Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 1

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Logika matematyczna

Przedmowa

To opracowanie jest napisane głównie z myślą o uczniach szkół średnich pragnących zrozumieć logikę matema-
tyczną, ale i studenci pierwszego roku informatyki znajdą tu informacje dla siebie (m.in. funktory XOR oraz NOR),
o których w szkole średniej się nie wspomina. Opracowanie to tłumaczy wszystkie pojęcia od podstaw oraz za-
wiera ćwiczenia do samodzielnego wykonania wraz z odpowiedziami.

Spis tematów

1.

Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej. ......................................................................... 1

— oznaczanie zdań prostych ............................................................................................................................ 3

2.

Wartości logiczne zdań prostych. ....................................................................................................................... 3

3.

Funktory zdaniotwórcze. .................................................................................................................................... 5

— negacja ......................................................................................................................................................... 6

— koniunkcja .................................................................................................................................................... 9

— alternatywa .................................................................................................................................................. 9

— implikacja ................................................................................................................................................... 10

— równoważność ........................................................................................................................................... 11

4.

Rachunek zdań — prawa logiczne (tautologia). ............................................................................................... 12

— metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa) .................................................................................................. 12

— nazwy praw logicznych .............................................................................................................................. 13

— metoda „nie wprost” (apagogiczna) .......................................................................................................... 14

— tworzenie nowych praw logicznych .......................................................................................................... 15

— funktory Xor i Nor ...................................................................................................................................... 16

— sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń ....................................................... 18

5.

Formy zdaniowe. .............................................................................................................................................. 20

— dziedzina formy zdaniowej ......................................................................................................................... 20

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 2

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Temat: Pojęcie zdania prostego i złożonego w logice matematycznej.

Zdanie proste

(w sensie matematycznym) — wyrażenie o którym można jednoznacznie powiedzieć,

że jest prawdziwe lub fałszywe np.:

2 + 3 = 18

— zdanie fałszywe

Liczba 12 jest liczbą nieparzystą.

— zdanie fałszywe

Liczba −4 jest mniejsza od −1.

— zdanie prawdziwe

W logice matematycznej występują tylko zdania oznajmujące

, czyli takie, które kończą się kropką. Żadne zdanie py-

tające czy wykrzyknikowe nie jest zdaniem w rozumieniu logiki matematycznej, choć jest zdaniem w rozumieniu
gramatyki języka polskiego.

Pójdziesz ze mną?

— to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono

oznajmujące

Weź to!

— to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie jest ono

oznajmujące

Chciałbym byś mi kupiła loda.

— to nie jest zdanie w rozumieniu logiki matematycznej, bo nie można

go jednoznacznie ocenić czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, choć

jest zdaniem oznajmującym.

Ćwiczenie:

Które z poniższych zdań, są zdaniami w rozumieniu logiki matematycznej? Odpowiedź uzasadnij.

a)

Lubisz pływać?

b)

Nie rób tego!

c)

Kup mi to ciastko.

d)

Chcę pojeździć na rowerze.

e)

Pozwól mi wyjść do koleżanki.

f)

Zegar służy do odmierzania czasu.

g)

Kartkę papieru można zgiąć 12 razy na pół.

Odp.: a) Nie, bo nie jest zakończone kropką.

b) Nie, bo nie jest zakończone kropką.

c) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką.

d) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką.

e) Nie, bo nie można o nim jednoznacznie powiedzieć czy jest prawdziwe czy fałszywe, pomimo tego, że kończy się kropką.

f) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe.

g) Tak, bo kończy się kropką i dodatkowo można o nim jednoznacznie powiedzieć, że jest fałszywe.

Zdanie złożone

— zdanie zbudowane z przynajmniej dwóch zdań prostych np.:

Teraz świeci słońce

,

więc

pójdę się poopalać

.

W powyższym przykładzie pierwsze zdanie proste jest do słowa „

więc

”, zaś drugie występuje po słowie „więc”. Oba

zdania proste pogrubiono i wyróżniono kolorem czerwonym.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 3

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Oznaczenie zdań prostych

Zdania proste w logice matematycznej oznacza się małymi literami alfabetu angielskiego zaczynając od litery

݌. Za-

tem pierwsze zadanie proste występujące w zdaniu złożonym należy oznaczyć literką

݌, następne literką ݍ, kolejne

literką

ݎ itd. W logice matematycznej, te literki będziemy nazywać

zmiennymi zdaniowymi

.

W szczególnych przypadkach, np. w przypadku zadania złożonego:

Teraz świeci słońce

lub

teraz nie świeci słońce

.

matematycznie mamy do czynienia z jednym zdaniem prostym, bo drugie jest zaprzeczeniem pierwszego. Z punktu
widzenia zaś gramatyki języka polskiego, w powyższym zdaniu są 2 zdania proste (oba wyróżniono kolorem niebie-
skim).

Ćwiczenie:

Ile zdań prostych w rozumieniu logiki matematycznej występuje w poniższych zdaniach złożonych?

a)

To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne.

b)

W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego.

c)

Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat.

d)

Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną.

e)

Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony bale-
jaż lub splecione w warkocz.

f)

Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę.

Odp.: a) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem „i”.

b) 2 zdania proste. Są one rozdzielone słowem „i”.

c) 3 zdania proste. Każde jest rozdzielone słowem „lub”.

d) 2 zdania proste w rozumieniu logiki matematycznej: „jestem chłopakiem” oraz „jestem dziewczyną”, ale 3 zdania proste w rozumieniu gramatyki języka polskiego.

Sformułowanie drugie: „nie jestem chłopakiem” jest zaprzeczeniem sformułowania pierwszego: „jestem chłopakiem”.

e) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: „to”, „niż gdy”, „lub”.

f) 4 zdania proste. Są one rozdzielone słowami: „ale gdy”, „to”, „lub”.

Zdanie logiczne

— zdanie oznajmujące w którym każde zdanie proste da się jednoznacznie ocenić jako

prawdziwe lub fałszywe.

Przykłady zdań logicznych:

Liczba 5 jest większa od 0

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



lub jemu równa

ᇩᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇫ

ł

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

   

.

Teraz czytam opracowanie o logice matematycznej.

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

   

Zegar nie służy do odmierzania czasu.

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ł

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

   

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 4

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Temat: Wartości logiczne zdań prostych.

Omówmy teraz bardziej dokładnie logikę matematyczną na przykładzie zdania złożonego:

Skoro

2 < 5

ᇣᇤᇥ





i

5 < 8

ᇣᇤᇥ





,

to

2 < 8

ᇣᇤᇥ





.

Ponieważ powyższe zdanie składa się z trzech zdań prostych, więc można go zapisać krócej:

Skoro

݌

i

ݍ

to

ݎ

.

W zdaniu tym:

݌

: 2 < 5

ݍ

: 5 < 8

ݎ

: 2 < 8.

Dygresja: Po zmiennej zdaniowej (czyli po pierwszej literce) napisany został dwukropek.

Każdemu zdaniu prostemu przypisujemy liczbę

0 jeśli jest ono fałszywe

, lub liczbę

1 jeśli jest ono prawdziwe

. Wraca-

jąc się do przykładowych trzech zdań z tematu pierwszego napiszemy:

2 + 3 = 18

— zdanie fałszywe;

݌ = 0

Liczba 12 jest liczbą nieparzystą.

