Krak´

ow, 9.05.2014

Maria Malejki
Wydzia l Matematyki Stosowanej
AGH
——————————————————-

Przyk ladowe typy zada´

n na egzamin z przedmiotu Matematyka 2

dla studi´

ow stacjonarnych pierwszego stopnia na

Wydziale GiG, rok IB

M-W001

1. Oblicz ca lki nieoznaczone:

∫

1

x

2

− 4x + 3

dx;

∫

(x

− 1)e

x

dx.

2. Obliczy´

c ca lki nieoznaczone:

∫

sin x cos 3x dx,

∫

ln(x

2

+ 4)dx

3. Obliczy´

c ca lki nieoznaczone:

∫

x

3

− 2

√

x + 3

x

dx,

∫

√

x

2

+ 4x + 5 dx.

4. Obliczy´

c ca lk¸e z funkcji wymiernej:

∫

−x

4

+ 3x

3

− 3x

2

+ 6x

− 1

(x

2

+ 1)(x

− 3)

dx,

∫

−3x

4

+ 6x

− 1

x

2

− 9

dx.

5. Obliczy´

c ca lki nieoznaczone:

∫

5x

1

− x

2

dx,

∫

4

(x + 3)

5

dx,

∫

5x

x

2

+ 3

dx,

6. Obliczy´

c ca lki nieoznaczone:

∫

x arcsinx

√

1

− x

2

dx,

∫

x

3

+ 2

√

x

− 5

x

dx

7. Obliczy´

c ca lki nieoznaczone:

∫

5 sin x

1

− 4 cos

2

x

dx,

∫

3

− sin x

cos x + 1

dx.

8. Obliczy´

c ca lki nieoznaczone:

∫

2x

√

1 + x

2

dx,

∫

√

5x

2

+ 3dx.

1

9. Obliczy´

c caki oznaczone:

∫

π

0

(2 sin x

− cos x)dx;

∫

2

0

x

3

− 2x + 6

x

2

+ 4

dx.

10. Obliczy´

c ca lk¸e oznaczon¸

a:

∫

0.5

0

arccosx

√

1

− x

2

dx.

11. Obliczy´

c ca lk¸e oznaczon¸

a:

∫

1

0

(

2x

−

2e

x

3 + e

x

)

dx.

12. Obliczy´

c ca lk¸e oznaczon¸

a:

∫

4

0

(x

− 2)e

−x

dx.

13. Zbada´

c zbie˙zno´s´

c ca lek niew la´sciwych:

∫

+

∞

0

xe

−x

dx,

∫

+

∞

1

5

x

2

dx,

∫

1

0

1

3

√

x

dx.

M-U001

1. Obliczy´

c pole obszaru ograniczonego wykresami: hiperboli y =

1
x

i prostej y =

−x +

5
2

.

Wykona´

c rysunek przdstawiaj¸

acy ten obszar.

2. Obliczy´

c pole obszaru ograniczonego wykresami: y =

√

x, y = 2

√

x i y = 1.

3. Obliczy´

c pole obszaru ograniczonego wykresami: y =

−2x

2

+ 3 i y = x.

4. Obliczy´

c obj¸eto´s´

c bry ly obrotowej powsta lej z obrotu dooko la osi OX wykresu funkcji y =

1 + 3

√

x dla x

∈ [0, 4].

5. Obliczy´

c obj¸eto´s´

c bry ly powsta lej przez obr´

ot obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = sin x

dla x

∈ [0, π] i osi¸a OX dooko la osi 0X.

6. Obliczy´

c obj¸eto´s´

c bry ly powsta lej przez obr´

ot obszaru ograniczonego wykresem funkcji y =

cos x dla x

∈ [−

π

2

,

π

2

] i osi¸

a OX dooko la osi 0X.

7. Obliczy´

c d lugo´s´

c krzywej, kt´

ora jest wykresem funkcji y = x

3/2

dla x

∈ [0, 2].

