www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
F
UNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
S ˛
a cztery
trygonometryczne: sin x, cos x, tg x, ctg x. Ró ˙zni ˛
a si˛e one zasadniczo od in-
nych poznawanych w szkole funkcji z dwóch powodów: s ˛
a okresowe oraz jest niezwykle
du ˙zo ciekawych zale ˙zno´sci mi˛edzy nimi, czyli tzw.
to ˙zsamo´sci trygonometrycznych
. Ta dru-
ga własno´s´c sprawia, ˙ze
sprawiaj ˛
a kłopoty – trzeba troch˛e wprawy,
˙zeby wiedzie´c jaki wzór pasuje do jakiego zadania.
Sinus i cosinus
Funkcje sinus i cosinus maj ˛
a podobne
, ale s ˛
a przesuni˛ete wzgl˛edem siebie o
π
2
.
π
2π
3π
4π
y=sin(x)
π
2
7π
2
π
2
0
3π
2
3π
2
4π
π
π
2π
2π
5π
2
5π
2
3π
4π
3π
7π
2
π
2
7π
2
π
2
0
3π
2
3π
2
4π
π
2π
5π
2
5π
2
3π
7π
2
y=cos(x)
1
1
1
1
Obie funkcje s ˛
a okresowe, co przejawia si˛e tym, ˙ze ich wykresy powtarzaj ˛
a si˛e – np. je-
˙zeli we´zmiemy kawałek wykresu sinusa na przedziale
h
0, 2π
i
, to cały wykres otrzymamy
przesuwaj ˛
ac ten kawałek o wielokrotno´sci 2π w lewo i w prawo. Mówi ˛
ac jeszcze inaczej,
wykresy tych funkcji nie zmieniaj ˛
a si˛e przy przesuwaniu o wielokrotno´s´c 2π.
W j˛ezyku wzorków zapisuje si˛e to w postaci
sin
(
x
+
2π
) =
sin x
cos
(
x
+
2π
) =
cos x
Liczb˛e 2π nazywa si˛e okresem podstawowym tych funkcji. Z tego, ˙ze liczba 2π jest okresem
łatwo wynika, ˙ze dowolna jej wielokrotno´s´c te ˙z jest okresem, tzn.
sin
(
x
+
2kπ
) =
sin x
cos
(
x
+
2kπ
) =
cos x,
gdzie k jest dowoln ˛
a liczb ˛
a całkowit ˛
a.
Przymiotnik ’podstawowy’ przy okresie oznacza, ˙ze jest to najmniejszy okres, np. liczba
4π te ˙z jest okresem tych funkcji (czyli sin
(
x
+
4π
) =
sin x), ale nie jest okresem podstawo-
wym.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Obliczmy sin
19
3
π
. Liczymy
sin
19
3
π
=
sin
18
+
1
3
π
=
sin
6π
+
1
3
π
=
sin
π
3
=
sin 60
◦
=
√
3
2
.
Tangens i cotangens
Funkcje te s ˛
a zdefiniowane zale ˙zno´sci od funkcji sinus i cosinus:
tg x
=
sin x
cos x
ctg x
=
cos x
sin x
=
1
tg x
.
Z tych definicji powinno by´c jasne, ˙ze dziedzin ˛
a funkcji tg x jest zbiór liczb, dla których
cos x
6=
0 (czyli x
6=
π
2
+
kπ), a dziedzin ˛
a funkcji ctg x zbiór liczb, dla których sin x
6=
0
(czyli x
6=
kπ).
Wykresy tych funkcji s ˛
a podobne, ale funkcja tangens jest przedziałami rosn ˛
aca, a funkcja
cotangens malej ˛
aca.
π
2
π
2
0
3π
2
3π
2
π
π
2π
π
2
π
2
0
3π
2
3π
2
π
π
2π
y=tg(x)
y=ctg(x)
Rozerwania wykresów odpowiadaj ˛
a dokładnie miejscom zerowym mianowników. Obie
funkcje maj ˛
a okres podstawowy π, czyli dwa razy mniejszy ni˙z funkcje sinus i cosinus.