— zdanie fałszywe;

݌ = 0

Liczba −4 jest mniejsza od −1.

— zdanie prawdziwe;

݌ = 1

Przypisywanie zdaniu prostemu tylko jednej z dwóch liczb, tzn. 0 lub 1, jest prawdziwe tylko w logice dwuwarto-
ściowej, którą to będziemy się zajmować. W teorii matematycznej istnieje jeszcze logika trójwartościowa, która
uszczegóławia logikę dwuwartościową poprzez dodanie wartości logicznej ½ (półprawda).

Ćwiczenie:

Określ wartości logiczne podanych zdań prostych.

[Podpowiedź. Oceń, czy podane zdanie proste ma wartość logiczną 0 czy 1.]

a)

Mam skończone 16 lat.

b)

Liczba 8 jest mniejsza od 0.

c)

Biurko to rzeczownik.

d)

Lubię pływać.

e)

Od czasu do czasu jadam zupę.

f)

Pierwiastek stopnia drugiego z liczby −16 jest równy −4.

Odp.: a) Zależnie od Ciebie; b) 0 (fałsz); c) 1 (prawda); d) Zależnie od Ciebie; e) Zależnie od Ciebie; f) 0 (fałsz).

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 5

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Temat: Funktory zdaniotwórcze.

Znając już z poprzednich tematów podstawy logiki matematycznej wiesz, że w zdania złożone składają się
z przynajmniej dwóch zdań prostych rozdzielonych jakimś słowem lub grupą słów. Przykładowo w zdaniu:

Teraz świeci słońce

,

więc

pójdę się poopalać

.

zdania proste (wyróżnione na czerwono) są rozdzielone słowem

więc

, a na przykład w zdaniu:

Skoro 2 < 5

i

5 < 8,

to

2 < 8.

zdania proste są rozdzielone słowami „

i

” oraz „

to

” (oba wyróżniono kolorem zielonym). Zdania złożone mogą być

także rozdzielone słowem „

lub

” np.:

Teraz czytam ten tekst

lub

myślę o tym co będzie dalej.

Mam 16 lat

lub

17 lat

lub

jestem pełnoletni

lub

mam fioła na punkcie hip-hopu.

Z punktu widzenia gramatyki języka polskiego zbyt częste powtarzanie jednego słowa lub zwrotu jest błędem. Przy-
kładowo w powyższym zdaniu nauczyciel języka polskiego nakazałby usunięcie jednego słowa „lub” lub zastąpienie
go innym słowem. Tymczasem z punktu widzenia logiki matematycznej w omawianym zdaniu błędu nie ma. W uję-
ciu matematycznym zdanie złożone składające się np. z 40 zdań prostych może być za każdym razem rozdzielone
słowem „lub” pomimo tego, że słowo to wystąpi aż 39 razy w tym zdaniu.

W logice matematycznej do rozdzielania zdań prostych dość często używa się słowa „

więc

”.

Ponieważ 2 + 3 = 5

i

3 + 2 = 5

więc

dodawanie jest przemienne.

Skoro liczba 2 jest większa od 0,

więc

jest dodatnia.

lub kilku słów np. „

wynika z tego, że

” lub „

wtedy i tylko wtedy gdy

”.

W zbiorze liczb rzeczywistych, pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej

istnieje

tylko

wtedy, gdy

jest on stopnia nieparzystego.

To co występuje w zdaniach złożonych między zdaniami prostymi, nazywa się w matematyce funktorami zdanio-
twórczymi. Trzeba tu jednak zaznaczyć, że przykładowo w zdaniu:

„

Nieprawda, że

lubię pić kawę.”

funktorem zdaniotwórczym jest wyrażenie „nieprawda, że” pomimo tego, że nie stoi ono między zdaniami prostymi.

Funktor zdaniotwórczy

— jedno słowo lub kilka słów stojących bezpośrednio przed zdaniem prostym.

W tym temacie funktory zdaniotwórcze wyróżniono kolorem zielonym.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 6

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Musisz jednak pamiętać, że funktory zdaniotwórcze występują tylko w tych zdaniach logicznych. Przykładowo słowo
„więc” nie będzie funktorem zdaniotwórczym jeśli zostanie ono użyte np. w zdaniu:

Umiesz to zrobić, więc zrób to!

bo zdanie to nie jest oznajmujące (nie jest zakończone kropką).

Ćwiczenie:

Wyróżnij kolorem zielonym funktory zdaniotwórcze w poniższych złożonych zdaniach logicznych.

a)

To krzesło jest solidne i dodatkowo jest ono ładne.

b)

W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks i zaczęłam uczyć się języka japońskiego.

c)

Mam 17 lat lub 19 lat lub 21 lat.

d)

Jestem chłopakiem lub nie jestem chłopakiem lub jestem dziewczyną.

e)

Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond, to wygląda ładniej, niż gdy ma zrobiony bale-
jaż lub splecione w warkocz.

f)

Na ogół pijam Coca-Colę, ale gdy nie ma jej na stole, to pijam tylko herbatę lub kawę.

Odp.:

a)

To krzesło jest solidne

i

dodatkowo jest ono ładne.

b)

W wieku 13 lat po raz pierwszy uprawiałam seks

i

zaczęłam uczyć się języka japońskiego.

c)

Mam 17 lat

lub

19 lat

lub

21 lat.

d)

Jestem chłopakiem

lub

nie jestem chłopakiem

lub

jestem dziewczyną.

e)

Moja dziewczyna jak ma włosy ufarbowane na blond,

to

wygląda ładniej,

niż

gdy ma zrobiony balejaż

lub

splecione w warkocz.

f)

Na ogół pijam Coca-Colę,

ale gdy

nie ma jej na stole,

to

pijam tylko herbatę

lub

kawę.

W logice matematycznej funktory mają swoją nazwę i symbol.

Dla jednego zdania prostego istnieją 4 różne funktory zdaniotwórcze.

Funktory te oznaczmy przykładowo symbola-

mi:

ߜ



,

ߜ



,

ߜ



,

ߜ



. Działanie tych funktorów na jednym zdaniu prostym

݌ mogącym przybierać wartość logiczną 0 lub

1 przedstawia poniższa tabelka.

p

ࢾ

࢖ ࢾ

!

࢖ ࢾ

"

࢖ ࢾ

#

࢖

૙

0

0

1

1

૚

0

1

0

1

Powyższą tabelkę należy rozumieć w taki sposób, że nowa wartość zdania prostego dzięki działaniu funktora:

—

ߜ



ma zawsze wartość 0, niezależnie od tego, czy zdaniu

݌ została przypisana wartość logiczna 0 czy 1

—

ߜ



ma zawsze wartość zgodną z wartością logiczną zdania

݌ tzn. gdy ݌ = 0, to ߜ



= 0, gdy

݌ = 1, to ߜ



= 1

—

ߜ



ma zawsze wartość przeciwną do wartości logicznej zdania

݌ tzn. gdy ݌ = 0, to ߜ



= 1, gdy

݌ = 1, to ߜ



= 0

—

ߜ



ma zawsze wartość 1, niezależnie od tego, czy zdaniu

݌ została przypisana wartość logiczna 0 czy 1.

