6 Siły wewnętrzne w belkach


Mechanika ogólna
Mechanika ogólna
Wykład nr 6
Wykład nr 6
Obliczanie sił wewnętrznych
Obliczanie sił wewnętrznych
w belkach  przykłady
w belkach  przykłady
1
1
Przykład  belka
Przykład  belka
przegubowa
przegubowa
8kN/m
o
15kNm
10kN
60
2,5m 1,5m 1,5m 1,5m
1m 1m 1m
8kN/m
o
M
15kNm
E
10kN
60
H
E
B
A E
D
C
V
2,5m 1,5m 1,5m 1,5m E
1m R R 1m 1m
A B
2
2
Reakcje
Reakcje
8kN/m
o
ME
15kNm
10kN
60
HE
B
A E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
X : H -10cos60 = 0
X : HE -10cos60 = 0


=
Y : RA + RB +VE - 8kN / m3,5m -10kN sin 60 0
: RA 9m + RB 6,5m + M +
M E E
1
+15kNm -10kN sin 60 4m -83,5mć 3,5m + 6,5m = 0

2
Ł ł
l
=

M : RA 4m + RB 1,5m - 8kN / m3,5mć 1 3,5m +1,5m 0
C
2
Ł ł
l
-10kN sin 601m = 0
M : RA 6m + RB 3,5m - 8kN / m 3,5m ć 1 3,5m + 3,5m
D
2
Łł
3
3
Przyjęcie przekrojów,
Przyjęcie przekrojów,
przedziały
przedziały
x
a 8kN/m a
1 2
a o a a
ME
15kNm
3 4 5
10kN
60
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
a -a1 x 0;1m
1
RA =17,002kN
a -a x 1m;3,5m
2 2
RB =15,328kN
HE = 5kN
a -a x 3,5m;6m
3 3
VE = 4,330kN
a -a x 6m;8,5m
4 4
M =-2,010kN
E
a -a x 8,5m;10m
5 5
4
4
a1 -a1 x 0;1m
Przekrój
Przekrój
x
a 8kN/m
1
o
ME
15kNm
10kN
60
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na 1 = 0
x = 0 Ta 1 = 0
Ta 1 = -8kN / m x
x = 1m Ta 1 = -8kN
x
x = 0 Ma 1 = 0
Ma 1 = -8kN / m x =
2
x = 1m Ma 1 = -4kNm
= -4kN / m x2
5
5
a2 -a2 x 1m;3,5m
Przekrój
Przekrój
x
a
2
8kN/m o
ME
15kNm
10kN
60
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na 2 = 0
Ta 2 = -8kN / m x +17,002kN x = 1m Ta 2 = 9,002kN
x = 3,5m Ta 2 = -10,998kN
x
Ma 2 = -8kN / m x +17,002kN (x -1m)=
x =1m Ma 2 = -4kNm
2
x = 3,5m Ma 2 = -6,495kNm
= -4kN / m x2 +17,002kN x -17,002kNm
6
6
a3 -a3 x 3,5m;6m
Przekrój
Przekrój
x
a o
ME
15kNm
3
10kN
60
8kN/m
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na 3 = 0
Ta 3 = -8kN / m3,5m +17,002kN +15,328kN
= 4,33kN
3,5m

