Wykład 25
Soczewki. Przyrządy optyczne
Soczewka cienka - równanie soczewek
Rozważymy teraz dwie powierzchni sferyczne oddzielające ośrodki o współczynnikach
załamania kolejno
1
2
1
n
n
n
→
→
i odległych od siebie o
d
. Niech promień krzywizny
pierwszej powierzchni wynosi
1
R , a drugiej -
2
R . Przyjmujemy oczywiście, że obraz
wytworzony przez pierwszą powierzchnię stanowić będzie przedmiot dla powierzchni drugiej,
a zatem
11
02
s
d
s
−
=
. (25.1)
Tu pierwszy dolny wskaźnik, tak jak poprzednio, jest równy zero dla przedmiotu, jeden
- dla obrazu, a drugi wskaźnik numeruje powierzchnie załamujące. Wszystkie odległości:
12
02
11
01
,
,
,
s
s
s
s
, są liczone względem, odpowiednio, punktu
1
V lub
2
V , tak jak dla pojedynczej
powierzchni.
Stosując dwukrotnie równanie pojedynczej powierzchni załamującej otrzymujemy:
1
1
2
11
2
01
1
R
n
n
s
n
s
n
−
=
+
i
2
2
1
12
1
02
2
R
n
n
s
n
s
n
−
=
+
. (25.2)
Sumując stronami te dwa równania, uwzględniając związek
11
02
s
d
s
−
=
i grupując
odpowiednie wyrazy znajdujemy
320
)
1
1
(
1
1
)
(
)
1
1
(
11
11
2
2
1
1
2
12
01
1
s
d
s
n
R
R
n
n
s
s
n
−
+
−
−
⋅
−
=
+
⋅
. (25.3)
Dla cienkiej soczewki
0
≅
d
, a zatem drugi wyraz po prawej stronie równania (25.3) możemy
zaniedbać i wtedy oznaczając
0
01
s
s
=
i
1
12
s
s
=
otrzymujemy tzw. “równanie soczewek”:
−
⋅
−
=
+
2
1
1
1
2
1
0
1
1
1
1
R
R
n
n
n
s
s
. (25.4)
Wzór ten pokazuje, że moc optyczna dla soczewki cienkiej i dwuwypukłej (
0
1
>
R
i
0
2
<
R
) jest sumą mocy optycznych dla obu powierzchni (druga powierzchnia jest co prawda
wklęsła od strony wiązki padającej, ale wiązka pada od strony ośrodka gęstszego a nie
rzadszego jak normalnie, a więc, z uwagi na różnicę współczynników załamania ta
powierzchnia ostatecznie także będzie skupiająca). Z grubsza widać także, nad czym należy się
zastanowić w przypadku gdy soczewka jest gruba i nie można pominąć jej grubości
d
;
będziemy pewnie musieli (o ile zdecydujemy, że warto taki przypadek rozważyć) przypisać
jakąś moc optyczną warstwie o grubości d i współczynniku załamania
2
n . No i oczywiście
mamy wyrażenie (to jest pewnie to co potrzebują szlifierze soczewek), które pozwala nam
obliczyć moc optyczną każdej soczewki sferycznej, wypukło - wypukłej, wklęsło - wypukłej,
wypukło - płaskiej (
∞
=
R
) itd, znak wyrażenia z promieniami krzywizn obu powierzchni
będzie decydował o tym, czy soczewka będzie skupiająca czy rozpraszająca (oczywiście o ile
1
2
n
n
>
).
Z równania soczewek wynika, że obie ogniskowe, przedmiotowa i obrazowa, będą
sobie równe:
1
2
2
1
1
2
1
R
R
R
R
n
n
n
f
f
f
O
P
−
⋅
⋅
−
=
=
=
. (25.5)
Dla soczewek zbierających f jest dodatnie, (np. dla soczewki dwuwypukłej, ponieważ
2
R jest
ujemne, zatem i licznik i mianownik są ujemne i wszystko się zgadza), dla rozpraszających (np.
dwuwklęsłych) ogniskowa f będzie ujemna.