Największą rolę w logice matematycznej odgrywa funktor oznaczony symbolem

ߜ



, czyli zmieniający wartość lo-

giczną zdania prostego na przeciwną. Funktor ten nazywa się

negacją

(zaprzeczeniem) i najczęściej oznacza się go

symbolem „~” lub „Not”.

Funktor negacji wymawia się „

nieprawda, że

”

, ale zapis ~

݌ bywa często czytany w skró-

cie: „

nie

݌

”.

Przypuśćmy więc, że literką

݌ oznaczymy zdanie proste:

„Jestem chłopakiem”.

Wówczas zdanie proste oznaczone ~

݌ będzie brzmieć:

„

Nieprawda, że

jestem chłopakiem”.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 7

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Pisanie, że ~

݌ brzmi „Jestem dziewczyną.” jest błędne. Aby lepiej zrozumieć o co tu chodzi, przytoczę krótką aneg-

dotkę:

Nauczycielka pyta Jasia:

— Jasiu, czy kwadrat jest prostokątem?

Jaś odpowiada:

— Jam mam fiutka, a pani nie.

Wniosek: To co powiedział Jaś jest poprawne. Nie jest to jednak odpowiedź na pytanie nauczycielki.

W naszym przypadku jest podobnie. Jeśli mamy zdanie „Jestem chłopakiem.” i chcemy jemu zaprzeczyć, to nie mo-
żemy pisać „Jestem dziewczyną.” Musimy napisać „Nie jestem chłopakiem.” lub „Nie prawda, że jestem chłopa-
kiem.”. W przeciwnym razie nie mielibyśmy zdania zaprzeczającego lecz zadanie równoważne do zaprzeczającego.

Jeśli literką

݌ oznaczymy zdanie proste „Lubię seks.”, to zdanie ~݌ będzie brzmieć „

Nieprawda, że

lubię seks.”

Jeśli literką

݌ oznaczymy zdanie proste „Z egzaminu dostałem 90 punktów na 100 możliwych.”, to zdanie ~݌ będzie

brzmieć „

Nieprawda, że

z egzaminu dostałem 90 punktów na 100 możliwych.” Zdanie równoważne zaprzeczeniu

będzie brzmieć: „Na pewno nie dostałem dokładnie 90 punktów.”

Jeśli literką

݌ oznaczymy zdanie proste „Z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych.”, to zdanie

~

݌ będzie brzmieć „

Nieprawda, że

z egzaminu dostałem więcej niż 90 punktów na 100 możliwych.” Zdanie równo-

ważne do zaprzeczenia będzie brzmieć: „Z egzaminu dostałem dokładnie 90 punktów lub mniej.”

Ćwiczenie:

Napisz negację (zaprzeczenie) podanego zdania oraz zdanie równoważne do zaprzeczenia.

a)

Mam 5 zł.

b)

Mój wujek ma na imię Stanisław.

c)

Lubię czytać.

d)

Ważę więcej niż 100 kg.

e)

Lubię kolor czerwony i niebieski.

f)

Mam BMW lub Audi. [Zgadnij który z tych samochodów posiadam.]

Odp.:

Negacja:

Zdanie równoważne negacji:

a)

Nieprawda, że mam 5 zł.

Nie mam dokładnie 5 zł.

b)

Nieprawda, że mój wujek ma na imię Stanisław.

Mój wujek ma inne imię niż Stanisław.

c)

Nieprawda, że lubię czytać.

Nie lubię czytać.

d)

Nieprawda, że ważę więcej niż 100 kg.

Ważę dokładnie 100 kg lub mniej.

e)

Nieprawda, że lubię kolor czerwony i niebieski.

Nie lubię koloru czerwonego i niebieskiego.

f)

Nieprawda, że mam BMW lub Audi.

Nie mam BMW i nie mam Audi.

Przyjmijmy teraz, że mamy dane dwa zdania proste:

݌ i ݍ rozdzielone funktorem zdaniotwórczym.

Jeśli funktor stoi między dwoma zdaniami prostymi to nazywa się on

dwuargumentowym

. Podobnie jak funktory

jednoargumentowe może on przybierać wartości logiczne 0 lub 1 zależnie od wartości logicznych zdań prostych.

W logice matematycznej funktorów dwuargumentowych jest dokładnie 16. Oznaczmy je symbolami:
∆



, ∆



, …, ∆

$

i zobaczmy wyniki jakie one dają:

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 8

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

࢖

ࢗ

p Δ

1

q

p Δ

2

q

p Δ

3

q

p Δ

4

q

p Δ

5

q

p Δ

6

q

p Δ

7

q

p Δ

8

q

p Δ

9

q

p Δ

10

q

p Δ

11

q

p Δ

12

q

p Δ

13

q

p Δ

14

q

p Δ

15

q

p Δ

16

q

૙

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

૙

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

૚

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

૚

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

oznaczenie:

p Nor q

p Xor q

p

⊻ q

p | q

p And q

p

∧ q

p

⇔ q

p

⇒ q

p Or q

p

∨ q

Ciekawostka: Patrząc wierszami na powyższe liczby wypisane na białym tle, widać, że w wierszu pierwszym mamy na przemian liczby 0 i 1. W wierszu drugim mamy na

przemian po dwa 0 i po dwie 1. W wierszu trzecim mamy na przemian po 4 zera i po 4 jedynki, zaś w ostatnim wierszu mamy kolejno 8 zer i 8 jedynek. Taki
sposób uporządkowania liczb nie jest przypadkowy. Bazuje on na tzw. dwójkowym systemie zapisywania liczb (system binarny) i pozwala na wypisanie wszyst-
kich wartości funktorów bez obawy że przez przypadek nastąpi błąd w wypełnianiu tej tabelki. Mało tego. Dzięki takiemu sposobowi wypełniania tabelki, do-
stajemy wszystkie wartości funktorów zaczynając od kolumny z samymi zerami, a kończąc na kolumnie z samymi jedynkami.

Jak widać funktory mają swoje oznaczenia, a niektóre z nich także nazwy. Oto one:

Δ



— funktor Nor

Δ



— funktor alternatywy wykluczającej: ⊻ (funktor Xor)

Δ

%

— funktor dysjunkcji: |

Δ

&

— funktor koniunkcji:

∧

(funktor And)

Δ

'

— funktor równoważności: ⇔

Δ



— funktor implikacji: ⇒

Δ

(

— funktor alternatywy:

∨

(funktor Or)

Jeśli chodzi o funktory dwuargumentowe (czyli te z powyższej tabelki), to największe znaczenie w logice matema-
tycznej odgrywają tylko te które zostały oznaczone symbolami: Δ

&

, Δ

'

, Δ



, Δ

(

.

Jak na razie po przeczytaniu tego tematu, wiesz, że są 4 funktory jednoargumentowe i jest 16 funktorów dwuargu-
mentowych, czyli, że razem jest ich 20. Co ciekawe, aż 18 z tych 20-stu funktorów można zdefiniować używając wy-
łącznie dwóch pozostałych tj. funktora negacji i alternatywy.

Wniosek: Cała logika matematyczna opiera się wyłącznie na jednoargumentowym funktorze negacji oraz

dwuargumentowym funktorze alternatywy.

Aby nie utrudniać sobie życia, dla wygody bardzo często używa się także funktora koniunkcji, implikacji oraz równo-
ważności, choć każdy z nich można zastąpić używając tylko negacji i alternatywy.

