

Definicja 6.1.

• Niech V ⊂ R

3

będzie obszarem oraz F : V

→ R. Równaniem różniczkowym zwyczaj-

nym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

F (x, y, y

0

) = 0.

• Równanie różniczkowe postaci

y

0

= f (x, y),

(

∗)

gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D

⊂ R

2

, nazywamy równaniem róż-

niczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej.

Definicja 6.2.

• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania

(

∗) nazywamy każdą funkcję ϕ : I → R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,

że

V

x

∈I

ϕ

0

(x) = f (x, ϕ(x)).

Wykres funkcji ϕ nazywamy krzywą całkową równania (

∗).

• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania

(

∗).

Definicja 6.3.

Niech (x

0

, y

0

)

∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początko-

wym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (

∗), które spełnia

tzw. warunek początkowy ϕ(x

0

) = y

0

.

Interpretacja gemetryczna równania (

∗):

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania (

∗):

Twierdzenie 6.4 (Peano).

Niech D

⊂ R

2

będzie obszarem oraz f : D

→ R. Jeśli funkcja f

jest ciągła, to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ D istnieje rozwiązanie ϕ równania (∗) spełniające

warunek ϕ(x

0

) = y

0

(tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa

całkowa równania (

∗)).

Twierdzenie 6.5 (Cauchy’ego-Piccard).

Niech D

⊂ R

2

będzie obszarem oraz f : D

→ R.

Jeśli funkcje f i f

0

y

są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ D istnieje dokładnie jedno

rozwiązanie ϕ równania (

∗) spełniające warunek ϕ(x

0

) = y

0

.

2

Uwaga 6.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego rozumiemy nastę-
pująco: jeśli funkcje ϕ : I

→ R oraz ψ : J → R (gdzie I, J są przedziałami otwartymi takimi,

że x

0

∈ I ∩ J) są rozwiązaniami równania (∗) spełniającymi warunek ϕ(x

0

) = ψ(x

0

) = y

0

, to

V

x

∈I∩J

ϕ(x) = ψ(x).

6.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i rów-

nanie jednorodne względem

x i y.

Definicja 6.7.

Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci

y

0

= h(x)g(y),

(ZR)

gdzie h : (a, b)

→ R oraz g : (c, d) → R.

Lemat 6.8. Jeśli y

0

∈ (c, d) oraz g(y

0

) = 0, to funkcja stała ϕ : (a, b)

→ R określona wzorem

ϕ(x) = y

0

dla x

∈ (a, b),

jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x)

6= 0 dla pewnego x ∈ (a, b), to zachodzi również

stwierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 6.9.

Jeżeli h : (a, b)

→ R, g : (c, d) → R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) 6= 0

dla każdego y

∈ (c, d), to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ (a, b) × (c, d) istnieje dokładnie jedno

rozwiązanie ϕ równania (ZR) spełniające warunek ϕ(x

0

) = y

0

. Rozwiązanie to określone jest

wzorem

ϕ(x) = G

−1

(H(x)

− H(x

0

) + G(y

0

)) dla x

∈ I ⊂ (a, b),

gdzie H i G są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i

1
g

.

Definicja 6.10.

Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci

y

0

= f (

y

x

),

(J)

gdzie f : (c, d)

→ R.

Uwaga 6.11. Równanie jednorodne (J) poprzez podstawienie:

t =

y

x

,

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych postaci

t

0

=

f (t)

− t

x

.

2006

−E

K

3

6.3. Równanie liniowe i równanie Bernoulie-

go.

Definicja 6.12.

Niech p, q : (a, b)

→ R.

• Równanie postaci

y

0

+ p(x)y = q(x)

(L)

nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu.

• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać

y

0

+ p(x)y = 0.

(LJ)

Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.
Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem linio-
wym niejednorodnym.

Twierdzenie 6.13.

Jeśli p, q : (a, b)

→ R są funkcjami ciągłymi oraz (x

0

, y

0

)

∈ (a, b) × R, to

istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (L) określone na przedziale (a, b) i spełniające
warunek początkowy ϕ(x

0

) = y

0

.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ):

Lemat 6.14. Niech p : (a, b)

→ R będzie funkcją ciągłą, zaś P – dowolnie ustaloną funk-

cją pierwotną funkcji p. Wówczas rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą wszystkie funkcje
postaci

ϕ

0

(x) = Ce

−P (x)

,

gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L):

Twierdzenie 6.15.

