Zależność położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu

1

1. Istota ruchu harmonicznego

Do rozpatrywanych przez nas przykładów,

w których zastosowaliśmy drugą zasadę dynamiki
takich jak ruch w przypadku sił równoważących
się, ruch pod wpływem stałej siły, ruch pod wpły-
wem siły proporcjonalnej do prędkości, dołączmy
jeszcze jeden przypadek: ruch pod wpływem siły
zwrotnej czyli skierowanej zawsze przeciwnie do
wychylenia z położenia równowagi.

W takim wypadku ciało będzie wykonywało

drgania (oscylacje) a przykładów drgań jest w na-
szym otoczeniu ogromna ilość. Wspomnijmy choć-
by drgania ciężaru zawieszonego na sprężynie lub
elastycznej linie, dziecka bujającego się na huś-
tawce w parku, drgania strun w instrumentach
muzycznych itd.

Istnieją także mniej oczywiste przykłady jak na

przykład ruch atomów w ciele stałym, który wła-
śnie ma charakter drgań czy też przykład prądu
elektrycznego w sieci energetycznej, którym ła-
dunki wewnątrz przewodników poruszają się ru-
chem drgającym.

Najbardziej

„eleganckim”

przykładem

siły

zwrotnej jest siła harmoniczna która jest oczy-
wiście skierowana do położenia równowagi ale też
ma wartość proporcjonalną do wychylenia
wychylenia z tego położenia. Z taką siłą (F ) ma-
my do czynienia w przypadku zwykłej sprężyny.

F = −kx ,

gdzie x jest wychyleniem z położenia równowagi
a k stałą sprężystości danej sprężyny.

Jeśli do sprężyny zamocujemy ciało o pewnej

masie m to otrzymamy układ drgający.

Aby nie komplikować zagadnienia obecnością

siły ciężkości uznajmy, że ciało porusza się bez
tarcia po poziomej powierzchni. Siła ciężkości jest
wtedy prostopadła do kierunku ruchu i na ten
ruch nie wpływa.

Po wychyleniu z położenia równowagi na odle-

głość A i puszczeniu sytuacja, z punktu widzenia
dynamiki, będzie wyglądała następująco:
— Najpierw siła sprężystości będzie nadawała

klockowi przyspieszenie w kierunku położenia
równowagi i prędkość będzie rosła aż do chwili
gdy to położenie zostanie osiągnięte.

— Po przekroczeniu położenia równowagi siła

sprężystości będzie cały czas będzie powodowa-
ła przyspieszenie w kierunku położenia równo-
wagi ale tym razem będzie to spowalnianie ru-
chu aż do osiągnięcia maksymalnego wychylenia
po przeciwnej stronie.

— Po osiągnięciu maksymalnego wychylenia −A

sytuacja będzie symetryczna do tej z pierwsze-
go punktu przy czym ruch będzie się odbywał
w przeciwnym kierunku.
Zwróćmy uwagę na kilka charakterystycznych

faktów:
— maksymalną prędkość ciało posiada przy

przejściu przez położenie równowagi, wtedy też
ma zerowe przyspieszenie,

— maksymalne

przyspieszenie

ciało

posiada

w maksymalnym wychyleniu, wtedy gdy pręd-
kość wynosi zero,

— przyspieszenie zawsze ma zwrot przeciwny do

wychylenia z położenia równowagi.

Maksymalne wychylenie A nazywać będziemy

amplitudą. W tym przypadku jest ona wyrażona
w jednostkach odległości ale jak pokażemy później
może to też być na przykład kąt.

2. Zależność położenia, prędkości

i przyspieszenia od czasu

Rozważania prowadzone w poprzednim punkcie

nie dają nam jednak odpowiedzi na pytanie ja-
ka jest zależność położenia od czasu w przypadku
działania siły harmonicznej.

