Spis treści

5.

Równiania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

24

5.1.

Wstęp.

24

5.2.

Równanie o zmiennych rozdzielonych i równanie jednorodne względem x i y.

25

5.3.

Równanie liniowe i równanie Bernouliego.

26

6.

Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu.

28

6.1.

Wstęp

28

6.2.

Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego.

29

6.3.

Równanie liniowe n-tego rzędu.

29

6.4.

Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

31

7.

Elementy rachunku operatorowego

33

7.1.

Transformata Laplace’a.

33

7.2.

Własności przekształcenia Laplace’a.

34

7.3.

Zastosowania przekształacenia Laplace’a.

35

24

5. Równiania różniczkowe zwyczajne

pierwszego rzędu

5.1. Wstęp.

Definicja 5.1.

• Niech V ⊂ R

3

będzie obszarem oraz F : V

→ R. Równaniem różniczkowym zwyczaj-

nym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

F (x, y, y

0

) = 0.

• Równanie różniczkowe postaci

y

0

= f (x, y),

(

∗)

gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D

⊂ R

2

, nazywamy równaniem róż-

niczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej.

Definicja 5.2.

• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania

(

∗) nazywamy każdą funkcję ϕ : I → R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,

że

V

x

∈I

ϕ

0

(x) = f (x, ϕ(x)).

Wykres funkcji ϕ nazywamy krzywą całkową równania (

∗).

• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania

(

∗).

Definicja 5.3.

Niech (x

0

, y

0

)

∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początko-

wym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (

∗), które spełnia

tzw. warunek początkowy ϕ(x

0

) = y

0

.

Interpretacja gemetryczna równania (

∗):

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania (

∗):

Twierdzenie 5.4 (Peano).

Niech D

⊂ R

2

będzie obszarem oraz f : D

→ R. Jeśli funkcja f

jest ciągła, to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ D istnieje rozwiązanie ϕ równania (∗) spełniające

warunek ϕ(x

0

) = y

0

(tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa

całkowa równania (

∗)).

Twierdzenie 5.5 (Cauchy’ego-Piccard).

Niech D

⊂ R

2

będzie obszarem oraz f : D

→ R.

Jeśli funkcje f i f

0

y

są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ D istnieje dokładnie jedno

rozwiązanie ϕ równania (

∗) spełniające warunek ϕ(x

0

) = y

0

.

2006

−E

K

25

Uwaga 5.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego rozumiemy nastę-
pująco: jeśli funkcje ϕ : I

→ R oraz ψ : J → R (gdzie I, J są przedziałami otwartymi takimi,

że x

0

∈ I ∩ J) są rozwiązaniami równania (∗) spełniającymi warunek ϕ(x

0

) = ψ(x

0

) = y

0

, to

V

x

∈I∩J

ϕ(x) = ψ(x).

5.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i rów-

nanie jednorodne względem

x i y.

Definicja 5.7.

Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci

y

0

= h(x)g(y),

(ZR)

gdzie h : (a, b)

→ R oraz g : (c, d) → R.

Lemat 5.8. Jeśli y

0

∈ (c, d) oraz g(y

0

) = 0, to funkcja stała ϕ : (a, b)

→ R określona wzorem

ϕ(x) = y

0

dla x

∈ (a, b),

jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x)

6= 0 dla pewnego x ∈ (a, b), to zachodzi również

stwierdzenie odwrotne.

Twierdzenie 5.9.

Jeżeli h : (a, b)

→ R, g : (c, d) → R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) 6= 0

dla każdego y

∈ (c, d), to dla dowolnego punktu (x

0

, y

0

)

∈ (a, b) × (c, d) istnieje dokładnie jedno

rozwiązanie ϕ równania (ZR) spełniające warunek ϕ(x

0

) = y

0

. Rozwiązanie to określone jest

wzorem

ϕ(x) = G

−1

(H(x)

− H(x

0

) + G(y

0

)) dla x

∈ I ⊂ (a, b),

gdzie H i G są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i

1
g

.