Niech ϕ

s

będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L). Wówczas roz-

wiązanie ogólne równania (L) tworzą wszystkie funkcje postaci

ϕ = ϕ

0

+ ϕ

s

,

gdzie ϕ

0

jest dowolnym rozwiązaniem równania (LJ).

Metody wyznaczania rozwiązania szczególnego równania liniowego (L):

• metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 6.16),
• metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 6.17 i 6.18).

Twierdzenie 6.16.

Niech p, q : (a, b)

→ R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie

ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qe

P

, to funkcja postaci

ϕ

s

(x) = C(x)e

−P (x)

jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).

4

Twierdzenie 6.17.

Jeśli W

n

, V

m

są wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaś a, α, β

∈ R,

to równanie liniowe

y

0

+ ay = [W

n

(x) cos βx + V

m

(x) sin βx]e

αx

ma rozwiązanie szczególne postaci

ϕ

s

(x) = x

k

[P

l

(x) cos βx + Q

l

(x) sin βx]e

αx

,

gdzie P

l

, Q

l

są wielomianami stopnia l = max

{n, m} oraz

k =

(

1, gdy α =

−a i β = 0,

0, w przeciwnym wypadku.

Twierdzenie 6.18.

Niech p, q

1

, q

2

: (a, b)

→ R. Jeśli ϕ

1

jest rozwiązaniem szczególnym rów-

nania

y

0

+ p(x)y = q

1

(x),

zaś ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

0

+ p(x)y = q

2

(x),

to funkcja ϕ

1

+ ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

0

+ p(x)y = q

1

(x) + q

2

(x).

Definicja 6.19.

Jeśli p, q : (a, b)

→ R oraz α ∈ R \ {0, 1}, to równanie postaci

y

0

+ p(x)y = q(x)y

α

(B)

nazywamy równaniem równaniem Bernouliego.

Uwaga 6.20.

1. Gdy w równaniu (B) α

∈ {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe.

2. Jeśli α > 0, to funkcja

ϕ(x) = 0 dla x

∈ (a, b),

jest rozwiązaniem szczególnym równania (B).

3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie

t = y

1

−α

.

2006

−E

K

5

7. Równania różniczkowe zwyczajne

n-tego rzędu.

7.1. Wstęp

Definicja 7.1.

• Niech n ∈ N, V ⊂ R

n+2

będzie obszarem oraz F : V

→ R. Równaniem różniczkowym

zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci

F (x, y, y

0

, y

00

, . . . , y

(n)

) = 0.

• Równanie różniczkowe postaci

y

(n)

= f (x, y, y

0

, y

00

, . . . , y

(n

−1)

),

(

∗

n

)

gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D

⊂ R

n+1

, nazywamy równaniem

różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej.

Definicja 7.2.

• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania

(

∗

n

) nazywamy każdą funkcję ϕ : I

→ R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,

że

V

x

∈I

ϕ

(n)

(x) = f (x, ϕ(x), ϕ

0

(x), ϕ

00

(x), . . . , ϕ

(n

−1)

(x)).

• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗

n

) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równa-

nia (

∗

n

).

Definicja 7.3.

Niech (x

0

, y

0

, y

1

, . . . , y

n

−1

)

∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem

początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (

∗

n

),

które spełnia tzw. warunki początkowe:

ϕ(x

0

) = y

0

, ϕ

0

(x

0

) = y

1

,

. . . , ϕ

(n

−1)

(x

0

) = y

n

−1

.

Definicja 7.4.

Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegające na znalezieniu

rozwiązania ϕ równania

y

00

= f (x, y, y

0

),

(

∗

2

)

które spełnia tzw. warunki brzegowe: ϕ(x

1

) = y

1

, ϕ(x

2

) = y

2

, x

1

6= x

2

.

6

7.2. Równania rzędu drugiego sprowadzalne

do równań rzędu pierwszego.

Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując

odpowiednie podstawienia:

r. r. rzędu 2

podstawienie

r. r. rzędu 1

F (x, y

0

, y

00

) = 0

y

0

= u(x)

F (x, u, u

0

) = 0

F (y, y

0

, y

00

) = 0

y

0

= u(y)

F (y, u, u

du
dy

) = 0

7.3. Równanie liniowe n-tego rzędu.

Definicja 7.5.

