POŁĄCZENIA SPRĘŻYSTE 

Elementy sprężyste: 

•umożliwiają wzajemne przesunięcie współpracujących części 
•służą do kasowania luzów 
•wywierają nacisk (s. zaworowe,sprzęgłowe itp.) 
•przenoszą obciążenia 
•łagodzą uderzenia (np. zderzaki, resory, s. amortyzacyjne) 
•tłumią drgania lub je pobudzają (np. s. w urządz. wibracyjnych) 
•akumulują energię (sprężyny zegarowe, zaworowe) 
•stosuje się do regulacji i pomiaru siły (w zaworach 
bezpieczeństwa i dynamometrach) 

sprężyny 

gumowe łączniki sprężyste 

POŁĄCZENIA

NIEROZŁĄCZNE

ROZŁĄCZNE

spójnoś-

ciowe

cierno-

kształtowe

cierne

kształtowe

kształtowe

kształtowo

-cierne

SPRĘŻYSTE

SPOCZYNKOWE

 

RUCHOWE

 

Sprężyny 

  Łączniki sprężyste z materiałów 
  o dużym module sprężystości (o 
  małej odkształcalności), których 
  dużą podatność uzyskano dzięki  
  ich kształtowi. 

Orientacyjne zakresy naprężeń dopuszczalnych w sprężynach 

 

Rodzaj 

naprężeń 

 
 

Charakter 
 zmienności 

Rozciąganie i 

ściskanie  



max (r,c)_

 

Zginanie 

 



gmax 

 

Skręcanie 

 



smax 

 

stałe 

 

(0,50,9) R

e

 

 

(0,61) R

e

 

 

(0,30,54) R

e

 

 

szybkozmienne 

 

(0,250,5) R

m

 

 

(0,40,65) R

m

 

 

(0,20,4) R

m

 

 

Granica 
zniszczenia 

Ugięcie   

Gr

an

ica 
 p

os

taci 

 

ciała

 stałeg
o 

Zakres 
pracy 

Długość 
zblokowania 

Luz 
rezerwowy 

Długość           
swobodna l

0 

Obciążenie, 

F 

n 

w 

Sprężyny 

Podział sprężyn 

Sprężyny 

Podział sprężyn 

Granica 
zniszczenia 

Ugięcie   

Gr

an

ica 
 p

os

taci 

 

ciała

 stałeg
o 

Zakres 
pracy 

Długość 
zblokowania 

Luz 
rezerwowy 

Długość           
swobodna l

0 

Obciążenie, 

F 

n 

w 

Sprężyny 

Charakterystyki  sprężyn 

Granica 
zniszczenia 

Ugięcie   

Gr

an

ica 
 p

os

taci 

 

ciała

 stałeg
o 

Zakres 
pracy 

Długość 
zblokowania 

Luz 
rezerwowy 

Długość           
swobodna l

0 

Obciążenie, 

F 

n 

w 

Sprężyny 

Sztywność 

R

 i praca 

odkształcenia 

W 

Praca odkształcenia 

W

 , 

energia rozproszenia 

W

1

  

(

1

- obciążenie, 

 

2

- odciążenia sprężyny) 

Sprężyny 

 

Resory 

Resor wielopiórowy 

symetryczny dwuramienny  

zbudowany z dwóch 
jednopiórowych resorów 
o kształcie trapezowym 
(model obliczeniowy). 

Rzeczywista charakterystyka 

resoru wielopiórowego;  

R

, 

R

’

  

- sztywność rzeczywista i 

pozorna resoru. 

   

Przykład: 

  Zaprojektować belkę o  
  stałej wytrzymałości na  
  zginanie centralnie 
  obciążonej i podpartej  
  dwóch podporach 
  końcowych.  
  Belka ma przekrój  
  prostokątny o stałej  
  wysokości h. 

Sprężyny 

 

Resory 

   

Przykład, c.d: 

Sprężyny 

 

Resory 

   

Przykład, c.d: 

Sprężyny 

 

Resory 

Resor 
zbudowany z 
dwóch 
jednopiórowych 
resorów o 
kształcie 
trójkątnym 
(model 
obliczeniowy) 

   

Przykład, c.d: 





6

)

(

)

(

2

x

h

b

x

W





dop

x

M

x

W



)

(

)

(



x

b

P

x

h

dop







6

)

(

Sprężyny 

 

Resory 

 

Przekrój prostokątny o  

  stałej szerokości b 

   

Przykład, c.d: 

 

Przekrój kołowy  

32

)

(

3

d

x

W







dop

x

M

x

W



)

(

)

(



3

32

)

(

x

P

x

h

dop









Sprężyny 

 

Resory 

Sprężyny 

 

Resory 

Model obliczeniowy resoru 

Sprężyny 

 

Resory 

Sprężyny 

 

Resory 

Podział konstrukcyjny resorów 

Sprężyny 

 

Resory 

Resory piórowe 

 

Resory 

Sprężyny 

ćwierćeliptyczny 

niesymetryczny półeliptyczny 

niesymetryczny jednostronnie 

zamocowany 

Sprężyny 

 

Resory 

Orientacyjne wartości naprężeń 

dopuszczalnych dla resorów ze stali  50HFA 

d

k

 

l

k

 

l

0

 

R 

 2d 

l

w

 

Drążki skrętne 

R

w

l

,

l

L

2

1





d

,

d

k

4

1







d

,

...