Definicja 5.10.

Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci

y

0

= f (

y

x

),

(J)

gdzie f : (c, d)

→ R.

Uwaga 5.11. Równanie jednorodne (J) poprzez podstawienie:

t =

y

x

,

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych postaci

t

0

=

f (t)

− t

x

.

26

5.3. Równanie liniowe i równanie Bernoulie-

go.

Definicja 5.12.

Niech p, q : (a, b)

→ R.

• Równanie postaci

y

0

+ p(x)y = q(x)

(L)

nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu.

• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać

y

0

+ p(x)y = 0.

(LJ)

Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.
Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem linio-
wym niejednorodnym.

Twierdzenie 5.13.

Jeśli p, q : (a, b)

→ R są funkcjami ciągłymi oraz (x

0

, y

0

)

∈ (a, b) × R, to

istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (L) określone na przedziale (a, b) i spełniające
warunek początkowy ϕ(x

0

) = y

0

.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ):

Lemat 5.14. Niech p : (a, b)

→ R będzie funkcją ciągłą, zaś P – dowolnie ustaloną funk-

cją pierwotną funkcji p. Wówczas rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą wszystkie funkcje
postaci

ϕ

0

(x) = Ce

−P (x)

,

gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L):

Twierdzenie 5.15.

Niech ϕ

s

będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L). Wówczas roz-

wiązanie ogólne równania (L) tworzą wszystkie funkcje postaci

ϕ = ϕ

0

+ ϕ

s

,

gdzie ϕ

0

jest dowolnym rozwiązaniem równania (LJ).

Metody wyznaczania rozwiązania szczególnego równania liniowego (L):

• metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 5.16),
• metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 5.17 i 5.18).

Twierdzenie 5.16.

Niech p, q : (a, b)

→ R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie

ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qe

P

, to funkcja postaci

ϕ

s

(x) = C(x)e

−P (x)

jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).

2006

−E

K

27

Twierdzenie 5.17.

Jeśli W

n

, V

m

są wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaś a, α, β

∈ R,

to równanie liniowe

y

0

+ ay = [W

n

(x) cos βx + V

m

(x) sin βx]e

αx

ma rozwiązanie szczególne postaci

ϕ

s

(x) = x

k

[P

l

(x) cos βx + Q

l

(x) sin βx]e

αx

,

gdzie P

l

, Q

l

są wielomianami stopnia l = max

{n, m} oraz

k =

(

1, gdy α =

−a i β = 0,

0, w przeciwnym wypadku.

Twierdzenie 5.18.

Niech p, q

1

, q

2

: (a, b)

→ R. Jeśli ϕ

1

jest rozwiązaniem szczególnym rów-

nania

y

0

+ p(x)y = q

1

(x),

zaś ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

0

+ p(x)y = q

2

(x),

to funkcja ϕ

1

+ ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

0

+ p(x)y = q

1

(x) + q

2

(x).

Definicja 5.19.

Jeśli p, q : (a, b)

→ R oraz α ∈ R \ {0, 1}, to równanie postaci

y

0

+ p(x)y = q(x)y

α

(B)

nazywamy równaniem równaniem Bernouliego.

Uwaga 5.20.

1. Gdy w równaniu (B) α

∈ {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe.

2. Jeśli α > 0, to funkcja

ϕ(x) = 0 dla x

∈ (a, b),

jest rozwiązaniem szczególnym równania (B).

3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie

t = y

1

−α

.

28

6. Równania różniczkowe zwyczajne

n-tego rzędu.

6.1. Wstęp

Definicja 6.1.

• Niech n ∈ N, V ⊂ R

n+2

będzie obszarem oraz F : V

→ R. Równaniem różniczkowym

zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci

F (x, y, y

0

, y

00

, . . . , y

(n)

) = 0.

