Wykład 25

Soczewki. Przyrządy optyczne

Soczewka cienka - równanie soczewek

Rozważymy teraz dwie powierzchni sferyczne oddzielające ośrodki o współczynnikach

załamania kolejno

1

2

1

n

n

n

→

→

i odległych od siebie o

d

. Niech promień krzywizny

pierwszej powierzchni wynosi

1

R , a drugiej -

2

R . Przyjmujemy oczywiście, że obraz

wytworzony przez pierwszą powierzchnię stanowić będzie przedmiot dla powierzchni drugiej,

a zatem

11

02

s

d

s

−

=

. (25.1)

Tu pierwszy dolny wskaźnik, tak jak poprzednio, jest równy zero dla przedmiotu, jeden

- dla obrazu, a drugi wskaźnik numeruje powierzchnie załamujące. Wszystkie odległości:

12

02

11

01

,

,

,

s

s

s

s

, są liczone względem, odpowiednio, punktu

1

V lub

2

V , tak jak dla pojedynczej

powierzchni.

Stosując dwukrotnie równanie pojedynczej powierzchni załamującej otrzymujemy:

1

1

2

11

2

01

1

R

n

n

s

n

s

n

−

=

+

i

2

2

1

12

1

02

2

R

n

n

s

n

s

n

−

=

+

. (25.2)

Sumując stronami te dwa równania, uwzględniając związek

11

02

s

d

s

−

=

i grupując

odpowiednie wyrazy znajdujemy

320

)

1

1

(

1

1

)

(

)

1

1

(

11

11

2

2

1

1

2

12

01

1

s

d

s

n

R

R

n

n

s

s

n

−

+

−









−

⋅

−

=

+

⋅

. (25.3)

Dla cienkiej soczewki

0

≅

d

, a zatem drugi wyraz po prawej stronie równania (25.3) możemy

zaniedbać i wtedy oznaczając

0

01

s

s

=

i

1

12

s

s

=

otrzymujemy tzw. “równanie soczewek”:









−

⋅

−

=

+

2

1

1

1

2

1

0

1

1

1

1

R

R

n

n

n

s

s

. (25.4)

Wzór ten pokazuje, że moc optyczna dla soczewki cienkiej i dwuwypukłej (

0

1

>

R

i

0

2

<

R

) jest sumą mocy optycznych dla obu powierzchni (druga powierzchnia jest co prawda

wklęsła od strony wiązki padającej, ale wiązka pada od strony ośrodka gęstszego a nie

rzadszego jak normalnie, a więc, z uwagi na różnicę współczynników załamania ta

powierzchnia ostatecznie także będzie skupiająca). Z grubsza widać także, nad czym należy się

zastanowić w przypadku gdy soczewka jest gruba i nie można pominąć jej grubości

d

;

będziemy pewnie musieli (o ile zdecydujemy, że warto taki przypadek rozważyć) przypisać

jakąś moc optyczną warstwie o grubości d i współczynniku załamania

2

n . No i oczywiście

mamy wyrażenie (to jest pewnie to co potrzebują szlifierze soczewek), które pozwala nam

obliczyć moc optyczną każdej soczewki sferycznej, wypukło - wypukłej, wklęsło - wypukłej,

wypukło - płaskiej (

∞

=

R

) itd, znak wyrażenia z promieniami krzywizn obu powierzchni

będzie decydował o tym, czy soczewka będzie skupiająca czy rozpraszająca (oczywiście o ile

1

2

n

n

>

).

Z równania soczewek wynika, że obie ogniskowe, przedmiotowa i obrazowa, będą

sobie równe:

1

2

2

1

1

2

1

R

R

R

R

n

n

n

f

f

f

O

P

−

⋅

⋅

−

=

=

=

. (25.5)

Dla soczewek zbierających f jest dodatnie, (np. dla soczewki dwuwypukłej, ponieważ

2

R jest

ujemne, zatem i licznik i mianownik są ujemne i wszystko się zgadza), dla rozpraszających (np.

dwuwklęsłych) ogniskowa f będzie ujemna.

