I Budownictwo (2012/2013)
LISTA 4
Elementy geometrii analitycznej
1. Dane są wektory:
]
2
,
3
,
1
[
],
2
,
2
,
3
[
],
1
,
1
,
2
[
c
b
a
. Obliczyć:
a)
)
(
2
)
(
4
b
a
b
a
b)
c
)
b
4
(
)
b
a
(
2
a
3
2
c)
)
c
b
(
3
)
a
b
(
2
d)
))
c
b
(
a
(
3
)
c
b
(
.
2. Wektory
b
i
a
tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe tego trójkąta przez te wektory.
3. Wyznaczyć prostopadły rzut wektora
]
3
,
2
,
1
[
a
w kierunku wektora
]
1
,
1
,
0
[
b
i obliczyć jego
długość.
4. Sprawdzić analitycznie czy:
a) trójkąt o wierzchołkach
)
1
,
2
(
),
0
,
0
(
),
2
,
1
(
C
B
A
jest prostokątny
b) trójkąt o wierzchołkach
)
4
,
2
(
),
3
,
1
(
),
2
,
1
(
C
B
A
jest ostrokątny.
5. Korzystając z rachunku wektorowego obliczyć:
a) miarę kąta między przekątnymi sąsiadujących ze sobą ścian sześcianu ;
b) miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej czworościanu foremnego do płaszczyzny podstawy.
6. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach
)
0
,
1
,
1
(
),
1
,
1
,
0
(
),
3
,
2
,
1
(
C
B
A
, długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka A oraz cosinus kąta przy wierzchołku B.
7. Sprawdzić czy punkty
)
4
,
0
,
1
(
),
3
,
3
,
2
(
),
2
,
1
,
1
(
),
2
,
1
,
0
(
D
C
B
A
są współpłaszczyznowe.
8. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach
),
1
,
1
,
0
(
),
1
,
0
,
0
(
B
A
)
2
,
1
,
2
(
),
1
,
1
,
1
(
D
C
oraz
długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D.
9. Dana jest prosta
0
2
7
4
y
x
. Przedstawić jej równanie w postaci kierunkowej, odcinkowej
i parametrycznej.
10.
Napisać
równanie
prostej
przechodzącej
przez
punkt
przecięcia
prostych
0
3
y
x
:
l
,
0
y
x
2
:
l
2
1
i :
a) przez punkt
)
1
,
2
(
P
b) prostopadłej do prostej
0
2
3
:
3
y
x
l
c) równoległej do prostej
0
1
y
x
:
l
3
d) oddalonej od punktu
)
2
,
1
(
B
o odległość
3
d
.
e) tworzącej kąt
4
z prostą
0
1
y
x
2
:
l
3
.
11. Określić położenie płaszczyzn w układzie współrzędnych:
a)
0
5
y
3
x
2
; b)
0
1
z
5
y
2
; c)
0
2
x
3
; d)
0
z
2
y
x
; e)
0
z
3
x
8
;
f)
0
6
-
3z
2y
x
.