Intuicja podpowiada nam, że musi ona wyglą-

dać mniej więcej jak na rysunku poniżej, . aczkol-
wiek całkiem też prawdopodobne, że może wyglą-
dać jak na kolejnym rysunku. Symbol T oznacza
tu okres drgań czyli czas potrzebny na wykona-
nie jednego pełnego drgania.

2.1

II zasada dynamiki w ruchu harmonicznym

2

Precyzyjne pomiary wskazują, że prawidłową

jest zależność sinusoidalna, czy też w tym wypad-
ku „kosinusoidalna”. Na pewno jednak nie może-
my napisać, że x(t) = cos(t) ponieważ taka funk-
cja ma wartość maksymalną 1 i powtarza się co
2π. Aby dopasować ją do doświadczenia musimy
wprowadzić dwa współczynniki dopasowujące si-
nusoidę do skali t i x.

x(t) = A cos(ωt)

A jest oczywiście amplitudą drgań natomiast

sens współczynnika ω zwanego pulsacją lub czę-
stością kołową jest następujący: okres powta-
rzalności funkcji sinus i kosinus wynosi 2π. Tak
więc jeżeli czas t przyjmiemy jako równy okresowi
T to ωT = 2π. Stąd więc

ω =

2π

T

= 2πf

Dodatkowo wprowadziliśmy tu wielkość f –

częstotliwość drgań równą odwrotności okre-
su, wyrażającą ilość drgań na sekundę. Jednostką
częstotliwości jest odwrotność sekundy nazywaną
hercem [Hz].

Uznajmy więc, że zależność położenia od czasu

wyraża się jako A cos(ωt). Wiedząc, że prędkość
jest pochodną położenia od czasu względem czasu
a przyspieszenie jest pochodną prędkości możemy
napisać

x(t)

=

A cos(ωt)

v(t) = x

0

(t)

=

−Aω sin(ωt)

a(t) = v

0

(t) = x

00

(t)

=

−Aω

2

cos(ωt)

Zwróćmy uwagę, że wyrażenie Aω jest maksy-

malną prędkością jaką osiąga ciało w tym ruchu
a Aω

2

jest maksymalnym przyspieszeniem.

Zauważmy ponadto, że wybór funkcji kosinus

jest dość arbitralny i wynika z wyboru chwili po-
czątkowej. Równie dobrze moglibyśmy przyjąć, że:

x(t) = A sin(ωt)

lub

x(t) = A sin[ω(t − t

0

)]

czy też

x(t) = A sin(ωt + ϕ) .

Po zróżniczkowaniu tych wzorów otrzymamy

wyrażenia na v(t) i a(t).

2.1. II zasada dynamiki w ruchu

harmonicznym

Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie

ciała musi być w każdej chwili proporcjonalne do
siły działającej na to ciało

a(t) =

F

m

.

W naszym przypadku jedyną siłą jest tu siła

sprężystości

F = −kx(t) .

Tak więc, łącząc obydwa równania otrzymuje-

my

a(t) = −

k

m

x(t)

czyli

a(t) +

k

m

x(t) = 0 ,

lub też

x

00

(t) +

k

m

x(t) = 0

Ta druga forma pokazuje wyraźnie, że jest nowy

dla studentów typ równania a mianowicie równa-
nie różniczkowe gdzie występuje funkcja (tu x(t))
oraz jej pochodne (tu x

00

(t)). Niewiadomą w takim

równaniu jest postać funkcji.

W konkretnym przypadku naszego oscylatora

postać funkcji niejako odgadliśmy za pomocą do-
świadczenia ale możemy sprawdzić funkcja x(t) =
A cos(ωt) spełnia powyższe równanie. Podstawia-
jąc otrzymujemy

−Aω

2

cos(ωt) −

k

m

A cos(ωt) = 0 .

a po uproszczeniu

ω

2

=

k

m

,

co potwierdza wybór funkcji kosinus i jednocze-

śnie wiąże pulsację (a jednocześnie okres drgań
i częstotliwość) z parametrami układu drgającego
a więc stałą sprężystości i masą.