Obliczmy tg
π
6
ctg
−
11
6
π
. Liczymy
tg
π
6
ctg
−
11
6
π
=
tg
π
6
ctg
−
11
6
π
+
2π
=
=
tg
π
6
ctg
π
6
=
tg
π
6
·
1
tg
π
6
=
1.
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Parzysto´s´c i nieparzysto´s´c
Funkcja cosinus jest funkcj ˛
a parzyst ˛
a
, tzn.
cos
(−
x
) =
cos x.
Własno´s´c ta oznacza, ˙ze wykres jest symetryczny wzgl˛edem osi Oy. Mo ˙zna sobie my´sle´c, ˙ze
jest podobnie jak dla f
(
x
) =
x
2
, nie jest wa ˙zne, czy liczymy warto´s´c funkcji w
−
x czy w x
(st ˛
ad ta symetria wykresu).
Funkcja sinus jest funkcj ˛
a nieparzyst ˛
a
, tzn.
sin
(−
x
) = −
sin x.
Własno´s´c ta oznacza, ˙ze wykres jest symetryczny wzgl˛edem pocz ˛
atku
(
0, 0
)
układu współ-
rz˛ednych. Tu sytuacja jest podobna jak na przykład z f
(
x
) =
x
3
:
(−
2
)
3
= −
2
3
.
Obliczmy cos
(
π
sin
(−
π
6
))
. Liczymy
cos
π
sin
−
π
6
=
cos
−
π
sin
π
6
=
cos
−
π
2
=
cos
π
2
=
0.
Korzystaj ˛
ac z powy ˙zszych własno´sci oraz z równo´sci tg x
=
sin x
cos x
i ctg x
=
cos x
sin x
, łatwo wyli-
czy´c, ˙ze funkcje tangens i cotangens s ˛
a nieparzyste.
tg
(−
x
) = −
tg x
ctg
(−
x
) = −
ctg x.
W przypadku funkcji parzystych/nieparzystych wygodnie jest my´sle´c, ˙ze ich warto´sci
dla liczb ujemnych s ˛
a jednoznacznie wyznaczone przez warto´sci dla liczb dodatnich.
Punkty szczególne wykresów
Rozwi ˛
azuj ˛
ac ró ˙zne zadania z funkcjami trygonometrycznymi cz˛esto b˛edziemy musieli usta-
li´c jakie s ˛
a ich miejsca zerowe lub kiedy sinus/cosinus jest równy
±
1. Na wykresie punkty
te odpowiadaj ˛
a punktom przeci˛ecia z osi ˛
a Ox oraz górkom i dołkom sinusa/cosinusa.
sin x
=
0
⇐⇒
x
=
kπ
cos x
=
0
⇐⇒
x
=
π
2
+
kπ
sin x
=
1
⇐⇒
x
=
π
2
+
2kπ
cos x
=
1
⇐⇒
x
=
2kπ
sin x
= −
1
⇐⇒
x
= −
π
2
+
2kπ
cos x
= −
1
⇐⇒
x
=
π
+
2kπ.
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
We wszystkich wzorach k
∈
C
.
Miejsca zerowe tangensa i cotangensa s ˛
a takie same jak odpowiednio sinusa i cosinusa:
tg x
=
0
⇐⇒
sin x
=
0
⇐⇒
x
=
kπ
ctg x
=
0
⇐⇒
cos x
=
0
⇐⇒
x
=
π
2
+
kπ.
