Laboratorium Analizy Sygnałów – Mechatronika semestr III

2010/2011

Prowadzący: mgr Maciej Mikulski

Ćwiczenie IV – Analiza statystyczna sygnałów.

1. Opis dwiczenia

W Matlabie zaimplementowanych jest wiele funkcji pozwalających na estymację ważnych wielkości
statystycznych, które charakteryzują sygnały deterministyczne i stochastyczne. Funkcję X(x

1

,x

2

,...x

n

)

określoną na elementach próby {x

i

} nazywamy statystyką. Statystyki służące estymacji (szacowaniu)

parametrów rozkładu prawdopodobieostwa w populacji zmiennej x, z której pobierana jest próba,
nazywamy estymatorami.

Celem dwiczenia jest zapoznanie studenta z najważniejszymi i najczęściej używanymi estymatorami.
Ćwiczenia ma służyd zrozumieniu roli poszczególnych estymatorów i nauce poprawnej interpretacji
uzyskanych wyników. Studenci powinni nauczyd się korzystad zarówno z definicji poszczególnych
funkcji analizy statystycznej, jak i wbudowanych bibliotek matlaba w celu obliczania poszczególnych
estymatorów.

2. Wstęp teoretyczny

Zagadnienia do przygotowania przez studenta przed rozpoczęciem zajęd laboratoryjnych:

1. Podstawowe pojęcia analizy statystycznej: prawdopodobieostwo, pojecie próby, zmienna

losowa, wartośd oczekiwana, funkcja statystyczna, estymator.

2. Estymatory wartości oczekiwanej – różne definicje wartości średniej: wartośd średnia próby,

średnia geometryczna, średnia harmoniczna.

3. Estymatory wariancji, dwa sposoby estymacji wariancji: estymata obciążona (ang. biased) i

nieobciążona (ang. unbiased). Odchylenie standardowe.

4. Uogólnienie pojęcia wariancji dla dwóch ciągów liczbowych – współczynnik kowariancji

dwóch wektorów. Macierz kowariancji. Znormalizowana macierz kowariancji.

5. Funkcje autokorelacji R

xx

(k) i autokowariancji C

xx

(k). Funkcje korelacji i kowariancji

wzajemnej.

Uwaga studenci muszą znad sens poszczególny estymatorów (jakie informacje niosą o badanych
sygnałach). Konieczna jest umiejętnośd obliczania poszczególnych estymatorów z definicji (wzory
matematyczne)!

Laboratorium Analizy Sygnałów – Mechatronika semestr III

2010/2011

Prowadzący: mgr Maciej Mikulski

3. Zadania do wykonania.

Opierając się na programie z Cwiczenie_1_sun.m (wykonywanym na wcześniejszych zajęciach)
pobrad z pliku

dane_cwiczenie_1.dat

dane pomiarowe liczby plam na Słoocu (tzw. liczba Wolfera)

zebrane podczas kilkudziesięciu prób pomiarowych (lat).

% Cwiczenie_1_sun.m
load dane_cwiczenie_1.dat

%załadowanie danych do przestrzeni roboczej

year= dane_cwiczenie_1 (:,1);

%definiowanie zmiennych

wolfer= dane_cwiczenie_1 (:,2);
plot(year,wolfer)

%wykreślania

title('Sunspot Data')

ZAD 1. Obliczyd wartości średnie wektora liczby plam na słoocu. Sprawdzid poprawnośd wyliczeo
korzystając z wbudowanych funkcji matlaba.

a) Obliczyd wartośd średnią próby z definicji. Porównad z wynikiem polecenia xm=mean(x).
b) Obliczyd średnią geometryczną. Porównad z wynikiem polecenia xgm=geomean(x).
c) Obliczyd średnią harmoniczną. Porównad z wynikiem polecenia xh=harmmean(x).
d) Jaka jest interpretacja poszczególnych wyników?

Zadanie zrealizowad w odpowiednim mpliku. Podpunkt d) zrealizowad w postaci wyświetlenia
odpowiedzi pod wynikami obliczeo.

ZAD 2. Obliczyd poszczególne estymaty wariancji wektora liczby plam na słoocu. Sprawdzid
poprawnośd wyliczeo korzystając z wbudowanych funkcji matlaba.

a) Obliczyd estymatę nieobciążoną wariancji z definicji. Porównad z wynikiem polecenia var(x).

Obliczyd odchylenie standardowe.

b) Obliczyd estymatę obciążoną wariancji z definicji. Porównad z wynikiem polecenia var(x,1).

Obliczyd odchylenie standardowe.

c) Jaka jest interpretacja poszczególnych wyników?

Zadanie zrealizowad w tym samym mpliku co zadanie 1. Podpunkt c) zrealizowad w postaci
wyświetlenia odpowiedzi pod wynikami obliczeo.

ZAD 3. Z wektora danych pomiarowych liczby plam na słoocu wydzielid 4 równe wektory
[x1,x2,x3,x4], z których każdy będzie zawierał dane pomiarowe z 20 kolejnych lat. Do obliczeo
można wykorzystad polecenia matlaba cov(X) i corrcoef(X) (gdzie X jest macierzą zbudowaną z
wektorów x1..x4).

a) Obliczyd macierz kowariancji dla tych wektorów.
b) Obliczyd znormalizowaną macierz kowariancji.
c) Zidentyfikowad poszczególne elementy macierzy i podad interpretacje wyników. Które próby

są ze sobą silnie skorelowane, a które nie.

Zadanie zrealizowad w tym samym mpliku co zadanie 1 i 2. Podpunkt c) zrealizowad w postaci
wyświetlenia odpowiedzi pod wynikami obliczeo.