3.1

Wahadło torsyjne

3

2.2. Energia w drganiach harmonicznych

W każdym ruchu harmonicznym mamy do czy-

nienia z kolejnymi przekształceniami energii po-
tencjalnej (tu sprężystości) w energię kinetyczną
i na odwrót a suma energii kinetycznej i potencjal-
nej dla nietłumionego układu cały czas jest stała.

Jeśli w układzie nie występowałyby opory ruchu

to cała energia sprężystości

E

s

=

kA

2

2

zamieniałby się w energię kinetyczną klocka

E

k

=

mv

2

max

2

by następnie znów zamienić się w energię spręży-
stości. Proces ten w idealnym przypadku trwałby
bez końca.

Daje nam to możliwość innego sposobu wyzna-

czenia prędkości maksymalnej v

max

(czyli ampli-

tudy prędkości). Przy założeniu, że znamy masę
m i amplitudę ruchu A, łącząc powyższe wzory
(zgodnie z zasadą zachowania energii) otrzymuje-
my

v

max

= A

r

k

m

Co jest oczywiście zgodne z wcześniej otrzyma-

nym wyrażeniem na prękośc maksymalną.

3. Inne przykłady ruchu

harmonicznego (oscylatorów
harmonicznych)

Otrzymane wyżej równanie różniczkowe może-

my zapisać w ogólnej formie

x

00

(t) + ω

2

x(t) = 0

przy czym dla masy na sprężynie

ω

2

=

k

m

.

Opis ten jest też prawdziwy dla sytuacji gdy za-

miast układu poziomego, na sprężynie zawiesimy
ciężarek. Siła nadal będzie proporcjonalna do wy-
chylenia z (nowego) położenia równowagi i okres
drgań będzie taki sam.

Pokażemy, że podobne równania jak dla masy

na sprężynie możemy otrzymać dla innych ukła-
dów drgających (oscylatorów) oraz, że można po-
wiązać pulsację z parametrami tych układów.

3.1. Wahadło torsyjne

Wahadło torsyjne jest odpowiednikiem układu

masy na sprężynie. Z tą tylko różnicą, że ciało
wykonuje ruch obrotowy a nie posuwisty. Przykła-
dem takiego wahadła jest koło balansowe nie-
zwykle kiedyś istotny układ ze względu na zasto-
sowanie w zegarach.

http://en.wikipedia.org/wiki/Balance_wheel

Na koło balansowe o pewnym momencie bez-

władności I działa tu moment obrotowy wytwo-
rzony przez element sprężysty (np. sprężynę wło-
sową) o pewnej stałej sprężystości κ wyrażonej
w niutonometrach na radian [Nm/rad]

M = −κα .

Równie ruchu (II zasada dynamiki) dla ruchu

takiego wahadła przyjmie postać

3.3

Wahadło fizyczne

4

 =

κα

I

,

a więc

α

00

(t) +

κ

I

α(t) = 0 .

Ponownie otrzymaliśmy równanie różniczkowe

tego samego typu, którego rozwiązaniem jest

α(t) = A

α

cos(ωt) ,

a kwadrat pulsacji równy jest

ω

2

=

κ

I

.

3.2. Wahadło proste (matematyczne)

Wahadło proste to ciężarek zaniedbywalnych

rozmiarów o masie m zawieszony na nieważkiej
nici o długości l. Podczas drgań energia ciężkości
zamieniana jest na energię kinetyczną ruchu po-
stępowego i odwrotnie.

Ciężarek takiego wahadła porusza się po łu-

ku o promieniu równym długości wahadła. Siła
ciężkości mg ma składową styczną F

s

= mg sin α

nadającą ciężarkowi przyspieszenie w kierunku x,
przy czym oś x jest tu zakrzywiona (fragment łu-
ku).

