Sprawozdanie z wykonanego ¢wiczenia nr 106

Temat:

Wyznaczanie stosunku κ =

C

p

C

v

dla powietrza metod¡ Clementa-

Desormesa.

Imi¦ i nazwisko:

Tomasz Pu±lednik

Rok studiów:

Wydziaª:

I

Wydziaª Informatyki

Zespóª:

Data wykonania:

Ocena:

Podpis:

21

19.11.2012

1 Wst¦p teoretyczny.

Zgodnie z teori¡ kinetyczno-molekularn¡ budowy materii, energia jednego mola gazu wyra»a si¦

zale»no±ci¡:

U =

i

2

RT,

(1)

gdzie i  liczba stopni swobody drobin gazu, R  uniwersalna staªa gazowa, T  temperatura w

skali bezwzgl¦dnej (Kelwina).

Przez liczb¦ stopni swobody drobin rozumiemy liczb¦ niezale»nych wspóªrz¦dnych koniecznych

do opisania jej ruchu. Drobiny gazu jednoatomowego, które mo»na uwa»a¢ za spr¦»yste kuleczki

(punkty materialne) mog¡ wykonywa¢ tylko ruch post¦powy; ich liczba stopni swobody wynosi 3,

gdy» do opisania ruchu post¦powego konieczne s¡ trzy wspóªrz¦dne (np. x, y, z w ukªadzie karte-

zja«skim). Drobiny gazów dwuatomowych i wieloatomowych mog¡ wykonywa¢ oprócz ruchów post¦-

powych jeszcze ruchy rotacyjne oraz, w niektórych przypadkach, oscylacyjne. W przypadku gazów

dwuatomowych, których drobiny skªadaj¡ si¦ z dwóch atomów sztywno ze sob¡ zwi¡zanych (brak

mo»liwo±ci oscylacji) liczba stopni swobody wynosi 5 (trzy wspóªrz¦dne odpowiadaj¡ce ruchowi po-

st¦powemu oraz dwie wspóªrz¦dne odpowiadaj¡ce rotacji dookoªa dwóch wzajemnie prostopadªych

osi). Uwzgl¦dnienie mo»liwo±ci oscylacji zwi¦ksza liczb¦ stopni swobody drobiny dwuatomowej do

7 (dwie dodatkowe wspóªrz¦dne konieczne s¡ do opisania energii kinetycznej drga« oraz wzajemnej

energii potencjalnej atomów).

Posªuguj¡c si¦ równaniem (1) mo»emy znale¹¢ wyra»enie na ciepªo wªa±ciwe gazów, które okre±la

ilo±¢ ciepªa potrzebn¡ do ogrzania jednostki masy gazu o 1

◦

C

. Cz¦sto posªugujemy si¦ ciepªem mo-

lowym zdeniowan¡ jako ilo±¢ ciepªa, które nale»y dostarczy¢ jednemu molowi ciaªa, aby podnie±¢

jego temperatur¦ o 1

◦

C

. Mi¦dzy ciepªem molowym C, a ciepªem wªa±ciwym c istnieje zwi¡zek:

C = µc,

(2)

gdzie µ jest mas¡ drobinow¡ danego ciaªa.

W przypadku gazów ciepªo wªa±ciwe (molowe) zale»y znacznie od tego, czy jest zmierzone w staªej

obj¦to±ci, czy te» pod staªym ci±nieniem. Zgodnie z I zasad¡ termodynamiki, ∆U = ∆Q = p∆V , przy

ogrzewaniu gazu w staªej obj¦to±ci caªe dostarczone ciepªo powoduje zwi¦kszenie energii wewn¦trznej

gazu. Mo»emy wi¦c dla jednego mola gazu napisa¢:

∆U = ∆Q = C

v

∆T =

i

2

R∆T,

(3)

Z równania (3) wynika, »e ciepªo molowe w staªej obj¦to±ci okre±lne jest wyra»eniem:

C

v

=

i

2

R.

(4)

1

Rysunek 1: Schemat ukªadu pomiarowego. P  pompka, K  kurek, B  pojemnik szklany, M 

manometr.

Przy ogrzewaniu gazu pod staªym ci±nieniem gaz zwi¦ksza sw¡ obj¦to±¢ i tylko cz¦±¢ ciepªa idzie

na zwi¦kszanie jego energii wewn¦trznej, gdy» cz¦±¢ ciepªa zu»ywana jest na wykonanie pracy na

zewn¡trz. Wynika st¡d, »e ciepªo molowe przy staªym ci±nieniu C

p

jest wi¦ksze od ciepªa molowego

w staªej obj¦to±ci C

v

. Ró»nica ta, jak ªatwo mo»na wykaza¢ wynosi:

C

p

− C

v

= R

(5)

Korzystaj¡c z równania (4) otrzymamy:

C

p

= C

v

+ R =

i + 2

2

R.

(6)

Bior¡c pod uwag¦ zale»no±ci (4) i (6) otrzymamy:

κ =

C

p

C

v

=

i + 2

i

.