Ma 3 = -8kN / m3,5mć x - + x = 3,5m Ma 3 = -6,495kNm

2
Ł ł
x = 5m Ma 3 = 0
+17,002kN (x -1m)+15,328kN (x - 3,5m)=
x = 6m Ma 3 = 4,330kNm
= 4,33kN x - 21,65kNm
7
7
a4 -a4 x 6m;8,5m
Przekrój
Przekrój
x
o a
ME
15kNm
4
60
8kN/m 10kN
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
Na 4 = -10kN cos60 = -5kN
Ta 4 = 4,33kN -10kN sin 60 = -4,33kN
Ma 4 = 4,33kN x - 21,65kNm -10kN sin 60(x - 6m)=
= -4,33kN x + 30,31kNm
x = 6m Ma 4 = 4,33m
x = 7m Ma 4 = 0
x = 8,5m Ma 4 = -6,495kNm
8
8
a5 -a5 x 8,5m;10m
Przekrój
Przekrój
x
o a
ME
5
60
8kN/m 10kN 15kNm
HE
B
A
E
D
C
VE
1,5m 1,5m
1m RA 2,5m RB 1,5m 1m 1m
N = -5kN
Na 5 = -5kN
Ta 5 = -4,33kN
Ma 5 = -4,33kN x + 30,31kNm +15kNm =
= -4,33kN x + 45,31kNm
x = 8,5m Ma 5 = 8,505kNm
x = 10m Ma 5 = 2,01kNm
9
9
Wykresy
Wykresy
8kN/m
o
M
15kNm
E
10kN
60
H
E
B
A E
D
C
V
E
2,5m 1,5m 1,5m 1,5m
1m R R 1m 1m
A B
N [kN]
a
-
9,002 5 5
9,002 5 5
4,330 4,330
+
+
T [kN]
a
-
- -
4,330 4,330
8
10,998
6,495 6,495
4
-
-
-
M [kNm]
a
+
+
1,065
+
2,010
4,330
10
10
8,505
Ekstremum
Ekstremum
9,002
9,002kNm +10,998kNm 9,002kNm
=
4,330
2,5m x0 -1m
x0 +
+
Ta [kN]
- -
8
8
10,998
2,5m
1m
x0 = 2,125m
Ta 2 = -8kN / m x +17,002kN = 0
Ma 2 = -4kN / m x2 +17,002kN x -17,002kNm
Ma 2(x0 = 2,125m)= 1,065kNm
11
11
Przykład  belka
Przykład  belka
przegubowa
przegubowa
20kN
8kN/m
4kNm/m
1m 2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
20kN
8kN/m
4kNm/m
A B D
C F
E
HA
RB RD RF
VA
1m 2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
12
12
Reakcje
Reakcje
20kN
8kN/m
4kNm/m
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
X : H = 0
A
Y :VA + RB + RD + RF - 20kN - 8kN / m 2m - 1 8kN / m 4m = 0
2
: RB 3m + RD 6m + RF 10,5m + 20kN 1m - 8kN / m 2m1m +
M A
1 1
- 8kN / m 4mć2m + 4m + 4kNm / m 3,5m = 0