321
Równanie soczewkowe Gaussa i Newtona
Podstawiając wyrażenie (26.5) do równania szlifierzy soczewek (25.4) dostajemy
równanie, które nazywa się równaniem soczewkowy Gaussa:
f
s
s
1
1
1
1
0
=
+
. (25.6)
Z równania Gaussa natychmiast wynika, że dla soczewek rozpraszających (
0
<
f
), dla
dowolnego
0
s dodatniego (czyli dla dowolnego przedmiotu rzeczywistego)
1
s musi być
ujemne (czyli obraz będzie zawsze pozorny i prosty) itd., itp.
Równanie soczewkowe w innej postaci, tzw. równanie soczewkowe Newtona, wiąże
ze sobą inne wielkości; zamiast odległości przedmiotowej i obrazowej
0
s i
1
s występują w nim
odległości od odpowiednich punktów ogniskowych, oznaczone
0
x i
1
x . Postać taka jest
czasem wygodniejsza, np. dla grubych soczewek, kiedy łatwiej jest zmierzyć bezpośrednio
odległości ognisk, a potem przedmiotu i obrazu, od najbliższych powierzchni zewnętrznych
soczewki. Żeby otrzymać równanie soczewkowe w postaci newtonowskiej, podstawmy do
równania w postaci gaussowskiej związki pomiędzy odległościami gaussowskimi i
newtonowskimi:
f
x
s
+
=
0
0
oraz
f
x
s
+
=
1
1
. Otrzymujemy wtedy:
f
f
x
f
x
1
1
1
1
0
=
+
+
+
. (25.7)
Skąd przez proste przekształcenia znajdujemy równanie soczewkowe Newtona:
2
1
0
f
x
x
=
. (25.8)
Z równania (25.8) wynika bezpośrednio, że znaki odległości newtonowskich
0
x i
1
x muszą
być jednakowe (obie dodatnie, albo obie ujemne, jednocześnie), a zatem przedmiot i jego
obraz muszą znajdować się po przeciwnych stronach odpowiednich punktów ogniskowych).
Konwencja znaków dla soczewek
Konwencja znaków dla soczewek jest podobna do tej dla zwierciadeł i powierzchni
łamiących:
1. Odległość przedmiotowa
0
s jest dodatnia dla przedmiotu rzeczywistego i ujemna dla
322
pozornego.
2. Odległość obrazowa
1
s jest dodatnia dla obrazu rzeczywistego i ujemna dla
pozornego.
3. Ogniskowa soczewki f jest dodatnia dla soczewek zbierających (skupiających) i
ujemna dla rozpraszających.
Wyznaczanie biegu promieni dla soczewki cienkiej
Do znalezienia obrazu przedmiotu można stosować metodę, podobną jak dla
zwierciadła. Dla ustalenia położenia obrazu wystarczy oczywiście wyznaczenie biegu dwóch
dowolnie wybranych promieni z wiązki padającej na układ. Najłatwiej jest wykorzystanie
trzech promieni, których bieg w układzie optycznym można łatwo znaleźć. Są to następujące
trzy promieni:
1)promień główny - nieodchylony promień przechodzący przez środek krzywizny (dla
pojedynczej powierzchni) lub środek soczewki (promień O
S
2
);
2) promień równoległy - promień równoległy do osi optycznej, po załamaniu
przechodzi on przez ognisko obrazowe (promień
A
S
2
);
3) promień ogniskowy - promień przechodzący przez ognisko przedmiotowe, po
załamaniu promień ten porusza się po torze równoległym do osi optycznej (promień
P
F
S
2
).
Bieg dwóch spośród trzech wyliczonych wyżej promieni do punktu ich przecięcia (w
przypadku obrazu pozornego należy przedłużyć promienie “wstecz”), wystarcza do znalezienia
obrazu dowolnego punktu.
323
Powiększenie poprzeczne i podłużne obrazu utworzonego przez soczewkę cienką.