Jeśli chcesz umieć perfekcyjnie logikę matematyczną, nie musisz wszystkiego co napisałem wykuwać na pamięć.
Wystarczy, że zapamiętasz tylko ten fragment poprzedniej tabelki:

࢖

ࢗ

p Δ

9

q

p Δ

10

q

p Δ

12

q

p Δ

15

q

૙

૙

0

1

1

0

૙

૚

0

0

1

1

૚

૙

0

0

0

1

૚

૚

1

1

1

1

oznaczenie:

p ∧ q

p ⇔ q

p ⇒ q

p ∨ q

nazwa:

koniunkcja równoważność implikacja alternatywa

oraz, że negacją wartości logicznej 0 jest wartość logiczna 1 i odwrotnie. To dosłownie wszystko co musisz umieć na
pamięć.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 9

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Koniunkcja

Koniunkcja

— zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem koniunkcji:

∧

.

݌

∧

ฎ

)*+

+*+,-

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

+*+,-

Funktor koniunkcji wymawiamy: „i”, czyli powyższy zapis

݌ ∧ ݍ czytamy: „pe i ku”.

Koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są prawdziwe.

Przykład:

Na ogół luty ma 28 dni

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



i

zazwyczaj w wakacje jest ciepło

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



i

co roku w Polsce pada śnieg

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



.

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

./0120

Gdyby choćby jedno z powyższych zdań prostych nie było prawdziwe lub nie można byłoby jednoznacznie określić
czy jest ono prawdziwe czy fałszywe, wówczas koniunkcja tych wszystkich zdań prostych byłaby fałszywa (miałaby
wartość logiczną 0).

Przykład:

Na ogół luty ma 28 dni

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



i zazwyczaj w wakacje jest ciepło

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



i co roku pada śnieg

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇫ



/

ł

.

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

34 567 879: ;<=567 > ?4;@A6756@ B4C6D6 A=:7A=:EF;578,>6ęF 567 A4ż5= 4F756=ć 87C4 >=?:4śF6 B4C6F;578.

GHść  ą    LM Młą    ń  MO.

Ostatnie zdanie proste w powyższym przykładzie nie daje się jednoznacznie określić słowem „prawda” lub „fałsz”.
Chodzi o to, że nie jest sprecyzowane, czy chodzi o opady śniegu na całej kuli ziemskiej, czy tylko o jakiś jej rejon. Jak
wiadomo na równiku śnieg nigdy nie pada, a na przykład na Syberii pada co roku.

Negacją funktora koniunkcji (nie negacją koniunkcji) jest funktor alternatywy — patrz punkt 3) na stronie 13.

Alternatywa

Alternatywa

— zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem alternatywy:

∨

.

݌

∨

ฎ

)*+

PQRQ

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

PQR

Funktor alternatywy wymawiamy: „lub”.

Alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fał-

szywe

— we wszystkich pozostałych przypadkach jest prawdziwa. To samo można też wypowiedzieć w sposób rów-

noważny:

Alternatywa jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno zdanie proste jest prawdziwe.

Przykład:

Liczba 28 jest większa

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ł

lub

równa liczbie 28

ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ .



ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

./0120

Negacją funktora alternatywy (nie negacją alternatywy) jest funktor koniunkcji — patrz punkt 3) na stronie 13.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 10

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Implikacja

Implikacja

— zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem implikacji: ⇒.

݌

⇒

ฎ

)*+

SP+,-

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

SP+,-

Jeśli funktor implikacji stoi pomiędzy dwoma zdaniami prostymi p i q, to do przeczytania powstałego w ten sposób
zdania złożonego, użyjemy jednego ze sformułowań:

—

݌ implikuje ݍ

—

݌ pociąga ݍ

— z

݌ wynika ݍ

— jeżeli

݌ to ݍ

Spójrz teraz na ostatnią tabelkę, a dokładniej na kolumnę z implikacją. Zauważ, że wartości implikacji można łatwo
zapamiętać.

Implikacja jest fałszywa (ma wartość logiczną 0) tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie logiczne (poprzednik)

jest prawdziwe, a drugie (następnik) fałszywe — w pozostałych przypadkach jest prawdziwa.

Innymi słowy implika-

cja nie pozwala otrzymać z prawdy fałszu.

Z prawdy nie może wynikać fałsz.

lub inaczej:

W przypadku implikacji, jeśli poprzednik jest prawdziwy, to następnik nie może być fałszywy.

Na potwierdzenie tego podam teraz kilka przykładów:

2 = 3

ᇣᇤᇥ

)ł

/

ሺ ሻ



⇒ 4 = 9

ᇣᇤᇥ

)ł

— z fałszu może wynikać fałsz

−3 = 3

ᇣᇧᇤᇧᇥ

)ł

/

ሺ ሻ



⇒ 9 = 9

ᇣᇤᇥ

R

— z fałszu może wynikać prawda

2 = 2

ᇣᇤᇥ

R

/

ሺ ሻ



⇒ 4 = 4

ᇣᇤᇥ

R

— z prawdy może wynikać prawda (o ile przekształcenia są wykonane prawidłowo)

No i został tylko przypadek gdy z prawdy wynika fałsz. Jest z nim tylko jeden problem. Nie istnieje żadne prawdziwe
zdanie logiczne, które po poprawnych przekształceniach dałoby zdanie fałszywe. Zatem „

z prawdy nie może wynikać

fałsz

”.

W przypadku implikacji, ważna jest kolejność zdań prostych. Mianowicie zapis:

݌ ⇒ ݍ to nie to samo co ݍ ⇒ ݌.

Można natomiast symbol implikacji odwrócić, ale wówczas trzeba odwrócić także kolejność zdań prostych. Innymi
słowy zamiast pisać

݌ ⇒ ݍ można napisać ݍ ⇐ ݌, a zamiast pisać ݍ ⇒ ݌ można pisać ݌ ⇐ ݍ. Tę odwróconą implika-

cję nazywamy „implikacją w lewo” lub „implikacją odwrotną”, a tę standardową „implikacją w prawo” lub „implika-
cją prostą” lub krócej „implikacją”. Jeśli mówimy tylko słowo „implikacja” to zawsze mamy na myśli implikację
w prawo, a jeśli chcemy powiedzieć, że chodzi nam o implikację w lewo, to zawsze musimy dopowiedzieć „w lewo”.

Zdania proste w implikacjach:

݌ ⇒ ݍ oraz ݌ ⇐ ݍ można zaprzeczyć. Otrzymamy wówczas implikacje o nowych na-

zwach:

~

݌ ⇒ ~ݍ — implikacja przeciwna (równoważna implikacji odwrotnej)

~

݌ ⇐ ~ݍ — implikacja przeciwstawna (równoważna implikacji prostej)

Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora implikacji występuje funktor alternatywy lub koniunkcji lub negacji, to im-
plikacja jest najsilniejsza z nich. Oznacza to, że to właśnie implikacja, a nie koniunkcja czy alternatywa rozbija dane

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 11

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

wyrażenie na lewą i prawą stronę pomimo tego, że nie ma nawiasów. Innymi słowy oba poniższe zapisy są sobie
równoważne:

݌ ∨ ݍ ⇒ ~݌ ∧ ݍ

ሺ

݌ ∨ ݍ

ሻ

⇒

ሺ

~

݌ ∧ ݍ

ሻ

Równoważność

Równoważność

— zdanie złożone powstałe z dwóch zdań prostych połączonych funktorem równoważności ⇔.