321

Równanie soczewkowe Gaussa i Newtona

Podstawiając wyrażenie (26.5) do równania szlifierzy soczewek (25.4) dostajemy

równanie, które nazywa się równaniem soczewkowy Gaussa:

f

s

s

1

1

1

1

0

=

+

. (25.6)

Z równania Gaussa natychmiast wynika, że dla soczewek rozpraszających (

0

<

f

), dla

dowolnego

0

s dodatniego (czyli dla dowolnego przedmiotu rzeczywistego)

1

s musi być

ujemne (czyli obraz będzie zawsze pozorny i prosty) itd., itp.

Równanie soczewkowe w innej postaci, tzw. równanie soczewkowe Newtona, wiąże

ze sobą inne wielkości; zamiast odległości przedmiotowej i obrazowej

0

s i

1

s występują w nim

odległości od odpowiednich punktów ogniskowych, oznaczone

0

x i

1

x . Postać taka jest

czasem wygodniejsza, np. dla grubych soczewek, kiedy łatwiej jest zmierzyć bezpośrednio

odległości ognisk, a potem przedmiotu i obrazu, od najbliższych powierzchni zewnętrznych

soczewki. Żeby otrzymać równanie soczewkowe w postaci newtonowskiej, podstawmy do

równania w postaci gaussowskiej związki pomiędzy odległościami gaussowskimi i

newtonowskimi:

f

x

s

+

=

0

0

oraz

f

x

s

+

=

1

1

. Otrzymujemy wtedy:

f

f

x

f

x

1

1

1

1

0

=

+

+

+

. (25.7)

Skąd przez proste przekształcenia znajdujemy równanie soczewkowe Newtona:

2

1

0

f

x

x

=

. (25.8)

Z równania (25.8) wynika bezpośrednio, że znaki odległości newtonowskich

0

x i

1

x muszą

być jednakowe (obie dodatnie, albo obie ujemne, jednocześnie), a zatem przedmiot i jego

obraz muszą znajdować się po przeciwnych stronach odpowiednich punktów ogniskowych).

Konwencja znaków dla soczewek

Konwencja znaków dla soczewek jest podobna do tej dla zwierciadeł i powierzchni

łamiących:

1. Odległość przedmiotowa

0

s jest dodatnia dla przedmiotu rzeczywistego i ujemna dla

322

pozornego.

2. Odległość obrazowa

1

s jest dodatnia dla obrazu rzeczywistego i ujemna dla

pozornego.

3. Ogniskowa soczewki f jest dodatnia dla soczewek zbierających (skupiających) i

ujemna dla rozpraszających.

Wyznaczanie biegu promieni dla soczewki cienkiej

Do znalezienia obrazu przedmiotu można stosować metodę, podobną jak dla

zwierciadła. Dla ustalenia położenia obrazu wystarczy oczywiście wyznaczenie biegu dwóch

dowolnie wybranych promieni z wiązki padającej na układ. Najłatwiej jest wykorzystanie

trzech promieni, których bieg w układzie optycznym można łatwo znaleźć. Są to następujące

trzy promieni:

1)promień główny - nieodchylony promień przechodzący przez środek krzywizny (dla

pojedynczej powierzchni) lub środek soczewki (promień O

S

2

);

2) promień równoległy - promień równoległy do osi optycznej, po załamaniu

przechodzi on przez ognisko obrazowe (promień

A

S

2

);

3) promień ogniskowy - promień przechodzący przez ognisko przedmiotowe, po

załamaniu promień ten porusza się po torze równoległym do osi optycznej (promień

P

F

S

2

).

Bieg dwóch spośród trzech wyliczonych wyżej promieni do punktu ich przecięcia (w

przypadku obrazu pozornego należy przedłużyć promienie “wstecz”), wystarcza do znalezienia

obrazu dowolnego punktu.

323

Powiększenie poprzeczne i podłużne obrazu utworzonego przez soczewkę cienką.

