24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

1

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

2

Podstawy

matematyczne

Podstawy

matematyczne

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

3

Podstawy matematyczne

Podstawy matematyczne

Teoria układów cyfrowych oparta jest na podstawach

logiki matematycznej.

Wykorzystuje się rachunek zdań i zbiorów oraz algebrę

Boole’a

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

4

Rachunek zdań

Rachunek zdań

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

5

Rachunek zdań

Rachunek zdań

Rachunek zdań jest częścią logiki matematycznej.

Zajmuje się on zdaniami, którym można przyporządkować wartość logiczną

prawdy albo fałszu

Zdaniu p prawdziwemu przyporządkowujemy wartość logiczną w(p)

1

lub T(ang.

True).

Zdaniu p fałszywemu przyporządkowujemy wartość logiczną w(p)

0

lub F(ang.

False).

np.

3+7= 10



zdanie prawdziwe



w(p) = 1

Tydzień ma 5 dni



zdanie fałszywe



w(p) = 0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

6

Rachunek zdań

Rachunek zdań

Zdania łączą spójniki zdaniowe.

Spójniki mogą być zwrotami dwuargumentowymi, np..:

• i

zdanie p i q nazywamy

koniunkcją

• lub

zdanie p lub q nazywamy

alternatywą

• jeżeli ... to ...

zdanie jeżeli p to q nazywamy

implikacją

• ... wtedy i tylko wtedy ...

zdanie p wtedy i tylko wtedy q nazywamy

równoważnością

lub zwrotem jednoargumentowym:

•

nieprawda, że ...

zdanie nieprawda, że p nazywamy

negacją

p

i

q

nazywamy zmiennymi zdaniowymi

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

7

Rachunek zdań

Rachunek zdań

Spójniki oznacza się symbolami.

• Koniunkcja

p  q, pq, pq,

pq

• Alternatywa

p  q, pq,

p+q

•

• Implikacja

p  q,

pq

, pq

• Równoważność

p  q,

pq

, pq

• Negacja

¬p , p,

p’,

p

_

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

8

Rachunek zdań

Rachunek zdań

Definicje spójników zdaniowych

Zdanie

Koniunkcja Alternatywa Implikacja

Równoważność

Negacja

Zmienne

zdaniowe

p

q

p  q

p  q

pq

pq

p’

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

9

Rachunek zdań

Rachunek zdań

W rachunku zdań formułuje się następujące prawa i twierdzenia:

Prawa

Koniunkcja

Alternatywa

Idempotentność

p  p  p p



p  p

Przemienność

p  q  q  p p



q  q  p

Łączność

p(qr)  (pq)r p(qr)  (pq)r

Pochłanianie

p  (p  q)  p p



(p  q)  p

Własności stałych

p  0  0
p  1  p

p  0  p

p  1  1

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

10

Rachunek zdań

Rachunek zdań

W rachunku zdań formułuje się następujące prawa i twierdzenia:

Prawa

Prawo koniunkcji względem alternatywy

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

Prawo alternatywy względem koniunkcji

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

Prawo podwójnego przeczenia

(p’)’  p

Prawo wyłączonego środka

p  p’  1

Prawo sprzeczności

p  p’  0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

11

Rachunek zdań

Rachunek zdań

W rachunku zdań formułuje się następujące prawa i twierdzenia:

Prawa De Morgana

(p  q)’  p’  q’ (p



q)’  p’  q’

p

q

p  q (p  q)’

p’

q’

p’  q’

0

0

O

1

1

1

1

0

1

O

1

1

0

1

1

0

O

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

p

q

p  q (p  q)’

p’

q’

p’  q’

0

0

O

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

12

Rachunek zbiorów

Rachunek zbiorów

Podstawy matematyczne

Podstawy matematyczne

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

13

Rachunek zbiorów

Rachunek zbiorów

W rachunku zbiorów formułuje się podobne prawa i twierdzenia jak w

rachunku zdań.

A  B

A  B

B-A

A-B

(A  B)’ = A’  B’

A

B

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

14

Rachunek zbiorów

Rachunek zbiorów

Jeżeli w danej przestrzeni U znajduje się n nierozłącznych podzbiorów to

całą przestrzeń można podzielić na 2

n

rozłącznych podzbiorów

1

4

3

2

A

B

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

15

Rachunek zbiorów

Rachunek zbiorów

Czy każdy rozłączny podzbiór można zapisać w postaci iloczynu zbiorów

nierozłącznych?