,

l

k

45

1

25

1



Na zgrubionych 
końcach: 

•wielokarby 

•wypusty 

•spłaszczenia, 

•czopy   mimośrodowe 

Długość 
obliczeniowa: 
Polecane wymiary: 

oraz 

Uwaga!      Drążek musi być zabezpieczony przed zginaniem

. 

S

S

S

k

W

M 



0



0

J

G

l

M









-współczynnik przekroju, d

0

- średnica próbki 

Sprężyny 

Obliczyć wymiary drążka skrętnego o przekroju okrągłym zastosowanego 
do zawieszenia samochodu dla następujących danych:

  

P

st

 = 3000[N], r = 300 [mm], f

st

=f0= 120 [mm], f

dyn

=f=200[mm]; 

drążek wykonany z materiału 60SGH dla którego 
R

m

= 1400 [MPa], R

e

= 1250 [MPa], G=83000 [MPa],  

k

sst

=

st

=350 [MPa], k

sj

= k

sdyn

 =

dyn

350 [MPa]. 

naciągowe 

talerzowe 

spiralne 

Sprężyny 

Sprężyny naciskowe 

Sprężyny 

   

M

s 

M

g 

T

 

N

 

2

0

D

F

M

s













cos



 F

T



sin

2







D

F

M

g

F

T





 0



0

0







g

M





sin



 F

N

0

0







N





cos

2







D

F

M

s

t

s











S

T

W

M

s





0

2

3

4

8

d

F

d

D

F









































D

d

d

D

F

2

1

8

3



Sprężyny 

śrubowe 

Sprężyny 

d 

D 

F 

F 

Liczba zwojów 

czynnych n: 

max

s

s

s

k

d

k

P

d

d

k

D

P

d

d

k

R

P



















































2

1

2

1

2

1

8

8

16

s

s

k

k

w

P

k

k

P

d



























1

1

8

8

Warunek 

wytrzymałościowy 

3

2

4

2

3

0

2

2

8

32

2













































d

G

k

n

P

d

G

k

n

R

P

J

G

k

l

R

P

f

Średnica drutu: 

2

3

2

3

8

8

k

P

f

d

G

k

c

d

G

n



























gdzie 

n

R

l









2

Całkowita liczba zwojów  wg.DIN 2095 ( sprężyna zwijana na zimno i 
mająca po ¾ zagiętego zwoju lub 1 zagięty zwój z każdej strony ) 

5

1,

n

n

c





2



 n

n

c

lub odpowiednio 

Sprężyny 

Sprężyny śrubowe 

Norma PN-64/M 80701 

Ugięcie f: 

)

9

6

(

1

1

1





















/

d

D

w



Długość zblokowana l

zbl

: 

d

n

l

c

zbl



Stała sprężyny c: 

.

const

k

n

d

G

c













2

3

8



Prześwit międzyzwojowy : 









n

d

x

a

min

w 

 

4 

 

5 

 

6 

 

7 

 

8 

 

9 

 

10 

 

11 

 

12 

 

13 

 

14 

 

   

x 

 

0,09 
 

0,098 

 

0,11 

 

0,123 

 

0,14 

 

0,16 

 

0,18 

 

0,20 

 

0,225 

 

0,253 

 

0,28 

  

 

lub odpowiednio dla sprężyn zwijanych na zimno i na gorąco 

n

d

,

n

d

x

a

n

d

,

n

d

x

a

min

min





























17

0

1

0

Sprężyny 

Sprężyny śrubowe 

  

F

χ

τ





max

3

1

8

d

D

k











2

1

8

7

4

5

1











k

2

2

16

3

1







k

0

2

2

0

2

2

4

2

2

I

G

k

l

D

F

I

G

k

D

l

M

D

k

f

s































s

s

s

k

d

k

D

F

W

k

M

















3

1

0

1

8





Sprężyny 

Sprężyny 

śrubowe 

d 

D 

F 

F 

D

d

w

d

D

w







1

;



f 

f 

Sprawdzenie pewności 

sprężyny na wyboczenie 

 
 

 



 

 

1 

 

2 

 

3 

 

4 

 

5 

 

6 

 

7 

 

  

 



gr

 

 

Dla sprężyn z równoległymi 

płaszczyznami podparcia i 

zamocowaniem prowadzącym 

 

 

72 

 

 

70 

 

 

67 

 

 

60 

 

 

52 

 

 

40 

 

 

27 

 

Dla wszystkich sprężyn 

naciskowych o zmiennych 

warunkach podparcia 

 

55 

 

 

53 

 

 

47 

 

 

38 

 

 

24 

 

 

12 

 

gr

s

%

l

f









100

Stateczność jest zachowana zawsze, dla 

.