݌

⇔

ฏ

)*+

óRRżś,

ݍ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

óRRżść

Funktor równoważności wymawiamy: „wtedy i tylko wtedy, gdy …”. Jego symbol nie bez powodu przypomina nało-
żone na siebie symbole implikacji w lewo i prawo. Funktor ten można bowiem zastąpić koniunkcją implikacji w lewo
i prawo:

݌ ⇔ ݍ ≡ ሺ݌ ⇐ ݍሻ ∧ ሺ݌ ⇒ ݍሻ

Te 3 kreseczki w powyższym zapisie czytaj „jest równoważne”. Jest to symbol tzw. kongruencji.

Zauważmy, że podstawie tabelki (2 strony wcześniej) mamy, że równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, gdy
wszystkie zdania proste mają tę samą wartość logiczną, tj. gdy wszystkie są fałszywe lub wszystkie są prawdziwe.

Jeśli w zdaniu logicznym oprócz funktora równoważności występują inne funktory np. negacji, koniunkcji czy alter-
natywy, to funktor równoważności jest najsilniejszy z nich, i to właśnie on, a nie żaden z pozostałych funktorów roz-
bija dane wyrażenie na stronę lewą i prawą. Generalnie chodzi o to, że nie musimy stosować nawiasów w sytuacjach
gdy występuje tylko jeden funktor równoważności. Przykładowo rzecz ujmując, oba poniższe zapisy są sobie rów-
noważne:

݌ ∨ ݍ ⇒ ݎ ⇔ ~݌ ∧ ݍ

൫

ሺ

݌ ∨ ݍ

ሻ

⇒

ݎ

൯

⇔

ሺ

~

݌ ∧ ݍ

ሻ

Silniejszy od funktora równoważności jest funktor kongruencji oznaczany symbolem: ≡. Symbol kongruencji stosu-
jemy wtedy, gdy chcemy zapisać, że dwie równoważności są sobie równoważne.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 12

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Temat: Rachunek zdań — prawa logiczne (tautologia).

Na początku tego opracowania napisałem, że w logice matematycznej zdania proste oznacza się małymi literkami
z alfabetu angielskiego zaczynając od literki

݌, ݍ, ݎ, … . Od teraz prawie wszystkie zdania zarówno proste jak i zło-

żone będziemy zapisywać tylko symbolicznie.

Z poprzednich tematów wiemy już, że symbol ~ oznacza negację — zaprzecza zdaniu przed którym stoi. Przykłado-
wo zapis ~

݌ zaprzecza zdaniu ݌, zaś zapis

~

ሺ

~

݌

ሻ

zaprzecza

zaprzeczeniu zdania

݌

. Przypuśćmy, że zdanie

݌ brzmi:

Jestem chłopakiem.

więc zdanie

~

݌

będzie brzmieć:

Nie

jestem chłopakiem.

[Równoważnie: „Jestem dziewczyną.”]

zaś

~

ሺ

~

݌

ሻ będzie brzmieć:

Nieprawda, że

nie jestem chłopakiem.

[Równoważnie: „Nieprawda, że jestem dziewczyną.” czyli „Jestem chłopakiem.”]

Wniosek: Skoro osoba mówiąca powyższe zdanie najpierw zaprzecza temu że jest chłopakiem, a potem znowu te-

mu zaprzecza, więc w wyniku końcowym dostajemy zdanie początkowe, czyli, że jest chłopakiem.

Z punktu widzenia logiki matematycznej, zaprzeczenie zaprzeczenia jest równoważne zdaniu wyjściowemu. Symbo-
licznie zapisuje się to w taki sposób:

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌

a poprawność tego zapisu sprawdza się rozpatrując wszystkie możliwe wartości zdania logicznego

݌. Ponieważ

opracowanie to dotyczy logiki dwuwartościowej, więc zdanie

݌ może przybierać tylko jedną z dwóch wartości tj.

może być albo równe 0 albo 1. Wystarczy więc zrobić maluteńką tabelkę (metoda zerowo-jedynkowa) i zauważyć,
że niezależnie od tego czy

݌ jest równe 0 czy 1, wynik końcowy zawsze wychodzi równy 1.

Metoda zerowo-jedynkowa (tabelkowa)

Aby zrobić tabelkę nawet do tak krótkiego wyrażenia:

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌ trzeba najpierw się zastanowić co w tej tabelce

będzie. Na początek rzuca się nam w oczy to, że w zapisie tym występuje tylko jedno zdanie proste

݌ (po obu stro-

nach równoważności). Tak więc pierwsza kolumna tabelki będzie zawierać wszystkie możliwe wartości zdania

݌ (bę-

dą tylko dwie). Dodatkowo widzimy, że mamy zaprzeczenie zdania

݌ (to będzie druga kolumna) oraz zaprzeczenie

zaprzeczenia (kolumna 3-cia). Później widzimy równoważność (cały zapis), który to trzeba będzie umieścić w ostat-
niej tj. w czwartej kolumnie. Mamy więc taką tabelkę:

݌

~

݌

~

ሺ

~

݌

ሻ

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌

0

1

Aby uzupełnić tę tabelkę, trzeba na pamięć znać co robi funktor negacji (ta falująca kreseczka) oraz funktor równo-
ważności (⇔). Wszystko to było omówione w poprzednim temacie. Mimo to, przypomnę, że negacja zmienia war-
tość logiczną 0 na 1, a wartość 1 na 0. Równoważność zaś daje wynik 1 jeśli to co jest po lewej stronie symbolu ⇔
ma taką samą wartość logiczną jak to co jest po stronie prawej. Wiedzą to, możemy uzupełnić powyższą tabelkę:

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 13

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

݌

~

݌

~

ሺ

~

݌

ሻ

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌

0

1

0

1

1

0

1

1

Analiza powyższej tabelki:

Niezależnie od tego, czy zdanie proste

݌ przyjmuje wartość logiczną 0 czy 1, w ostatniej kolumnie wyszły same je-

dynki (każda jedynka to symboliczny zapis słowa „prawda”). Oznacza to, że zawsze zaprzeczenie zaprzeczenia jest
równoważne zdaniu początkowemu.

Zdanie złożone np. takie jak w ostatniej kolumnie powyższej tabelki, które zawsze jest prawdziwe niezależnie od
wartości logicznych zdań prostych w nim występujących, nazywamy prawem logicznym lub krócej tautologią.

Prawo logiczne

(tautologia) — zdanie złożone, które przyjmuje zawsze wartość logiczną 1 niezależnie

od wartości logicznych zdań prostych.

Każde prawo logiczne trzeba udowodnić, tzn. pokazać jego prawdziwość w każdym przypadku. W tym celu najczę-
ściej stosuje się tzw. metodę „zerowo-jedynkową”, czyli robi się odpowiednią tabelkę do której wpisuje się tylko
liczby 0 lub 1. Przykład takiej tabelki wraz z opisem został zaprezentowany nieco wyżej.

Prawa logiczne można dowodzić także metodą „nie wprost”, ale na ogół za pomocą tabelki można dowód skończyć
dużo szybciej.