Jedyny sposób, ˙zeby si˛e w tym nie pogubi´c, to nauczy´c si˛e szybko szkicowa´c wykresy tych
funkcji. W przypadku sinusa i cosinusa nale ˙zy zapami˛eta´c, ˙ze wykresem jest sinusoida prze-
chodz ˛
aca przez
(
0, 0
)
i
(
0, 1
)
odpowiednio. W przypadku tangensa i cotangensa wystarczy
zapami˛eta´c po jednej gał˛ezi wykresu i pami˛eta´c, ˙ze całe wykresy otrzymujemy przesuwaj ˛
ac
je w lewo i w prawo.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie 2
sin 2x
=
2. Liczymy
2
sin 2x
=
2
⇐⇒
sin 2x
=
1
⇐⇒
2x
=
π
2
+
2kπ
⇐⇒
x
=
π
4
+
kπ, k
∈
C
.
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Po co definiuje si˛e funkcje trygonometryczne i dlaczego s ˛
a one wa ˙zne?
Powody s ˛
a geometryczne: funkcje trygonometryczne s ˛
a ł ˛
acznikiem mi˛edzy długo´sciami od-
cinków, a miarami k ˛
atów. Na ogół, w zadaniach geometrycznych, nie da si˛e wyliczy´c do-
kładnej warto´sci szukanego k ˛
ata, jednak twierdzenia sinusów, cosinusów pozwalaj ˛
a wyli-
czy´c (dokładnie!) ich funkcje trygonometryczne.
Nie jeste´smy w stanie wyliczy´c miar k ˛
atów w trójk ˛
acie o bokach 5,6,7. Mo ˙zemy
natomiast (z twierdzenia cosinusów) wyliczy´c cosinusy tych k ˛
atów.
2
Ze wzgl˛edu na okresowo´s´c, odpowiedzi do zada ´n z trygonometrii cz˛esto s ˛
a postaci x
=
π
2
+
kπ. Domy´slnie w takim zapisie, liczba k jest dowoln ˛
a liczb ˛
a całkowit ˛
a.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie tg x
=
1.
Wiemy, ˙ze tg
π
4
=
1. Patrz ˛
ac na wykres wida´c, ˙ze wszystkie rozwi ˛
azania to x
=
π
4
+
kπ, gdzie k
∈
C
.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
3
Trudno nie zauwa ˙zy´c, ˙ze wsz˛edzie piszemy argumenty funkcji trygonometrycznych w ra-
dianach i jest ku temu powód. Je ˙zeli mówimy o funkcjach trygonometrycznych to chcemy,
aby i argumenty i warto´sci to były liczbami, ˙zeby np. miała sens funkcja sin x
2
. Stopnie nie
maj ˛
a tej własno´sci. Po wi˛ecej informacji na ten temat odsyłam do
4
Z jedynki trygonometrycznej sin
2
x
+
cos
2
x
=
1 łatwo wynika, ˙ze tam gdzie sinus si˛e zeruje,
cosinus jest równy
±
1 i odwrotnie. Ta własno´s´c bywa u ˙zyteczna przy rysowaniu tych funkcji
lub przy sprawdzaniu czy dobrze pami˛etamy, gdzie s ˛
a punkty szczególne ich wykresów.
Bywa te ˙z u ˙zyteczna przy równaniach typu sin x
= ±
1.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie cos
2
2x
=
1
cos
2
2x
=
1
⇐⇒
cos 2x
= ±
1
⇐⇒
sin 2x
=
0
⇐⇒
2x
=
kπ
⇐⇒
x
=
kπ
2
, k
∈
C
.
5
Niezwykle istotne jest pami˛etanie, ˙ze zbiór warto´sci funkcji sinus i cosinus to przedział
h−
1, 1
i
. Takiej własno´sci nie maj ˛
a funkcje tangens i cotangens – one mog ˛
a przyjmowa´c do-
wolne warto´sci.
Wyznaczmy zbiór warto´sci funkcji f
(
x
) =
sin
2
x
−
sin x.
