funkcje trygonometryczne

background image

1

2

α

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

1. Obliczyć:

a) cos

2

120

°

- sin

2

120

°


b) sin 1000

°

c) cos

2

105

°

- sin

2

105

°

d) sin x + cos

2

x jeżeli sin x - cos x = 1

e) cos jeśli cos

α

=

α

(

π

; 2

π

)


f) log

4

sin135

°

g)

°

°

10

sin

100

cos

h) cos 72

°

jeśli sin 12

°

= p

i) log

3

tg 30

°

j) tg

α

, gdy sin

α

= i

α

(

π

;

π

)

k) sin 2

α

, jeśli sin

α

=

α

(

2

π

;

π

)

l) sin

4

x + cos

4

x jeżeli sin 2x = 0,2


ł) tg

α

jeżeli sin

α

- cos

α

=

α

m) cos

α

jeżeli tg

α

= 2 i

α

n)

°

+

+

690

sin

)

1

(

,

0

.....

27

1

9

1

3

1

1


o) sin

α

i cos

α

jeśli sin 2

α

=

α

p)

°

°

+

°

°

15

tg

300

sin

2

480

cos

2

225

tg

r) sin

12

13

π

s) cos 3x + cos x jeżeli sin x =

3

1

i x

(

π

;

2

3

π

)

t) sin

6

5

π

- log

3

ctg

3

π

2.Rozwiązać równanie:
a)

2

log

2

1

sin

=

x

5

3

5

3

2

3

5

4

2

2

)

2

;

4

(

π

π

)

2

3

;

2

(

π

π

5

3

)

4

3

;

2

(

π

π

background image

2

b) sin 3x – sin x = cos 2x

c) sin x = sin 2x

d) sin

4

x + cos

4

x = cos 4x


e) 1 + 3cos x – sin x = 0

f)

1

cos

sin

2

2

4

=

x

x

g)

12

4

5

4

2

2

cos

sin

=

+

x

x

h) sin 3x – cos x = 0

i) 1 + sin x

j) 3sin x = 2cos

2

x

k) sin x – cos 2x = 1
l) cos x + sin x = 0

ł)

x

x

x

sin

2

...

sin

4

1

sin

2

1

1

2

=

+

+

+

m)

2

1

sin

2

2

=

x


n) cos x – cos (x - ) = sin 3x

x

( -

π

;

π

)

o) (sin x – cos x )

2

+ tg x = 2sin

2

x

p)

tg x + ctg x

=

3

4

r) sin

3

x - cos

3

x = 1 + sin 2x


s) ctg (

π

- 2x ) = ctg ( 2x - )

t) cos 2x + cos 4x = cos 3x
u)

cos x

= cos x + 2sin x

x

<

0 ; 2

π

>

w) tg x = tg

x

1

3. Rozwiązać nierówności:
a) sin x

>

cos x

x

< -

π

;

π

>

b)

0

1

sin

2

x

c) cos

2

x + cos

3

x + cos

4

x + ....

- 1 – cos x


d) log

cosx

sin x

1

x

(0 ; 2

π

)


e) 2sin x – 1 < 0

x

( 0 ;

π

)

f) log

5

,

0

sin

2

x > 2

x

< 0 ; 2

π

>

g) cos (

π

- x)

sin (

x

+

2

π

)

2

=

x

x

sin

1

cos

2

π

2

1

3

π

background image

3

h) g [ f (x) ]

1 jeżeli f (x) = 3

x

i g (x) = sin x

i)

tg 2x

1

j) cos

2

x + cos

3

x + ....< 1 + cos x

x

( 0 ; 2

π

)

k) 2 >

2

1

l) sin

2

x

cos

2

x

ł) 2

2

x

< 0 ; 2

π

>

m)

3

2

x

(

π

; 2

π

)

n) ( 4sin

3

x)

)

sin

4

(

log

2

log

3

sin

sin

x

x

x

<

o)

(

)

(

)