Powiększenie poprzeczne

T

m obrazu definiujemy w sposób następujący:

0

1

0

1

s

s

y

y

m

T

−

=

=

. (25.9)

Przypomnimy, że zgodne z ogólnie przyjętą konwencją odległości powyżej osi optycznej

liczymy jako dodatnie, a poniżej jako ujemne. Tak więc dla obrazu rzeczywistego

T

m będzie

zawsze ujemne (

1

s i

0

s dodatnie), a wartość bezwzględna może być zarówno większa jak

mniejsza od 1. Porównując trójkąty

P

F

S

S

2

1

i

P

OBF a także

O

F

P

P

2

1

i

O

AOF znajdujemy:

0

1

0

1

x

f

f

x

y

y

m

T

−

=

−

=

=

, (25.10)

gdzie

O

F

P

x

1

1

=

i

P

F

S

x

1

0

=

są odległościami przedmiotu i obrazu od odpowiednich ognisk

(są to odległości newtonowskie, które wprowadziliśmy poprzednio).

Powiększenie podłużne obrazu

L

m definiujemy jako:

0

1

0

1

dx

dx

ds

ds

m

L

≡

=

. (25.11)

Korzystając z równania Newtona (

2

1

0

f

x

x

=

) otrzymujemy

2

0

2

0

1

/

/

x

f

dx

dx

−

=

, a zatem

2

2

0

2

0

1

T

L

m

x

f

dx

dx

m

−

=

−

=

=

. (25.12)

Z równania (25.12) wynika, że po pierwsze, “ubytkom”

0

x towarzyszą “przyrosty”

1

x

(strzałka skierowana do soczewki zostanie odwzorowana w strzałkę skierowaną od soczewki),

a po drugie, że oba powiększenia są różne; można więc oczekiwać dystorsji obrazu,

szczególnie wtedy, gdy oczekujemy dużych powiększeń lub pomniejszeń.

Soczewki grube i układy złożone

Rozpatrując soczewki grube i złożone układy optyczne (składające się z kilku

soczewek, cienkich lub grubych) przyjmiemy za Möbiusem i Gaussem (bez dowodu), że

dowolny układ optyczny można opisać przy pomocy prostego modelu, w którym zakłada się,

324

że załamanie promieni wiązki światła w układzie zachodzi tylko i wyłącznie w dwóch tzw.

płaszczyznach głównych prostopadłych do osi optycznej i zlokalizowanych na ogół wewnątrz

układu. Własności płaszczyzn głównych są następujące:

1. Równoległa do osi optycznej wiązka światła padająca na układ z jednej strony

wychodzi z układu z drugiej strony skupiając się w ognisku odległym o ogniskową f od

drugiej płaszczyzny głównej i, analogicznie, równoległa wiązka światła padająca na układ z

drugiej strony, wychodzi z układu po przeciwnej stronie skupiając się w ognisku odległym o tę

samą odległość ogniskową f od pierwszej płaszczyzny głównej

2. Rozbieżna wiązka promieni wychodząca z jednego z ognisk układu opuści układ po

przeciwnej stronie jako wiązka równoległa.

3. Jeżeli odległości przedmiotową

0

s i obrazową

1

s będziemy mierzyć od,

odpowiednio, pierwszej i drugiej płaszczyzny głównej, to równanie opisujące relację pomiędzy

tymi wielkościami i ogniskową f będzie miało postać:

f

s

s

1

1

1

1

0

=

+

.

Dla soczewki cienkiej obie płaszczyzny główne pokrywają się, dla soczewek grubych

płaszczyzny te są zlokalizowane w pobliżu zewnętrznych powierzchni soczewki, a dla układu

optycznego składającego się z kilku soczewek znajdują się, odpowiednio, w pobliżu pierwszej

powierzchni pierwszej soczewki i drugiej powierzchni ostatniej soczewki w układzie. Dla

soczewki grubej punkty przecięcia płaszczyzn głównych z osią optyczną, tzw. punkty główne,

powinny zatem być zlokalizowane niezbyt daleko od punktów wierzchołkowych.

325

Własności ogniskujące (obrazujące) układu optycznego są całkowicie wyznaczone

przez położenia płaszczyzn głównych i ognisk tego układu. Znajomość położeń płaszczyzn

głównych i ognisk przedmiotowego i obrazowego, pozwala znaleźć bieg promieni

równoległego i ogniskowego, a zatem pozwala na znalezienie położenia obrazu. Warto jeszcze

raz podkreślić, że chociaż rzeczywisty przebieg promieni w układzie składającym się z wielu

soczewek może być znacznie bardziej skomplikowany, to jednak położenie obrazu znalezione

czy to metodą wytyczania biegu promieni, czy dzięki zastosowaniu równania Gaussa w

oparciu o znajomość położeń płaszczyzn głównych i ognisk, będzie odpowiadało

rzeczywistości.