Podstawiaj ˛
ac t
=
sin x mamy parabol˛e f
(
t
) =
t
2
−
t
=
t
(
t
−
1
)
obci˛et ˛
a
do prze-
działu
h−
1, 1
i
(bo takie s ˛
a warto´sci t
=
sin x). Aby ustali´c jakie warto´sci przyjmuje
ona w tym przedziale liczymy warto´sci w wierzchołku i w ko ´ncach przedziału
f
(
t
w
) =
f
1
2
= −
1
4
f
(−
1
) =
2
f
(
1
) =
0.
Zatem zbiór warto´sci to przedział
h−
1
4
, 2
i
.
6
Szczerze radz˛e nauczy´c si˛e podstawowych warto´sci funkcji trygonometrycznych na pami˛e´c.
Oczywi´scie mo ˙zna je sprawdza´c w tablicach, ale trzeba pami˛eta´c, ˙ze jednym z elementów
ka ˙zdego egzaminu jest walka z czasem. Na wertowanie tablic tracimy cenny czas, poza tym
o wiele trudniej jest si˛e pomyli´c, gdy wiemy, ile wynosi sin
π
6
, ni ˙z gdy tego nie wiemy, a
przepisujemy z tabelki.
S ˛
a ró ˙zne sposoby pami˛etania tych warto´sci. Na pewno trzeba zapami˛eta´c, ˙ze sinus/cosinus
k ˛
atów
π
3
i
π
6
to liczby
1
2
i
√
3
2
. Która liczba, do którego k ˛
ata, i do której funkcji? Najlepiej jest
zapami˛eta´c, ˙ze dla k ˛
atów ostrych sinus jest rosn ˛
acy, a cosinus malej ˛
acy, wi˛ec musi by´c:
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
sin
π
6
=
1
2
sin
π
3
=
√
3
2
cos
π
6
=
√
3
2
cos
π
3
=
1
2
.
Podobnie jest z tangensem i cotangensem tych k ˛
atów. S ˛
a to liczby
√
3 i
1
√
3
=
√
3
3
. Która
kiedy? – jak poprzednio: tangens jest rosn ˛
acy, cotangens malej ˛
acy. Zatem
tg
π
6
=
√
3
3
tg
π
3
=
√
3
ctg
π
6
=
√
3
ctg
π
3
=
√
3
3
.
Do tego jeszcze, do´s´c łatwe do zapami˛etania
sin
π
4
=
cos
π
4
=
1
√
2
=
√
2
2
tg
π
4
=
ctg
π
4
=
1.
Akurat te równo´sci łatwo sobie odtworzy´c pami˛etaj ˛
ac o tym, ˙ze s ˛
a to funkcje trygonome-
tryczne w połówce kwadratu.
1
1
2
π
4
7
Ciekawostka:
x
0
◦
30
◦
45
◦
60
◦
90
◦
sin x
√
0
2
√
1
2
√
2
2
√
3
2
√
4
2
8
Okazuje si˛e, ˙ze mo ˙zna równie ˙z dokładnie wyliczy´c funkcje trygonometryczne k ˛
atów
π
5
=
36
◦
i
2π
5
=
72
◦
. S ˛
a one równe
cos
π
5
=
1
+
√
5
4
sin
π
5
=
p
10
−
2
√
5
4
cos
2π
5
=
√
5
−
1
4
sin
2π
5
=
p
10
+
2
√
5
4
Je ˙zeli kto´s jest ciekawy jak to si˛e robi to niech zajrzy na
http://www.zadania.info/3024938
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
9
Wiemy, ˙ze je ˙zeli a
=
sin α i b
=
cos α to a
2
+
b
2
=
1 (jedynka trygonometryczna). Okazuje
si˛e, ˙ze jest te ˙z na odwrót: dane liczby a i b s ˛
a sinusem i cosinusem pewnego k ˛
ata wtedy i
tylko wtedy, gdy a
2
+
b
2
=
1.
Dla jakich warto´sci m układ równa ´n
(
m
=
sin x
2m
=
cos x
ma rozwi ˛
azanie?