• Równanie różniczkowe postaci

y

(n)

= f (x, y, y

0

, y

00

, . . . , y

(n

−1)

),

(

∗

n

)

gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D

⊂ R

n+1

, nazywamy równaniem

różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej.

Definicja 6.2.

• Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania

(

∗

n

) nazywamy każdą funkcję ϕ : I

→ R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką,

że

V

x

∈I

ϕ

(n)

(x) = f (x, ϕ(x), ϕ

0

(x), ϕ

00

(x), . . . , ϕ

(n

−1)

(x)).

• Rozwiązaniem ogólnym równania (∗

n

) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równa-

nia (

∗

n

).

Definicja 6.3.

Niech (x

0

, y

0

, y

1

, . . . , y

n

−1

)

∈ D. Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem

początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania (

∗

n

),

które spełnia tzw. warunki początkowe:

ϕ(x

0

) = y

0

, ϕ

0

(x

0

) = y

1

,

. . . , ϕ

(n

−1)

(x

0

) = y

n

−1

.

Definicja 6.4.

Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegające na znalezieniu

rozwiązania ϕ równania

y

00

= f (x, y, y

0

),

(

∗

2

)

które spełnia tzw. warunki brzegowe: ϕ(x

1

) = y

1

, ϕ(x

2

) = y

2

, x

1

6= x

2

.

2006

−E

K

29

6.2. Równania rzędu drugiego sprowadzalne

do równań rzędu pierwszego.

Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując

odpowiednie podstawienia:

r. r. rzędu 2

podstawienie

r. r. rzędu 1

F (x, y

0

, y

00

) = 0

y

0

= u(x)

F (x, u, u

0

) = 0

F (y, y

0

, y

00

) = 0

y

0

= u(y)

F (y, u, u

du
dy

) = 0

6.3. Równanie liniowe n-tego rzędu.

Definicja 6.5.

Niech p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

, q : (a, b)

→ R.

• Równanie postaci

y

(n)

+ p

n

−1

(x)y

(n

−1)

+ p

n

−2

(x)y

(n

−2)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = q(x)

(L

n

)

nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu.

• Jeśli q(x) = 0 dla x ∈ (a, b), to równanie (L

n

) przyjmuje postać

y

(n)

+ p

n

−1

(x)y

(n

−1)

+ p

n

−2

(x)y

(n

−2)

+ . . . + p

1

(x)y

0

+ p

0

(x)y = 0.

(LJ

n

)

Równanie (LJ

n

) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu.

Twierdzenie 6.6.

Jeśli p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

, q : (a, b)

→ R są funkcjami ciągłymi oraz

(x

0

, y

0

, y

1

, . . . , y

n

−1

)

∈ (a, b) × R

n

, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ (określone na

(a, b)) równania liniowego (L

n

) takie, że

ϕ(x

0

) = y

0

, ϕ

0

(x

0

) = y

1

, . . . , ϕ

(n

−1)

(x

0

) = y

n

−1

.

Dalej zakładamy, że funkcje p

n

−1

, p

n

−2

, . . . , p

1

, p

0

oraz q są ciągłe na (a, b).

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ

n

) :

Niech V

0

oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących roz-

wiązaniami równania (LJ

n

). Wówczas

1. V

0

6= ∅ i V

0

⊂ C

(n)

(a, b);

2.

V

ϕ

∈V

0

V

k

∈R

kϕ

∈ V

0

;

3.

V

ϕ, ψ

∈V

0

ϕ + ψ

∈ V

0

.

30

To oznacza, że V

0

jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C

(n)

(a, b).

Przypomnijmy teraz, kilka faktów z algebry dotyczących wymiaru przestrzeni liniowych.

Niech X

6= ∅ oznacza dowolną przetrzeń liniową oraz k ∈ R.

• Układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) elementów przestrzeni liniowej X jest liniowo niezależny, gdy

V

α

1

,α

2

,... ,α

n

∈R

[(

V

x

∈(a,b)

α

1

ϕ

1

(x) + α

2

ϕ

2

(x) +

· · · + α

n

ϕ

n

(x) = 0)

⇒ α

1

= α

2

= . . . = α

n

= 0].

• Układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) elementów przestrzeni liniowej X nazywamy bazą tej przestrzeni,

gdy jest on maksymalnym układem liniowo niezależnym w X.

• Wszystkie bazy przestrzeni linowej są równoliczne; moc dowolnej bazy przestrzeni X na-

zywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy przez dim X.

• Jeśli układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) jest bazą przestrzeni X, to

V

ϕ

∈X

W

α

1

,α

2

,... ,α

k

∈R

ϕ = α

1

ϕ

1

+ α

2

ϕ

2

+

· · · + α

k

ϕ

k

.

Definicja 6.7.

Niech ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

∈ C

(n)

(a, b) oraz x

∈ (a, b). Wyznacznik

W

ϕ

1

,ϕ

2

,... ,ϕ

k

(x)

def

=











ϕ

1

(x)

ϕ

2

(x)

. . . ϕ

k

(x)

ϕ

0

1

(x)

ϕ

0

2

(x)

. . . ϕ

0

k

(x)

. . .

. . .

. . . . . .

ϕ

(n

−1)

1

(x) ϕ

(n

−1)

2

(x) . . . ϕ

(n

−1)

k

(x)











nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) układu funkcji (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) w

punkcie x.

Twierdzenie 6.8.

Niech ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

∈ V

0

. Układ (ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

k

) jest liniowo niezależny w

przestrzeni C

(n)

(a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x

0

∈ (a, b) taki, że W

ϕ

1

,ϕ

2

,... ,ϕ

k

(x

0

)

6= 0.

Twierdzenie 6.9.

dim V

0

= n.

Definicja 6.10.

Każdą bazę przestrzeni V

0

nazywamy fundamentalnym układem rozwią-

zań równania (LJ

n

).

Twierdzenie 6.11.

Jeśli funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwiązań rów-

nania (LJ

n

), to rozwiązanie ogólne równania (LJ

n

) tworzą funkcje postaci

ϕ(x) = C

1

ϕ

1

(x) + C

2

ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

ϕ

n

(x), x

∈ (a, b),

gdzie C

1

, C

2

, . . . , C

n

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Twierdzenie 6.12.

Jeśli ϕ

1

: I

→ R jest rozwiązaniem równania (LJ

2

) takim, że ϕ

1

(x)

6= 0

dla x

∈ I, zaś P

1

jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p

1

, to funkcja określona wzorem

ϕ

2

(x) = ϕ

1

(x)

Z

e

−P

1

(x)

ϕ

2

1

(x)

dx, x

∈ I,

jest również rozwiązaniem równania (LJ

2

). Ponadto funkcje ϕ

1

, ϕ

2

są liniowo niezależne.

2006

−E

K

31

Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L

n

):

Twierdzenie 6.13.

Niech ϕ

s

będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L

n

). Wówczas roz-

wiązanie ogólne równania (L

n

) tworzą wszystkie funkcje postaci

ϕ = ϕ

0

+ ϕ

s

,

gdzie ϕ

0

jest dowolnym rozwiązaniem równania (LJ

n

).

Wniosek 6.14. Jeśli funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania

(LJ

n

) oraz ϕ

s

jest rozwiązaniem szczególnym równania (L

n

), to rozwiązanie ogólne równania

(L

n

) tworzą funkcje postaci

ϕ(x) = C

1

ϕ

1

(x) + C

2

ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

ϕ

n

(x) + ϕ

s

(x),

x

∈ (a, b),

gdzie C

1

, C

2

, . . . , C

n

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie szczególne równania liniowego (L

n

):

Twierdzenie 6.15.