,

D

l

s

62

2



sprężyna jest stateczna (nie ulega wyboczeniu) jeśli  f 

 zbl

  



  f 

kr 

,

  

gdzie: 



































2

87

6

1

1

813

0

s

s

kr

l

D

,

l

,

f

]

[

D

/

l

f

s

gr









Jeśli  f > f

kr  

należy zastosować prowadzenie sprężyny

.

  

zbl 

s 

zbl 

l 

l 

f 

 

 

Sprężyny 

62

2

Gdy

,

D

l

s



Układ równoległy 









n

i

i

i

P

P

1

[N]









n

i

i

i

C

C

1

[N/mm]

Układ szeregowy  









n

i

i

i

f

f

1

[mm]









n

i

i

i

C

C

1

[mm/N]

1

1

Układ współśrodkowy 

3

3

3

2

3

2

1

3

1

3

2

1

:

:

:

:

D

d

D

d

D

d

P

P

P



Odpowiada warunkowi by naprężenia 
osiągały równocześnie jednakowe wartości 
we wszystkich sprężynach zespołu 

Sprężyny 

Układy sprężyste 

F

1

 

F

2

 

R

2

 

R

1

 

x

2

 

x

1

 

S

2

 

S

1

 

M 

α 

Sprężyny  Przykład obliczeniowy 

Obliczyć  sztywność  giętną    c

t

  przedstawionego  na  rysunku  układu 

sprężyn obciążonego momentem gnącym M (m. in.: c

1

, c

2 

– sztywności, 

s

1 

,s 

2 

– ugięcia sprężyn). 

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

x

s

c

x

s

c

x

F

x

F

M











1

1

x

s 



2

2

x

s







2

2

2

2

1

1

x

c

x

c

M







2

2

2

2

1

1

/

x

c

x

c

M

c

t









Śrubowe sprężyny 

stożkowe 

Ugięcie  









1

2

2

1

2

2

4

16

R

R

R

R

Gd

n

F

f









Sztywność sprężyny  









1

2

2

1

2

2

4

16

R

R

R

R

n

d

G

f

F

C













1.  Progresywna zmiana sztywności. 

2.  Szybkie tłumienie drgań 

Kształtowe sprężyny śrubowe o zmiennej 

średnicy: 

•stożkowe o pręcie okrągłym, 

•stożkowe o pręcie prostokątnym, 

 

Sprężyny 

Sprężyny skrętowe 

Sprężyny 

Skrętowe śrubowe 

sprężyny walcowe 

Moment skręcający = zginający  

g

s

M

FR

M





0

(.)

g

g

g

k

W

M







 

.

k

d

,

FR

g

3

0

1

0



gdzie          - naprężenie 
dopuszczalne dla obciążeń 
stałych lub zmiennych 

)

(.

k

g





L



EI

FR

EI

M

g

0

1







64

4

d

I





gdzie  

W przypadku pręta zakrzywionego o 

krzywiźnie 1/



i

 i długości l = 

D n oraz n- 

liczba zwoi 

d

D

Ed

n

FR

l

i

i

3

0

64









 

.

k

.

FR

d

g

1

0

0



Jeśli przyjąć M

s 

=FR  to średnica drutu d: 

d

D

FR

Ed

n

n

0

3

2

64



Jeśli  D/d 

  4  dla 

zadanej 



2

 

to 

liczba zwoi n: 

Sprężyny 

 

d 

D 

f 

s 

P

 

h

 







  



max 

- 

+ 

Sprężyny talerzowe 

mm

N

2

1

1

1

1

1

4

2

2

2







































 











 



















s

h

h

f

h

f

D

s

s

E

f

P





2

2

2

mm

N

2

1

1

4

























 



























s

f

s

h

s

f

D

s

E

max

d

/

D









;

1

1

6

1































ln

ln





2

1

6

1

















ln

Zalecane stosunki wymiarowe wg DIN: 

.

...

,

h

/

f

;

max

0

0

0

7

4

75

0

2











18



s

/

D

4

0,

s

/

h



28



s

/

D

-Twarde sprężyny 

-Miękkie sprężyny 

75

0,

s

/

h



2

2

2

mm

N

923000

3

0

1

210000

4

1

4

:

stali

Dla











,

E









 



/lnδ

2

1

δ

1

δ

/δ

1

δ

π

1

α

2

2













Sprężyny 

Obliczyć wymiary sprężyny sprzęgłowej oraz sprawdzić jej stateczność. 