A  B

A’  B

A  B’

A’  B’

A

B

Całą przestrzeń U można zapisać jako sumę podzbiorów rozłącznych.

U = A’ B’ + A’ B + A B’ + A B

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

16

Rachunek zbiorów

Rachunek zbiorów

Czy każdy rozłączny podzbiór można zapisać w postaci sumy zbiorów

nierozłącznych?

(A’



B’)’

(A  B’)’

(A’  B)’

(A  B)’

A

B

Całą przestrzeń U można zapisać jako iloczyn podzbiorów nierozłącznych.

U = (A’+B’)’+(A’+B)’+(A+B’)’+(A+B)’=

= [

(A’+B’)(A’+B)(A+B’)(A+B)]’

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

17

Algebra Boole’a

Algebra Boole’a

Podstawy matematyczne

Podstawy matematyczne

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

18

Algebra Boole’a

Algebra Boole’a

Nazwa pochodzi od nazwiska jednego z jej twórców –

George’a Boole’a

Algebra Boole’a operuje na:

• zbiorze 2-elementowym

U = {0, 1}

•

określonych w nim dwóch działaniach (operatorach)

dwuargumentowych: mnożeniu (AND)

•

i dodawaniu (OR)

+

, oraz

jednym działaniu jednoargumentowym: dopełnieniu (NOT)

'

,

•

dla wszystkich elementów zbioru U spełniony jest zespół spójnych

aksjomatów i praw

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

19

Aksjomaty i twierdzenia

Aksjomaty i twierdzenia

Aksjomaty i twierdzenia

Domkniętość (closure)

działań w zbiorze

Dla każdej pary elementów x i y

ze zbioru U zachodzi:

x + y  U
x  y  U

Elementy stałe

(identity elements)

Dla każdego elementu x ze zbioru

U zachodzi:

x + 0 = x

x  1 = x

Rozdzielność

(distributivity)

Dla dowolnych elementów x, y i z

ze zbioru U zachodzi:

x  (y+z) = xy + xz

x+(yz) = (x+y)(x+z)

Komplementarność

(complement)

Dla każdego elementu x ze zbioru

U zachodzi:

x + x’ = 1

x  x’ = 0

Zasada dualności

W obrębie danego prawa każdy

związek można otrzymać przez

zamianę operatorów binarnych i

stałych:

+



 



+

O  1 1  0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

20

Aksjomaty i twierdzenia

Aksjomaty i twierdzenia

Aksjomaty i twierdzenia

Idempotentność

Dla każdego elementu x ze

zbioru U zachodzi:

x + x = x
x  x = x

Jednoznaczność

negacji

Jeżeli x  U, to istnieje tylko

jeden element x’ U

Podwójna negacja

Dla każdego elementu x ze

zbioru U zachodzi:

(x’)’ = x

Dominacja

Dla każdego elementu x ze

zbioru U zachodzi:

x + 1 = 1

x  0 = 0

Upraszczanie

Dla każdej pary elementów x i y

ze zbioru U zachodzi:

x + (x’ y) = x + y

x  (x’+ y) = x  y

Prawa De Morgana

Dla każdej pary elementów x i y

ze zbioru U zachodzi:

(x  y)’ = x’ + y’

(x +y)’ = x’  y’

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

21

Zasady działania funkcji (operatorów)

Zasady działania funkcji (operatorów)

+ (OR)

x

y

z

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

• (AND)

x

y

z

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

‘ (NOT)

x

z

0

1

1

0

Kolejność działania operatorów:

(1) nawiasy

(2) NOT
(3) AND

(4) OR

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

22

Funkcje logiczne (przełączajace)

Funkcje logiczne (przełączajace)

Funkcją logiczną jest

przyporządkowanie każdej n-elementowej kombinacji wejściowej

x

n

.... x

2

x

1

, x

i



U

pewnej m-elementowej kombinacji wyjściowej

y

m

.... Y

2

y

1

, y

i



U

. . .

Funkcja

logiczna

. . .

1

2

n

1

2

m

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

23

Funkcja logiczna

Funkcja logiczna

Każdą funkcję logiczną można jednoznacznie określić

podając tylko dla jakich wartości zmiennych przyjmuje

wartość 1.

Dla wszystkich pozostałych wartości zmiennych funkcja logiczna musi

przyjąć wartości 0

Każdą funkcję logiczną można jednoznacznie określić

podając tylko dla jakich wartości zmiennych przyjmuje

wartość 0.

