1

Matematyka 1

Lista 4

1. Obliczyć całki nieoznaczone:

(a)

Z

(3x

3

+ 2

√

x − 1)dx,

(b)

Z

x(x − 1)(x − 2)dx,

(c)

Z

x + 3

x

2

dx,

(d)

Z

2

3

√

x − 3

x

dx, (e)

Z

x

2

+ 2

x

2

+ 1

dx, (f)

Z

x

3

+ 8

x

2

dx, (g)

Z

x

2

x

3

+ 8

dx,

(h)

Z

(9x

2

− x + 1)

2

dx,

(i)

Z

x

2

−

√

x

3

√

x

dx,

(j)

Z

e

x

− 2

x

5

x

dx.

2. Obliczyć całki całkując przez części:

(a)

Z

xe

−3x

dx,

(b)

Z

ln x dx,

(c)

Z

x

2

e

x

dx,

(d)

Z

x ln x dx,

(e)

Z

ln x

x

2

dx, (f)

Z

√

x ln x dx, (g)

Z

arctg x dx, (h)

Z

(ln x)

2

dx.

3. Obliczyć całki całkując przez podstawienie:

(a)

Z

x

√

x

2

+ 1 dx,

(b)

Z

(5 − 3x)

10

dx,

(c)

Z

√

a + bx dx,

(d)

Z

xe

x

2

dx,

(e)

Z

x

x

4

+ 1

dx,

(f)

Z

ln

2

x

x

dx,

(g)

Z

ln x

x

dx.

4. Obliczyć całki:

(a)

Z

dx

x

2

+ 2x + 8

,

(b)

Z

x(x + 2) dx

x

2

+ 2x + 2

,

(c)

Z

x

2

dx

x

2

+ 2x + 5

,

(d)

Z

x dx

x

3

+ 1

,

(e)

Z

dx

x

3

− 4x

,

(f)

Z

2x

4

+ 5x

2

− 2

2x

3

− x − 1

dx.

5. Obliczyć całki oznaczone:

(a)

Z

2

0

3x − 1

3x + 1

dx,

(b)

Z

1

−1

(x

3

− x + 1)dx,

(c)

Z

2

−1

|x|dx.

6. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym

przyspieszeniem a(t) = a, gdy v(0) = v

0

i s(0) = s

0

.

7. Obliczyć całki stosując podstawienie:

(a)

Z

4

0

dx

1 +

√

x

, x = t

2

(b)

Z

1

0

e

x

e

2x

+ 1

dx,

(c)

Z

−2

−3

dx

x

2

+ 2x + 1

.

8. Obliczyć całkując przez części:

(a)

Z

2

0

xe

−x

dx,

(b)

Z

1

0

x

2

arctg xdx,

(c)

Z

e

1

 ln x

x



2

dx.

2

9. Obliczyć pole obszaru ograniczonego

(a) parabolami y = x

2

, y

2

= x,

(b) parabolą y = 2x − x

2

i prostą x + y = 0,

(c) krzywą y = ln x, osią 0x i prostą x = e,

(d) krzywą y = (1 −

x
2

)

5

i osiami układu.

10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t − t

2

)

m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili zatrzymania
się?

11. Obliczyć długość krzywej:

(a) 9y

2

= 2x

3

, 0 ≤ x ≤ 2,

(b) y = ln(1 − x

2

), 0 ≤ x ≤

1

2

.

12. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y

2

= 4x dla 0 ≤ x ≤ 3

dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią i płaszczyzną x = 3.

13. Posługując się całką oznaczoną wyprowadzić wzór na objętość kuli i pole powierzchni

sfery o promieniu r.

14. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z(x, y) i na tej podstawie naszkicować te

wykresy:

(a) 3x + 2y + z − 6 = 0, (b) z

2

= x

2

+ y

2

, (c) z = x

2

+ y

2

, (d) z = xy.

15. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji:

(a) z = xy,

(b) z = xe

xy

,

(c) z = x

2

y + ln(xy).

16. Znaleźć ekstrema funkcji z = z(x, y):

(a) z = x

2

+ xy + y

2

− 2x − y,

(b) z = x

3

y

2

(6 − x − y).

17. Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z(x, y) w podanym obszarze:

(a) z = x

2

+ 2xy − 4x + 8y w obszarze D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2,

(b) z = x

3

+ y

2

− 3x − 2y − 1 w obszarze D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1,

(c) z = x

2

− xy + y

2

w obszarze D : |x| + |y| ≤ 1.

18. Wyznaczyć odległość punktu A = (0, 3, 0) od powierzchni y = zx.

19. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich, aby

ich iloczyn był największy

20. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m

3

. Do budowy ścian maga-

zynu używane są płyty w cenie 30 zł/m

2

, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m

2

, a

sufitu – 20 zł/m

2

. Znaleźć długość a, szerokość b i wysokość c magazynu, którego

koszt budowy będzie najmniejszy.