Niech p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

, q : (a, b)

→ R.

• Równanie postaci

y

(n)

+ p

n

−1

(x)y

(n

−1)

+ p

n

−2

(x)y

(n

−2)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = q(x)

(L

n

)

nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu.

• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (L

n

) przyjmuje postać

y

(n)

+ p

n

−1

(x)y

(n

−1)

+ p

n

−2

(x)y

(n

−2)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = 0.

(LJ

n

)

Równanie (LJ

n

) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu.

Twierdzenie 7.6.

Jeśli p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

, q : (a, b)

→ R są funkcjami ciągłymi oraz

(x

0

, y

0

, y

1

, . . . , y

n

−1

)

∈ (a, b) × R

n

, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ (określone na

(a, b)) równania liniowego (L

n

) takie, że

ϕ(x

0

) = y

0

, ϕ

0

(x

0

) = y

1

, . . . , ϕ

(n

−1)

(x

0

) = y

n

−1

.

Dalej zakładamy, że funkcje p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

oraz q są ciągłe na (a, b).

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ

n

) :

Niech V

0

oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących roz-

wiązaniami równania (LJ

n

). Wówczas

1. V

0

6= ∅ i V

0

⊂ C

(n)

(a, b);

2.

V

ϕ

∈V

0

V

k

∈R

kϕ

∈ V

0

;

3.

V

ϕ, ψ

∈V

0

ϕ + ψ

∈ V

0

.

2006

−E

K

7

To oznacza, że V

0

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C

(n)

(a, b).

Przypomnijmy teraz, kilka faktów z algebry dotyczących wymiaru przestrzeni liniowych.

Niech X

6= ∅ oznacza dowolną przetrzeń liniową oraz k ∈ R.

• Układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) elementów przestrzeni liniowej X jest liniowo niezależny, gdy

V

α

1

,α

2

,... ,α

n

∈R

[(

V

x

∈(a,b)

α

1

ϕ

1

(x) + α

2

ϕ

2

(x) +

· · · + α

n

ϕ

n

(x) = 0)

⇒ α

1

= α

2

= . . . = α

n

= 0].

• Układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) elementów przestrzeni liniowej X nazywamy bazą tej przestrzeni,

gdy jest on maksymalnym układem liniowo niezależnym w X.

• Wszystkie bazy przestrzeni linowej są równoliczne; moc dowolnej bazy przestrzeni X na-

zywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy przez dim X.

• Jeśli układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) jest bazą przestrzeni X, to

V

ϕ

∈X

W

α

1

,α

2

,... ,α

k

∈R

ϕ = α

1

ϕ

1

+ α

2

ϕ

2

+

· · · + α

k

ϕ

k

.

Definicja 7.7.

Niech ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

∈ C

(n)

(a, b) oraz x

∈ (a, b). Wyznacznik

W

ϕ

1

,ϕ

2

,... ,ϕ

k

(x)

def

=











ϕ

1

(x)

ϕ

2

(x)

. . . ϕ

k

(x)

ϕ

0

1

(x)

ϕ

0

2

(x)

. . . ϕ

0

k

(x)

. . .

. . .

. . . . . .

ϕ

(n

−1)

1

(x) ϕ

(n

−1)

2

(x) . . . ϕ

(n

−1)

k

(x)











nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) układu funkcji (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) w

punkcie x.

Twierdzenie 7.8.

Niech ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

∈ V

0

. Układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) jest liniowo niezależny w

przestrzeni C

(n)

(a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x

0

∈ (a, b) taki, że W

ϕ

1

,ϕ

2

,... ,ϕ

k

(x

0

)

6= 0.

Twierdzenie 7.9.

dim V

0

= n.

Definicja 7.10.

Każdą bazę przestrzeni V

0

nazywamy fundamentalnym układem rozwią-

zań równania (LJ

n

).

Twierdzenie 7.11.

Jeśli funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwiązań rów-

nania (LJ

n

), to rozwiązanie ogólne równania (LJ

n

) tworzą funkcje postaci

ϕ(x) = C

1

ϕ

1

(x) + C

2

ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

ϕ

n

(x), x

∈ (a, b),

gdzie C

1

, C

2

, . . . , C

n

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Twierdzenie 7.12.

