Algebra z geometrią 11, A.Sz.

Płaszczyzny i proste w przestrzeni R

3

Płaszczyzna

Niech ~

n = [A, B, C] - niezerowy wektor z przestrzeni R

3

, P (x

0

, y

0

, z

0

) - dany punkt.

Płaszczyzna π zawierająca punkt P i prostopadła do wektora ~

n określona jest równaniem

π : A(x − x

0

) + B(y − y

0

) + C(z − z

0

) = 0.

Jeśli do równania płaszczyzny podstawimy D = −Ax

0

− By

0

− Cz

0

to otrzymamy równanie ogólne płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0.

Wektorem normalnym płaszczyzny nazywamy każdy wektor prostopadły do tej płaszczyzny.

Dla dowolnych punktów P

1

, P

2

i P

3

, które nie leżą na jednej prostej, istnieje dokładnie jedna

płaszczyzna przechodząca przez te punkty. Punkty P

1

, P

2

i P

3

nie leżą na jednej prostej wtedy

i tylko wtedy, gdy wektory

−−→

P

1

P

2

i

−−→

P

1

P

3

nie są kolinearne. Wektor normalny płaszczyzny jest

prostopadły do wektorów

−−→

P

1

P

2

i

−−→

P

1

P

3

.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P

1

(x

1

, y

1

, z

1

), P

2

(x

2

, y

2

, z

2

) i P

3

(x

3

, y

3

, z

3

),

które nie leżą na jednej prostej, można wyznaczyć ze wzoru:

x

y

z 1

x

1

y

1

z

1

1

x

2

y

2

z

2

1

x

3

y

3

z

3

1

= 0

Wzór na odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

.

Wzajemne położenie płaszczyzn

Rozważmy płaszczyzny π

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0 oraz π

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0.

1. Jeśli istnieje α ∈ R, taka że (A

1

, B

1

, C

1

, D

1

) = α · (A

2

, B

2

, C

2

, D

2

)

to oba równania opisują tę samą płaszczyznę.

2. Jeśli istnieje α ∈ R, taka że α(A

1

, B

1

, C

1

) = α · (A

2

, B

2

, C

2

) oraz α · D

1

6= D

2

to płaszczyzny π

1

i π

2

są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

3. W pozostałych przypadkach płaszczyzny π

1

i π

2

przecinają się wzdłuż prostej.

Jeśli ~

n

1

jest wektorem normalnym płaszczyzny π

1

oraz ~

n

2

jest wektorem normalnym płaszczyzny π

2

to kąt ϕ ∈ [0,

π

2

] nachylenia płaszczyzn wyznaczamy w oparciu o zależność cos ϕ =

|~n

1

◦ ~n

2

|

k~n

1

k · k~n

2

k

.

1

Algebra z geometrią 11, A.Sz.

Prosta

Jeśli płaszczyzny π

1

i π

2

przecinają się wzdłuż prostej to układ











A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

nazywamy postacią krawędziową prostej.

Rozwiązanie takiego układu równań można wyznaczyć w postaci:























x = x

0

+ αt

y = y

0

+ βt

z = z

0

+ γt

, t ∈ R.

Jest to postać parametryczna prostej o wektorze kierunkowym ~

v = [α, β, γ] 6= ~

o, przechodzącej

przez punkt P (x

0

, y

0

, z

0

).

Wyznaczając powyższych równań parametr t (o ile jest to możliwe) otrzymujemy

t =

x − x

0

α

, t =

y − y

0

β

oraz t =

z − z

0

γ

.

Korzystając z tych zależności możemy zapisać postać kierunkową prostej

x − x

0

α

=

y − y

0

β

=

z − z

0

γ

.

Uwaga. W tym zapisie może wystąpić 0 w mianowniku. Nie oznacza to dzielenia przez 0,

tylko że 0 jest współrzędną wektora kierunkowego prostej.

Jeżeli prosta przechodzi przez dwa różne punkty P (x

1

, y

1

, z

1

) i R(x

2

, y

2

, z

2

), to wektor

−→

P R = [x

2

− x

1

, y

2

− y

1

, z

2

− z

1

] jest jej wektorem kierunkowym.

Równanie prostej przechodzącej przez punkty P (x

1

, y

1

, z

1

) i R(x

2

, y

2

, z

2

) przyjmuje postać

x − x

1

x

2

− x

1

=

y − y

1

y

2

− y

1

=

z − z

1

z

2

− z

1

.