2 3
Ł ł
p
: RF 2,5m + 4kNm / m3,5m = 0
M E
1 1
p
: RD 1,5m + RF 6m - 3kN / m1,5m 1,5m + 4kNm / m3,5m = 0
MC
2 3
13
13
Przyjęcie przekrojów,
Przyjęcie przekrojów,
przedziały
przedziały
a2 a3
20kN
8kN/m
a6 4kNm/m
a7
a5
x a4
a1
B D
C F
E
HA A
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
a -a1 x 0;1m
1
H = 0
A
a -a x 1m;3m
2 2
RF = 5,6kN
a -a x 3m;4m
3 3
RD =13,817kN
a -a x 4m;7m
4 4
RB = 3,744kN
a -a x 7m;9m
5 5
VA = 40,039kN
a -a x 9m;11,5m
6 6
a -a x 11,5m;12,5m
7 7
14
14
a1 -a1 x 0;1m
Przekrój
Przekrój
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na 1 = 0
Ta 1 = -20kN
x = 0 Ma 1 = 0
Ma 1 = -20kN x
x = 1m Ma 1 = -20kNm
15
15
a2 -a2 x 1m;3m
Przekrój
Przekrój
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na 2 = H = 0
Na 2 = H = 0
A
A
Ta 2 = -20kN +VA - 8kN / m(x -1m) = -20kN + 40,039kN -8kN / m(x -1m) =
= 28,039kN - 8kN / m x
x = 1m Ta 2 = 20,039kN
x = 3m Ta 2 = 4,039kN
x -1m
Ma 2 = -20kN x +VA (x -1m)-8kN / m (x -1m) =
2
x -1m
= -20kN x + 40,039kN (x -1m)- 8kN / m(x -1m) =
2
x = 1m Ma 2 = -20kNm
= -4kN / m x2 + 28,039kN x - 44,039kNm
x = 3m Ma 2 = 4,078kNm
16
16
a3 -a3 x 3m;4m
Przekrój
Przekrój
 siły normalne i tnące
 siły normalne i tnące
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
q (x) 8kN / m
q3(x) 8kN / m
=
=
7m - x 4m
Na 3 = H = 0
q3(x)= 2kN / m2 (7m - x)
A
1
Ta 3 = -20kN +VA - 8kN / m 2m - q3(x)(x - 3m)- (8kN / m - q3(x))(x - 3m)=
2
= -20kN + 40,039kN -16kN - 2kN / m2 (7m - x)(x - 3m)+
1
- (8kN / m - 2kN / m2 (7m - x))(x - 3m)=
x = 3m Ta 3 = 4,039kN
2
x = 4m Ta 3 = -2,961kN
kN kN
= 1 x2 -14 x + 37,039kN
m2 m
17
17
a3 -a3 x 3m;4m
Przekrój
Przekrój
 momenty zginające
 momenty zginające
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Ma 3 = -20kN x +VA (x -1m)-8kN / m 2m(x - 2m)+
1 2
- q3(x)(x - 3m)(x -23m) - (8kN / m - q3(x))(x - 3m) (x - 3m)=
2 3
= -20kN x + 40,039kN (x -1m)-16kN (x - 2m)+
- 2kN / m2 (7m - x)(x - 3m)(x -23m) +
x = 3m Ma 3 = 4,078kNm
x = 4m Ma 3 = 4,450kNm
1
- (8kN / m - 2kN / m2 (7m - x))(x - 3m)=
3
1
= kN / m2 x3 - 7kN / m x2 + 37,039kN x - 53,039kNm
3
18
18
a4 -a4 x 4m;7m
Przekrój
Przekrój
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na 4 = H = 0
a 4 A
A
1
1
( ) ( ) ( ( )) ( )
Ta 4 = -20kN +VA - 8kN / m 2m - q3(x)(x - 3m)- (8kN / m - q3(x))(x - 3m)+ RB =
2
kN kN
= 1 x2 -14 x + 37,039kN + 3,744kN =
x = 4m Ta 4 = 0,783kN
m2 m
x = 7m Ta 4 = -8,217kN
kN kN
= 1 x2 -14 x + 40,783kN
m2 m
Ma 4 = -20kN x +VA (x -1m)- 8kN / m 2m (x - 2m)- q3(x)(x - 3m)(x -23m) +
1 2 x = 4m Ma 4 = 4,450kNm
- (8kN / m - q3(x))(x - 3m) (x - 3m)+ RB (x - 4m)=
2 3
x = 5,5m Ma 4 = 0
1
x = 7m Ma 4 = -11,201kNm
= kN / m2 x3 - 7kN / m x2 + 40,783kN x - 68,015kNm
19
3 19
a5 -a5 x 7m;9m
Przekrój
Przekrój
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
Na 5 = H = 0
Na 5 = H = 0
A
A
1
Ta 5 = -20kN +VA - 8kN / m 2m - 8kN / m 4m + RB + RD =
2
= -20kN + 40,039kN -16kN -16kN + 3,744kN +13,817kN =
= 5,6kN
Ma 5 = -20kN x +VA (x -1m)- 8kN / m 2m(x - 2m)+
1 ć 1
ć3m
- 8kN / m 4m x - + 4m + RB (x - 4m)+ RD (x - 7m)=