Dla wszystkich pozostałych wartości zmiennych funkcja logiczna musi

przyjąć wartości 1

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

24

Funkcja logiczna MINTERM

Funkcja logiczna MINTERM

Minterm jest funkcją logiczną n zmiennych, która przyjmuje wartość 1 tylko

dla jednej kombinacji tych zmiennych

Dla n zmiennych istnieje 2

n

mintermów

Dec. x

2

x

1

x

0

Minterm

0

0

0

0

x’

2

x’

1

x’

0

1

0

0

1

x’

2

x’

1

x

0

2

0

1

0

x’

2

x

1

x’

0

3

0

1

1

x’

2

x

1

x

0

4

1

0

0

x

2

x’

1

x’

0

5

1

0

1

x

2

x’

1

x

0

6

1

1

0

x

2

x

1

x’

0

7

1

1

1

x

2

x

1

x

0

F
1
1
0
0
0
1
1
1

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

25

Funkcja logiczna MAXTERM

Funkcja logiczna MAXTERM

Maxterm jest funkcją logiczną n zmiennych, która przyjmuje wartość 0 tylko

dla jednej kombinacji tych zmiennych

Dla n zmiennych istnieje 2

n

maxtermów

Dec.

x

2

x

1

x

0

F

Maxterm

0

0

0

0

1

x

2

+x

1

+x

0

1

0

0

1

1

x

2

+x

1

+x’

0

2

0

1

0

0

x

2

+x’

1

+x

0

3

0

1

1

0

x

2

+x’

1

+x’

0

4

1

0

0

0

x’

2

+x

1

+x

0

5

1

0

1

1

x’

2

+x

1

+x’

0

6

1

1

0

1

x’

2

+x’

1

+x

0

7

1

1

1

1

x’

2

+x’

1

+x’

0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

26

Forma funkcji

Forma funkcji

Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:

1) Algebraiczna (standardowa)

F = x

0

x’

1

x

2

+ x

1

’x’

2

+ x

1

x

2

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

27

Forma funkcji

Forma funkcji

Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:

2) Tablica prawdy

Dec.

x

2

x

1

x

0

F

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

2

0

1

0

0

3

0

1

1

0

4

1

0

0

0

5

1

0

1

1

6

1

1

0

1

7

1

1

1

1

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

28

Forma funkcji

Forma funkcji

Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:

3) Kanoniczna (decymalna)

De

c

x

2

x

1

x

0

F

Minterm

0

0

0

0

1

x’

2

x’

1

x’

0

1

0

0

1

1

x’

2

x’

1

x

0

2

0

1

0

0

x’

2

x

1

x’

0

3

0

1

1

0

x’

2

x

1

x

0

4

1

0

0

0

x

2

x’

1

x’

0

5

1

0

1

1

x

2

x’

1

x

0

6

1

1

0

1

x

2

x

1

x’

0

7

1

1

1

1

x

2

x

1

x

0

F = x’

2

x’

1

x’

0

+ x’

2

x’

1

x

0

+

+ x

2

x’

1

x

0

+ x

2

x

1

x

’

0

+

+ x

2

x

1

x

0

=  (

0,1,5,6,7

)

Każdą funkcję logiczną można zapisać

jednoznacznie jako sumę mintermów

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

29

Forma funkcji

Forma funkcji

Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:

3) Kanoniczna (decymalna)

De

c.

x

2

x

1

x

0

F

Maxterm

0

0

0

0

1

x

2

+x

1

+x

0

1

0

0

1

1

x

2

+x

1

+x’

0

2

0

1

0

0

x

2

+x’

1

+x

0

3

0

1

1

0

x

2

+x’

1

+x’

0

4

1

0

0

0

x’

2

+x

1

+x

0

5

1

0

1

1

x’

2

+x

1

+x’

0

6

1

1

0

1

x’

2

+x’

1

+x

0

7

1

1

1

1

x’

2

+x’

1

+x’

0

F = (x

2

+x’

1

+x

0

)(x

2

+x’

1

+x’

0

)

(x’

2

+x

1

+x

0

) = (

2,3,4

)

Każdą funkcję logiczną można zapisać

jednoznacznie jako iloczyn maxtermów

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

30

Forma funkcji

Forma funkcji

D

x

2

x

1

x

0

F

Minterm

0

0

0

0

1 x’

2

x’

1

x’

0

1

0

0

1

1

x’

2

x’

1

x

0

2

0

1

0

0

x’

2

x

1

x’