Powiększenie poprzeczne
T
m obrazu definiujemy w sposób następujący:
0
1
0
1
s
s
y
y
m
T
−
=
=
. (25.9)
Przypomnimy, że zgodne z ogólnie przyjętą konwencją odległości powyżej osi optycznej
liczymy jako dodatnie, a poniżej jako ujemne. Tak więc dla obrazu rzeczywistego
T
m będzie
zawsze ujemne (
1
s i
0
s dodatnie), a wartość bezwzględna może być zarówno większa jak
mniejsza od 1. Porównując trójkąty
P
F
S
S
2
1
i
P
OBF a także
O
F
P
P
2
1
i
O
AOF znajdujemy:
0
1
0
1
x
f
f
x
y
y
m
T
−
=
−
=
=
, (25.10)
gdzie
O
F
P
x
1
1
=
i
P
F
S
x
1
0
=
są odległościami przedmiotu i obrazu od odpowiednich ognisk
(są to odległości newtonowskie, które wprowadziliśmy poprzednio).
Powiększenie podłużne obrazu
L
m definiujemy jako:
0
1
0
1
dx
dx
ds
ds
m
L
≡
=
. (25.11)
Korzystając z równania Newtona (
2
1
0
f
x
x
=
) otrzymujemy
2
0
2
0
1
/
/
x
f
dx
dx
−
=
, a zatem
2
2
0
2
0
1
T
L
m
x
f
dx
dx
m
−
=
−
=
=
. (25.12)
Z równania (25.12) wynika, że po pierwsze, “ubytkom”
0
x towarzyszą “przyrosty”
1
x
(strzałka skierowana do soczewki zostanie odwzorowana w strzałkę skierowaną od soczewki),
a po drugie, że oba powiększenia są różne; można więc oczekiwać dystorsji obrazu,
szczególnie wtedy, gdy oczekujemy dużych powiększeń lub pomniejszeń.
Soczewki grube i układy złożone
Rozpatrując soczewki grube i złożone układy optyczne (składające się z kilku
soczewek, cienkich lub grubych) przyjmiemy za Möbiusem i Gaussem (bez dowodu), że
dowolny układ optyczny można opisać przy pomocy prostego modelu, w którym zakłada się,
324
że załamanie promieni wiązki światła w układzie zachodzi tylko i wyłącznie w dwóch tzw.
płaszczyznach głównych prostopadłych do osi optycznej i zlokalizowanych na ogół wewnątrz
układu. Własności płaszczyzn głównych są następujące:
1. Równoległa do osi optycznej wiązka światła padająca na układ z jednej strony
wychodzi z układu z drugiej strony skupiając się w ognisku odległym o ogniskową f od
drugiej płaszczyzny głównej i, analogicznie, równoległa wiązka światła padająca na układ z
drugiej strony, wychodzi z układu po przeciwnej stronie skupiając się w ognisku odległym o tę
samą odległość ogniskową f od pierwszej płaszczyzny głównej
2. Rozbieżna wiązka promieni wychodząca z jednego z ognisk układu opuści układ po
przeciwnej stronie jako wiązka równoległa.
3. Jeżeli odległości przedmiotową
0
s i obrazową
1
s będziemy mierzyć od,
odpowiednio, pierwszej i drugiej płaszczyzny głównej, to równanie opisujące relację pomiędzy
tymi wielkościami i ogniskową f będzie miało postać:
f
s
s
1
1
1
1
0
=
+
.
Dla soczewki cienkiej obie płaszczyzny główne pokrywają się, dla soczewek grubych
płaszczyzny te są zlokalizowane w pobliżu zewnętrznych powierzchni soczewki, a dla układu
optycznego składającego się z kilku soczewek znajdują się, odpowiednio, w pobliżu pierwszej
powierzchni pierwszej soczewki i drugiej powierzchni ostatniej soczewki w układzie. Dla
soczewki grubej punkty przecięcia płaszczyzn głównych z osią optyczną, tzw. punkty główne,
powinny zatem być zlokalizowane niezbyt daleko od punktów wierzchołkowych.
325
Własności ogniskujące (obrazujące) układu optycznego są całkowicie wyznaczone
przez położenia płaszczyzn głównych i ognisk tego układu. Znajomość położeń płaszczyzn
głównych i ognisk przedmiotowego i obrazowego, pozwala znaleźć bieg promieni
równoległego i ogniskowego, a zatem pozwala na znalezienie położenia obrazu. Warto jeszcze
raz podkreślić, że chociaż rzeczywisty przebieg promieni w układzie składającym się z wielu
soczewek może być znacznie bardziej skomplikowany, to jednak położenie obrazu znalezione
czy to metodą wytyczania biegu promieni, czy dzięki zastosowaniu równania Gaussa w
oparciu o znajomość położeń płaszczyzn głównych i ognisk, będzie odpowiadało
rzeczywistości.