Lupa (szkło powiększające)

Najprostszym układem optycznym jest pojedyncza soczewka skupiająca, która może

służyć jako szkło powiększające czyli tzw. lupa. Ponieważ lupa służy jako przyrząd optyczny

wspomagający oko ludzkie zaczniemy od rozważań nad powiększeniem przedmiotów

oglądanych przez nieuzbrojone oko.

Jak pokazano na rysunku ostre widzenie przedmiotów znajdujących się w różnej

odległości od oka wymaga “dopasowania” ogniskowej tak, by obraz wypadał zawsze na

siatkówce (akomodacja oka). Ponieważ wielkość obrazu na siatkówce oka rośnie z malejącą

odległością przedmiotu od oka wprost proporcjonalnie do kąta widzenia przedmiotu

α

,

korzystnie jest oglądać przedmioty z bliska.

Powiększenie dla trzech przypadków pokazanych na rysunku osiąga największą

wartość dla przypadku c), gdy przedmiot znajduje się najbliżej oka. Niestety dla tego

326

przypadku (odległość przedmiotu od oka mniejsza niż pewna minimalna odległość na którą

pozwala zdolność akomodacji oka, tzw odległość dobrego widzenia) obraz jest duży ale

nieostry. Przyjmuje się, że odległość dobrego widzenia (różna dla różnych ludzi) wynosi

średnio około 25 cm.

Na rysunku przedstawiono zasadę działania lupy. Przedmiot, który z odległości

dobrego widzenia (

0

L ) jest widziany pod kątem

0

α

, może być, dzięki lupie, widziany pod

znacznie większym kątem

1

α

. Chociaż przedmiot znajduje się teraz bliżej oka (w odległości

l

s

+

0

), nie ma problemu z akomodacją, gdyż jego pozorny obraz, wytworzony przez lupę i

widziany przez oko, znajduje się w odległości

L

, która powinna być nie mniejsza niż odległość

dobrego widzenia

0

L .

Oznaczmy odległość przedmiotu od lupy przez

0

s , odległość obrazu pozornego od

lupy przez

1

s , odległość lupy od oka przez

l

, a ogniskową lupy przez f . Powiększenie

kątowe obrazu oglądanego przez lupę określamy jako:

0

1

α

α

α

=

m

. (25.13)

327

Wprowadzając oznaczenia

h

i

H

na wysokość przedmiotu i jego obrazu pozornego

mamy dalej (w przybliżeniu małych kątów:

L

H

tg

/

1

1

=

≅

α

α

i

0

0

0

/ L

h

tg

=

≅

α

α

):









−

⋅

≡













⋅

=

⋅

≅

=

0

1

0

0

0

0

1

s

s

L

L

h

H

L

L

h

L

L

H

m

α

α

α

, (25.14)

gdzie znak minus zabezpiecza dodatnią wartość powiększenia kątowego dla obrazu pozornego

i prostego (

1

s ujemne). Korzystając z równania Gaussa (25.6) otrzymujemy:









−

⋅

=









−

−

⋅

=









−

⋅

=

f

s

L

L

s

f

s

L

L

s

s

L

L

m

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

)

(

α

. (25.15)

Ponieważ

f

D

/

1

=

jest mocą optyczną soczewki a

l

L

s

+

−

=

1

(

1

s ujemne) ze wzoru (25.15)

znajdujemy:























 −

⋅

+

⋅

=









−

+

⋅

=









−

⋅

=

L

l

D

L

L

f

l

L

L

L

f

s

L

L

m

1

1

1

1

0

0

1

0

α

. (25.16)

Ze wzoru (25.16) wynika, że maksymalne powiększenie kątowe występuje przy minimalnej

odległości lupy od oka. A zatem kładziemy w (25.16)

0

=

l

i otrzymujemy:

L

L

D

L

D

L

L

m

0

0

0

1

+

⋅

=







 +

⋅

=

α

. (25.17)

Z wyrażenia (25.17) wnioskujemy, że powiększenie kątowe

α

m jest zawarte pomiędzy D

L

0

(dla nieskończonej odległości obrazu od lupy, przedmiot w ognisku, swobodne oko) i (

1

0

+

D

L

) (dla obrazu znajdującego się w odległości dobrego widzenia

0

L od oka). Dla

typowej lupy o mocy optycznej rzędu +10D (ogniskowa 10 cm) powiększenie kątowe będzie

w takim razie zawarte pomiędzy 2.5 i 3.5 co odpowiada obserwacji bezpośredniej przedmiotu

(przez osobę bez wad wzroku) z odległości 7 do 10 cm.