Nazwy praw logicznych

Prawa logiczne miewają także swoje nazwy:

l.p.

prawo logiczne

(wyrażenie które jest zawsze prawdziwe)

nazwa prawa logicznego

1.

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌

prawo podwójnego przeczenia

2.

~

ሺ݌ ∧ ~݌ሻ

prawo wyłączonej sprzeczności

3.

݌ ∨ ~݌

prawo wyłączonego środka

4.

݌ ∧ ሺݍ ∨ ݎሻ ⇔ ሺ݌ ∧ ݍሻ ∨ ሺ݌ ∧ ݎሻ prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy

5.

݌ ∨ ሺݍ ∧ ݎሻ ⇔ ሺ݌ ∨ ݍሻ ∧ ሺ݌ ∨ ݎሻ prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

6.

~

ݍ ⇒ ~݌

prawo kontrapozycji

7.

ሺ

݌

⇒

ݍ

ሻ ∧ ሺ

ݍ

⇒

ݎ

ሻ ⇔ ሺ

݌

⇒

ݎ

ሻ prawo przechodniości implikacji

8.

~

ሺ݌

∨

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∧

~

ݍሻ

prawo de Morgana

9.

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ

prawo de Morgana

Niektóre prawa logiczne nie mają nazw. Oto przykłady takich praw:

1)

݌ ⇒ ሺ݌ ∨ ݍሻ

2)

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ~݌ ∨ ݍሻ

— to prawo jest bardzo ważne. Wyucz się go na pamięć.

3)

~

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ݌ ∧ ~ݍሻ

Spostrzeżenie: Dostawienie negacji przed implikacją w punkcie 2) sprawia, że zdania proste zmieniają swoje warto-

ści na przeciwne i

dodatkowo funktor alternatywy zmienia się w funktor koniunkcji

.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 14

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Wykażmy teraz za pomocą metody zerowo-jedynkowej (czyli za pomocą tabelki), że pierwsze z powyższych wyrażeń
jest prawem logicznym.

Analiza zapisu tego wyrażenia:

1.

Mamy dwa zdania proste:

݌ i ݍ, czyli będziemy potrzebować dwie kolumny (po jednej do każdego zdania pro-

stego), oraz 5 wierszy (wiersz pierwszy będzie zawierać nagłówki kolumn, zaś 4 pozostałe wszystkie możliwe
przypadki dla tych dwóch zdań prostych: oba zdania są fałszywe, pierwsze zdanie jest fałszywe a drugie
prawdziwe, pierwsze zdanie jest prawdziwe a drugie fałszywe, oba zdania są prawdziwe).

2.

Widzimy, że po prawej stronie funktora implikacji jest alternatywa dwóch zdań, więc musimy zarezerwować
sobie 3-cią kolumnę na tę właśnie alternatywę

ሺ݌ ∨ ݍሻ.

3.

Została już tylko implikacja, więc ostatnią tj. 4-tą kolumnę tabelki rezerwujemy na wartości tejże implikacji.

Robimy więc tabelkę:

݌ ݍ ሺ݌ ∨ ݍሻ ݌ ⇒ ሺ݌ ∨ ݍሻ

0 0

0

1

0 1

1

1

1 0

1

1

1 1

1

1

Opis uzupełniania tabelki:

— do kolumny drugiej wpisaliśmy na przemian 0 lub 1

— do kolumny pierwszej wpisaliśmy na przemian po dwa zera i po dwie jedynki

— kolumnę 3-cią uzupełniamy w oparciu o dwie pierwsze kolumny, pamiętając o tym, że alternatywa dwóch zdań

jest fałszywa (równa 0) tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe

— kolumnę ostatnią uzupełniamy w oparciu o kolumnę 1-wszą i 3-cią (kolejność jest ważna bo mamy implikację),

pamiętając o tym, że w przypadku implikacji z prawdy nie może wynikać fałsz.

Ponieważ w ostatniej kolumnie wyszły samej jedynki, więc wykazaliśmy, że wyrażenie

݌ ⇒ ሺ݌ ∨ ݍሻ jest tautologią.

Za pomocą tej samej metody udowodnij, że wyrażenia: ~

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ݌ ∧ ~ݍሻ oraz ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ሺ~݌ ∨ ݍሻ są także

prawami logicznymi.

Metoda nie wprost (apagogiczna)

Jak wcześniej napisałem metoda zerowo-jedynkowa nie jest jedyną za pomocą której można sprawdzać, czy podane
wyrażenie jest prawem logicznym. Inną metodą (nie tabelkową) jest „metoda nie wprost”. Polega ona na tym, że ja-
ko krok pierwszy stawiamy hipotezę o, że dane wyrażenie jest fałszywe. Zatem w naszym przypadku hipoteza brzmi:

„Wyrażenie

݌

⇒

ሺ݌ ∨ ݍሻ

jest fałszywe.”

Jeśli jest ona prawdziwa, to lewa strona tego wyrażenia (w tym przypadku jest nią tylko zdanie

݌

) musi być

praw-

dziwa

, a prawa

fałszywa

. Tylko w takim przypadku

implikacja

jest fałszywa (zgodna z hipotezą). Ponieważ lewa stro-

na jest prawdziwa, więc wiemy, że

݌ = 1. Zatem to samo ݌ ale z prawej strony funktora implikacji też ma wartość

logiczną 1, a to oznacza, że alternatywa

݌ ∨ ݍ

jest prawdziwa, co jest sprzeczne z wcześniej poczynionym założe-

niem, że jest ona fałszywa.

Wniosek: Postawiona hipoteza jest błędna, więc wyrażenie

݌

⇒

ሺ݌ ∨ ݍሻ

jest zawsze prawdziwe (jest tautologią).

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 15

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Aby można było lepiej zrozumieć co robiliśmy w powyższym dowodzie, wykonam teraz schemat:

„Wyrażenie

݌ฎ

R

ᇣᇤᇥ

T

⇒

(

݌ณ



∨

ݍ)

ᇩᇭᇪᇭᇫ

)ł

jest fałszywe.”

Teraz wyraźnie widać, że czerwona jedynka i czerwone słowo „fałsz” są ze sobą w sprzeczności, bo alternatywa jest
fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste ją tworzące są fałszywe.

Metodę nie wprost bardzo często wykorzystuje się wtedy, gdy trzeba wykazać prawdziwość czegoś dla nieskończe-
nie wielu elementów jakiegoś zbioru.

Ćwiczenie:

Sprawdź (dowolną metodą), czy poniższe wyrażenia są prawami logicznymi.

a)

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ~݌

∨

~

ݍሻ

b)

~

ሺ݌

∨

ݍሻ ⇔ ሺ~݌

∧

~

ݍሻ

c)

ሾሺ݌

∧

ݍሻ

∨

ݎሿ ⇔ ሾሺ݌

∨

ݎሻ

∧

ሺݍ

∨

ݎሻሿ

d)

[(

݌

∨

ݍ)

∧

ݎ] ⇔ [(݌

∧

ݎ)

∨

(

ݍ

∧

ݎ)]

Tworzenie nowych praw logicznych

Nowe prawa logiczne możemy tworzyć w oparciu o te, które już znamy.