Zgodnie z tym, co powiedzieli´smy, układ b˛edzie miał rozwi ˛
azanie je ˙zeli
m
2
+ (
2m
)
2
=
1
⇐⇒
m
2
=
1
5
⇐⇒
m
= ±
√
5
5
.
10
Zastanówmy si˛e jak na komputerze narysowa´c okr ˛
ag x
2
+
y
2
=
1? Nie jest to wykres funkcji,
wi˛ec robi si˛e to u ˙zywaj ˛
ac tzw. postaci parametrycznej:
(
x, y
) = (
cos t, sin t
)
, t
∈
R.
Z jedynki trygonometrycznej jest jasne, ˙ze punkty tej postaci le ˙z ˛
a na okr˛egu jednostkowym
i gdy t zmienia si˛e w przedziale
h
0, 2π
i
to obiegaj ˛
a one cały okr ˛
ag.
t
(cos(t),sin(t))
sin(t)
cos(t)
1
Gdy t ro´snie/maleje poza tym przedziałem to zaczynamy ponownie obiega´c okr ˛
ag (z
okresowo´sci sinusa/cosinusa). Geometrycznie t jest miar ˛
a k ˛
ata (w radianach) pomi˛edzy
odcinkiem ł ˛
acz ˛
acym punkt
(
x, y
)
z pocz ˛
atkiem układu
(
0, 0
)
a osi ˛
a Ox. Dla wielu osób to
jest najprostszy sposób na zapami˛etanie jakie s ˛
a znaki sinusa i cosinusa w poszczególnych
´cwiartkach – wystarczy pami˛eta´c, ˙ze pierwsza współrz˛edna punktu
(
x, y
)
na okr˛egu to co-
sinus k ˛
ata, a druga to sinus. Znaki tangensa i cotangensa łatwo ustali´c pami˛etaj ˛
ac o definicji
tg x
=
1
ctg x
=
sin x
cos x
.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Niech t
=
19π
7
.
Koniec ramienia po obrocie o taki k ˛
at b˛edzie w II ´cwiartce (bo
19π
7
=
2π
+
5π
7
).
Zatem pierwsza współrz˛edna ko ´nca ramienia jest ujemna, a druga dodatnia. Mamy
wi˛ec
cos
(
t
) <
0
sin
(
t
) >
0
tg
(
t
) <
0
ctg
(
t
) <
0.
11
Powiedzieli´smy jak sparametryzowa´c okr ˛
ag jednostkowy x
2
+
y
2
=
1, a jak sparametryzo-
wa´c dowolny okr ˛
ag
(
x
−
a
)
2
+ (
y
−
b
)
2
=
r
2
? Podobnie:
(
x, y
) = (
a
+
r cos t, b
+
r sin t
)
.
Łatwo sprawdzi´c, ˙ze punkty tej postaci rzeczywi´scie s ˛
a na tym okr˛egu.
x
y
t
(a,b)
r
(a+rcos(t),b+rsin(t))
x
y
t
(a,b)
(a,b)
t
(a+r cos(t),b+r sin(t))
1
2
1
r
2
r
Je ˙zeli troch˛e to zmodyfikujemy
(
x, y
) = (
a
+
r
1
cos t, b
+
r
2
sin t
)
,
to dostaniemy parametryzacj˛e elipsy (spłaszczonego okr˛egu)
(
x
−
a
)
2
r
2
1
+
(
y
−
b
)
2
r
2
2
=
1.
12
Tak zupełnie poza szkoln ˛
a matematyk ˛
a, to s ˛
a jeszcze funkcje
sinh x
=
e
x
−
e
−
x
2
cosh x
=
e
x
+
e
−
x
2
.