Lupa (szkło powiększające)
Najprostszym układem optycznym jest pojedyncza soczewka skupiająca, która może
służyć jako szkło powiększające czyli tzw. lupa. Ponieważ lupa służy jako przyrząd optyczny
wspomagający oko ludzkie zaczniemy od rozważań nad powiększeniem przedmiotów
oglądanych przez nieuzbrojone oko.
Jak pokazano na rysunku ostre widzenie przedmiotów znajdujących się w różnej
odległości od oka wymaga “dopasowania” ogniskowej tak, by obraz wypadał zawsze na
siatkówce (akomodacja oka). Ponieważ wielkość obrazu na siatkówce oka rośnie z malejącą
odległością przedmiotu od oka wprost proporcjonalnie do kąta widzenia przedmiotu
α
,
korzystnie jest oglądać przedmioty z bliska.
Powiększenie dla trzech przypadków pokazanych na rysunku osiąga największą
wartość dla przypadku c), gdy przedmiot znajduje się najbliżej oka. Niestety dla tego
326
przypadku (odległość przedmiotu od oka mniejsza niż pewna minimalna odległość na którą
pozwala zdolność akomodacji oka, tzw odległość dobrego widzenia) obraz jest duży ale
nieostry. Przyjmuje się, że odległość dobrego widzenia (różna dla różnych ludzi) wynosi
średnio około 25 cm.
Na rysunku przedstawiono zasadę działania lupy. Przedmiot, który z odległości
dobrego widzenia (
0
L ) jest widziany pod kątem
0
α
, może być, dzięki lupie, widziany pod
znacznie większym kątem
1
α
. Chociaż przedmiot znajduje się teraz bliżej oka (w odległości
l
s
+
0
), nie ma problemu z akomodacją, gdyż jego pozorny obraz, wytworzony przez lupę i
widziany przez oko, znajduje się w odległości
L
, która powinna być nie mniejsza niż odległość
dobrego widzenia
0
L .
Oznaczmy odległość przedmiotu od lupy przez
0
s , odległość obrazu pozornego od
lupy przez
1
s , odległość lupy od oka przez
l
, a ogniskową lupy przez f . Powiększenie
kątowe obrazu oglądanego przez lupę określamy jako:
0
1
α
α
α
=
m
. (25.13)
327
Wprowadzając oznaczenia
h
i
H
na wysokość przedmiotu i jego obrazu pozornego
mamy dalej (w przybliżeniu małych kątów:
L
H
tg
/
1
1
=
≅
α
α
i
0
0
0
/ L
h
tg
=
≅
α
α
):
−
⋅
≡
⋅
=
⋅
≅
=
0
1
0
0
0
0
1
s
s
L
L
h
H
L
L
h
L
L
H
m
α
α
α
, (25.14)
gdzie znak minus zabezpiecza dodatnią wartość powiększenia kątowego dla obrazu pozornego
i prostego (
1
s ujemne). Korzystając z równania Gaussa (25.6) otrzymujemy:
−
⋅
=
−
−
⋅
=
−
⋅
=
f
s
L
L
s
f
s
L
L
s
s
L
L
m
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
)
(
α
. (25.15)
Ponieważ
f
D
/
1
=
jest mocą optyczną soczewki a
l
L
s
+
−
=
1
(
1
s ujemne) ze wzoru (25.15)
znajdujemy:
−
⋅
+
⋅
=
−
+
⋅
=
−
⋅
=
L
l
D
L
L
f
l
L
L
L
f
s
L
L
m
1
1
1
1
0
0
1
0
α
. (25.16)
Ze wzoru (25.16) wynika, że maksymalne powiększenie kątowe występuje przy minimalnej
odległości lupy od oka. A zatem kładziemy w (25.16)
0
=
l
i otrzymujemy:
L
L
D
L
D
L
L
m
0
0
0
1
+
⋅
=
+
⋅
=
α
. (25.17)
Z wyrażenia (25.17) wnioskujemy, że powiększenie kątowe
α
m jest zawarte pomiędzy D
L
0
(dla nieskończonej odległości obrazu od lupy, przedmiot w ognisku, swobodne oko) i (
1
0
+
D
L
) (dla obrazu znajdującego się w odległości dobrego widzenia
0
L od oka). Dla
typowej lupy o mocy optycznej rzędu +10D (ogniskowa 10 cm) powiększenie kątowe będzie
w takim razie zawarte pomiędzy 2.5 i 3.5 co odpowiada obserwacji bezpośredniej przedmiotu
(przez osobę bez wad wzroku) z odległości 7 do 10 cm.