Dane sprężyny sprzęgłowej: P = 500N, f = 4 mm, P

0

 = 400 N, drut 

sprężynowy  rodzaju  B  wg  PN=65/M-80057  (R

m

=14001600MN/m

2

, 

k

s 

 0,5R

m 

= 800MPa, G  = 83000 MPa 

df 

dP
 

P [N] 

f [mm] 

L 

P 

f

0 

 

f 

P

0 

 

Obliczenia: 

1. Średnica drutu  

)

9

6

(

1

1

1





















/

d

D

w



232

1

8

7

4

5

1

]

6

1

[

2

1

,

/

k













mm

43

3

800

6

1

232

1

500

8

8

1

,

/

,

k

k

P

d

s



























Zgodnie z PN-65/M-80057 przyjmujemy najbliższa większą 
znormalizowaną średnicę drutu d=3,5 mm. 

Sprężyny  Przykład obliczeniowy 

Uwaga:  
Norma  PN-64/M  80701  w  obliczeniach  sprężyn  naciskowych  podlegających  obciążeniu  stałemu  i  rzadko- 
zmiennemu nie uwzględnia wartości współczynnika k

1

, zaleca natomiast uwzględniać go przy obciążeniach 

zmiennych (np. w obliczeniach sprężyn sprzęgłowych można nie uwzględniać współczynnika k

1

). 

2. Średnica zewnętrzna i wewnętrzna 

mm

21

5

3

6











,

d

w

D

mm

5

24

z

,

D



3. Sztywność sprężyny (założona)  

mm

N

25

4

100







/

f

P

c





4. Liczba zwojów czynnych  

995

0

36

1

16

3

1

16

3

1

2

2

,

k















 

76

6

995

0

25

8

6

1

83000

8

3

2

3

,

,

d

k

c

d

G

n

























Przyjmujemy n = 7 

Sprężyny  Przykład obliczeniowy 

5. Całkowita liczba zwojów (zwijane na gorąco) 

5

8

5

1

,

,

n

n

c







6. Suma dopuszczalnych najmniejszych prześwitów międzyzwojowych  

mm

695

2

7

5

3

11

0

,

,

,

n

d

x

a

min

















(na zimno x=0,1;   stąd  

mm

45

2,

a

min





. Przyjmujemy  

mm

8

2,

a





7. Długość sprężyny zblokowanej

  

mm

28

5

3

8

)

1

(











,

d

n

l

bl

8. Długość sprężyny pod obciążeniem P 

mm

8

30

8

2

28

,

,

a

l

l

zbl

P













 9. Ugięcie f

0

 sprężyny pod obciążeniem P

0

 

mm

6

16

5

3

83000

216

995

0

7

400

8

8

3

2

0

0

,

,

.

d

G

k

n

P

f





























Sprężyny  Przykład obliczeniowy 

10. Ugięcie f sprężyny pod obciążeniem P 

mm

75

20

400

500

6

16

0

0

,

,

P

P

f

f







11.  Sztywność sprężyny rzeczywista (dla n = 7) 

mm

N

1

24

15

4

100

,

,

/

f

P

c











12. Długość sprężyny swobodnej (nieobciążonej) 

mm

55

51

75

20

8

30

,

,

,

f

l

l

P

s











13. Długość sprężyny pod obciążeniem P

0

 

mm

9

34

6

16

5

51

0

0

,

,

,

f

l

l

s

P











14. Ugięcie f

zbl

 sprężyny zblokowanej 

mm

55

23

8

2

75

20

,

,

,

a

f

f

zbl













Sprężyny  Przykład obliczeniowy 

Uwaga:    Dopuszcza się przekroczenie k

s

 o 12% jeśli nie uwzględnia się k

1

.  

15. Obciążenie dla zblokowanej sprężyny P

zbl

  

N

567

75

20

5

23

500







,

,

f

f

P

P

zbl

zbl

16. Naprężenie 



zbl

 przy zblokowanej sprężynie 

m

2

2

1

0,58

MPa

 

870

)

6

1

(

5

3

232

1

567

8

8

R

/

,

.

d

k

P

zbl

zbl

































17. Długość drutu 

mm

561

5

8

21















,

n

D

l

c

c





18. Sprawdzenie wyboczenia sprężyny (stateczności). 

       -wskaźnik sprężystości sprężyny: 

%

,

,

,

l

f

s

1

40

100

55

51

75

20

100









-wskaźnik smukłości sprężyny:

  

%

,

,

,

,

D

l

gr

s

3

50

62

2

45

2

21

55

51



















Obliczana sprężyna nie ulegnie 

wyboczeniu ! 

Sprężyny 

Przykład obliczeniowy