Wystarczy wykorzystać znaną z czasów

gimnazjum metodę podstawiania tj. napisać dowolne wyrażenie zamiast dowolnej wybranej przez siebie literki
(zmiennej zdaniowej). Jako przykład rozpatrzmy najpierw prawo które już dobrze znamy tj. prawo podwójnego
przeczenia:

~

ሺ

~

݌

ሻ ⇔ ݌

i zamiast każdej literki

݌ (w tym przypadku nie możemy wybrać innej, bo jest tylko jedna) napiszmy jakiekolwiek wy-

rażenie które przyjdzie nam do głowy np.

ሺ݌ ∨ ݍሻ

. Otrzymamy wóczas nowe wyrażenie:

~

൫

~

ሺ݌ ∨ ݍሻ

൯ ⇔

ሺ݌ ∨ ݍሻ

które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową także okaże się tautologią. Mało tego. Zamiast literki

݌ można

napisać wyrażenie zawierające np. 20 literek i to co otrzymamy, również będzie tautologią.

Taki sposób otrzymywania nowych tautologii dotyczy każdego prawa lo-
gicznego, a nie tylko przytoczonego wyżej prawa podwójnego przeczenia.

Zobaczmy jeszcze tę metodę podstawiania na przykładzie jednego z dwóch praw de Morgana. Na początku mamy:

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ

i zamiast literki

݌ napiszmy np.

ሾ݌ ⇒ ሺݍ ∧ ݎሻሿ

, a zamiast literki

ݍ napiszmy np.

ሾݎ ∨ ݌ ∧ ݎሿ

. Otrzymujemy zatem no-

we, znacznie bardziej rozbudowane wyrażenie:

~

ሺ

ሾ݌ ⇒ ሺݍ ∧ ݎሻሿ

∧

ሾݎ ∨ ݌ ∧ ݎሿ

ሻ ⇔ ሺ

~

ሾ݌ ⇒ ሺݍ ∧ ݎሻሿ

∨

~

ሾݎ ∨ ݌ ∧ ݎሿ

ሻ

które po sprawdzeniu np. metodą zerowo-jedynkową (tabelkową) także okaże się tautologią.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 16

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Funktory Nor i Xor

Na początku tego opracowania pisałem, że wszystkie funktory jendo- i dwuargumentowe można zdefiniować uży-
wając wyłącznie funktora negacji i alternatywy. Nie wykazywałem jednak tego, bo nie znaliśmy jeszcze ani metody
tabelkowej, ani metody „nie wprost”. Teraz już je znamy, więc na początek wykażmy prawdziwość takiego wyraże-
nia:

ሺ݌ Nor ݍሻ ⇔ ~ሺ݌ ∨ ݍሻ

Jak wiadomo (patrz tabelka na stronie 8) funktor Nor jest prawdziwy tylko wtedy, wszystkie zdania proste są fałszy-
we, zaś alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy wszystkie zdania proste są fałszywe. Zaprzeczając alternatywie
(patrz wyrażenie po prawej stronie funktora równoważności), dostajemy dokładnie to, co mamy po stronie lewej
funktora równoważności i to bez wykonywania tabelki. Jeśli jednak chcesz na upartego pokazać prawdziwość tego
wyrażenia za pomocą tabelki, to trzeba ją zrobić tak:

݌ ݍ

݌ Nor ݍ

݌ ∨ ݍ

~

ሺ݌ ∨ ݍሻ

ሺ

݌ Nor ݍ

ሻ

⇔

~

ሺ݌ ∨ ݍሻ

0 0

1

0

1

1

0 1

0

1

0

1

1 0

0

1

0

1

1 1

0

1

0

1

Zobaczmy teraz, jak za pomocą alternatywy i negacji rozpisać funktor Xor. Jak wiadomo z tabelki zamieszczonej na
stronie 8, wyrażenie

݌ ܺ݋ݎ ݍ jest prawdziwe tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie proste jest fałszywe, a drugie jest

prawdziwe. Robimy więc tabelkę:

Ćwiczenie:

Metodą prób i błędów ustal w jaki sposób wykorzystując tylko funktor alternatywy i negacji, można za-
stąpić funktory ∆



, ∆

(

, ∆

$

, ∆

U

, ∆

%

zamieszczone w tabelce na stronie 8.

Zróbmy teraz coś innego. Spróbujmy funktory: alternatywy, koniunkcji, implikacji oraz równoważności zastąpić funk-
torem Nor oraz negacją. Na początek zauważmy, że bezpośrednio z tabelki ze strony 8, widać, że:

A

:

ሺ݌ ∨ ݍሻ ⇔ ~ሺ݌ Nor ݍሻ

Powyższą równoważność oznaczmy sobie czerwoną literą

A

, byśmy później mogli łatwo do niej wrócić, i alternatywą

już nie zaprzątajmy sobie głowy — uzyskaliśmy już to co chcieliśmy.

Przejdźmy do rozpisania koniunkcji. Na początek zauważmy, że na podstawie prawa de Morgana (strona 13) mamy:

~

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔ ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ

Negując obie strony tej równoważności dostajemy:

~

൫~

ሺ݌

∧

ݍሻ

൯

⇔

~

ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ

݌

ݍ

݌ Xor ݍ

~

ݍ ݌ ∨ ~ݍ

~

ሺ

݌ ∨ ~ݍ

ሻ

ሺ

݌ Xor ݍ

ሻ

⇔

~

ሺ݌ ∨ ~ݍሻ

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 17

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Na podstawie prawa podwójnego przeczenia (strona 13), widzimy, że lewa strona jest samą koniunkcją. Mamy więc:

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

~

ሺ

~

݌

∨

~

ݍሻ

Pozostaje nam już tylko prawą stronę powyższej równoważności zapisać za pomocą funktora Nor. W myślach
oznaczmy

~

݌ za pomocą literki ܽ, zaś

~

ݍ za pomocą literki ܾ. Mamy wówczas:

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

~

ሺ

ܽ

∨

ܾ

ሻ

i na podstawie zapisu oznaczonego wcześniej literą

A

, mamy:

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

ܽ

Nor

ܾ

Cofając podstawienie, zamiast literki

ܽ

piszemy

~

݌ i zamiast literki

ܾ

piszemy

~

ݍ. Otrzymujemy zatem:

B

:

ሺ݌

∧

ݍሻ ⇔

~

݌ Nor

~

ݍ

Pozostaje już do rozpisania tylko implikacja i równoważność. Zajmijmy się implikacją. Z wcześniejszych tematów te-
go opracowania, wiemy, że:

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ( ~݌

ด



∨

ݍณ

V

ᇣᇧᇤᇧᇥ

0:

~W

 X VY

)

Cofając podstawienie, otrzymujemy:

C

:

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ⇔ ~ሺ~݌ Nor ݍሻ

Została już tylko równoważność o której wiemy, że to jednoczesna implikacja w obie strony, czyli, że:

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

ሺ݌ ⇒ ݍሻ ∧ ሺ݌ ⇐ ݍሻ

൯

Zamiast

ሺ݌ ⇒ ݍሻ napiszmy literkę ܽ i zamiast ሺ݌ ⇐ ݍሻ napiszmy literkę ܾ. Mamy więc:

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

ሺ

ܽ ∧ ܾ

ሻ

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

(

~

ܽ

Nor ~

ܾ

)

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

Z

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

~

ሺ݌ ⇒ ݍሻ

Nor ~

ሺ݌ ⇐ ݍሻ

൯

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

~

ሺ

݌ ⇒ ݍ

ሻ

Nor ~

ሺ

ݍ ⇒ ݌

ሻ

൯

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

ቀ

~

൫

~

ሺ~݌ Nor ݍሻ

൯

Nor ~

൫

~

ሺ~ݍ Nor ݌ሻ

൯

ቁ

D

:

ሺ݌ ⇔ ݍሻ ⇔

൫

ሺ~݌ Nor ݍሻ

Nor

ሺ~ݍ Nor ݌ሻ

൯

Ćwiczenie:

Funktory ∆



i ∆

%

(patrz tabelka na stronie 8) zastąp funktorem Nor oraz negacją.

