9. SZEREGI FUNKCYJNE - CD.

9.1. Pewne operacje na szeregach funkcyjnych.

Twierdzenie 9.1.

Niech f

n

: [a, b]

→ R, n ∈ N, będą funkcjami ciągłymi na [a, b]. Jeśli

∞

X

n=1

f

n

jest zbieżny jednostajnie na [a, b], to

a) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją ciągłą na [a, b] i dla dowolnego x

0

∈ [a, b] zachodzi

równość

lim

x

→x

0

∞

X

n=1

f

n

(x) =

∞

X

n=1

lim

x

→x

0

f

n

(x);

b) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją całkowalną na [a, b] oraz

b

Z

a

∞

X

n=1

f

n

(x)

!

dx =

∞

X

n=1

b

Z

a

f

n

(x)dx.

Twierdzenie 9.2.

Niech f

n

: [a, b]

→ R, n ∈ N, będą funkcjami różniczkowalnymi na [a, b].

Jeśli

∞

X

n=1

f

n

jest zbieżny, zaś szereg

∞

X

n=1

(f

n

)

0

jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to suma szeregu

funkcyjnego jest funkcją różniczkowalną na [a, b] i dla dowolnego x

∈ [a, b] zachodzi równość

∞

X

n=1

f

n

(x)

!

0

=

∞

X

n=1

f

0

n

(x).

Wniosek 9.3. Niech (a

n

) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeśli szereg potęgowy

∞

X

n=0

a

n

x

n

ma

promień zbieżności R, to dla dowolnego x

∈ (−R, R) mamy

x

Z

0

∞

X

n=0

a

n

t

n

!

dt =

∞

X

n=0

a

n

n + 1

x

n+1

oraz

∞

X

n=0

a

n

x

n

!

0

=

∞

X

n=0

a

n

nx

n

−1

,

przy czym szeregi występujące po prawej stronie powyższych wzorów mają taki sam promień
zbieżności jak dany szereg.

9.2. Szereg Taylora i Maclaurina.

Definicja 9.4.

Załóżmy, że funkcja f : (a, b)

→ R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie

x

0

∈ (a, b). Szereg potęgowy postaci

f (x

0

) +

∞

X

n=1

f

(n)

(x

0

)

n!

(x

− x

0

)

n

,

x

∈ (a, b),

53

9. SZEREGI CD.

54

nazywamy szeregiem Taylora odpowiadającym funkcji f w punkcie x

0

. Jeśli x

0

= 0, to szereg

ten nazywamy szeregiem Maclaurina odpowiadającym funkcji f .

Twierdzenie 9.5.

Jeśli funkcja f : (a, b)

→ R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie

x

0

∈ (a, b) oraz

lim

n

→∞

R

n

(x) = 0

dla x

∈ (a, b),

(1)

gdzie R

n

(x) oznacza resztę we wzorze Taylora odpowiadającym funkcji f , to szereg Taylora

odpowiadający funkcji f jest zbieżny na (a, b) i zachodzi równość

f (x) = f (x

0

) +

∞

X

n=1

f

(n)

(x

0

)

n!

(x

− x

0

)

n

dla x

∈ (a, b).

Mówimy wówczas, że funkcja f jest rozwijalna w szereg Taylora (lub Maclaurina, gdy
x

0

= 0).

Uwaga 9.6.

1. Warunek (1) zachodzi w przypadku, gdy wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograni-

czone na przedziale (a, b).

2.

Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji

e

x

=

∞

X

n=0

x

n

n!

, x

∈ R

sin x =

∞

X

n=0

(

−1)

n

x

2n+1

(2n + 1)!

, x

∈ R

cos x =

∞

X

n=0

(

−1)

n

x

2n

(2n)!

, x

∈ R

1

1

− x

=

∞

X

n=0

x

n

x

∈ (−1, 1)

Przykład 9.7. Wyznaczyć rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina:

a) f (x) = e

−x

2

;

b) f (x) = x

2

sin x;

c) f (x) =

1

1 + x

2

;

d) f (x) = ln(1 + x);

e) f (x) = arctg x;

f ) f (x) =

1

1 + 2x + x

2

.

9. SZEREGI CD.

55

Przykład 9.8. Obliczyć całki:

a)

Z

e

−x

2

dx;

b)

Z

sin x

x

dx.

9.3. Szereg Fouriera.

Niech T oznacza dowolną liczbę dodatnią.

Definicja 9.9.

Niech (a

n

)

∞

n=0

, (b

n

)

∞

n=1

będą ciągami liczb rzeczywistych. Szeregiem trygono-

metrycznym nazywamy szereg postaci

a

0

2

+

∞

X

n=1

(a

n

cos

nπx

T

+ b

n

sin

nπx

T

),

x

∈ R.

Uwaga 9.10. Wszystkie składniki szeregu trygonometrycznego są funkcjami okresowymi o
okresie 2T , więc jeśli szereg ten jest zbieżny na przedziale [

−T, T ], to jego suma ma również

okres 2T i szereg jest zbieżny do niej na R.

Twierdzenie 9.11 (wzory Eulera-Fouriera).

Jeśli szereg trygonometryczny jest jednostajnie

zbieżny na przedziale [

−T, T ] i f jest jego sumą, to

a

n

=

1

T

T

Z

−T

f (x) cos

nπx

T

dx,

n = 0, 1, 2, . . . ,

b

n

=

1

T

T

Z

−T

f (x) sin

nπx

T

dx,

n = 1, 2, . . . .

Definicja 9.12.

Załóżmy, że f : [

−T, T ] → R jest funkcją całkowalną na przedziale [−T, T ].

Szereg trygonometryczny, w którym współczynniki a

n

, b

n

są określone powyższymi wzorami

nazywamy szeregiem Fouriera odpowiadającym funkcji f .

Definicja 9.13.

Mówimy, że funkcja f : [

−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki

Dirichleta, gdy

(1) f (

−T ) = f(T ) =

f (

−T

+

) + f (T

−

)

2

,

(2) f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju i w każdym punkcie

nieciągłości x

0

∈ (−T, T ) zachodzi warunek:

f (x

0

) =

f (x

−

0

) + f (x

+
0

)

2

,

(3) istnieje podział przedziału [

−T, T ]

−T = t

0

< t

1

<

· · · < t

k

−1

< t

k

= T,

k

∈ N,

taki, że f jest ciągła i monotoniczna na każdym przedziale (t

i

−1

, t

i

), i = 1, ..., k.

Twierdzenie 9.14.

Jeśli funkcja f : [

−T, T ] → R spełnia na przedziale [−T, T ] warunki

Dirichleta, to

f (x) =

a

0

2

+

∞

X

n=1

(a

n

cos

nπx

T

+ b

n

sin

nπx

T

),

x

∈ [−T, T ],

9. SZEREGI CD.

56

gdzie współczynniki a

n

, b

n

są określone wzorami Eulera-Fouriera. Mówimy wtedy, że f jest roz-

wijalna w szereg Fouriera na przedziale [

−T, T ].

Przykład 9.15. Rozwinąć w szereg Fouriera (o ile to możliwe) funkcje:

a) f (x) =

(

0, x

∈ [−π, 0),

2, x

∈ [0, π];

b) f (x) =

(

0, x

∈ (−π, 0),

2, x

∈ (0, π);

c) f (x) =

(

1, x

∈ (−

π

2

,

π

2

),

2, x

∈ (−π, −

π

2

)

∪ (

π

2

, π);

d) f (x) = x, x

∈ (−π, π).