π

2

;

0

1

log

5

2

1

tg

3

+

x

x

4. Narysować wykres funkcji:


a)

x

x

y

tg

2

sin

=

b)

( )

x

x

x

f

sin

sin

cos

2

=

, dla

(

)

π

2

;

0

x

c)

( )

x

x

f

2

sin

1

=

d)

( )

x

x

f

2

cos

1

+

=

e)

( )

1

2

cos

2

1

2

=

x

x

f

f)

( )

(

)

( )

π

;

0

2

sin

2

1

=

x

x

x

f

g)

x

y

2

sin

2

=

h)

x

y

2

cos

2

=

i)

( )

x

x

x

f

cos

cos

=

j)

( )

x

x

x

f

sin

sin

=

k)

( )

1

sin

=

x

x

f

dla

π

2

;

0

x

l)

( )

x

x

x

x

f

cos

cos

sin

2

+

=

dla

π

2

;

0

x

ł)

( )

(

)

x

x

f

sin

sgn

=

m)

( )

[ ]

x

x

f

sin

=

x

sin

x

sin

1

x

sin

4

1

cos

2

sin

+

x

x

3

3

2

2

1

log

75

,

0

+

background image

4

n)

( )

(

)

x

x

x

f

sin

sin

2

1

+

=

o)

( )

=

3

2

sin

2

1

π

x

x

f

p)

( ) (

)

2

cos

sin

x

x

x

f

+

=

r)

x

x

y

4

4

sin

cos

=

s)

( )

x

x

x

f

cos

cos

2

+

=

t)

π

π

π

2

;

2

3

cos

=

x

x

y

u)

π

π

;

cos

sin

2

2

=

x

x

x

y

w)

( )

π

2

;

0

cos

cos

=

x

x

x

f

y)

( )

x

x

x

f

cos

sin

2

=

dla

π

π

2

;

2

x

5. Wykazać, że funkcja określona wzorem

( )

1

sin

2

+

=

x

x

x

x

f

jest nieparzysta.

6. Uprościć wyrażenie:

a)

(

)

2

cos

sin

2

sin

1

x

x

x

+

+

b)

π

π

π

π

π

cos

2

3

sin

2

sin

cos

4

3

ctg

2

2

2

2

3

2

3

b

ab

a

b

a

+

+

c)

π

π

π

3

19

cos

2

4

13

tg

3

6

20

sin

3

+

=

x

d)

α

α

α

cos

1

sin

ctg

+

+

=

x

e)

°

°

°

°

=

75

ctg

74

ctg

16

ctg

15

ctg

K

α

x

f)

°

+

°

+

+

°

+

°

=

180

tg

160

tg

40

tg

20

tg

K

x

g)

°

°

=

5

,

112

cos

5

,

112

sin

x

h)

x

x

x

y

3

3

cos

sin

sin

+

=

jeżeli

2

tg

=

x

7. Określić dziedzinę funkcji:

a)

( )

x

x

f

cos

3

=

b)

( )

1

sin

=

x

x

f


c)

d)

( )

(

)

( )

π

;

0

sin

cos

2

1

log

2

+

=

x

x

x

x

f

( )

1

cos

1

+

=

x

x

f

background image

5

e)

( )

x

x

x

x

f

2

cos

4

2

sin

2

sin

5

2

+

=

f)

( )

(

)

(

)

x

x

x

f

cos

2

1

sin

2

1

log

log

2

1

2

1

=

8. Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie:

a)

1

1

cos

+

=

m

x

b)

2

2

1

cos

m

m

x

=

c)

1

2

cos

2

2

+

=

m

m

x

Odp.

)

;

0

m

d) wyznaczyć wszystkie wartości parametru m

R+ dla których równanie

2

4

3

cos

m

m

x

=

ma rozwiązanie w przedziale

2

;

0

π

?