Załóżmy, że funkcje ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

stanowią fundamentalny układ rozwią-

zań równania (LJ

n

). Wówczas funkcja postaci

ϕ

s

(x) = C

1

(x)ϕ

1

(x) + C

2

(x)ϕ

2

(x) +

· · · + C

n

(x)ϕ

n

(x), x

∈ (a, b)

jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L

n

), gdy funkcje C

1

, C

2

, . . . , C

n

: (a, b)

→ R

są rozwiązaniami układu równań































C

0

1

ϕ

1

+C

0

2

ϕ

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

n

= 0,

C

0

1

ϕ

0

1

+C

0

2

ϕ

0

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

0

n

= 0,

. . .

C

0

1

ϕ

(n

−2)

1

+C

0

2

ϕ

(n

−2)

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

(n

−2)

n

= 0,

C

0

1

ϕ

(n

−1)

1

+C

0

2

ϕ

(n

−1)

2

+

· · · + C

0

n

ϕ

(n

−1)

n

= q.

6.4. Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych

współczynnikach.

Definicja 6.16.

Równanie postaci

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q(x),

(LS

n

)

gdzie a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

∈ R, q : (a, b) → R, nazywamy równaniem równaniem liniowym

n-tego rzędu o stałych współczynnikach.

Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJS

n

):

Definicja 6.17.

Równanie

r

n

+ a

n

−1

r

n

−1

+ a

n

−2

r

n

−2

+

· · · + a

1

r + a

0

= 0

nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współ-
czynnikach

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = 0.

(LJS

n

)

32

Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJS

n

) można wyznaczyć przy pomocy pier-

wiastków równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu:

Twierdzenie 6.18.

Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJS

n

).

Wówczas

1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji:

e

rx

, xe

rx

, x

2

e

rx

, x

k

−1

e

rx

,

jest rozwiązaniem równania (LJS

n

);

2. jeśli r = α + iβ jest pierwiastkiem zespolonym o krotności k, to każda z funkcji:

e

αx

cos βx, xe

αx

cos βx, x

2

e

αx

cos βx, x

k

−1

e

αx

cos βx,

e

αx

sin βx, xe

αx

sin βx, x

2

e

αx

sin βx, x

k

−1

e

αx

sin βx,

jest rozwiązaniem równania (LJS

n

).

Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycz-
nego równania (LJS

n

) stanowią układ liniowo niezależny.

Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LS

n

):

Twierdzenie 6.19.

Jeśli W

n

, V

m

są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz

a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

, α, β

∈ R, to równanie liniowe

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = [W

n

(x) cos βx + V

m

(x) sin βx]e

αx

ma rozwiązanie szczególne postaci

ϕ

s

(x) = x

k

[P

l

(x) cos βx + Q

l

(x) sin βx]e

αx

, x

∈ R,

gdzie P

l

, Q

l

są wielomianami stopnia l = max

{n, m} oraz

k =

(

k

r

, gdy r = α + βi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności k

r

,

0

w przeciwnym wypadku.

Uwaga 6.20. Stałą α + βi nazywamy stałą kontrolną równania rozważanego w tw. 6.19.

Twierdzenie 6.21.

Niech q

1

, q

2

: (a, b)

→ R oraz a

n

−1

, a

n

−2

, . . . , a

1

, a

0

∈ R. Jeśli ϕ

1

jest

rozwiązaniem równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

1

(x),

zaś ϕ

2

jest rozwiązaniem równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

2

(x),

to funkcja ϕ

1

+ ϕ

2

jest rozwiązaniem szczególnym równania

y

(n)

+ a

n

−1

y

(n

−1)

+ a

n

−2

y

(n

−2)

+

· · · + a

1

y

0

+ a

0

y = q

1

(x) + q

2

(x).

2006

−E

K

33

7. Elementy rachunku

operatorowego

7.1. Transformata Laplace’a.

Definicja 7.1.

