KMiI ATH, B-B

Wektory

1

Geometria analityczna, notatki do wykładów.

Wektory i działania na wektorach

Definicja 1. (Przestrzeń R

3

)

Przestrzenią R

3

nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych trójek (x, y, z) liczb rzeczy-

wistych;

R

3 def

=

(x, y, z) : x, y, z ∈ R .

Uwaga. Przestrzeń R

3

będziemy interpretować geometrycznie na 3 sposoby.

1) Jako zbiór wszystkich punktów P = (x, y, z) w przestrzeni.

2) Jako zbiór wszystkich wektorów zaczepionych

−→

OP (tzw. wektorów wodzących punktu P

przestrzeni) o wspólnym początku O = (0, 0, 0) i końcu w punkcie P = (x, y, z). Wektory

wodzące punktów będziemy oznaczali zwykle przez ~

r, ~

r

0

, ~

r

1

itd. Wektor ~0

def

= (0, 0, 0) nazy-

wamy

wektorem zerowym

, a wektor −~

u

def

= (−x, −y, −z)

wektorem przeciwnym

do wektora

~

u = (x, y, z).
3) Jako zbiór wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobodny ~

u rozumiemy

zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam kierunek,
zwrot oraz długość co wektor ~

u.

Definicja 2. (Punkty wspóliniowe i współpłaszczyznowe)
1. Mówimy, że punkty A, B, C, . . . przestrzeni R

3

są

współliniowe

, gdy istnieje prosta, do

której należą te punkty (każde dwa punkty zawsze są współliniowe).
2. Mówimy, że punkty K, L, M, N, . . . przestrzeni R

3

są

współpłaszczyznowe

, gdy istnieje

płaszczyzna, do której należą wszystkie te punkty (każde trzy punkty zawsze są współpłasz-
czyznowe).

Definicja 3. (Wektory współliniowe i współpłaszczyznowe)
1. Mówimy, że wektory ~a,~b są

współliniowe

, gdy istnieje prosta, do której równoległe są

oba te wektory. Wektory współliniowe nazywamy także wektorami

równoległymi

; piszemy

wówczas ~a k ~b. Wektor zerowy jest równoległy do dowolnego wektora.
2. Mówimy, że wektory ~a,~b, ~c są

współpłaszczyznowe

, gdy istnieje płaszczyzna, w której

zawarte są te wektory (po zaczepieniu ich w jednym punkcie). Wektor zerowy wraz z dowol-
nymi dwoma wektorami są zawsze współpłaszczyznowe.

Definicja 4. (Działania na wektorach)
Niech ~

u = [x, y, z], ~

w = [x

1

, y

1

, z

1

], ~

v = [x

2

, y

2

, z

2

] oraz niech α ∈ R.

Sumę

wektorów ~

w i ~

v określamy wzorem

~

w + ~

v

def

= [x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

, z

1

+ z

2

].

Różnicę

wektorów ~

w i ~

v określamy wzorem

~

w − ~

v

def

= [x

1

− x

2

, y

1

− y

2

, z

1

− z

2

].

Iloczyn wektora

~

u

przez liczbę rzeczywistą

α określamy wzorem

α~

u

def

= [αx, αy, αz].

KMiI ATH, B-B

Wektory

2

Uwaga. Sumę dwóch lub więcej wektorów pomnożonych przez dowolne liczby rzeczywiste
nazywamy

kombinacją liniową

tych wektorów.

Fakt. (warunki równoległości i współpłaszczyznowości wektorów )
1. Wektory ~a,~b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste α, β,
z których co najmniej jedna jest niezerowa (co zapisujemy często w sposób: |α| + |β| > 0)
i takie, że α~a + β~b = ~0. W szczególności, jeżeli np. ~a 6= ~0, to wektory ~a,~b są równoległe
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista λ taka, że ~b = λ~a.

2. Wektory ~a,~b, ~c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste
α, β, γ takie, że |α| + |β| + |γ| > 0 oraz α~a + β~b + γ~c = ~0. w szczególności, jeżeli ~a ∦ ~b, to
wektory ~a,~b, ~c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste
λ, µ takie, że ~c = λ~a + µ~b.