0

3

0

1

1

0

x’

2

x

1

x

0

4

1

0

0

0

x

2

x’

1

x’

0

5

1

0

1

1

x

2

x’

1

x

0

6

1

1

0

1

x

2

x

1

x’

0

7

1

1

1

1

x

2

x

1

x

0

Istnieje 4 formy przedstawiania funkcji boolowskich:

4) Tablice Karnaugh

Tablica Karnaugh jest uporządkowaną strukturą prostokątną złożoną z 2

n

kratek, z

których każda reprezentuje jeden minterm;

dowolne dwie sąsiednie kratki różni tylko wartość jednej zmiennej

x

3

x

2

x

1

x

0

00 01 11 10

00

0

4

12

8

01

1

5

13

9

11

3

7

15

11

10

2

6

14

10

x

2

x

1

x

0

0

1

00

0

4

01

1

5

11

3

7

10

2

6

x

1

x

0

0

1

0

0

2

1

1

3

1

0

1

1

0

1

0

1

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

31

Symbole

Symbole

Podstawy matematyczne

Podstawy matematyczne

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

32

Symbole

Symbole

Schemat logiczny funkcji można otrzymać bezpośrednio z jej

analitycznej postaci przez zastąpienie operatorów symbolami bramek

NOT

NOT

AND

AND

OR

OR

Np. F = xy + z’

Np. F = xy + z’

X

X

X

X

X

X

YY

YY

FF

FF

FF

x

Y

z

F

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

33

Symbole bramek

Symbole bramek

+ (OR)

x

y

F

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

• (AND)

x

y

F

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Bufor

x

F

0

0

1

1

Bufor

Bufor

AND

AND

OR

OR

X

X

X

X
YY

FF

FF

X

X

YY

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

34

Symbole bramek

Symbole bramek

+ (NOR)

x

y

F

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

• (NAND)

x

y

F

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Inverter

x

F

0

1

1

0

Zaprzeczenie (NOT)

Zaprzeczenie (NOT)

Układy cyfrowe częściej są konstruowane z bramek NAND i NOR niż z bramek AND i

OR. Wynika to z faktu, że bramki NAND i NOR zbudowane są z mniejszej ilości

tranzystorów, przez co są tańsze i łatwiejsze w produkcji.

NOT

NOT

NAND

NAND

NOR

NOR

X

X

X

X

X

X

YY

YY

FF

FF

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

35

Symbole bramek

Symbole bramek

Exclusive-NOR (XNOR)

x

y

F

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Exclusive-OR (XOR)

x

y

F

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

X

X

YY

FF

X

X

YY

FF

XOR = x’y +xy’

XNOR = x’y’ +xy

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

36

Inverter zbudowany z bramki NAND

Inverter zbudowany z bramki NAND

x

F

x=y

F

0

1

0

1

1

0

1

0

xx

xx

FF

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

37

Inverter zbudowany z bramki NOR

Inverter zbudowany z bramki NOR

x

F

x=y

F

0

1

0

1

1

0

1

0

xx

FF

xx

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

38

AND zbudowana z bramek NAND

AND zbudowana z bramek NAND

x

y

F

x

1

F

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

[(xy)’]’ = xy

[(xy)’]’ = xy

xx

yy

FF

xx

yy

x1

x1

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

39

OR zbudowana z bramek NOR

OR zbudowana z bramek NOR

x

y

F

x

1

F

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

[(x+y)’]’ = x + y

[(x+y)’]’ = x + y

x1

x1

FF

X

X
YY

xx

yy

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

40

OR z budowana z bramek NAND

OR z budowana z bramek NAND

Na podstawie prawa De Morgana

(x +y)’ = x’ y’  [(x +y)’]’ = [x’ y’]’ 

x + y = [x’ y’]’

Na podstawie prawa De Morgana

(x +y)’ = x’ y’  [(x +y)’]’ = [x’ y’]’ 

x + y = [x’ y’]’

x

y

F

x

1

y

1

F

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

FF

x1

x1

y1

y1

xx
yy

xx

yy

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

41

AND zbudowana z bramek NOR

AND zbudowana z bramek NOR

Na podstawie prawa De Morgana

(x y)’ = x’ + y’  [(x y)’]’ = [x’ + y’]’ 

xy = [x’ + y’]’