Mikroskop

Mikroskopy służą do otrzymywania silnie powiększonych obrazów małych

przedmiotów. W skład najprostszego mikroskopu wchodzą obiektyw (soczewka o krótkiej

ogniskowej tworzący obraz pośredni, rzeczywisty, odwrócony i powiększony), oraz okular,

328

który pozwala na dalsze powiększenie tworząc obraz pozorny, powiększony i prosty.

Powiększenie mikroskopu będzie równe iloczynowi powiększeń obiektywu i okularu.

Korzystając ze wzoru (25.10):

0

1

0

1

x

f

f

x

y

y

m

T

−

=

−

=

=

,

dla powiększenia poprzecznego obiektywu możemy zapisać:

ob

Tob

f

f

x

m

∆

=

−

=

1

, (25.18)

gdzie

∆

jest odległością obrazu pośredniego od ogniska obiektywu

ob

F , a

ob

f jest ogniskową

obiektywu.

Powiększenie okularu, z rozważań nad lupą wynosi:

ok

ok

ok

Tok

f

L

f

f

L

f

x

m

0

0

1

≈

−

=

−

=

, (25.19)

gdzie

0

L jest odległością dobrego widzenia, a

ok

f - ogniskową okularu (pomijamy jedynkę).

Zauważmy, że powiększenie kątowe i poprzeczne dla lupy, o ile oglądany przez lupę obraz

znajduje się w odległości dobrego widzenia, są sobie równe.

329

Pryzmaty i dyspersja światła

Zjawisko dyspersji światła jest związane z zależnością prędkości światła, a zatem i

współczynnika załamania

υ

/

c

n

=

, od długości fali świetlnej. Zjawisko to stanowi podstawę

działania przyrządów spektralnych wykorzystujących pryzmaty. Zasada działania pryzmatu jest

przedstawiona na rysunku.

Ponieważ kat odchylenia

ε

promienia wychodzącego z pryzmatu po dwukrotnym

załamaniu na powierzchniach pryzmatu zależy od kata łamiącego pryzmatu

δ

i od

współczynnika załamania światła

n

materiału, z którego wykonano pryzmat, a z kolei

współczynnik załamania światła zależy od długości fali świetlnej, pryzmat stwarza możliwość

przestrzennego rozdzielenia światła o różnych barwach. Oznacza to, ze za pomocą pryzmatu

możemy wyznaczyć ilościowo zawartość w widmie badanej wiązki światła różnych jego

składowych spektralnych. Stad takie przyrządy noszą nazwę przyrządów spektralnych

(spektrum oznacza widmo). Newton był pierwszym, który wykorzystał w ten sposób pryzmat i

zademonstrował, ze światło białe składa się ze światła o wszystkich barwach, od fioletowej,

niebieskiej poprzez zieloną, żółtą, do czerwonej.

Udowodnimy, ze kąt odchylenia promienia przechodzącego przez pryzmat

ε

jest

minimalny gdy promień świetlny przechodzi przez pryzmat symetrycznie, tzn. gdy kat

1

α

jest

równy katowi

2

β

.

Kąt odchylenia promienia

ε

jest katem zewnętrznym w odpowiednim trójkącie, a

zatem

)

(

)

(

2

2

1

1

α

β

β

α

ε

−

+

−

=

. Ponieważ

1

2

β

α

δ

+

=

(kąt

δ

jest katem zewnętrznym w

innym trójkącie) mamy ostatecznie:

δ

β

α

ε

−

+

=

2

1

. (25.20)

Ze wzoru (25.20) wynika, że

330

2

1

β

α

ε

d

d

d

+

=

, (25.21)

czyli zmiana kąta

ε

jest równa sumie zmian katów

1

α

i

2

β

(kąt

δ

jest stały). Kąt

ε

będzie

minimalny, jeżeli

.