9. Sprawdzić tożsamość:

a)

x

x

x

3

sin

4

sin

3

3

sin

=

b)

4

1

5

2

cos

5

cos

=

π

π

c)

α

α

α

α

α

ctg

sin

2

sin

2

cos

cos

1

=

+

10. Rozwiązać układ równań:

a)

=

+

=

+

2

tg

ctg

2

ctg

tg

y

x

y

x

b)

=

=

+

+

4

16

1

2

2

2

cos

sin

cos

sin

y

x

y

x

11. Wyznaczyć zbiór

(

)

(

)





=

π

2

;

0

sin

1

sin

:

2

x

x

x

x

x

A

12. Rozwiązać układ nierówności

+

+

1

cos

log

cos

sin

cos

sin

sin

3

3

x

x

x

x

x

x

13. Znajdź te wartości parametru

π

α

;

0

dla których rozwiązaniem układu równań

+

=

+

=

+

α

α

sin

1

3

2

sin

y

x

y

x

jest para liczb o jednakowych znakach.

14. Rozwiązać nierówność

+

+

+

4

;

0

0

3

cos

sin

2

2

cos

4

log

log

log

2

4

16

π

x

x

x

x

15. Dla jakich wartości k równanie 3cos x + cos 2x =k ma rozwiązanie ?

background image

6

16. Znaleźć takie x i takie a że

a

a

x

log

1

log

cos

2

+

=

18. Dla jakich a równanie

(

)

(

)

a

a

x

x

=

+

3

log

1

log

cos

sin

3

ma rozwiązanie.

19. Podać liczbę rozwiązań równania

1

1

sin

=

m

x

w zależności od parametru.

20. Wyznaczyć te wartości

2

;

0

π

α

, dla których równanie

0

cos

sin

2

=

+

+

α

α

x

x

ma

dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

21. Rozwiązać graficznie nierówność

π

2

;

0

2

1

cos

x

x

.

22. Rozwiązać układ równań

=

+

=

1

sin

cos

sin

cos

sin

α

α

α

α

α

y

x

y

x

z parametrem

α

.

Dla jakich wartości

α

suma

2

2

y

x

+

jest a) najmniejsza b) największa c) równa 1,5

23. Dla jakich wartości

2

;

0

π

α

liczby

α

α

α

tg

,

cos

,

sin

2

tworzą ciąg geometryczny?

24. Dla jakich

−

2

;

2

π

π

x

suma wszystkich wyrazów ciągu

K

x

x

x

5

3

tg

,

tg

,

tg

jest

równa

2

3

?

25. Udowodnić tożsamość

x

x

x

2

cos

sin

cos

4

4

=

.

26. Obliczyć stosunek sinusów kątów ostrych w trójkącie o wierzchołkach A (4:2), B (3;0), C
(0;-2)
27. Dla jakich wartości parametru

(

)

π

α

2

;

0

równanie

α

cos

2

2

sin

=

x

ma rozwiązanie?

28. Obliczyć miarę kąta

α

-

β

, jeżeli

α

i

β

są kątami ostrymi oraz tg

α

=3 i tg

β

=

2

1

.

29. Dla jakich wartości parametru

π

α

;

0

równanie 3

α

2

cos

3

2

=

x

nie ma rozwiązań?

30. Zbadać liczbę pierwiastków równania tg x +ctg x = m w zależności od parametru m

31. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji

( )

x

x

x

f

cos

sin

1

+

=

w przedziale

2

;

0

π

32. Podać wzór na sinus sumy dwóch kątów. Obliczyć bez pomocy tablic sin 105

°

.

33. Podać definicję funkcji cotangens. Przedstawić w prostszej postaci wyrażenie

(

)

x

x

x

x

cos

sin

2

:

sin

cos

4

4

, a następnie obliczyć jego wartość dla x = 15

°

.

34. Dla jakich wartości parametru

π

α

2

;

0

ciąg o wyrazie ogólnym

1

tg

+

=

α

n

an

jest

ciągiem rosnącym?