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Pomimo, ˙ze zdefiniowane do´s´c dziwacznie maj ˛
a one sporo własno´sci podobnych do zwy-
kłych funkcji trygonometrycznych (chocia ˙z nie s ˛
a okresowe!), np. spełniaj ˛
a równo´sci
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
(jedynka hiperboliczna)
sinh
(
x
+
y
) =
sinh x cosh y
+
sinh y cosh x
cosh
(
2x
) =
cosh
2
x
+
sinh
2
x
(
sinh x
)
0
=
cosh x
(
cosh x
)
0
=
sinh x.
Sk ˛
ad ich nazwa? – parametryzuj ˛
a one hiperbol˛e
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1:
(
x, y
) = (±
a cosh t, b sinh t
)
.
Wybór znaku na pierwszej współrz˛ednej odpowiada wyborowi gał˛ezi hiperboli. Podobie ´n-
stwo tych funkcji do funkcji trygonometrycznych jest do´s´c gł˛ebokie, ale ˙zeby o tym mówi´c,
musieliby´smy wkroczy´c w ´swiat liczb zespolonych, a to ju ˙z temat na inn ˛
a opowie´s´c.
x
y
a
a
y=b/a
y=-b/a
-1
+1
x
-5
-1
+1
+5
y
y=cosh(x)
-1
+1
x
-5
-1
+1
+5
y
y=sinh(x)
13
Tak naprawd˛e to s ˛
a jeszcze ró ˙zne inne funkcje trygonometryczne, o których si˛e nie uczy w
szkole, np. secans i cosecans:
sec x
=
1
cos x
csc x
=
1
sin x
.
Mo ˙zna sobie wyobrazi´c, ˙ze gdy ich u ˙zywamy to jest jeszcze wi˛ecej ró ˙znych rzeczy do zapa-
mi˛etania, ale gdy kto´s przez to przebrnie, to potrafi ˛
a one bardzo upraszcza´c zapis niektórych
rachunków (gdy s ˛
a sinusy/cosinusy w mianowniku).
W szkole jest tendencja dokładnie odwrotna, wszystko wskazuje na to, ˙ze niedługo znik-
nie ze szkoły funkcja cotangens.
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
14
W jaki sposób kalkulator liczy warto´sci funkcji trygonometrycznych? Rysuje małe trójk ˛
aciki,
mierzy boki i dzieli? Hm, raczej nie. Robi si˛e to z tzw. szeregów pot˛egowych. Nie wchodz ˛
ac
w szczegóły, okazuje si˛e, ˙ze np.
sin x
=
x
−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+
x
9
9!
−
x
11
11!
+ · · ·
cos x
=
1
−
x
2
2!
+
x
4
4!
−
x
6
6!
+
x
8
8!
−
x
10
10!
+ · · ·
.
Z prawej strony tych równo´sci mamy niesko ´nczone sumy (czyli tzw. szeregi) i nale ˙zy to tak
rozumie´c, ˙ze im wi˛ecej wyrazów we´zmiemy tym mamy lepsze przybli ˙zenie sinusa/cosinusa.
To co jest wa ˙zne, to ˙ze z prawej strony mamy tylko operacje dodawania, mno ˙zenia, odejmo-
wania i dzielenia (nie tam w ogóle funkcji trygonometrycznych!), a z tym kalkulator radzi
sobie doskonale. Przy okazji, podobnie liczy si˛e logarytmy i pierwiastki.
Materiał pobrany z serwisu
10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ściąga matma funkcje trygonomertyczne
Funkcje trygonometryczne dowody
funkcje trygonometryczne I, Poziom rozszerzony
Wzory funkcji trygonometrycznych
funkcja trygonomczetryczna GE5VN7HOUAFV3BTLDU2WB6F33YC37MYVXEJVYEQ
Wykresy funkcji trygonometrycznej
FUNKCJA TRYGONOMETRYCZNA
Ca│ki funkcji trygonometrycznych
matematyka funkcja trygonometryczna
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Funkcje trygonometryczne, Sprawdziany, Liceum, Matematyka
funkcje trygonometryczne
4 Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne
calkowanie funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, Matematyka
więcej podobnych podstron