Mikroskop
Mikroskopy służą do otrzymywania silnie powiększonych obrazów małych
przedmiotów. W skład najprostszego mikroskopu wchodzą obiektyw (soczewka o krótkiej
ogniskowej tworzący obraz pośredni, rzeczywisty, odwrócony i powiększony), oraz okular,
328
który pozwala na dalsze powiększenie tworząc obraz pozorny, powiększony i prosty.
Powiększenie mikroskopu będzie równe iloczynowi powiększeń obiektywu i okularu.
Korzystając ze wzoru (25.10):
0
1
0
1
x
f
f
x
y
y
m
T
−
=
−
=
=
,
dla powiększenia poprzecznego obiektywu możemy zapisać:
ob
Tob
f
f
x
m
∆
=
−
=
1
, (25.18)
gdzie
∆
jest odległością obrazu pośredniego od ogniska obiektywu
ob
F , a
ob
f jest ogniskową
obiektywu.
Powiększenie okularu, z rozważań nad lupą wynosi:
ok
ok
ok
Tok
f
L
f
f
L
f
x
m
0
0
1
≈
−
=
−
=
, (25.19)
gdzie
0
L jest odległością dobrego widzenia, a
ok
f - ogniskową okularu (pomijamy jedynkę).
Zauważmy, że powiększenie kątowe i poprzeczne dla lupy, o ile oglądany przez lupę obraz
znajduje się w odległości dobrego widzenia, są sobie równe.
329
Pryzmaty i dyspersja światła
Zjawisko dyspersji światła jest związane z zależnością prędkości światła, a zatem i
współczynnika załamania
υ
/
c
n
=
, od długości fali świetlnej. Zjawisko to stanowi podstawę
działania przyrządów spektralnych wykorzystujących pryzmaty. Zasada działania pryzmatu jest
przedstawiona na rysunku.
Ponieważ kat odchylenia
ε
promienia wychodzącego z pryzmatu po dwukrotnym
załamaniu na powierzchniach pryzmatu zależy od kata łamiącego pryzmatu
δ
i od
współczynnika załamania światła
n
materiału, z którego wykonano pryzmat, a z kolei
współczynnik załamania światła zależy od długości fali świetlnej, pryzmat stwarza możliwość
przestrzennego rozdzielenia światła o różnych barwach. Oznacza to, ze za pomocą pryzmatu
możemy wyznaczyć ilościowo zawartość w widmie badanej wiązki światła różnych jego
składowych spektralnych. Stad takie przyrządy noszą nazwę przyrządów spektralnych
(spektrum oznacza widmo). Newton był pierwszym, który wykorzystał w ten sposób pryzmat i
zademonstrował, ze światło białe składa się ze światła o wszystkich barwach, od fioletowej,
niebieskiej poprzez zieloną, żółtą, do czerwonej.
Udowodnimy, ze kąt odchylenia promienia przechodzącego przez pryzmat
ε
jest
minimalny gdy promień świetlny przechodzi przez pryzmat symetrycznie, tzn. gdy kat
1
α
jest
równy katowi
2
β
.
Kąt odchylenia promienia
ε
jest katem zewnętrznym w odpowiednim trójkącie, a
zatem
)
(
)
(
2
2
1
1
α
β
β
α
ε
−
+
−
=
. Ponieważ
1
2
β
α
δ
+
=
(kąt
δ
jest katem zewnętrznym w
innym trójkącie) mamy ostatecznie:
δ
β
α
ε
−
+
=
2
1
. (25.20)
Ze wzoru (25.20) wynika, że
330
2
1
β
α
ε
d
d
d
+
=
, (25.21)
czyli zmiana kąta
ε
jest równa sumie zmian katów
1
α
i
2
β
(kąt
δ
jest stały). Kąt
ε
będzie
minimalny, jeżeli
.
