I Budownictwo (2012/2013)

LISTA 4

Elementy geometrii analitycznej

1. Dane są wektory:

]

2

,

3

,

1

[

],

2

,

2

,

3

[

],

1

,

1

,

2

[



















c

b

a

. Obliczyć:

a)















)

(

2

)

(

4

b

a

b

a

b)















c

)

b

4

(

)

b

a

(

2

a

3

2





c)

)

c

b

(

3

)

a

b

(

2















d)

))

c

b

(

a

(

3

)

c

b

(



















.

2. Wektory





b

i

a

tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez te wektory.

3. Wyznaczyć prostopadły rzut wektora

]

3

,

2

,

1

[









a

w kierunku wektora

]

1

,

1

,

0

[







b

i obliczyć jego

długość.

4. Sprawdzić analitycznie czy:

a) trójkąt o wierzchołkach

)

1

,

2

(

),

0

,

0

(

),

2

,

1

(









C

B

A

jest prostokątny

b) trójkąt o wierzchołkach

)

4

,

2

(

),

3

,

1

(

),

2

,

1

(











C

B

A

jest ostrokątny.

5. Korzystając z rachunku wektorowego obliczyć:

a) miarę kąta między przekątnymi sąsiadujących ze sobą ścian sześcianu ;

b) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej czworościanu foremnego do płaszczyzny podstawy.

6. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach

)

0

,

1

,

1

(

),

1

,

1

,

0

(

),

3

,

2

,

1

(















C

B

A

, długość wysokości

poprowadzonej z wierzchołka A oraz cosinus kąta przy wierzchołku B.

7. Sprawdzić czy punkty

)

4

,

0

,

1

(

),

3

,

3

,

2

(

),

2

,

1

,

1

(

),

2

,

1

,

0

(















D

C

B

A

są współpłaszczyznowe.

8. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach

),

1

,

1

,

0

(

),

1

,

0

,

0

(





B

A

)

2

,

1

,

2

(

),

1

,

1

,

1

(





D

C

oraz

długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D.

9. Dana jest prosta

0

2

7

4







y

x

. Przedstawić jej równanie w postaci kierunkowej, odcinkowej

i parametrycznej.

10.

Napisać

równanie

prostej

przechodzącej

przez

punkt

przecięcia

prostych

0

3

y

x

:

l

,

0

y

x

2

:

l

2

1











i :

a) przez punkt

)

1

,

2

(

P





b) prostopadłej do prostej

0

2

3

:

3









y

x

l

c) równoległej do prostej

0

1

y

x

:

l

3









d) oddalonej od punktu

)

2

,

1

(





B

o odległość

3



d

.

e) tworzącej kąt

4







z prostą

0

1

y

x

2

:

l

3









.

11. Określić położenie płaszczyzn w układzie współrzędnych:

a)

0

5

y

3

x

2







; b)

0

1

z

5

y

2







; c)

0

2

x

3





; d)

0

z

2

y

x







; e)

0

z

3

x

8





;

f)

0

6

-

3z

2y

x







.

12. Napisać równanie płaszczyzny:

a) przechodzącej przez punkty

)

2

,

0

,

0

(

A

,

)

1

,

0

,

4

(

B

,

)

2

,

1

,

2

(

C

;

b) przechodzącej przez punkt

)

4

,

1

,

2

(

A



i prostopadłej do płaszczyzn

0

z

2

y

3

x









i

0

1

z

5

y

2

x

3









;

c) przechodzącej przez punkty

)

2

,

1

,

3

(

B

i

)

3

,

1

,

2

(

A



prostopadłej do płaszczyzny

0

2

z

4

y

x

3











;

d) przechodzącej przez punkt

)

7

,

5

,

1

(

A



i równoległej do płaszczyzny

0

1

z

5

y

x

2









;

e) przechodzącej przez oś Oz i tworzącej kąt

3







z płaszczyzną

0

7

z

5

y

x

2









;

f) równoległej do płaszczyzny

0

5

z

2

y

2

x









i odległej od niej o

2

d



;

g) przechodzącej przez punkt

)

3

,

2

,

1

(



A

i odcinającej na osiach układu jednakowe odcinki.

13. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt

)

3

,

2

,

1

(

P

i:

a) prostopadłej do płaszczyzny

0

5

z

2

x







b) rownoległej do prostej l:























0

1

z

2

y

3

x

0

2

z

y

x

6

c) przechodzącej przez punkt przecięcia prostej

5

3

z

1

1

y

2

2

x













z płaszczyzną

0

4

z

y

x

2









d) rownoległej do płaszczyzny

0

3

z

2

y

x









i przecinającej prostą

5

11

z

1

2

y

2

4

x













.

14. Znaleźć współrzędne rzutu prostokątnego punktu

)

6

,

1

,

2

(

P

na prostą l:



















t

3

z

2

y

t

2

1

x

,

R

t



.

15. Znaleźć punkt symetryczny do punktu

)

1

,

1

,

3

(

P



względem płaszczyzny

0

20

z

y

x

3









.

16. Napisać równanie prostokątnego rzutu prostej

2

2

z

2

1

y

1

1

x











na płaszczyznę

0

4

z

y

3

x

2









.

17. Zbadać wzajemne położenie prostych, znaleźć odległość między nimi i tam gdzie to możliwe napisać

równanie płaszczyzny wyznaczonej przez te proste:

a)

4

5

z

3

2

y

2

1

x













i

2

1

z

3

2

y

3

7

x













;

b)



















0

y

x

0

1

z

y

x

i























0

6

z

3

y

x

2

0

6

z

3

y

2

x

c)

2

z

4

1

y

3

2

x









i





















t

2

3

z

t

4

1

y

t

3

7

x

.

18. Znaleźć odległość punktu

)

0

,

2

,

6

(

P



:

a) od prostej

4

z

2

1

y

2

3

x









b) od płaszczyzny

0

7

4

3







y

x

.