2 3
Ł ł
Ł ł
x = 7m Ma 5 = -11,201kNm
= 5,6kN x - 50,401kNm
x = 9m Ma 5 = -0,001kNm 0
20
20
a6 -a6 x 9m;11,5m
Przekrój
Przekrój
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
N = H = 0
Na 6 = H = 0
A
Ta 6 = 5,6kN
Ma 6 = 5,6kN x - 50, 401kNm - 4kNm / m x - 9m =
( )
= 1,6kN x -14, 401kNm
x = 9m Ma 6 = -0,001kNm 0
x = 11,5m Ma 6 = 3,999kNm
21
21
a7 -a7 x 11,5m;12,5m
Przekrój
Przekrój
a
20kN a
8kN/m 2
3 a
a
6
a 7
x a 4kNm/m
5
a 4
1
A B D
C F
E
HA
R RD RF
VA
1m 2m 1mB 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
N = H = 0
Na 7 = H = 0
A
Ta 7 = 5,6kN - RF = 0
Ma 7 = 1,6kN x -14,401kNm - 5,6kN (x -11,5m)=
= -4kN x + 49,999kNm
x = 11,5m Ma 7 = 3,999kNm
x = 12,5m Ma 7 = -0,001kNm 0
22
22
Wykresy
Wykresy
20kN
8kN/m
4kNm/m
A B D
C F
E
H
A
R R R
V
B D F
A
1m 2m 1m 1,5m 1,5m 2m 2,5m 1m
N [kN]
0
a
20,039
20,039
4,036
56 56
, ,
+
0783
,
T [kN]
a
+
2,961 -
8,217
- 5,967
20
20
11,200
-
-
4,45
M [kNm]
a
+
+ +
23
23
4,078
4
4,502
5,145
Ekstrema
Ekstrema
kN kN
x0 = 3,542m
Ta 3 = 1 x2 -14 x + 37,039kN = 0
m2 m
1
Ma 3(x0)= kN / m2 x03 - 7kN / m x02 + 37,039kN x0 - 53,039kNm =
3
3
= 5,145kNm
kN kN
x0 = 4,133m
Ta 4 = 1 x2 -14 x + 40,783kN = 0
m2 m
1
Ma 4(x0)= kN / m2 x03 - 7kN / m x02 + 40,783kN x0 - 68,015kNm =
3
= 4,502kNm
24
24
Obciążenie na pręcie ukośnym
Obciążenie na pręcie ukośnym
 na jednostkę rzutu
 na jednostkę rzutu
10kN/m
1m
HA
sinf == 0, 243
22
a
4m + 1m
( ) ( )
4m
VA
cosf == 0,970
f
f
22
22
x
x
4m + 1m
4m + 1m
( ) ( )
( ) ( )
RB
4m
X : H = 0
A
HA = 0
Y :VA + RB -10 kN 4m = 0
VA = 20kN
m
RB = 20kN
M : RB 4m -10 kN 4m 1 4m = 0
A
m 2
25
25
Siły wewnętrzne
Siły wewnętrzne
10kN/m
Na = VA sinf - q x sinf =
kN
HA
= 4,851kN - 2, 425 x
a
m
Ta = VA cosf - q x cosf =
VA
f
f
x kN
x kN
= 19, 403kN - 9,701 x
m
RB
4m
kN x
Ma = VA x -10 x =
m 2
kN
=-5 x2 + 20kN x
m
x = 0 Na = 4,851kN Ta = 19, 403kN Ma = 0
x = 2m Na = 0Ta = 0Ma = 20kNm
x = 4m Na = -4,849kN Ta = -19, 401kN Ma = 0
26
26
1m
1m
Wykresy
Wykresy
4,851
+
N [kN]
a
19,403
-
4,851
4,851
+
+
T [kN]
a
-
19,403
M [kNm]
a
+
27
27
20
Obciążenie na pręcie ukośnym
Obciążenie na pręcie ukośnym
 na jednostkę długości pręta
 na jednostkę długości pręta
HA 10kN/m
a
VA
f
x
x
RB
4m
X : HA = 0

HA = 0
22
( ) ( )
Y :VA + RB -10 kN 4m + 1m = 0VA = 20,616kN
m
22
RB = 20,616kN
M : RB 4m -10 kN (4m) +(1m) 1 4m = 0
A
m 2
28
28
1m
Siły wewnętrzne
Siły wewnętrzne
2
HA 10kN/m x
ć
Na = VA sinf - q x2 + sinf =

4
Ł ł
a
kN
VA
= 5kN - 2,5 x
f
x
m
2
2
RB x
4m ć
Ta = VA cosf - q x2 + cosf =

4
Ł ł
kN
= 20kN -10 x
m
2
kN x x kN
ć
Ma = VA x -10 x2 + = -5,154 x2 + 20,616kN x

mm
4 2
Ł ł
x = 0 Na = 5kN Ta = 20kN Ma = 0
x = 2m Na = 0 Ta = 0Ma = 20,616kNm
x = 4m Na = -5 Ta = -20kN Ma = 0
29
29
Wykresy
Wykresy
5
+
N [kN]
a
20
-
5
+
+
T [kN]
a
-
20
M [kNm]
a
+
30
30
20,616
1m


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
notatek pl sily wewnetrzne i odksztalcenia w stanie granicznym
7 Siły wewnętrzne w ramach
Arch 11 W4 Warunki równowagi Siły wewnętrzne
Druzga, wytrzymałość materiałów Ć,SIŁY WEWNĘTRZNE
Siły wewnętrzne
Siły wewnętrzne w ustrojach statycznie wyznaczalnych
Anselm Grün OSB Źródła siły wewnętrznej

więcej podobnych podstron