0
2
1
=
+
=
β
α
ε
d
d
d
(25.22)
Znajdziemy zmiany kątowe
1
α
d i
2
β
d , korzystając z prawa załamania Snella
n
=
1
1
sin
sin
β
α
i
n
=
2
2
sin
sin
α
β
. (25.23)
Różniczkując wzory (25.23) otrzymujemy
1
1
1
1
cos
cos
β
β
α
α
d
n
d
⋅
⋅
=
⋅
i
2
2
2
2
cos
cos
α
α
β
β
d
n
d
⋅
⋅
=
⋅
. (25.24)
Eliminując z równań (XXV.24) współczynnik załamania
n
otrzymujemy:
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
β
α
β
α
β
α
α
α
β
α
β
d
d
d
d
n
d
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
. (25.25)
Ponieważ
1
2
β
α
δ
+
=
, a zatem
1
2
β
α
d
d
−
=
. (25.26)
Po uwzględnieniu (25.26) wzór (25.25) możemy zapisać w postaci:
2
2
1
1
1
2
cos
cos
cos
cos
β
α
β
α
α
β
⋅
⋅
−
=
d
d
. (25.27)
Po podstawieniu (25.27) do wzoru (25.22) otrzymujemy ostatecznie:
0
)
cos
cos
cos
cos
1
(
2
2
1
1
1
2
1
=
⋅
−
⋅
=
+
=
β
α
β
α
α
β
α
ε
d
d
d
d
. (25.28)
Równanie (25.28) będzie spełnione, jeżeli
2
1
β
α =
oraz
1
2
β
α =
, (25.29)
czyli dla symetrycznego przechodzenia promienia przez pryzmat. Oznacza to, ze kat
odchylenia przyjmuje w takich warunkach wartość minimalną. Wykorzystując wzór (25.20),
δ
β
α
ε
−
+
=
2
1
, dla symetrycznego przechodzenia promienia przez pryzmat mamy
331
2
2
1
2
β
β
α
δ
ε
=
+
=
+
. Dalej ze wzoru
1
2
β
α
δ
+
=
znajdujemy
2
1
2
2
α
β
α
δ
=
+
=
. A zatem
n
+
=
2
sin
2
sin
sin
sin
2
2
δ
δ
ε
α
β
. (25.30)
Skąd ostatecznie otrzymujemy równanie pryzmatu:
⋅
=
+
2
sin
2
sin
δ
δ
ε
n
. (25.31)
Przypomnimy, że w równaniu tym
n
jest współczynnikiem załamania materiału pryzmatu, a
ε
i
δ
są odpowiednio, katem najmniejszego odchylenia i katem łamiącym pryzmatu.
Dla cienkiego pryzmatu kąty
ε
i
δ
są nieduże i równanie (25.31) przyjmuje, w
przybliżeniu, prostszą postać:
⋅
≅
+
2
2
δ
δ
ε
n
, skąd
)
1
(
−
⋅
≅
n
δ
ε
. (25.32)
Z równań (25.31) i (25.32) wynika, ze wielkość rozszczepienia promieni odpowiadających
światłu o różnych barwach będzie zależną od różnicy wartości współczynnika załamania dla
odpowiednich długości fali.
Dyspersją średnią nazywa się różnice współczynników załamania dla światła
niebieskiego
F
n (
485
=
λ
nm) i czerwonego
C
n (
656
=
λ
nm). Z kolei refrakcją dla danego
materiału nazywa się wielkość (
1
−
D
n
), gdzie
D
n jest współczynnikiem załamania dla długości
fali odpowiadającej żółtej linii sodu (589 nm). Wielkość:
1
−
−
=
∆
D
C
F
n
n
n
(25.33)
nazywa się dyspersją względną albo zdolnością rozszczepiającą.