• Transformatą Laplace’a funkcji f : [0, +∞) → R nazywamy funkcję F zmiennej rzeczy-

wistej s określoną wzorem

F (s)

def

=

+

∞

Z

0

f (t)e

−st

dt.

Funkcję F nazywamy obrazem funkcji f.

• Niech X oznacza rodzinę funkcji posiadających transformatę Laplace’a. Przekształcenie

L : X 3 f 7→ F

nazywamy przekształceniem albo transformacją Laplace’a.
Obraz funkcji f możemy wówczas oznaczyć przez

L{f} lub L{f(t)}.

Uwaga 7.2. Analogicznie definiujemy transformatę Laplace’a jako funkcję zmiennej zespolonej s.

Twierdzenie 7.3 (warunki wystarczające istnienia transformaty Laplace’a).

Jeśli funkcja f : [0, +

∞) → R spełnia warunki:

(1) na każdym przedziale postaci [0, T ], gdzie T > 0, ma co najwyżej skończoną liczbę punktów

nieciągłości pierwszego rodzaju,

(2)

W

C

∈R

W

M >0

V

t

­0

|f(t)| ¬ Me

−Ct

,

to jej transformata Laplace’a istnieje dla s > C.

Funkcję spełniającą założenia powyższego twierdzenia nazywamy oryginałem.

Wniosek 7.4. Jeśli funkcja f : [0, +

∞) → R spełnia warunek (1) (w szczególności jest ciągła)

i jest ograniczona, to ma transformatę Laplace’a określoną dla s > 0.

34

Transformaty wybranych funkcji:

Funkcja

Transformata Laplace’a

1

1

s

t

n

n!

s

n+1

e

αt

1

s

− α

sin βt

β

s

2

+ β

2

cos βt

s

s

2

+ β

2

7.2. Własności przekształcenia Laplace’a.

(W1) (liniowość)

Jeśli funkcje f, g : [0, +

∞) → R mają transformaty L{f} i L{g}, to

a) istnieje transformata

L{f + g} i zachodzi równość

L{f + g} = L{f} + L{g};

b) dla każdego c

∈ R istnieje transformata L{cf} oraz

L{cf} = cL{f}.

(W2)

Jeśli funkcje f, g : [0, +

∞) → R są ciągłe i L{f} = L{g}, to f = g.

W (W3)

−(W6) i (W8) zakładamy, że funkcja f : [0, +∞) → R jest oryginałem.

(W3)

Jeśli F =

L{f} i a > 0, to prawdziwa jest równość

L{f(at)} =

1

a

F (

s

a

).

(W4)

Jeśli F =

L{f} i α ∈ R, to

L{e

αt

f (t)

} = F (s − α).

(W5) (różniczkowanie transformaty)

Jeśli F =

L{f} i n ∈ N, to

L{t

n

f (t)

} = (−1)

n

F

(n)

(s).

(W6) (całkowanie transformaty)

L{

f (t)

t

} =

∞

Z

s

L{f}ds.

2006

−E

K

35

(W7) (n-krotne różniczkowanie oryginału)

Jeśli f

(n)

jest oryginałem, to istnieje

L{f} oraz

L{f

(n)

} = s

n

L{f} − s

n

−1

f (0

+

)

− s

n

−2

f

0

(0

+

)

− · · · − sf

(n

−2)

(0

+

)

− f

(n

−1)

(0

+

),

gdzie f

(k)

(0

+

) = lim

t

→0

+

f

(k)

(t), k

∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}. W szczególności

L{f

0

} = sL{f} − f(0

+

),

L{f

00

} = s

2

L{f} − sf(0

+

)

− f

0

(0

+

).

(W8) (całkowanie oryginału)

L{

t

Z

0

f (x)dx

} =

L{f}

s

.

7.3. Zastosowania przekształacenia Laplace’a.

• Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych n-tego rzędu o stałych współczynnikach

tzw. metodą operatorową.

• Obliczanie pewnych typów całek niewłaściwych.

• Analiza i projektowanie układów sterowania.