35. Dla jakich wartości parametru

α

równanie

(

)

0

1

sin

4

2

=

+

+

x

x

α

ma co najmniej jeden

pierwiastek rzeczywisty.

36. Podać sposób konstrukcji kąta

π

π

α

;

2

takiego, że

5

3

sin

=

α

background image

7

37. Podać najmniejszy pierwiastek równania

x

x

4

sin

2

tg

=

w przedziale

π

π

;

2

38. Pokazać, że równanie

3

cos

sin

2

=

+

x

x

nie ma rozwiązań.

39. Pokazać, że równanie

3

cos

sin

cos

2

=

+

+

x

x

x

nie ma rozwiązań.

40. Podać największy ujemny pierwiastek równania

x

x

6

sin

3

tg

=

.

41. Dla jakich wartości parametru

α

punkt A (1;-1) należy do wykresu funkcji

( )

R

x

x

f

x

=

3

2

sin

α

42. Wykazać, że dla każdego x

R zachodzi nierówność

2

cos

sin

+

x

x

.

43. Wyznaczyć x, jeżeli

6

;

tg

3

;

tg

3

π

β

α

β

=

=

=

x

x

x

44. Dla jakich wartości parametru

α

nierówność

(

)

0

2

cos

cos

3

2

>

+

α

α

x

x

jest prawdziwa

dla każdego x

R ?

45. Która z liczb jest większa:

( )

6

101

sin

9

4

,

0

π

czy

?

46. Dla jakich wartości parametru

α

nierówność

(

)

0

cos

sin

2

sin

2

2

2

+

α

α

α

x

x

jest

spełniona dla każdego

(

)

;

x

?

47. Wiedząc, że funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest różnowartościowa

rozwiązać równanie

(

)

x

f

x

f

cos

3

sin

2

2

=

48. Dla jakiej wartości parametru

β

równanie

2

cos

3

β

=

x

ma rozwiązanie dodatnie?

49. Dla jakiej wartości parametru

α

równanie

α

2

sin

2

=

x

ma rozwiązania ujemne?

50. Dla jakich wartości parametru m równanie

0

2

sin

2

sin

2

=

+

m

x

x

m

ma rozwiązanie?

51. Dla jakich wartości parametru

( )

π

α

;

0

równanie

0

ctg

2

2

=

+

α

x

x

ma dwa różne

pierwiastki rzeczywiste?

52. Znaleźć miejsca zerowe funkcji

( )

(

)

)

π

π

2

;

0

sin

2

sin

=

x

dla

x

x

x

f

53. Podać przedział w którym funkcje

( )

( )

x

x

g

i

x

x

f

sin

sin

=

=

przyjmuje te same

wartości.

54. Doprowadzić do najprostszej postaci wyrażenie:

(

)

(

)

(

)

(

)

x

x

x

x

y

+

°

+

°

°

°

=

270

cos

180

sin

270

cos

180

sin

gdzie x

(0

°

;90

°

)

55. Udowodnić, że równanie

30

1

cos

sin

5

5

=

x

x

jest sprzeczne.

56. Dla jakiej wartości parametru a układ równań



=

=

a

y

x

y

x

cos

cos

4

1

sin

sin

ma rozwiązanie?

57. Przeprowadzić dyskusję rozwiązania równania sin x = k x w zależności od parametru k .
58. Wykaż, że równanie

x

x

sin

sin

log

=

nie ma rozwiązań w zbiorze R .

background image

8

59. Znaleźć zbiór wartości funkcji

( )

x

x

x

f

2

2

sin

cos

1

+

=

60. Niech

π

1992

!

83

sin

=

S

oraz

π

1992

!

83

cos

=

C

. Wykaż, że S < C .

61. Znaleźć miejsce zerowe funkcji

( )

1

sin

2

2

=

x

x

f

.

62. Wykazać, że suma nieskończonego ciągu geometrycznego

K

+

+

x

x

x

6

4

2

sin

sin

sin

1

nie może być równa

2

1

.