8. Obliczy´

c d lugo´s´

c krzywej danej parametrycznie:

{

x = t

2

y = t

−

1
3

t

3

, t

∈ [−

√

3,

√

3].

9. Obliczy´

c d lugo´s´

c krzywej danej parametrycznie:

{

x = 1 + 2e

t

cos(πt)

y =

−3 + 2e

t

sin(πt), t

∈ [0, 5].

2

10. Obliczy´

c ca lk¸e:

∫

π

−π

∫

1

0

(

sin x

1 + y

2

+ 2xy

)

dydx.

11. Narysowa´

c zbi´

or na p laszczyznie OXY, po kt´

orym jest liczona nast¸epuj¸

aca ca lka iterowana:

∫

1

0

∫

1

x

(e

x

+ 3xy)dydx.

Zamieni´

c poprawnie kolejno´s´

c ca lkowania w tej ca lce i obliczy´

c t¸

a ca lk¸e.

12. Narysowa´

c zbi´

or na p laszczyznie OXY, po kt´

orym jest liczona nast¸epuj¸

aca ca lka iterowana:

∫

π/2

0

∫

1

cos x

f (x, y)dydx.

Zamieni´

c poprawnie kolejno´s´

c ca lkowania w tej ca lce.

13. Narysowa´

c zbi´

or na p laszczyznie OXY, po kt´

orym jest liczona nast¸epuj¸

aca ca lka iterowana:

∫

4

0

∫

√

x

−

√

x

f (x, y)dydx.

Zamieni´

c poprawnie kolejno´s´

c ca lkowania w tej ca lce.

14. Dla K =

{(x, y) : 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4, x, y ≥ 0} obliczy´c warto´s´c ca lki podw´ojnej

∫ ∫

(x

2

+ y

2

)dxdy

K

.

15. Dla K =

{(x, y) : 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ e

2

, y

≥ 0} obliczy´c warto´s´c ca lki podw´ojnej

∫ ∫

ln(x

2

+ y

2

)dxdy

K

.

16. Obliczy´

c ca lk¸e:

∫ ∫

(x

2

− y

2

) dxdy,

D

gdzie D jest zbiorem: D =

{(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.

17. Obliczy´

c ca lk¸e:

∫ ∫

4xy

x

2

−y

2

x

2

+y

2

dxdy,

G

gdzie G jest zbiorem: G =

{(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.

M-U002

1. Rozwi¸

a˙z r´

ownanie kwadratowe w zbiorze liczb zespolonych:

2z

2

+ (6

− 3i)z − 1 − 3i = 0.

3

2. Rozwi¸

a˙z r´

ownanie kwadratowe w zbiorze liczb zespolonych:

z

2

+ (2 + i)z + 2i = 0

3. Czym s¸

a liczby zespolone? Wykona´

c dzia lania na liczbach zespolonych, wynik przedstawi´

c w

postaci kartezja´

nskiej:

a)

3

−5i

1

−i

.

b)

(cos

π

2

+ i sin

π

2

)

· (cos

π

3

+ i sin

π

3

)

4. Poda´

c wzory na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej. Obliczy´

c wszystkie pierwiastki

3-go stopnia dla liczby z = 8.

5. Podaj wz´

or Moivre’a na pot¸egowanie liczb zespolonych i oblicz warto´s´

c

(

cos

π

3

+ i sin

π

3

)12

.

6. Podaj wz´

or Moivre’a na pot¸egowanie liczb zespolonych i oblicz warto´s´

c




1

2

+

i

√

3

2




25

.

7. Podaj wz´

or Moivre’a na pot¸egowanie liczb zespolonych i oblicz warto´s´

c

(1 + i)

11

(

√

3

− i)

7

.