Na podstawie prawa De Morgana

(x y)’ = x’ + y’  [(x y)’]’ = [x’ + y’]’ 

xy = [x’ + y’]’

x

y

z

x

1

y

1

z

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

xx

x1

x1

yy

y1

y1

FF

xx

yy

FF

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

42

XOR zbudowana z bramek NOT, OR i

AND

XOR zbudowana z bramek NOT, OR i

AND

Na podstawie sumy mintermów

XOR = x’y + xy’

x’y

x’y

xy’

xy’

FF

xx

yy

x

y

Minterm

F

0

0

x’y’

0

0

1

x’y

1

1

0

xy’

1

1

1

xy

0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

43

XOR zbudowana z bramek NAND

XOR zbudowana z bramek NAND

XOR = x’y + xy’ = x’y +

yy’

+ xy’ +

xx’

=

= (x’+y’)y +(x’+y’)x = (xy)’y +(xy)’x =

= [((xy)’y)’ ((xy)’x)’]’

(xy)’

(xy)’

XOR

XOR

xx

yy

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

44

XNOR zbudowana z bramek NOT, OR i

AND

XNOR zbudowana z bramek NOT, OR i

AND

Na podstawie sumy mintermów

XNOR = x’y’ +xy

x’y’

x’y’

xy

xy

FF

xx

yy

x

y

Minterm

F

0

0

x’y’

0

0

1

x’y

1

1

0

xy’

1

1

1

xy

0

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

45

XNOR

XNOR

Na podstawie sumy mintermów

XNOR = (XOR)’

(xy)’

(xy)’

XNOR

XNOR

xx

yy

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

46

Przykład zastosowania

Przykład zastosowania

F = xy + z’ = [(xy)’z]’

F = xy + z’

zz

xx

yy

FF

z

x

y

F

xx

yy

x

y

zzz

FFF

X X

X

X

xx

YY

FF

zz

x

Y

F

z

24 kwietnia 2013

Wojciech Kucewicz

47

Przykład zastosowania

Przykład zastosowania

F = xy + z’ = [[(x’ + y’)’ + z’]’]’ = (x’ + y’)’ + z’

F = xy + z’

F = xy + z’

zz

xx

yy

FF

z

x

y

F

xx

yy

x

y

zzz

FFF

F = x’

2

x’

1

x’

0

+ x’

2

x’

1

x

0

+ x

2

x’

1

x

0

Przykład zastosowania MINTERMów

D

ec x

2

x

1

x

0

F

Minterm

0

0

0

0

1

x’

2

x’

1

x’

0

1

0

0

1

1

x’

2

x’

1

x

0

2

0

1

0

0

x’

2

x

1

x’

0

3

0

1

1

0

x’

2

x

1

x

0

4

1

0

0

0

x

2

x’

1

x’

0

5

1

0

1

1

x

2

x’

1

x

0

6

1

1

0

0

x

2

x

1

x’

0

7

1

1

1

0

x

2

x

1

x

0

Każdą funkcję logiczną można zapisać jednoznacznie jako sumę mintermów

Każdy minterm można zastąpić bramką AND, a sumę mintermów zrealizować przy

pomocy bramki OR

x

2

x

1

x

0

x

2

x

1

x

0

FF

F = x’

2

x’

1

x’

0

+ x’

2

x’

1

x

0

+ x

2

x’

1

x

0

= x’

2

x’

1

x’

0

+ x’

1

x

0

Przykład zastosowania MINTERMów

D

ec x

2

x

1

x

0

F

Minterm

0

0

0

0

1

x’

2

x’

1

x’

0

1

0

0

1

1

x’

2

x’

1

x

0

2

0

1

0

0

x’

2

x

1

x’

0

3

0

1

1

0

x’

2

x

1

x

0

4

1

0

0

0

x

2

x’

1

x’

0

5

1

0

1

1

x

2

x’

1

x

0

6

1

1

0

0

x

2

x

1

x’

0

7

1

1

1

0

x

2

x

1

x

0

Każdą funkcję logiczną zapisaną jako sumę mintermów można uprościć

x

2

x

1

x

0

x

2

x

1

x

0

FF

Przykład zastosowania MINTERMów

Zadanie:

Zrealizować funkcję

F = x’

2

x’

1

x’

0

+ x’

1

x

0

przy pomocy bramek NOR

x

2

x

1

x

0

x

2

x

1

x

0

FF

Przykład zastosowania MINTERMów

Zadanie: Zrealizować funkcję

F = x’

2

x’

1

x’

0

+ x’

1

x

0

przy pomocy bramek NOR

x

2

x

1

x

0

x

2

x

1

x

0