0

2

1

=

+

=

β

α

ε

d

d

d

(25.22)

Znajdziemy zmiany kątowe

1

α

d i

2

β

d , korzystając z prawa załamania Snella

n

=

1

1

sin

sin

β

α

i

n

=

2

2

sin

sin

α

β

. (25.23)

Różniczkując wzory (25.23) otrzymujemy

1

1

1

1

cos

cos

β

β

α

α

d

n

d

⋅

⋅

=

⋅

i

2

2

2

2

cos

cos

α

α

β

β

d

n

d

⋅

⋅

=

⋅

. (25.24)

Eliminując z równań (XXV.24) współczynnik załamania

n

otrzymujemy:

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

cos

cos

cos

cos

cos

cos

β

α

β

α

β

α

α

α

β

α

β

d

d

d

d

n

d

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

. (25.25)

Ponieważ

1

2

β

α

δ

+

=

, a zatem

1

2

β

α

d

d

−

=

. (25.26)

Po uwzględnieniu (25.26) wzór (25.25) możemy zapisać w postaci:

2

2

1

1

1

2

cos

cos

cos

cos

β

α

β

α

α

β

⋅

⋅

−

=

d

d

. (25.27)

Po podstawieniu (25.27) do wzoru (25.22) otrzymujemy ostatecznie:

0

)

cos

cos

cos

cos

1

(

2

2

1

1

1

2

1

=

⋅

−

⋅

=

+

=

β

α

β

α

α

β

α

ε

d

d

d

d

. (25.28)

Równanie (25.28) będzie spełnione, jeżeli

2

1

β

α =

oraz

1

2

β

α =

, (25.29)

czyli dla symetrycznego przechodzenia promienia przez pryzmat. Oznacza to, ze kat

odchylenia przyjmuje w takich warunkach wartość minimalną. Wykorzystując wzór (25.20),

δ

β

α

ε

−

+

=

2

1

, dla symetrycznego przechodzenia promienia przez pryzmat mamy

331

2

2

1

2

β

β

α

δ

ε

=

+

=

+

. Dalej ze wzoru

1

2

β

α

δ

+

=

znajdujemy

2

1

2

2

α

β

α

δ

=

+

=

. A zatem

n























 +

=

2

sin

2

sin

sin

sin

2

2

δ

δ

ε

α

β

. (25.30)

Skąd ostatecznie otrzymujemy równanie pryzmatu:













⋅

=











 +

2

sin

2

sin

δ

δ

ε

n

. (25.31)

Przypomnimy, że w równaniu tym

n

jest współczynnikiem załamania materiału pryzmatu, a

ε

i

δ

są odpowiednio, katem najmniejszego odchylenia i katem łamiącym pryzmatu.

Dla cienkiego pryzmatu kąty

ε

i

δ

są nieduże i równanie (25.31) przyjmuje, w

przybliżeniu, prostszą postać:













⋅

≅











 +

2

2

δ

δ

ε

n

, skąd

)

1

(

−

⋅

≅

n

δ

ε

. (25.32)

Z równań (25.31) i (25.32) wynika, ze wielkość rozszczepienia promieni odpowiadających

światłu o różnych barwach będzie zależną od różnicy wartości współczynnika załamania dla

odpowiednich długości fali.

Dyspersją średnią nazywa się różnice współczynników załamania dla światła

niebieskiego

F

n (

485

=

λ

nm) i czerwonego

C

n (

656

=

λ

nm). Z kolei refrakcją dla danego

materiału nazywa się wielkość (

1

−

D

n

), gdzie

D

n jest współczynnikiem załamania dla długości

fali odpowiadającej żółtej linii sodu (589 nm). Wielkość:

1

−

−

=

∆

D

C

F

n

n

n

(25.33)

nazywa się dyspersją względną albo zdolnością rozszczepiającą.