Na mocy II zasady dynamiki zapisać możemy

a

x

= −

F

s

m

=

mg sin α

m

= −g sin α ,

przy czym znak minus wynika ze zwrotu siły F

s

,

który jest przeciwny do wychylenia x. Jeśli jesz-
cze dodatkowo skorzystamy z przybliżenia praw-
dziwego dla małego kąta α a więc, że

sin α =

x

l

,

to możemy zapisać

a

x

= −

g

l

x

i dalej

x

00

(t) +

g

l

x(t) = 0 .

Tak więc otrzymaliśmy analogiczne równanie

różniczkowe jak dla masy na sprężynie, z tą różni-
cą, że tym razem mamy inny współczynnik. Przez
analogię możemy jednak wnioskować, że rozwią-
zaniem tego równania dla wahadła prostego jest
s

x(t) = A cos(ωt) ,

gdzie

ω

2

=

g

l

.

3.3. Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywana jest bryła (któ-

rej rozmiarów już nie można zaniedbać) zawieszo-
na na osi nie przechodzącej przez środek ciężko-
ści. Ostatni warunek jest zasadniczo oczywistością
ponieważ gdyby oś przechodziła przez środek cięż-
kości bryła byłaby w równowadze.

W przypadku wahadła fizycznego energia cięż-

kości przekształca się w energię kinetyczną ruchu
obrotowego.

Do wyznaczenia pulsacji posłużmy się jak zwy-

kle II zasadą dynamiki aczkolwiek tym razem dla
ruchu obrotowego. Tak więc przyspieszenie kąto-
we bryły  będzie proporcjonalne do przyłożonego
momentu siły M i odwrotnie proporcjonalne do
momentu bezwładności I.

 =

M

I

Przypadku wahadła fizycznego moment siły jest

powodowany przez siłę ciężkości mg „zaczepioną”
w środku ciężkości SC (rys.). Moment siły będzie
tu równy

M = −d mg sin α ,

gdzie d jest odległością środka ciężkości od osi ob-
rotu O. Moment siły zależny jest od wychylenia
α i wynosi zero gdy oś obrotu leży nad środkiem
ciężkości. Znak minus wynika ze zwrotu momentu
obrotowego – przeciwnego do kąta obrotu α.

3.3

Wahadło fizyczne

5

Łącząc wzory otrzymujemy

 =

−d mg sin α

I

.

Pamiętając z kinematyki, że przyspieszenie ką-

towe  w ruchu obrotowym jest drugą pochod-
ną kąta położenia α oraz, że dla małych kątów
sin α = gdzie kąt wyrażony jest w mierze łukowej,
możemy zapisać

α

00

(t) +

mgd

I

α(t) = 0 .

Tak więc znów otrzymaliśmy równanie różnicz-

kowe jak dla masy na sprężynie i wahadła proste-
go. Tym razem rozwiązaniem jest

α(t) = A

α

cos(ωt) ,

a kwadrat pulsacji równy jest

ω

2

=

mgd

I

.

Zwróćmy jeszcze raz uwagę, że dla wahadła pro-

stego jak i fizycznego zastosowaliśmy przybliżenie
sin α ≈ α, co oznacza, że otrzymane zależności
na obliczanie pulsacji możemy zastosować
tylko dla małych kątów – zależnie od potrzeb-
nej dokładności.

Pamiętajmy, że siła zwrotna występuje zawsze,

gdy jakiekolwiek ciało jest w stanie równowagi
trwałej. Oznacza to także, że po małym odchy-
leniu i powrocie do tego stanu pojawią się drga-
nia. Nie są to zwykle drgania, które można trak-
tować jako harmoniczne ze względu na istnieją-
ce tłumienie aczkolwiek występowanie drgań jest
powszechne i często na przykład stanowi problem
konstrukcyjny tak w budowie maszyn, budownic-
twie jak i w elektronice.