Fakt. własności działań na wektorach
Niech ~a,~b, ~c będą dowolnymi wektorami w przestrzeni R

3

i niech α, β będą dowolnymi

liczbami rzeczywistymi. Wtedy

1.

~a + ~b = ~b + ~a, tzn. dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym;

2.

~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c, tzn. dodawanie wektorów jest działaniem łącznym;

3.

~a + ~0 = ~a, tzn. wektor zerowy ~0 jest elementem neutralnym dodawania;

4.

~a + (−~a) = ~0, tzn. wektor −~a jest elementem przeciwnym do wektora ~a;

5.

1 · ~a = ~a ;

6.

(αβ)~a = α(β~a) ;

7.

(α + β)~a = α~a + β~a ;

8.

α(~a + ~b) = α~a + α~b.

Definicja 5.

Rzutem prostokątnym wektora

~a na prostą s nazywamy wektor, oznaczany

przez ~a

s

lub P

s

(~a), o początku i końcu będącymi rzutami prostokątnymi na tę prostą

odpowiednio początku i końca wektora ~a.

Zatem jeśli ~a =

−→

AB i rzutem punktu A na oś s jest A

0

, a rzutem B na oś s jest B

0

, to

P

s

(~a) =

−−→

A

0

B

0

.

Oznaczmy przez s

A

0

i s

B

0

współrzędne na osi (liczbowej) s odpowiednio punktu A

0

i B

0

.

Definicja 6.

Współrzędną wektora

~a

względem osi

s (lub inaczej

współrzędną na osi

),

oznaczaną przez a

s

, nazywamy różnicę współrzędnej końca i początku rzutu ~a

s

wektora ~a

na oś s:

a

s

= s

B

0

− s

A

0

.

Fakt.
1. Rzut prostokątny sumy wektorów ~a,~b na prostą s jest równy sumie rzutów tych wektorów
na tę prostą:

P

s

(~a + ~b) = P

s

(~a) + P

s

(~b);

2. Rzut prostokątny iloczynu wektora ~a przez liczbę λ na prostą s jest równy iloczynowi
rzutu tego wektora na tę prostą przez liczbę λ:

P

s

(λ~a) = λP

s

(~a).

KMiI ATH, B-B

Wektory

3

Uwaga. Podobne własności ma rzut prostokątny wektora na ustaloną płaszczyznę w prze-
strzeni R

3

, a także ogólniej – rzut równoległy wektora na ustaloną prostą lub płaszczyznę

w R

3

.

Definicja 7. (ortokartezjański układ współrzędnych w przestrzeni )

Układem ortokartezjańskim współrzędnych w przestrzeni

nazywamy trzy ustalone proste

x, y, z (osie liczbowe) przecinające się w jednym punkcie O (mającym współrzędną 0 na
każdej z tych osi), które są wzajemnie prostopadłe. Układ ten oznaczamy przez Oxyz.
Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz, xOz płaszczyznami układu
współrzędnych.

Uwaga. W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy, Oz układu współrzędnych
wyróżniamy dwie jego orientacje: układ prawoskrętny i układ lewoskrętny.

Definicja 8. (kąty kierunkowe wektora)

Kątami kierunkowymi

wektora ~a w przyjętym układzie ortokartezjańskim Oxyz nazywamy

kąty α, β, γ, jakie tworzy ten wektor z kolejnymi osiami tego układu:

α = ^(Ox,~a),

β = ^(Oy,~a),

γ = ^(Oz,~a).

Definicja 9. (Ortokartezjańskie współrzędne wektora)

Ortokartezjańskimi

(lub

kartezjańskimi prostokątnymi

) współrzędnymi wektora ~a w przyję-

tym układzie ortokartezjańskim Oxyz, oznaczanymi przez a

x

, a

y

i a

z

, nazywamy współrzędne

tego wektora na kolejnych osiach tego układu. Współrzędne te wyrażają się wzorami

a

x

= a cos α,

a

y

= a cos β,

a

z

= a cos γ,

gdzie a jest długością wektora ~a, a α, β, γ są jego kątami kierunkowymi.