Jeśli ϕ

1

: I

→ R jest rozwiązaniem równania (LJ

2

) takim, że ϕ

1

(x)

6= 0

dla x

∈ I, zaś P

1

jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p

1

, to funkcja określona wzorem

ϕ

2

(x) = ϕ

1

(x)

Z

e

−P

1

(x)

ϕ

2

1

(x)

dx, x

∈ I,

jest również rozwiązaniem równania (LJ

2

). Ponadto funkcje ϕ

1

, ϕ

2

są liniowo niezależne.

8

Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L

n

):

Twierdzenie 7.13.

Niech ϕ

s

będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L

n

). Wówczas roz-

wiązanie ogólne równania (L

n

) tworzą wszystkie funkcje postaci

ϕ = ϕ

0

+ ϕ

s

,

gdzie ϕ

0

jest dowolnym rozwiązaniem równania (LJ

n

).

Wniosek 7.14. Jeśli funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania

(LJ

n

) oraz ϕ

s

jest rozwiązaniem szczególnym równania (L

n

), to rozwiązanie ogólne równania

(L

n

) tworzą funkcje postaci

ϕ(x) = C

1

ϕ

1

(x) + C

2

ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

ϕ

n

(x) + ϕ

s

(x),

x

∈ (a, b),

gdzie C

1

, C

2

, . . . , C

n

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie szczególne równania liniowego (L

n

):

Twierdzenie 7.15.

Załóżmy, że funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwią-

zań równania (LJ

n

). Wówczas funkcja postaci

ϕ

s

(x) = C

1

(x)ϕ

1

(x) + C

2

(x)ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

(x)ϕ

n

(x), x

∈ (a, b)

jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L

n

), gdy funkcje C

1

, C

2

, . . . , C

n

: (a, b)

→ R

są rozwiązaniami układu równań































C

0

1

ϕ

1

+C

0

2

ϕ

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

n

= 0,

C

0

1

ϕ

0

1

+C

0

2

ϕ

0

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

0

n

= 0,

. . .

C

0

1

ϕ

(n

−2)

1

+C

0

2

ϕ

(n

−2)

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

(n

−2)

n

= 0,

C

0

1

ϕ

(n

−1)

1

+C

0

2

ϕ

(n

−1)

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

(n

−1)

n

= q.

7.4. Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych

współczynnikach.

Definicja 7.16.

Równanie postaci

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q(x),

(LS

n

)

gdzie a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

∈ R, q : (a, b) → R, nazywamy równaniem równaniem liniowym

n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJS

n

):

Definicja 7.17.

Równanie

r

n

+ a

n

−1

r

n

−1

+ a

n

−2

r

n

−2

+

· · · + a

1

r + a

0

= 0

nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współ-
czynnikach

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = 0.

(LJS

n

)

2006

−E

K

9

Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJS

n

) można wyznaczyć przy pomocy pier-

wiastków równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu:

Twierdzenie 7.18.

Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJS

n

).

Wówczas

1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji:

e

rx

, xe

rx

, x

2

e

rx

, x

k

−1

e

rx

,

jest rozwiązaniem równania (LJS

n

);

2. jeśli r = α + iβ jest pierwiastkiem zespolonym o krotności k, to każda z funkcji:

e

αx

cos βx, xe

αx

cos βx, x

2

e

αx

cos βx, x

k

−1

e

αx

cos βx,

e

αx

sin βx, xe

αx

sin βx, x

2

e

αx

sin βx, x

k

−1

e

αx

sin βx,

jest rozwiązaniem równania (LJS

n

).

Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycz-
nego równania (LJS

n

) stanowią układ liniowo niezależny.

Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LS

n

):

Twierdzenie 7.19.

Jeśli W

n

, V

m

są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz

a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

, α, β

∈ R, to równanie liniowe

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = [W

n

(x) cos βx + V

m

(x) sin βx]e

αx

ma rozwiązanie szczególne postaci

ϕ

s

(x) = x

k

[P

l

(x) cos βx + Q

l

(x) sin βx]e

αx

, x

∈ R,

gdzie P

l

, Q

l

są wielomianami stopnia l = max

{n, m} oraz

k =

(

k

r

, gdy r = α + βi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności k

r

,

0

w przeciwnym wypadku.

Uwaga 7.20. Stałą α + βi nazywamy stałą kontrolną równania rozważanego w tw. 7.19.

Twierdzenie 7.21.