21. Metodą mnożników Lagrange’a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) przy

danym warunku g(x, y) = 0:
(a) f (x, y) = x

2

+ y

2

, g(x, y) = xy − 1,

(b) f (x, y) = x

3

+ y

3

, g(x, y) = x + y − 2, x ≥ 0, y ≥ 0,

(c) f (x, y) = 1/x + 1/y, g(x, y) = 1/x

2

+ 1/y

2

− 1, x 6= 0, y 6= 0.

3

Wskazówki i odpowiedzi

1. a) (3/4)x

4

+ (4/3)x

√

x − x + c, b) x

4

/4 − x

3

+ x

2

+ c, c) ln x − 3/x + c, d) 6

3

√

x − 3 ln x + c;

e) x − arctg x + c, f) (1/3) ln(x

3

+ 8) + c, h) 81/5x

5

− 18/4x

4

+ 19/3x

3

− x

2

+ x + c, i)

3/8

3

√

x

8

− 6/7

6

√

x

7

. 2. a) −e

−3x

(3x + 1)/3 + c, b) x ln x − x + c, c) x

2

(2 ln x − 1)/4 + c, d)

−(1 + ln x)/x + c, e) x arctg x − (1/2) ln(x

2

+ 1) + c, f) x(ln x)

2

− 2x ln x + 2x + c. 3. a)

e

x

2

/2 + c, b) −(5 − 3x)

11

/33 + c, c) (

√

x

2

+ 1)

3

/3 + c, d) (ln x)

2

/2 + c, e) (1/2)arctg(x

2

) + c,

f) 2(

√

a + bx)

3

/3b + c. 4. a) (1/

√

7)arctg((x + 1)/

√

7) + c, b) x − 2arctg(x + 1) + c, c) x −

ln(x

2

+2x+5)−(3/2)arctg((x+1)/2)+c, d) (1/6) ln((x

3

+1)/(x+1)

3

)+(1/

√

3)arctg((2x−

1)/

√

3) + c, e) (1/8) ln((x

2

− 4)/x) + c, f) x

2

/2 + ln |2x

3

− x − 1| + arctg(2x + 1) + c. 5.

a) 2 − (2 ln 7)/3, b) 2, c) 5/2. 6. v(t) = at + v

0

, s(t) = at

2

/2 + v

0

t + s

0

. 7. a) 4 − 2 ln 3,

b) artctg e − π/4, c) 1/2. 8. a) 1 − 3/e

2

, b) π/12 − (1 − ln 2)/6, c) 2 − 5/e. 9. a) 1/3, b)

9/2, c) 1, d) 1/3. 10. s =

R

12

0

(12t − t

2

)dt = 288 m.

11. a) 8(2

√

2 − 1)/3, b) ln 3 − 1/2. 12. D = 56π/3, V = 18π. 14. a) płaszczyzna;

b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) „siodło”. 15. a) z

x

= y, z

y

= x, z

xy

= z

yx

=

1, z

xx

= z

yy

= 0; b) z

x

= (xy + 1)e

xy

, z

y

= x

2

e

xy

, z

xy

= z

yx

= (2x + x

2

y)e

xy

, z

xx

=

(2y + xy

2

)e

xy

, z

yy

= x

3

e

xy

; c) z

x

= 2xy + 1/x, z

y

= x

2

+ 1/y, z

xy

= z

yx

= 2x, z

xx

=

2y − 1/x

2

, z

yy

= −1/y

2

. 16. a) z

min

= z(1, 0) = −1; b) z

max

= z(3, 2) = 72. 17. a)

−3, 17; b) −4, −1; c) 0, 1. 18.

√

5. 19. a/3 + a/3 + a/3. 20. a = b = c = 4. 21.

a) w (1, 1) i w (−1, −1) min = 2; b) w (1, 1) min = 2; c) w (−

√

2, −

√

2) min = −

√

2, w

(

√

2,

√

2) max =

√

2.

Matematyka 2 – Lista 5

4

Matematyka 2

Lista 5

1. Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach:

(a)

Z Z

D

dxdy

(x + y + 1)

3

, gdzie D = [0, 1] × [0, 2];

(b)

Z Z

D

x sin xy dxdy, gdzie D = [0, 1] × [π, 2π];

(c)

Z Z

D

e

2x−y

dxdy, gdzie D = [0, 1] × [−1, 0];

2. Całkę podwójną

Z Z

D

f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograni-

czony jest krzywymi o równaniach:

(a) x

2

+ y = 2, y

3

= x

2

;

(b) x

2

+ y

2

= 4, y = 2x − x

2

, x = 0 (x, y ≥ 0);

(c) x

2

− 4x + y

2

+ 6y − 51 = 0;

(d) x

2

− y

2

= 1, x

2

+ y

2

= 3 (x < 0).

3. Obliczyć podane całki iterowane:

a)

Z

1

0

dx

Z

x

2

x

3

y

x

2

dy;

b)

Z

4

1

dx

Z

2x

x

x

2

√

y − x dy;

c)

Z

2

−2

dx

Z

√

4−x

2

0

(x

3

+ y

3

) dy;

d)

Z

3

0

dy

Z

y

0

p

y

2

+ 16 dx.

Narysować obszary całkowania.