63. Wykazać, że dla każdego x

R zachodzi nie równość

51

,

0

cos

sin

x

x

.

64. Dla jakich wartości x wykres funkcji

( )

x

x

x

f

cos

2

sin

2

1

=

,

R

x

przecina oś OX ?

65. Znaleźć zbiór wartości funkcji

( )

x

x

x

x

f

2

2

sin

2

sin

cos

+

+

=

66. Wyznaczyć takie

π

α

2

;

0

, aby prosta o równaniu

0

3

2

4

=

+

y

x

była styczna do

wykresu funkcji

α

2

2

cos

5

+

+

=

x

x

y

67. Dla jakich wartości parametru a równanie

2

4

6

sin

cos

2

=

 −

a

x

x

π

ma rozwiązanie?

68. Narysować zbiór (x, y) takich punktów, że

0

)

cos

(

log

sin

1

+

x

y

x

69. Znaleźć (bez stosowania pochodnej) największą wartość wyrażenia

x

x

w

2

cos

2

2

sin

+

=

w przedziale

π

;

0

70. Podać rozwiązanie równania

2

sin

sin

8

sin

4

2

3

=

+

x

x

x

należące do przedziału

(

)

π

π

4

;

3

.

71. Rozwiąż równanie

(

)

(

)

2

2

2

2

1

ctg

tg

x

x

y

x

y

x

=

+

+

+

72. Dla jakich wartości parametru m równanie

(

)

x

m

x

x

cos

1

2

cos

cos

1

2

=

+

posiada rozwiązanie?

73. Rozwiąż równanie

x

x

x

x

2

cos

4

cos

2

sin

cos

4

=

. Dla jakiej wartości parametru m równanie

to oraz równanie

(

)

x

m

x

m

x

2

sin

2

4

sin

3

sin

+

=

mają wspólne rozwiązanie?

74. Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y, które spełniają równanie

(

)

y

x

y

x

y

x

+

+

=

+

+

2

2

2

4

4

sin

3

ctg

ctg

2

tg

tg

.

75. Dla jakich wartości a równanie:

K

K

+

+

+

=

+

+

3

2

7

5

3

2

sin

2

sin

2

sin

2

sin

a

a

a

x

x

x

x

, gdzie obie strony są sumami

szeregów geometrycznych ma rozwiązanie?







background image

9

ODPOWIEDZI


2.

a)

2

1

b) –cos 10

°

c)

2

3

d) 1

e)

5

5

2

2

cos

=

f)

4

1

g) –1

h)

(

)

p

p

3

1

2

2

1

i)

2

1

j)

4

3

k) sin 2

α

=

25

24

l) 0,98
ł)

m) cos

α

=

5

5

n)

14

27

o)

10

10

cos

,

10

10

3

sin

∝=

∝=

p) 13

r)

4

6

2

s)

2

27

28

t)

2

3

2.

a)(

π

π

k

x

2

4

+

=

π

π

k

x

2

4

3

+

=

)

C

k

b) (

π

π

k

x

2

1

4

+

=

π

π

k

x

2

6

+

=

π

π

k

x

2

6

5

+

=

)

C

k


c) ( x = k

π

π

π

k

x

2

3

+

=

π

π

k

x

2

3

+

=

)

k

C

background image

10

d) x =

2

1

k

π

k

C


e) x =

2

π

+ k

π

k

C


f) x= k

π

k

C


g)

π

π

k

x

2

1

4

+

=

k

C


h)(

π

π

k

x

2

8

+

=

π

π

k

x

+

=

4

)

k

C


i) ( x = 2k

π

π

π

k

x

2

2

+

=

)

k

C


j) (

π

π

k

x

2

6

+

=

π

π

k

x

2

6

5

+

=

)

C

k


k) (x = k

π

π

π

k

x

2

6

+

=

π

π

k

x

2

6

7

+

=

)

C

k


l)