M-W002, M-K001

1. Obliczy´

c wszystkie pochodne cz¸

astkowe 1-go rz¸edu dla funkcji:

f (x, y) =

3x

2

y + y

3

3x

2

+ 2y

2

;

g(x, y, z) = xy + e

y+2z

.

f (x, y) =

x

2

y

− 5y

3

x

2

+ 2y

2

;

f (x, y) = e

x

2

+3y

2

;

f (x, y) =

7x

3

− x

2

y

3

x

2

+ 2y

2

;

f (x, y) = 4xy

x

2

− y

2

x

2

+ y

2

;

f (x, y, z) = x

2

+ 4y

4

+ 3z

2

;

f (x, y, z) = e

xy+zx+yz

;

f (x, y, z) = ln(xy) + ln(

x

z

);

f (x, y, z) = arctg(x

− z) − arctg(yz).

4

2. Obliczy´

c pochodne cz¸

astkowe 2-go rz¸edu:

f (x, y) = e

x

(x

2

y

− 5y

3

);

f (x, y) = arctg(

x

y

);

3. Obliczy´

c wszystkie pochodne cz¸

astkowe 1-go rz¸edu dla funkcji:

f (x, y) = e

x

+ xe

−y

;

g(x, y, z) = xyz

− 3e

z

.

4. Poda´

c warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego dla funkcji r´

o˙zniczkowalnej wielu

zmiennych.
Czy funkcja o dw´

och zmiennych f (x, y) = x

2

+ 4y

4

spe lnia ten warunek konieczny na istnienie

ekstremum lokalnego w jakim´s punkcie?

5. Poda´

c warunek wystarczaj¸

acy na istnienie ekstremum lokalnego dla funkcji r´

o˙zniczkowalnej

dw´

och zmiennych. Czy funkcja

f (x, y) = e

x

2

+3y

2

ma ekstremum w jakim´s punkcie?

6. Wyznaczy´

c wszystkie ekstrema lokalne dla funkcji f (x, x) = e

−y

(x

2

− 2x + 1 + 2y

2

).

7. Wyznaczy´

c wszystkie ekstrema lokalne dla funkcji f (x, x) =

1

x

+

8
y

+ xy, gdy x, y > 0.

M-W003, M-U003, M-K001

1. Sprawdzı´

c czy funkcja y(x) = x(lnx)

2

jest rozwi¸

azaniem r´

ownania r´

o˙zniczkowego:

y

′

−

y

x

= 2

√

y

x

z warunkiem pocz¸

atkowym y(1) = 0.

2. Sprawdzı´

c czy funkcja y(x) = xe

x

2

jest rozwi¸

azaniem r´

ownania r´

o˙zniczkowego : y

′

=

y(2x

2

+1)

x

z

warunkiem pocz¸

atkowym y(1) = e.

3. Rozwi¸

a˙z r´

ownania r´

o˙zniczkowe (o zmiennych rozdzielonych)

y

′

= e

−y

(x

2

+ 3x

− 5);

y

′

= e

y

(2 cos x + 3 sin x).

4. Metod¸

a przewidywania wyznaczy´

c rozwi¸

azanie szczeg´

olne liniowego r´

ownania r´

o˙zniczkowego:

y

′

− 5y = 2e

5x

.

5. Rozwi¸

aza´

c r´

ownania r´

o˙zniczkowe liniowe 1-go rz¸edu:

y

′

+ 3y = 2e

−3x

;

y

′

+ 3y = sin2x + e

x

;

y

′

−

2

x

y = 2x

5

+ 3x

− 1;

y

′

+ 2xy = 2x

3

.

5

6. Rozwi¸

aza´

c r´

ownania r´

o˙zniczkowe liniowe 1-go rz¸edu:

y

′

− 4y = 2 sin 3x;

y

′

−

2

x

y = 5x

3

+ 6x

2

;

y

′

+ 4y = 3e

3x

;

y

′

−

2

x

y = x

4

− 7x

3

.

7. Rozwi¸

aza´

c r´

ownania r´

o˙zniczkowe drugiego rz¸edu:

y

′′

+ 5y

′

+ 4y = 3 sin x;

y

′′

+ 2y

′

+ y = sin x;

y

′′

+ 2y

′

+ y = 4e

−x

;

y

′′

+ 2y

′

+ y = x cos x;

y

′′

+ y = xe

3x

;

6