4. Obliczyć podane całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzy-

wymi:

(a)

Z Z

D

xy

2

dxdy, D : y = x, y = 2 − x

2

;

(b)

Z Z

D

x

2

y dxdy, D : y = −2, y =

1

x

, y = −

√

−x;

(c)

Z Z

D

(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x

2

(x ≥ 0);

(d)

Z Z

D

(xy + 4x

2

) dxdy, D : y = x + 3, y = x

2

+ 3x + 3;

(e)

Z Z

D

e

x

2

dxdy, D : y = 0, y = 2x, x =

√

ln 3;

(f)

Z Z

D

x

2

e

xy

dxdy, D : y = 1, y = x, x = 0.

Matematyka 2 – Lista 5

5

5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych

obszarach:

(a)

Z Z

D

xy dxdy, D = {(x, y) ∈ R

2

: x ≥ 0, 1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 2};

(b)

Z Z

D

y

2

e

x

2

+y

2

dxdy, D = {(x, y) ∈ R

2

: x ≥ 0, y ≥ 0, x

2

+ y

2

≤ 1};

(c)

Z Z

D

(x

2

+ y

2

) dxdy, D = {(x, y) ∈ R

2

: y ≥ 0, y ≤ x

2

+ y

2

≤ x}.

6. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

a) x

2

+ y

2

= 2y, y =

√

3|x|;

b) x

2

+ y

2

− 2y = 0, x

2

+ y

2

− 4y = 0;

c) |x| + |y| = 1;

d) y

2

= 4x, x + y = 3, y = 0 (y ≥ 0).

7. Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami

a) x

2

+ y

2

− 2y = 0, z = x

2

+ y

2

, z = 0;

b) x

2

+ y

2

+ z

2

− 2z = 0;

c) x

2

+ y

2

= 1, x + y + z = 3, z = 0;

d) x

2

+ y

2

+ z

2

= 9, x

2

+ y

2

= 1.

8. Obliczyć pola płatów:

(a) z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

≤ 1;

(b) x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, x

2

+ y

2

− Rx ≤ 0, z ≥ 0;

(c) z =

px

2

+ y

2

, 1 ≤ z ≤ 2.

Matematyka 2 – Lista 6

6

Matematyka 2

Lista 6

1. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:

a)

∞

X

n=0

 5

6



n

;

b)

∞

X

n=2

n − 1

n!

;

c)

∞

X

n=1

1

(2n − 1)(2n + 1)

;

d)

∞

X

n=1

1

√

n + 1 +

√

n

.

2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów

a)

∞

X

n=1

1

n

2

+ 2

;

b)

∞

X

n=1

n + 1

n

2

+ 1

;

c)

∞

X

n=1

sin(

π

2

n

);

d)

∞

X

n=1

3

n

+ 1

n3

n

+ 2

n

;

e)

∞

X

n=1

2

n

+ 1

3

n

− 1

;

f)

∞

X

n=1

1

(n + 1)2

n

.

3. Korzystając z kryterium d’Alamberta zbadać zbieżność podanych szeregów

a)

∞

X

n=1

3

n

n

3

;

b)

∞

X

n=1

100

n

n!

;

c)

∞

X

n=1

n!

n

n

;

d)

∞

X

n=1

3

n

+ 1

n3

n

+ 2

n

;

e)

∞

X

n=1

2

n

+ 1

n

5

+ 1

;

f)

∞

X

n=1

1

n2

n

.

4. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów

a)

∞

X

n=1

(n + 1)

2n

(n

2

+ 1)

n

;

b)

∞

X

n=1

2

n

+ 3

n

4

n

+ 3

n

;

c)

∞

X

n=1

 2n + 1

3n + 1



n

;

d)

∞

X

n=1

3

n

n3

n

+ 2

n

;

e)

∞

X

n=1

 n + 2

n + 3



n

2

;

f)

∞

X

n=1

1

n2

n

.

5. Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych:

a)

∞

X

n=1

x

n

n2

n

;

b)

∞

X

n=1

n(x − 2)

n

;

c)

∞

X

n=1

(x + 3)

n

n

3

;

d)

∞

X

n=1

x

n

2

n

+ 3

n

;

e)

∞

X

n=1

n

n

2

+ 1

(x + 1)

n

;

f)

∞

X

n=1

x

n

n!

6. Znaleźć szeregi MacLaurina podanych funkcji i ustalić przedziały ich zbieżności:

a)

4x

x + 2

;

b) x sin(2x);

c) cos

2

(x);

d)

1 − x

1 + x

2

;

e) xe

−2x

;

f)

e

2x

− 1

x

;

g)

x

9 + x

2

;

h) cos(

x

2

).

7. Korzystając z twierdzeń o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregów obliczyć sumy

podanych szeregów

a)

∞

X

n=1

n2

n

3

n

;

b)

∞

X

n=1

2n + 1

4

n

;

c)

∞

X

n=1

n + 2

n5

n

;

d)

∞

X

n=1

n

2

2

n

;

e)

∞

X

n=1

n

3

n

;

f)

∞

X

n=1

1

(n + 1)2

n

.

Z list zadań opracowanych przez dr hab.M.Wilczyńskiego