π

π

k

x

+

=

4

k

C

ł) x =

2

π

+2 k

π

k

C

m) x =

2

π

+ k

π

k

C

n)

2

;

12

5

;

12

;

2

;

12

7

;

12

11

π

π

π

π

π

π

o)

π

π

k

x

2

1

4

+

=

k

C

p) (

π

π

k

x

2

1

6

+

=

π

π

k

x

2

1

3

+

=

)

k

C

r) x =

2

π

+2 k

π

x =

π

+2 k

π

k

C

s)

π

π

k

x

4

1

3

+

=

k

C

t)

C

k

k

x

k

x

k

x

+

=

+

=

+

=

π

π

π

π

π

π

2

3

3

6

2

3

u) x = 0

x =

π

4

3

x = 2

π

w)

2

4

2

4

2

2

2

2

+

+

=

+

=

π

π

π

π

k

k

x

k

k

x

5.

a) x

< -

π

;

π

k

4

3

>

(

π

π

;

4

>

b) x =

C

k

k

+

π

π

2

c)

{

}

C

k

k

x

R

x

R

x

=

π

:

\

d) x

( 0 ;

4

π

)

e) x

( 0 ;

6

π

)

(

6

5

π

;

π

)

background image

11

f)

π

π

π

π

π

π

π

2

;

6

11

6

7

;

;

6

5

6

;

0

x

g)

C

k

k

k

x

+

+

〈−

π

π

π

π

2

2

;

2

2

h) x = log

3

(

π

π

k

2

2

+

)

k

N

i)

C

k

k

k

x

+

+

2

8

;

2

8

π

π

π

π

j)

4

7

;

4

5

4

3

;

4

π

π

π

π

x

k)

π

π

k

x

2

2

3

+

l)

C

k

k

k

x

+

+

π

π

π

π

4

3

;

4

ł)

>

<

<

>

π

π

π

π

π

6

11

;

6

7

)

;

6

5

6

;

0

(

x

m) x

>

π

π

2

3

;

(

n)

C

k

k

k

k

k

x

+

+

+

π

π

π

π

π

π

π

2

;

6

5

2

2

6

;

2

o)

π

π

π

π

2

3

;

6

7

2

;

6

x

6. -

5.

17.

b) 1 dla

C

k

k

x

+

=

π

π

4

b) a + b

c)

2

1

=

x

d)

α

sin

1

=

x

e) x = 1
f) x = 0

g)

4

2

=

x

h)

11

10

=

y

18.

a)

C

k

k

k

x

+

+

π

π

π

π

2

2

3

;

2

2

background image

12

b)

+

=

=

C

k

k

x

x

D

π

π

2

2

:

c) .

}

{

π

π

k

x

x

D

2

:

+

=

d)

π

π

;

3

2

x

e)

C

k

i

k

k

x

+

+

π

π

π

π

6

5

;

6

f)

C

k

k

k

x

+

+

π

π

π

π

2

4

5

;

2

6

5

19.

a)

0

m

b)

)

(

+

;

2

1

2

1

;

m

c)

)

;

0

m

d)

( )

(

2

;

1

4

;

m

20.
21.

a) Odp.



+

=

+

=

π

π

π

π

k

y

k

x

4

4

b) Odp.



+

=

+

=



+

=

+

=



+

=

+

=



+

=

+

=

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

k

y

k

x

k

y

k

x

k

y

k

x

k

y

k

x

2

3

5

2

6

11

2

3

2

6

7

2

3

4

2

6

5

2

3

2

2

6

22.

( ) ( )

2

;

1

1

;

0

=

A

23.

2

;

4

π

π

x

24.

π

π

π

π

6

5

;

2

2

;

6

x

25.

4

;

24

5

24

;

0

π

π

π

x

26.

4

;

8

17

k

27.

(

)

C

k

k

x

a

k

x

a

=

=

+

=

=

π

π

π

2

10

2

10

1

19.