Dyspersja normalna i anomalna

Zależność współczynnika załamania

n

od długości fali światła często nazywa się

dyspersją, chociaż bardziej poprawnie dyspersją nazywa się pochodna współczynnika

332

załamania względem długości fali

λ

d

dn /

. Pierwsza próba analitycznego opisu zależności

współczynnika załamania od długości fali światła zaproponował Cauchy (1836 r):



+

+

+

=

4

2

)

(

λ

λ

λ

C

B

A

n

, (25.34)

gdzie

C

B

A ,

,

są stałe, charakteryzujące dany materiał. Wzór Cauchy’ego (25.34) opisuje tzw.

dyspersję normalną (współczynnik załamania

n

maleje ze wzrostem długości fali

λ

). Okazuje

się, że dla każdego materiału istnieje jednak pewien zakres długości fali, w którym

współczynnik załamania rośnie ze wzrostem długości fali. W zakresie tym, zwanym obszarem

dyspersji anomalnej, wzór Cauchy’ego nie jest słuszny. Wytłumaczenie występowania obu

rodzajów dyspersji wymaga wiedzy z fizyki atomowej, a zatem mikroskopowe rozważanie

zjawisk dyspersji odłożymy do dalszych wykładów.

Korzystając ze wzoru (25.32) (

)

1

(

−

⋅

≅

n

δ

ε

) oraz wzoru (25.34), łatwo możemy

wyliczyć wielkość zmiany kata odchylenia promienia z długością fali światła (na jednostkę

długości fali):

3

5

3

2

4

2

λ

δ

λ

λ

δ

λ

δ

λ

ε

B

C

B

d

dn

d

d

⋅

−

≈













+

+

⋅

−

=

⋅

≅



. (25.35)

Równanie (25.35) pokazuje, że wzrostem długości fali kat odchylenia maleje, jednak maleje

tym wolniej im większa jest wartość długości fali światła. Stosunek wartości dyspersji, na

przykład, dla światła o długości fali 400 i 800 nm (odpowiadających z grubsza zakresowi

światła widzialnego), wynosi około 8, co oznacza, ze w obszarze światła niebieskiego

rozszczepienie światła przechodzącego przez pryzmat i mierzone wielkością

λ

ε

d

d /

, jest 8

razy większe niż w obszarze światła czerwonego. Warto zwrócić uwagę, ze wielkość

współczynnika załamania zależy od wartości stałych A i B, natomiast dyspersja

λ

d

dn /

nie

zależy od stałej A. Zatem duża wartość współczynnika załamania (duża wartość A) nie jest

warunkiem koniecznym dla uzyskania dużej wartości dyspersji.

Spektrometry i monochromatory pryzmatyczne

Na rysunku przedstawiono spektrometr pryzmatyczny, czyli przyrząd do pomiaru widma

światła. Szczelina wejściowa

1

S znajduje się w ognisku kolimatora, który ze światła

padającego na szczelinę

1

S formuje wiązkę równoległą światła. Po podwójnym załamaniu tej

wiązki w pryzmacie i rozszczepieniu wiązka pada na zwierciadło. Po odbiciu od zwierciadła

333

wiązka pada na obiektyw. Wyjściowa szczelina

2

S znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej

obiektywu.

Obserwacja widma gołym okiem wymaga zastosowania okularu; tak skonstruowany

przyrząd nazywamy spektroskopem. Rejestracja fotograficzna widma wymagałaby usunięcia

szczeliny wyjściowej

2

S (chcemy sfotografować cale widmo) i zastosowania kliszy

fotograficznej, umieszczonej w płaszczyźnie ogniskowej obiektywu; taki przyrząd nazywamy

spektrografem.

Monochromator to przyrząd pozwalający na wydzielenie z wiązki światła białego

światła o określonej barwie; układ będzie wówczas identyczny z tym, które jest pokazany na

rysunku.

W układzie pokazanym na rysunku (układzie Wadswortha), jak zresztą we wszystkich

innych układach pryzmatycznych, wykorzystuje się pryzmat w położeniu minimalnego kata

odchylenia. Pryzmat jest sztywno sprzężony ze zwierciadłem. Układ taki pozwala, poprzez

obrót wokół osi obrotu znajdującej się w wierzchołku pryzmatu, zmieniać kąt minimalnego

odchylenia i w ten sposób “dostroić” układ do różnych długości fali.

334