Niech l będzie prostą zadaną w postaci krawędziowej, tzn. l :











A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

Równanie λ(A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

) + µ(A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

) = 0, gdzie λ, µ ∈ R nie są

równocześnie równe 0, jest równaniem pęku płaszczyzn o wspólnej krawędzi l.

Dla ustalonego λ i µ otrzymamy równanie jednej konkretnej płaszczyzny zawierającej prostą l.

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny

Rozważmy prostą l :























x = x

0

+ αt

y = y

0

+ βt

z = z

0

+ γt

, t ∈ R i płaszczyznę π : Ax + By + Cz + D = 0.

Badamy liczbę rozwiązań równania A(x

0

+ αt) + B(y

0

+ βt) + C(z

0

+ γt) + D = 0 z niewiadomą t.

Jeśli t

0

jest jedynym rozwiązaniem powyższego równania to punkt P (x

0

+ αt

0

, y

0

+ βt

0

, z

0

+ γt

0

)

jest punktem przebicia prostej l przez płaszczyznę π.

Jeśli rozważane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań to prosta l zawiera się w płaszczyźnie π,

jeśli brak rozwiązań to prosta l jest równoległa do płaszczyzny π i nie ma z nią punktów wspólnych.

2

Algebra z geometrią 11, A.Sz.

Wzajemne położenie dwóch prostych

Rozważmy proste l

1

:























x = x

1

+ α

1

t

y = y

1

+ β

1

t

z = z

1

+ γ

1

t

, t ∈ R

i

l

2

:























x = x

2

+ α

1

s

y = y

2

+ β

2

s

z = z

2

+ γ

2

s

, s ∈ R.

Jeśli wektory [α

1

, β

1

, γ

1

] i [α

2

, β

2

, γ

2

] są kolinearne to proste l

1

i l

2

są równoległe. Wystarczy wtedy

wziąć dowolny punkt z z prostej l

1

i sprawdzić czy należy do l

2

, żeby stwierdzić czy proste są

rozłączne czy się pokrywają. Jeśli proste l

1

i l

2

są równoległe to leżą w jednej płaszczyźnie.

Jeśli wektory [α

1

, β

1

, γ

1

] i [α

2

, β

2

, γ

2

] nie są kolinearne to możemy zbadać czy proste l

1

i l

2

się

przecinają rozwiązując układ równań























x

1

+ α

1

t = x

2

+ α

1

s

y

1

+ β

1

t = y

2

+ β

2

s

z

1

+ γ

1

t = z

2

+ γ

2

s

z niewiadomymi t i s.

Jeśli proste l

1

i l

2

się przecinają to leżą w jednej płaszczyźnie. Wektor normalny tej płaszczyzny

jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych l

1

i l

2

.

Proste, które nie są równoległe i się nie przecinają nazywamy skośnymi.

Jeśli ~

v

1

jest wektorem kierunkowym prostej l

1

oraz ~

v

2

jest wektorem kierunkowym prostej l

2

to

kąt ϕ ∈ [0,

π

2

] nachylenia prostych wyznaczamy w oparciu o zależność cos ϕ =

|~v

1

◦ ~v

2

|

k~v

1

k · k~v

2

k

.

Wyznaczanie rzutu prostokątnego - przykładowe rozwiązania

1. Rzut prostokątny punktu P na płaszczyznę π.

Wyznaczamy prostą l prostopadłą do płaszczyzny π i przechodzącą przez punkt P .

Szukany punkt jest punktem przebicia prostej l przez płaszczyznę π.

2. Rzut prostokątny punktu P na prostą l.

Wyznaczamy płaszczyznę π prostopadłą do prostej l i zawierającą punkt P .

Rzut prostokątny punktu P na prostą l jest punktem przebicia prostej l przez płaszczyznę π.

3. Rzut prostokątny prostej l na płaszczyznę π.

Wyznaczamy płaszczyznę π

2

prostopadłą do płaszczyzny π i zawierającą prostą l, korzystając z

faktu, że wektor normalny płaszczyzny π

2

jest prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny π

oraz wektora kierunkowego prostej l. Szukana prosta jest krawędzią przecięcia płaszczyzn π i π

2

.

4. Rzut prostokątny prostej l

2

na prostą l

1

.

Wyznaczamy płaszczyznę π

1

równoległą do prostej l

2

i zawierającą prostą l

1

.

Wyznaczamy płaszczyznę π

2

prostopadłą do płaszczyzny π

1

i zawierającą prostą l

2

.

Szukany punkt jest punktem przebicia prostej l

1

przez płaszczyznę π

2

.

3