101

301

;

101

103

a

19. Dla

(

) ( )

;

2

0

;

m

równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla

( ) ( )

2

;

1

1

;

0

m

nie ma rozwiązań.

background image

13

20.



2

;

12

5

12

;

0

π

π

π

x

21.

π

π

π

π

3

5

;

3

4

3

2

;

3

x

22. a)

C

k

k

=

π

α

b)

C

k

k

+

=

π

π

α

2

c)

C

k

k

+

=

π

π

α

2

1

4

23.

4

π

α

=

24.

6

π

=

x

25. -

26.

5

65

27.

π

π

π

π

α

3

5

;

3

4

3

2

;

3

28.

α

-

β

=

4

π

29.

π

α

π

α

4

3

4

=

=

30.

(

)

;

2

2

;

m

równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; dla

(

)

2

;

2

m

równanie nie ma rozwiązań.

31.

1

;

2

2

=

=

MIN

MAX

y

y

32.

4

2

6

+

33.

3

30

ctg

;

2

2

ctg

=

°

π

k

x

34.

2

3

;

2

;

0

π

π

π

α

35.

π

π

π

π

α

k

k

+

+

6

5

;

6

36. -

37.

8

3

π

=

x

38. -

39. -

40.

12

π

=

x

41..

C

k

k

+

=

π

π

α

2

2

42. -

background image

14

43. x=

2

1

44. Nie ma takiego

α

.

45. -

46.

C

k

k

k

+

+

π

π

π

π

α

2

6

5

;

2

6

47.

C

k

k

x

k

x

+

=

+

=

π

π

π

π

2

3

2

3

48.

(

)

C

k

k

k

+

+

π

π

π

π

β

4

;

4

49.

+

π

π

π

α

k

k

2

;

50.

2

;

2

51.

π

π

α

;

4

52.

π

=

=

x

x

0

53.

π

;

0

np

54. y = 1
55. -

56.

4

3

;

4

3

a

57. Dla k=0 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla

( )

1

;

0

k

równanie ma trzy

rozwiązania (rozwiązań graficznie np. dla k=

2

1

), dla pozostałych wartości k jedno

rozwiązanie.
58. -
59.

2

;

0

60. -

61.

C

k

k

x

+

=

π

π

2

2

3

62. -
63.
-

64.

C

k

k

x

k

x

+

=

+

=

π

π

π

π

2

2

2

65.

2

;

0

66.

C

k

3

5

;

3

4

;

3

2

;

3

π

π

π

π

α

67.

1

3

;

1

3

3

1

;

1

3

+

a

68. -

69.

2

1

max

+

=

w

70.

π

π

6

23

6

19

=

=

x

x

background image

15

71.

C

k

y

k

y

x

+

=

+

+

=

=

π

π

π

π

4

1

4

1

,

1

72..

(

) ( )

;

0

2

;

m

73.

π

π

π

π

π

k

x

k

x

k

x

2

6

5

2

6

+

=

+

=

=

;

( ) { } ( )

;

5

4

1

;

0

m

76.

C

k

k

y

k

x

k

y

k

x

+

=

+

=

+

=

+

=

π

π

π

π

π

π

π

π

4

4

4

4

77.

−

3

1

;

1

a



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
ściąga matma funkcje trygonomertyczne
Funkcje trygonometryczne dowody
funkcje trygonometryczne I, Poziom rozszerzony
Wzory funkcji trygonometrycznych
funkcja trygonomczetryczna GE5VN7HOUAFV3BTLDU2WB6F33YC37MYVXEJVYEQ
Wykresy funkcji trygonometrycznej
FUNKCJA TRYGONOMETRYCZNA
Ca│ki funkcji trygonometrycznych
matematyka funkcja trygonometryczna
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Funkcje trygonometryczne (2)
Funkcje trygonometryczne, Sprawdziany, Liceum, Matematyka
4 Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne
calkowanie funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, Matematyka

więcej podobnych podstron