1

Przykład. 1. Cząstka wykonuje ruch harmoniczny prosty o okresie 2 s,
amplitudzie 1,5 cm. Jaka jest maksymalna prędkość i maksymalne przyspie-
szenie w tym ruchu?

Jeżeli cząstka wykonuje ruch harmoniczny to oznacza, że zależność pręd-

kości od czasu wyraża się równaniem

v = −Aω sin(ωt) ,

gdzie A i ω są parametrami, stałymi dla danego ruchu. Zależność przyspie-
szenia od czasu wyraża się natomiast równaniem

a = −Aω

2

cos(ωt) .

Funkcje sin() i cos() przyjmują wartości z zakresu od −1 do +1 więc prędkość
maksymalna i przyspieszenie maksymalne są równe odpowiednio:

v

max

= Aω,

a

max

= Aω

2

(∗) .

Tak więc by obliczyć te wielkości potrzebna jest znajomość pulsacji (czę-

stotliwości kołowej) ω. Amplituda A podana jest w treści zadania.

Pulsacja jest ściśle związana z okresem

ω =

2π

T

tak więc po podstawieniu do równań (∗) otrzymujemy:

v

max

= A

2π

T

,

a

max

= A

4π

2

T

2

.

Wstawiając wartości liczbowe

v

max

= 1,5 cm

2π

2 s

= 4,7

cm

s

,

a

max

= 1,5

4π

2

2

2

= 15

cm

s

2

.

Ćwiczenie. 2. Cząstka wykonuje ruch harmoniczny prosty o okresie 2 s
prędkości maksymalnej 2 m/s. Jaka jest amplituda drgań i jakie jest mak-
symalne przyspieszenie?

Odp.: 0,64 m, 6,3 m/s

2

.

2

Ćwiczenie. 3. Cząstka wykonuje ruch harmoniczny prosty o zależności po-
łożenia od czasu przedstawionej na rysunku.

— Jaka jest maksymalna prędkość i maksymalne przyspieszenie w tym

ruchu?

— Wykonaj na podstawie danych wykres zależności prędkości od czasu

(w tej samej skali czasu) oraz wykres zależności przyspieszenia od czasu.
Wskazówka. Odczytaj z wykresu okres drgań i amplitudę a następnie
oblicz potrzebne wielkości tak jak w poprzednich zadaniach.

Przykład. 4. Wahadło zegara ma okres drga T = 1 s. Jaka jest długość
wahadła przyjmując, że jest ono ”matematyczne”? Jaka jest energia drgań
wahadła zegara jego masa wynosi 300 g a amplituda ruchu to 1 cm?

Dla wahadła prostego (czyli tzw. matematycznego) pulsacja ω zależy od

długości wahadła l:

ω

2

=

g

l

Ponadto pulsacja jest ściśle związana z okresem drgań T

ω =

2π

T

3

Łącząc powyższe równania otrzymujemy wyrażenie, które łączy długość

wahadła z jego okresem drgań

g

l

=



2π

T



2

skąd otrzymujemy

l =

gT

2

4π

2

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

l =

9,81

m
s

2

× (1 s)

2

4π

2

= 0,2485 m

W każdym ruchu drgającym mamy do czynienia z następującymi po sobie

przemianami energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie. Suma tych ener-
gii jest stała (gdy drgania są niegasnące). Przy maksymalnym wychyleniu
cała energia skumulowana jest w energii potencjalnej a w chwili przecho-
dzenia przez położenie równowagi (wtedy prędkość ruchu jest maksymalna)
energia jest skumulowana w energii kinetycznej.

Energia kinetyczna, tu jako energia ruchu postępowego, wyraża się na-

stępującym ogólnym wzorem

E =

mv

2

2

,

do którego za prędkość v możemy podstawić prędkość maksymalną ruchu
wahadła

v

max

= Aω

gdzie pulsacja ω =

2π

T

. Masę m stanowi oczywiście masa wahadła. Otrzyma-

my w ten sposób wyrażenie na maksymalną energię kinetyczną, która równa
jest całkowitej energii drgań wahadła.

E =

2mA

2

π

2

T

2

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

E =

2 × 2 kg × (0,05 m)

2

π

2

(1 s)

2

= 0.1

kg m

2

s

2

=

= 0.1 Nm = 0.1 J

4

Ćwiczenie. 5. Wahadło zegara ma okres drgań 2 s. Jaka jest długość wa-
hadła przyjmując, że jest ono ”matematyczne”? Jaka jest energia drgań wa-
hadła zegara jego masa wynosi 2000 g a amplituda ruchu to 5 cm?

Odp: 0,994 m, 0,247 J.

Ćwiczenie. 6. Jaka jest stała sprężystości sprężyny, jeśli po zawieszeniu na
niej ciężarka o masie 100 g układ drga z częstotliwością 3,5 Hz?

Odp: 48,4

N

m

.

Ćwiczenie. 7. Jaka jest masa ciężarka jeżeli zawieszając go na sprężynie
o stałej sprężystości 100 N/m układ drga z częstotliwością 3,5 Hz?

Odp: ≈ 200 g.

Ćwiczenie. 8. Załóżmy, że dysponujemy szybem przechodzącym przez śro-
dek Ziemi i przechodzącym na antypody. Załóżmy, że można pominąć opór
powietrza (np. odpompowane jest z szybu powietrze).
— Po jakim czasie wrzucony do szybu kamień osiągnie drugi koniec otworu?
— Jaka będzie maksymalna prędkość kamienia?
Skądinąd wiadomo, że siła ciężkości (poniżej powierzchni Ziemi) zachowuje
się jak siła harmoniczna – jest proporcjonalna do odległości od środka Ziemi).