Jeżeli wektor zaczepiony

−→

AB o początku A(x

A

, y

A

, z

A

) i końcu B(x

B

, y

B

, z

B

) jest reprezen-

tantem wektora swobodnego ~a, to współrzędne ortokartezjańskie wektora ~a mają postać

a

x

= x

B

− x

A

,

a

y

= y

B

− y

A

,

a

z

= z

B

− z

A

.

Fakt. Długość wektora ~a o współrzędnych ortokartezjańskich a

x

, a

y

, a

z

(co zapisujemy ~a =

[a

x

, a

y

, a

z

]) wyraża się wzorem

|~a| =

q

a

2

x

+ a

2

y

+ a

2

z

.

Uwaga. Czasem zamiast pisać ~a = [a

x

, a

y

, a

z

] piszemy po prostu ~a = [x, y, z].

Fakt. (własności długości wektora)
Niech ~a, ~b będą wektorami w R

3

oraz niech α ∈ R . Wtedy

1. |~a| > 0, przy czym |~a| = 0 ⇔ ~a = ~0;

2. |α~a| = |α| · |~a|;

3. |~a + ~b| 6 |~a| + |~b|;

4.




|~a| − |~b|




6 |~a − ~b|.

Definicja 10. (wersor )

Wersorem

(lub

wektorem jednostkowym

) nazywamy każdy wektor o długości 1.

KMiI ATH, B-B

Wektory

4

Fakt. Współrzędne wersora ˆ

a (w układzie ortokartezjańskim) są równe jego kolejnym kosi-

nusom kierunkowym:

ˆ

a = [cos α, cos β, cos γ].

Wersory osi układu ortokartezjańskiego Oxyz, nazywane też

wersorami układu ortokarte-

zjańskiego

, oznaczamy odpowiednio przez ~ı, ~ oraz ~k, przy czym

~ı = [1, 0, 0],

~ = [0, 1, 0],

~k = [0, 0, 1].

Definicja 11. (iloczyn skalarny)
Niech ~a, ~b będą dowolnymi wektorami w R

3

.

Iloczyn skalarny

wektorów ~a i ~b określamy

wzorem:

~a ◦ ~b

def

= |~a| · |~b| · cos ϕ,

gdzie ϕ jest kątem między wektorami ~a i ~b (0

6 ϕ 6 π).

Uwaga. Znając iloczyn wektorowy i długości wektorów można wyznaczyć kąt między tymi
wektorami:

ϕ = arccos

~a ◦ ~b

|~a| · |~b|

.

Fakt. Niech ~a = [a

x

, a

y

, a

z

] oraz ~b = [b

x

, b

y

, b

z

] będą wektorami w R

3

. Wtedy

~a ◦ ~b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

.

Fakt. (własności iloczynu skalarnego)
Niech ~a, ~b, ~c będą dowolnymi wektorami w R

3

oraz niech α ∈ R . Wtedy

1. ~a ◦ ~b = ~b ◦ ~a;

2. (α~a) ◦ ~b = α(~a ◦ ~b);

3. ~a ◦ ~a = |~a|

2

;

4. (~a + ~b) ◦ ~c = ~a ◦ ~c + ~b ◦ ~c ;

5. |~a ◦ ~b| 6 |~a| · |~b|;

6. wektory ~a i ~b są prostopadłe ⇐⇒ ~a ◦ ~b = 0.

Definicja 12. (orientacja trójki wektorów )
Niech ~a = [a

x

, a

y

, a

z

], ~b = [b

x

, b

y

, b

z

], ~c = [c

x

, c

y

, c

z

] będą wektorami w R

3

. Wektory ~a, ~b, ~c

tworzą

układ o orientacji zgodnej

z orientacją układu współrzędnych, jeżeli








a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z








> 0.

Definicja 13. (iloczyn wektorowy)
Niech ~a i ~b będą niewspółliniowymi wektorami w R

3

.