Niech q

1

, q

2

: (a, b)

→ R oraz a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

∈ R. Jeśli ϕ

1

jest

rozwiązaniem równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

1

(x),

zaś ϕ

2

jest rozwiązaniem równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

2

(x),

to funkcja ϕ

1

+ ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

1

(x) + q

2

(x).

10

8. Elementy rachunku

operatorowego

8.1. Transformata Laplace’a.

Definicja 8.1.

• Transformatą Laplace’a funkcji f : [0, +∞) → R nazywamy funkcję F zmiennej rzeczy-

wistej s określoną wzorem

F (s)

def

=

+

∞

Z

0

f (t)e

−st

dt.

Funkcję F nazywamy obrazem funkcji f.

• Niech X oznacza rodzinę funkcji posiadających transformatę Laplace’a. Przekształcenie

L : X 3 f 7→ F

nazywamy przekształceniem albo transformacją Laplace’a.
Obraz funkcji f możemy wówczas oznaczyć przez

L{f} lub L{f(t)}.

Uwaga 8.2. Analogicznie definiujemy transformatę Laplace’a jako funkcję zmiennej zespolonej s.

Twierdzenie 8.3 (warunki wystarczające istnienia transformaty Laplace’a).

Jeśli funkcja f : [0, +

∞) → R spełnia warunki:

(1) na każdym przedziale postaci [0, T ], gdzie T > 0, ma co najwyżej skończoną liczbę punktów

nieciągłości pierwszego rodzaju,

(2)

W

C

∈R

W

M >0

V

t

­0

|f(t)| ¬ Me

−Ct

,

to jej transformata Laplace’a istnieje dla s > C.

Funkcję spełniającą założenia powyższego twierdzenia nazywamy oryginałem.

Wniosek 8.4. Jeśli funkcja f : [0, +

∞) → R spełnia warunek (1) (w szczególności jest ciągła)

i jest ograniczona, to ma transformatę Laplace’a określoną dla s > 0.

2006

−E

K

11

Transformaty wybranych funkcji:

Funkcja

Transformata Laplace’a

1

1

s

t

n

n!

s

n+1

e

αt

1

s

− α

sin βt

β

s

2

+ β

2

cos βt

s

s

2

+ β

2

8.2. Własności przekształcenia Laplace’a.

(W1) (liniowość)

Jeśli funkcje f, g : [0, +

∞) → R mają transformaty L{f} i L{g}, to

a) istnieje transformata

L{f + g} i zachodzi równość

L{f + g} = L{f} + L{g};

b) dla każdego c

∈ R istnieje transformata L{cf} oraz

L{cf} = cL{f}.

(W2)

Jeśli funkcje f, g : [0, +

∞) → R są ciągłe i L{f} = L{g}, to f = g.

W (W3)

−(W6) i (W8) zakładamy, że funkcja f : [0, +∞) → R jest oryginałem.

(W3)

Jeśli F =

L{f} i a > 0, to prawdziwa jest równość

L{f(at)} =

1

a

F (

s

a

).

(W4)

Jeśli F =

L{f} i α ∈ R, to

L{e

αt

f (t)

} = F (s − α).

(W5) (różniczkowanie transformaty)

Jeśli F =

L{f} i n ∈ N, to

L{t

n

f (t)

} = (−1)

n

F

(n)

(s).

(W6) (całkowanie transformaty)

L{

f (t)

t

} =

∞

Z

s

L{f}ds.

12

(W7) (n-krotne różniczkowanie oryginału)

Jeśli f

(n)

jest oryginałem, to istnieje

L{f} oraz

L{f

(n)

} = s

n

L{f} − s

n

−1

f (0

+

)

− s

n

−2

f

0

(0

+

)

− · · · − sf

(n

−2)

(0

+

)

− f

(n

−1)

(0

+

),

gdzie f

(k)

(0

+

) = lim

t

→0

+

f

(k)

(t), k

∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}. W szczególności

L{f

0

} = sL{f} − f(0

+

),

L{f

00

} = s

2

L{f} − sf(0

+

)

− f

0

(0

+

).

(W8) (całkowanie oryginału)

L{

t

Z

0

f (x)dx

} =

L{f}

s

.

8.3. Zastosowania przekształacenia Laplace’a.

• Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych n-tego rzędu o stałych współczynnikach

tzw. metodą operatorową.

• Obliczanie pewnych typów całek niewłaściwych.

• Analiza i projektowanie układów sterowania.

2006

−E

K