Odp: ≈ 42 min, ≈ 16

km

s

.

Ćwiczenie. 9. Jaki jest okres drgań pręta o masie m wykonującego nie-
wielkie drgania, zawieszonego na jednym z końców? Moment bezwładności
takiego pręta oblicza się jako

1
3

ml

2

, gdzie l jest długości pręta.

5

W przypadku opisanym zadaniem mamy do czynienia z wahadłem fizycz-

nym którego pulsacja zależna jest od momentu bezwładności I względem osi
wahań, jego masy m i odległości d środka masy od osi obrotu.

ω =

mgd

I

Zgodnie z treścią zadania masę traktujemy jako daną. Odległość d wynosi

natomiast 0, 5l co jest oczywiste. Moment bezwładności dla obracającego się
pręta wokół jednego z końców jest często podawany i wynosi

I =

1

3

ml

2

Tak więc po podstawieniu otrzymujemy:

ω =

mg

l

2

1
3

ml

2

=

3

2

g

l

Jeżeli powyższe wyrażenie połączymy ze wzorem łączącym okres drgań

z pulsacją to otrzymamy



2π

T



2

=

3

2

g

l

,

skąd po przekształceniach

T = 2π

s

2

3

l

g

.

Zauważmy jeszcze, że można powyższy wzór zapisać jako

T = 2π

s

2
3

l

g

.

z którego wyrażenia widać, że okres drgań takiego wahadła jest równy okre-
sowi drgań wahadła prostego (matematycznego) o długości

2
3

l.

Ćwiczenie. 10. Jaki jest okres drgań pręta o masie 0,5 kg i długości 0,8 m
wykonującego niewielkie wahania, zawieszonego na jednym z końców? Mo-
ment bezwładności takiego pręta oblicza się jako

1
3

ml

2

.

6

Objaśnienie: Należy albo wyprowadzić sobie wyrażenie jak w poprzed-

nim zadaniu albo skorzystać z zależności podanych we wstępie do zestawu
zadań i po kolei obliczać potrzebne wielkości.

Odp: 1,46 s.

Ćwiczenie. 11. Jak zmieni się okres drgań pręta z poprzedniego zadania
jeśli zostanie on wykonany z innego materiału i będzie miał masę dwukrotnie
większą?

Odp: Nie zmieni się.

Ćwiczenie. 12. Wyznacz okres drgań pręta o masie 2 kg i długości 60 cm
zawieszonego na osi umieszczonej w jednej czwartej jego długości, wykonu-
jącego niewielkie drgania.

Mamy tu do czynienia z wahadłem fizycznym którego pulsacja zależna

jest od jego masy m, odległości d środka masy od osi obrotu i momentu
bezwładności I względem osi wahań

ω =

mgd

I

(∗) .

Masa pręta jest dana. Odległość d wynosi natomiast 0, 25l. Do obliczenia

momentu bezwładności musimy skorzystać z twierdzenia Steinera:

I = I

sm

+ md

2

gdzie I

sm

jest momentem bezwładności względem środka masy a d jak po-

przednio – odległością środka masy od osi obrotu.

Moment bezwładności względem środka masy dla pręta równy jest:

I

sm

=

1

12

ml

2

Tak więc po podstawieniu otrzymujemy:

I =

1

12

ml

2

+ m



1

4

l



2

,

skąd

I =

7

48

ml

2

.

7

Wstawiając to wyrażenie oraz wyrażenie wiążące okres drgań z pulsacją

do wzoru (∗) otrzymujemy



2π

T



2

=

mg

l

4

7

48

ml

2

,

skąd po przekształceniach

T = 2π

s

7

12

l

g

.

Odp: ≈ 1,2 s.

Ćwiczenie. 13. Jaki jest okres drgań koła (cienkiego walca)o promieniu
R = 0,3 m wykonującego niewielkie wahania, zawieszonego na osi umiesz-
czonej na jego obwodzie (prostopadłej do jego powierzchni)? Moment bez-
władności koła względem środka masy oblicza się jako

1
2

mR

2

.

Odp: 1,35 s.

Ćwiczenie. 14. Kostkę lodu wrzucamy do misy o sferycznym dnie o pro-
mieniu 30 cm.
— Jaki będzie okres drgań kostki sunącej ”w te i wewte” po dnie misy?

Tarcie pomijamy.

— Jak zmieni się sytuacja gdy do misy wrzucimy kulkę toczącą się bez

poślizgu?

Sytuację rozważamy przy założeniu niewielkich drgań.

Wskazówka: Weź pod uwagę drgania o takiej samej amplitudzie i przyj-

mij, że kulka oraz kostka mają tę samą masę. Tak więc będą one miały
tę samą energię drgań mimo, że prędkość maksymalna (związana przecież
z okresem) w obu wypadkach będzie różna.

Odp: T

◦

=

q

7
5

T



8

Ćwiczenie. 15. W cząsteczce wodoru siła oddziaływania między atomami
może być przybliżona wyrażeniem F = −B(r − r

0

) , gdzie B = 0,057 N/m,

a r

0

= 7, 4·10

−11

m jest odległością między atomami w położeniu równowagi.

Jaka jest częstotliwość drgań?

Wskazówka: Rozwiąż przez analogię do układu masy na sprężynie i za-

uważ, że przy takich drganiach środek sprężyny jest nieruchomy. Jaka jest
stała sprężystości takiej sprężyny w porównaniu ze stałą B?

Odp: 1,31 · 10

12

Hz