Iloczynem wektorowym

uporząd-

kowanej pary wektorów ~a i ~b nazywamy wektor ~c oznaczany przez ~a × ~b, który spełnia
następujące 3 warunki:

1. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach ~a i ~b, tj. równa

|~a| · |~b| · sin ϕ,

KMiI ATH, B-B

Wektory

5

gdzie ϕ jest kątem między wektorami ~a i ~b;

2. jest prostopadły do obu wektorów ~a i ~b

(~a × ~b)⊥ ~a,

(~a × ~b)⊥~b ;

3. Orientacja trójki wektorów ~a, ~b, ~a × ~b jest zgodna z orientacją układu współrzędnych

Oxyz.

Jeżeli jeden z wektorów ~a, ~b jest wektorem zerowym lub jeżeli wektory te są współliniowe,
to przyjmujemy, że ~a × ~b = ~0.

Uwaga. Iloczyn wektorowy jest w rzeczywistości tzw. pseudowektorem, a nie wektorem.
Jego zwrot bowiem zależy od orientacji układu współrzędnych, w przeciwieństwie do zwykłego
wektora.

Fakt. W układzie ortokartezjańskim Oxyz iloczyn wektorowy wektorów ~a = [a

x

, a

y

, a

z

]

i ~b = [b

x

, b

y

, b

z

] wyraża się wzorem

~a × ~b = (a

y

b

z

− a

z

b

y

)~ı + (a

z

b

x

− a

x

b

z

)~ + (a

x

b

y

− a

y

b

x

)~k,

gdzie ~ı, ~, ~k są wersorami układu współrzędnych.
Posługując się symbolem wyznacznika iloczyn wektorowy można zapisać następująco:

~a × ~b =








~ı

~

~k

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z








.

Rozwijając ten zapis wyznacznikowy względem pierwszego wiersza otrzymamy poprzedni
wzór.

Wykorzystując iloczyn wektorowy można obliczyć sinus kąta między niezerowymi wek-

torami:

sin(~a,~b) =

|~a × ~b|

|~a| · |~b|

.

Fakt. (własności iloczynu wektorowego)
Niech ~a, ~b, ~c będą dowolnymi wektorami w R

3

i niech α ∈ R. Wtedy

1. ~a × ~b = −(~b × ~a);

2. (α~a) × ~b = ~a × (α~b) = α(~a × ~b);

3. (~a + ~b) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c ;

4. ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c ;

5. |~a × ~b| 6 |~a| · |~b| ;

6. wektory ~a i ~b są równoległe ⇐⇒ ~a × ~b = ~0.

Uwaga. Równoległość wektorów można też zapisać potrójną proporcją

a

x

b

x

=

a

y

b

y

=

a

z

b

z

.

Definicja 14. (iloczyn mieszany trójki wektorów )

Iloczynem mieszanym

uporządkowanej trójki wektorów (~a,~b, ~c) z przestrzeni zorientowanej

R

3

, oznaczanym przez ~a~b~c, nazywamy liczbę ~a ◦ (~b × ~c).

KMiI ATH, B-B

Wektory

6

Fakt. (interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego)
Objętość V równoległościanu rozpiętego na wektorach ~a, ~b, ~c jest równa (z dokładnością do
znaku) wartości iloczynu mieszanego tych wektorów

V = | ~a~b~c |.

Fakt. W układzie ortokartezjańskim Oxyz iloczyn mieszany wektorów ~a = [a

x

, a

y

, a

z

],

~b = [b

x

, b

y

, b

z

] i ~c = [c

x

, c

y

, c

z

] wyraża się wzorem

~a~b~c =








a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z








.

Fakt. Z własności wyznaczników wynikają następujące równości:

1. ~a~b ~c = ~b ~c ~a = ~c ~a~b = −~b ~a ~c = −~a ~c~b = −~c~b ~a ;

2. ~a ◦ (~b × ~c) = (~a × ~b) ◦ ~c.

Fakt. (własności iloczynu mieszanego)
Niech ~a, ~b, ~c, ~

d będą wektorami w R

3

i niech α ∈ R. Wtedy

1. (~a + ~b) ~c ~

d = ~a ~c ~

d + ~b ~c ~

d ;

2. (α~a)~b ~c = α(~a~b ~c) ;

3. wektory ~a, ~b, ~c leżą w jednej płaszczyźnie ⇐⇒ ~a~b ~c = 0 ;

4. |~a~b ~c| 6 |~a| · |~b| · |~c|.