(7)

Jak wida¢ z równania (7), stosunek ciepªa molowego (wªa±ciwego) pod staªym ci±nieniem do ciepªa

molowego (wªa±ciwego) w staªej obj¦to±ci jest dla danego gazu wielko±ci¡ staª¡. Pomiar wielko±ci
κ =

C

p

C

v

pozwala wyznaczy¢ liczb¦ stopni swobody badanego gazu, co daje mo»liwo±ci wyci¡gni¦cia

pewnych wniosków dotycz¡cych wewn¦trznej budowy jego drobin.

Pojemnik szklany B jest poª¡czony z pompk¡ tªocz¡c¡ P i z manometrem M (rys. 1). Zaªó»my,

»e pocz¡tkowo gaz w pojemniku znajduje si¦ pod ci±nieniem wi¦kszym od ci±nienia atmosferycznego

o ∆p (mierzonym wysoko±ci¡ h

1

cieczy manometrycznej), natomiast jego temperatura jest równa

temperaturze otoczenia T

1

(I stan gazu: T

1

, p

0

+ h

1

). Otwieraj¡c na krótko kurek E pozwalamy

na szybkie rozpr¦»enie si¦ gazu, przy czym rozpr¦»enie to przy niewielkiej nadwy»ce ci±nienia ∆p

w kojemniku w stosunku do ci±nienia atmosferycznego mo»na uwa»a¢ za adiabatyczne. W wyniku

tego nast¡pi spadek ci±nienia w pojemniku do warto±ci ci±nienia atmosferycznego p

0

oraz obni»enie

temperatury gazu do T

2

(II stan gazu: T

2

, p

0

). W momencie wyrównania si¦ ci±nie« zamykamy kurek

K. Na skutek wymiany ciepªa z otoczeniem nast¦puje wzrost temperatury gazu w pojemniku oraz

wzrost ci±nienia. Ci±nienie osi¡gnie wawrto±¢ p

2

= p

0

+ h

2

w momwncie, gdy temperatura gazu w

pojemniku wyrówna si¦ z temperatur¡ otoczenia T

1

(III stan gazu: T

1

, p

0

+ h

2

).

Przej±cie ze stanu I do stanu II mo»na traktowa¢ jako adiabatyczne rozpr¦»enie gazu o pewn¡

obj¦to±¢ ∆V , przy czym spadek ci±nienia w czasie tej przemiany wynosi −p

ad

= h

1

. Przemian¦

adiabatyczn¡ opisuje równanie Poissona:

pV

κ

=

const,

(8)

2

gdzie κ =

C

p

C

v

.

Przez zlogarytmowanie tego równania, a nast¦pnie jego zró»niczkowanie i zast¡pienie ró»niczek

przyrostami (np. dp → ∆p, dV → ∆V ) otrzymamy:

∆p

p

= −κ

∆V

V

.

(9)

Po przej±ciu do stanu III temperatura gazu w pojemniku jest ponownie równa temperaturze

otoczenia, natomiast jego si±nienie jest wi¦ksze od ci±nienia atmosferycznego o warto±¢ mierzon¡

wysoko±ci¡ h

2

sªupa cieczy w manometrze. To samo ci±nienie ko«cowe otrzymaliby±my spr¦»aj¡c gaz

znajduj¡cy si¦ w pojemniku izotermicznie o t¦ sam¡ obj¦to±¢ ∆V . Mo»emy wi¦c napisa¢: −∆p

iz

=

h

1

− h

2

. Przemian¦ izotermiczn¡ opisuje prawo Boyle'a-Mariotta:

pV =

const.

(10)

Dokonuj¡c operacji matematycznych podobnych do poprzednich otrzymamy:

∆p

iz

p

= −

∆V

V

(11)

Dziel¡c stronami równania (9) i (11) oraz wykorzystuj¡c znalezione zale»no±ci na ∆p

ad

i ∆p

iz

otrzy-

mujemy:

κ =

∆p

ad

∆p

iz

=

h

1

h

1

− h

2

.

(12)

3

2 Tabelka pomiarowa oraz obliczenia.

Nr

pomiaru

h

1

[cm]

h

2

[cm]

κ

i

κ

u

B

(κ

i

)

u

A

(κ)

u

B

(κ)

u(κ)

1

53.5

21.0

1.6462

1.4712

0.0157

0.0513

0.0116

0.0526

2

62.2

15.7

1.3376

0.0086

3

58.0

18.7

1.4758

0.0114

4

58.0

19.0

1.4872

0.0116

5

55.1

16.0

1.4092

0.0108

Obliczono warto±ci korzystaj¡c z poni»szych wzorów:

κ =

h

1

h

1

− h

2

u

B

(κ

i

) =

1

(h

1

− h

2

)

2

·

s

h

2

2

· ∆h

2

1

+ h

2

1

· ∆h

2

2

3

, gdzie ∆h

1

= ∆h

2

= 0.5

cm.

u

A

(κ) =

v
u
u
u
u
t

n

P

i=1

(κ − κ

1

)

2

n · (n − 1)

u

B

(κ) =

n

P

i=1

u

B

(κ

i

)

n

u(κ) =

q

u

2

A

(κ) + u

2

B

(κ)

Wynik ko«cowy przedstawia si¦ nast¦puj¡co, w formie zgodnej z podan¡ w instrukcji zadania:

κ = 1.4712(0.0526)

4