Dyspersja normalna i anomalna
Zależność współczynnika załamania
n
od długości fali światła często nazywa się
dyspersją, chociaż bardziej poprawnie dyspersją nazywa się pochodna współczynnika
332
załamania względem długości fali
λ
d
dn /
. Pierwsza próba analitycznego opisu zależności
współczynnika załamania od długości fali światła zaproponował Cauchy (1836 r):
+
+
+
=
4
2
)
(
λ
λ
λ
C
B
A
n
, (25.34)
gdzie
C
B
A ,
,
są stałe, charakteryzujące dany materiał. Wzór Cauchy’ego (25.34) opisuje tzw.
dyspersję normalną (współczynnik załamania
n
maleje ze wzrostem długości fali
λ
). Okazuje
się, że dla każdego materiału istnieje jednak pewien zakres długości fali, w którym
współczynnik załamania rośnie ze wzrostem długości fali. W zakresie tym, zwanym obszarem
dyspersji anomalnej, wzór Cauchy’ego nie jest słuszny. Wytłumaczenie występowania obu
rodzajów dyspersji wymaga wiedzy z fizyki atomowej, a zatem mikroskopowe rozważanie
zjawisk dyspersji odłożymy do dalszych wykładów.
Korzystając ze wzoru (25.32) (
)
1
(
−
⋅
≅
n
δ
ε
) oraz wzoru (25.34), łatwo możemy
wyliczyć wielkość zmiany kata odchylenia promienia z długością fali światła (na jednostkę
długości fali):
3
5
3
2
4
2
λ
δ
λ
λ
δ
λ
δ
λ
ε
B
C
B
d
dn
d
d
⋅
−
≈
+
+
⋅
−
=
⋅
≅
. (25.35)
Równanie (25.35) pokazuje, że wzrostem długości fali kat odchylenia maleje, jednak maleje
tym wolniej im większa jest wartość długości fali światła. Stosunek wartości dyspersji, na
przykład, dla światła o długości fali 400 i 800 nm (odpowiadających z grubsza zakresowi
światła widzialnego), wynosi około 8, co oznacza, ze w obszarze światła niebieskiego
rozszczepienie światła przechodzącego przez pryzmat i mierzone wielkością
λ
ε
d
d /
, jest 8
razy większe niż w obszarze światła czerwonego. Warto zwrócić uwagę, ze wielkość
współczynnika załamania zależy od wartości stałych A i B, natomiast dyspersja
λ
d
dn /
nie
zależy od stałej A. Zatem duża wartość współczynnika załamania (duża wartość A) nie jest
warunkiem koniecznym dla uzyskania dużej wartości dyspersji.
Spektrometry i monochromatory pryzmatyczne
Na rysunku przedstawiono spektrometr pryzmatyczny, czyli przyrząd do pomiaru widma
światła. Szczelina wejściowa
1
S znajduje się w ognisku kolimatora, który ze światła
padającego na szczelinę
1
S formuje wiązkę równoległą światła. Po podwójnym załamaniu tej
wiązki w pryzmacie i rozszczepieniu wiązka pada na zwierciadło. Po odbiciu od zwierciadła
333
wiązka pada na obiektyw. Wyjściowa szczelina
2
S znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej
obiektywu.
Obserwacja widma gołym okiem wymaga zastosowania okularu; tak skonstruowany
przyrząd nazywamy spektroskopem. Rejestracja fotograficzna widma wymagałaby usunięcia
szczeliny wyjściowej
2
S (chcemy sfotografować cale widmo) i zastosowania kliszy
fotograficznej, umieszczonej w płaszczyźnie ogniskowej obiektywu; taki przyrząd nazywamy
spektrografem.
Monochromator to przyrząd pozwalający na wydzielenie z wiązki światła białego
światła o określonej barwie; układ będzie wówczas identyczny z tym, które jest pokazany na
rysunku.
W układzie pokazanym na rysunku (układzie Wadswortha), jak zresztą we wszystkich
innych układach pryzmatycznych, wykorzystuje się pryzmat w położeniu minimalnego kata
odchylenia. Pryzmat jest sztywno sprzężony ze zwierciadłem. Układ taki pozwala, poprzez
obrót wokół osi obrotu znajdującej się w wierzchołku pryzmatu, zmieniać kąt minimalnego
odchylenia i w ten sposób “dostroić” układ do różnych długości fali.
334