1

Funkcje trygonometryczne.

Przygotowa la Izabela Wardach

1

Definicje i w lasno´

sci funkcji trygonometrycznych

Niech b{cdzie dany na p laszczy´

znie XOY dowolny k¸

at skierowany

~

XOP , kt´

orego miar¸

a

jest α. Punkt P (x, y) le˙zy na ko´

ncu promienia wodzcego r. Funkcje trygonometryczne

k¸

ata (miary k¸

ata) okre´

slamy mast¸

epuj¸

aco:

sin α =

y
r

,

cos α =

x

r

,

tg α =

y
x

,

ctg α =

x
y

Miara k¸

ata stopniowa - α = [

o

] lub lukowa - α = [1rad] przy czym:

α[rad] =

α[

o

]

180

o

π

Pod nazw¸

a funkcje trygonometryczne rozumiemy funkcje trygonometryczne zmiennej

rzeczywistej, tj. funkcje miary lukowej k¸

ata. Funkcje sin x i cos x okre´

slone na przedzia le

(−∞, +∞) s¸

a ograniczone tj.:

| sin x| ≤ 1

cos x ≤ 1.

Funkja tgx jest okre´

slona na zbiorze:

R −



π

2

+ kπ

,

k ∈ C

Funkja ctgx jest okre´

slona na zbiorze:

R − {kπ},

k ∈ C

1

na podstawie:

1. W.Leksi´

nski, B.Macukow, W. ˙

Zakowski Matematyka dla maturzyst´

ow - definicje, twierdzenia, wzory,

przyk lady, WNT, Warszawa 1994.

2. W. ˙

Zakowski Matematyka dla kandydat´

ow na wy˙zsze uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT,

Warszawa 1994.

1

Wybrane warto´

sci funkcji trygonomertycznych:

x

sin x

cos x

tgx

ctgx

0

0

1

0

−

π

6

1
2

√

3

2

√

3

3

√

3

π

4

√

2

2

√

2

2

1

1

π

3

√

3

2

1
2

√

3

√

3

3

π

2

1

0

−

0

π

0

−1

0

−

3
2

π

−1

0

−

0

2π

0

1

0

−

Funkcje trygonometryczne s¸

a okresowe. Okresem podstawowym funkcji sin x i cos x jest 2π:

sin (x + 2kπ) = sin x,

cos (x + 2kπ) = cos x,

za´

s funkcji tan x i ctgx liczba π:

tg(x + kπ) =tgx,

ctg(x + kπ) = ctg(x),

k ∈ C.

Funkcja cos(x) jest parzysta:

cos(−x) = cos(x),

za´

s pozosta le s¸

a nieparzyste:

sin(−x) = − sin(x),

tg(−x) = −tgx,

ctg(−x) = −ctgx.

Podstawowe zwi¸

azki trygonometryczne:

sin

2

x + cos

2

x = 1,

tgx =

sin x

cos x

,

ctgx =

cos x

sin x

.

Znaki funkcji trygonomertycznych przybierane w odpowiednich przedzia lach:

OXY

sin x

cos x

tgx

ctgx

I ´

cw.

+

+

+

+

II ´

cw.

+

−

−

−

III ´

cw.

−

−

+

+

IV ´

cw.

−

+

−

−

Wzory redukcyjne:
Uwaga: przy redukcjach k¸

at´

ow bierzemy pod uwag¸

e po lo˙zenie k¸

ata w uk ladzie wsp´

o lrz¸

ednych

2

oraz wielokrotno´

s´

c k¸

ata

π

2

. Przy nieparzystej wielokrotno´

sci funkcja przechodzi w kofunkcj¸

e:

sin

π

2

+ x

= cos x

cos

π

2

+ x

= − sin x

sin

π

2

− x

= cos x

cos

π

2

− x

= sin x

sin (π + x) = − sin x

cos (π + x) = − cos x

sin (π − x) = sin x

cos (π − x) = − cos x

sin

3
2

π + x

= − cos x

cos

3
2

π + x

= sin x

sin

3
2

π − x

= − cos x

cos

3
2

π − x

= − sin x

sin (2π + x) = sin x

cos (2π + x) = cos x

sin (2π − x) = sin(−x) = − sin x

cos (2π − x) = cos(−x) = cos x

tg

π

2

+ x

=-ctgx

ctg

π

2

+ x

=-tgx

tg

π

2

− x

=ctgx

ctg

π

2

− x

=tgx

tg(π + x) =tgx

ctg(π + x) =ctgx

tg(π − x) =-tgx

ctg(π − x) =-ctgx

tg

3
2

π + x

=-ctgx

ctg

3
2

π + x

=-tgx

tg

3
2

π − x

=ctgx

ctg

3
2

π − x

=tgx

tg(2π + x) =tgx

ctg(2π + x) =ctgx

tg(2π − x) =tg(-x)=-tgx

ctg(2π − x) =ctg(-x)=-ctgx

Funkcje trygonometryczne sumy dw´

och zmiennych:

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y.

(1)

Podstawiaj¸

ac we wzorze (1) y =

π

2

+ z otrzymamy:

cos (x + z) = cos x cos z − sin x sin z.

(2)

Dziel¸

ac (1) przez (2) otrzymamy:

tg(x + y) =

tgx + tgy

1 − tgx · tgy

,

a (2) przez (1) otrzymamy:

ctg(x + y) =

ctgx · ctgy − 1

ctgx + ctgy

,

3

Funkcje trygonometryczne r´

o˙znicy dw´

och zmiennych:

Podstawiaj¸

ac we wzorach (1) i (2) y = −z otrzymamy:

sin (x − z) = sin x cos z − cos x sin z,

cos (x − z) = cos x cos z + sin x sin z.

Dziel¸

ac odpowiednie wyra˙zenia przez siebie otrzymamy:

tg(x − z) =

tgx − tgz

1 + tgx · tgz

,

ctg(x − z) =

ctgx · ctgy + 1

ctgy − ctgx

.

Funkcje trygonometryczne wielokrotno´

sci k¸

ata:

Podstawiaj¸

ac we wzorach (1) i (2) y = x otrzymamy:

sin (2x) = 2 sin x cos x,

cos (2x) = cos

2

x − sin

2

x.

Dziel¸

ac odpowiednie wyra˙zenia przez siebie otrzymamy:

tg(2x) =

2tgx

1 − tg

2

x

,

ctg(2x) =

ctg

2

x − 1

2ctgx

.

Sumy i r ˙o˙znice funkcji trygonometrycznych:

Dodaj¸

ac stronami wzory na sin (x + y) oraz sin (x − y) otrzymamy:

sin α + sin β = 2 sin

α + β

2

cos

α − β

2

,

gdzie:

α = x + y,

β = x − y.

Podobnie otrzymamy:

sin α − sin β = 2 cos

α + β

2

sin

α − β

2

,

cos α + cos β = 2 cos

α + β

2

cos

α − β

2

,

cos α − cos β = −2 sin

α + β

2

sin

α − β

2

,

tgα + tgβ =

sin (α + β)

cos α cos β

,

tgα − tgβ =

sin (α − β)

cos α cos β

,

4

ctgα + ctgβ =

sin (α + β)

sin α sin β

,

ctgα − ctgβ = −

sin (α − β)

sin α sin β

,

R´

ownania i nier´

owno´

sci trygonometryczne:

r´

ownanie

rozwi¸

azanie

sin x = a

x

1

= x

0

+ 2kπ

x

2

= π − x

0

+ 2kπ

cos x = a

x

1

= x

0

+ 2kπ

x

2

= −x

0

+ 2kπ

tgx = a

x = x

0

+ kπ

ctgx = a

x = x

0

+ kπ

5