[Odp. ሺ

݌ ܺ݋ݎ ݍሻ ⇔ ሺ݌ ܰ݋ݎ ~ݍሻ;

ሺ݌ | ݍሻ ⇔ ~(~݌ Nor ~ݍ). Podpowiedzi: Rozpisz Xor za pomocą alternatywy (tabelka na stronie 16), a potem tę alternatywę zastąp funktorem Nor (patrz

A

). Aby rozpisać fun-

ktor

∆

଼

najpierw na podstawie tabelki ze strony 8, zauważ, że jest on negacją koniunkcji. Potem na podstawie

B

zastąp otrzymaną koniunkcję funktorem Nor.]

Ćwiczenie:

Sprawdź za pomocą tabelki, czy na pewno powyższe wyrażenia oznaczone czerwonymi literami A, B, C,
D oraz te z ćwiczenia powyższego są tautologiami.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 18

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Odpowiedzi:

Sprawdzanie wartości logicznych bardziej rozbudowanych wyrażeń

No i dobiegamy już końca. Jedną z ostatnich rzeczy o jakiej należy wiedzieć jest to, że im więcej zdań prostych ma
dane wyrażenie, tym więcej przypadków trzeba sprawdzić. Aby nie ominąć żadnego dobrze jest wypisywać wartości
logiczne zdań prostych w porządku jaki panuje w systemie dwójkowym (binarnym). Nie wnikając w szczegóły zapi-
sywania liczb w systemie dwójkowym, powiem tylko tyle, że chodzi tu o to by w ostatnim zdaniu prostym wypisywać
na przemian 0 i 1, w przedostatnim wypisywać na przemian po 2 zera i po 2 jedynki, w kolejnej kolumnie po 4 zera
i po 4 jedynki, potem po 8 zer i po 8 jedynek itd. zależnie od tego ile zdań prostych będzie w danym wyrażeniu. Zo-
baczmy tabelkę wszystkich wartości dla 4-ch zdań prostych:

Zauważmy, że wypisując wartości tym systemem, doszliśmy od wiersza z samymi zerami do wiersza
z samymi jedynkami. Innymi słowy mamy pewność, że nic nie ominęliśmy.

Spostrzeżenie:

Ilość przypadków jaką trzeba rozważyć w metodzie zerowo-jedynkowej wyra-

ża się wzorem 2



, gdzie

݊ to liczba zdań prostych. Gdybyśmy więc mieli 10 zdań

prostych, to trzeba byłoby sprawdzić 2

'

= 1024 przypadki.

Aby nie przeciągać, sprawdźmy metodą zerowo-jedynkową, czy wyrażnie:

ሺ݌ ∨ ݍሻ ∧ ݎ ⇒ ݌ ∨ ሺݍ ∧ ݎሻ

jest tautologią. Na początek zauważamy, że mamy 3 zdania proste, więc będziemy musieli rozwa-
żyć 2



przypadków. Robimy więc tabelkę mającą 9 wierszy (bo jeden z będzie jest przeznaczony na

nagłówki kolumn) i wypisujemy wszystkie możliwości tych 3-ch zdań prostych. Potem dopisujemy już tylko pozostałe
wyrażenia składowe. Mamy więc tabelkę:

݌ ݍ ݎ ݌ ∨ ݍ ሺ݌ ∨ ݍሻ ∧ ݎ

ᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫ

[

ݍ ∧ ݎ ݌ ∨ ሺݍ ∧ ݎሻ

ᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫ

\

L

⇒

P

0 0 0

0

0

0

0

1

0 0 1

0

0

0

0

1

0 1 0

1

0

0

0

1

0 1 1

1

1

1

1

1

1 0 0

1

0

0

1

0

1 0 1

1

1

0

1

1

1 1 0

1

0

0

1

0

1 1 1

1

1

1

1

1

na podstawie której widzimy, że badane przez nas wyrażenie nie jest tautologią (w ostatniej kolumnie nie wyszły
same jedynki). Uzupełniając ostatnią kolumnę trzeba było pamiętać głównie o tym, że prawdy która jest w kolumnie
przedostatniej, nie może wynikać fałsz w kolumnie 5-tej. W przypadku implikacji kolejność wyrażeń jest ważna. Dla

݌

ݍ

ݎ

ݏ

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 19

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

nie pomylenia tego, wprowadziłem do tabelki nowe oznaczenia. Literką L oznaczyłem lewą stronę końcowej impli-
kacji, zaś literką P stronę prawą. Takie wprowadzanie nowych oznaczeń jest dozwolone, a stosuje się go głównie gdy
dane wyrażenie jest dość długie lub w celu nie pogubienia się przy wypełnianiu tabelki.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 20

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Temat: Formy zdaniowe.

Forma zdaniowa

to wyrażenie które będzie można ocenić w kategorii „prawda / fałsz” jeśli zamiast każdej literki

w nim występującej napiszemy jakąś wartość (nie koniecznie liczbę).

Dla przykładu rozpatrzmy taką formę zdaniową:

Liczba 3

݊ jest dodatnia.

i zauważmy, że nie możemy ocenić jej wartości logicznej (0 lub 1), bo nie wiemy jaką liczbą jest

݊. Jeśli zaś zamiast ݊

napiszemy jakąś liczbę, to nasza forma zdaniowa przestanie być formą zdaniową, a stanie się wyrażeniem logicznym
o którym będziemy mogli jednoznacznie powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

Przykłady innych form zdaniowych:

— Liczba 7

݇ jest podzielna przez 3.

—

ݔ pisała kryminały. [W tym przypadku zamiast ݔ należy podstawić nazwisko kobiety, a nie liczbę.]

— Star Trek to film

ݕ. [W tym przypadku zamiast ݕ należy podstawić np. fajny, fantastyczny, przygodowy, itp.]

— Jaś Fasola jest

ݍ. [W tym przypadku zamiast ݍ należy napisać np. cechę charakteru tej postaci.]

Forma zdaniowa może zawierać więcej niż jedną literkę (zmienną zdaniową). Przykłady takich form to:

— Dziś wieczorem najpierw będę oglądać

ݐ, a potem uprawiać ݏ. [Zamiast literki ݐ można napisać np. słowo

„mecz”, zaś zamiast literki

ݏ można przykładowo napisać „jogging”.]

— W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się

݀ i z zachowania miałam ݓ.

— Moja koleżanka jest

݂, ale jej chłopak to ℎ i ݌.

Podobnie jak równanie funkcji oznaczamy małą literką

݂ lub ݃, tak formę zdaniową oznaczamy małą grecką literą φ

(wymawiaj: fi) lub ψ (wymawiaj: psi). Tak samo jak przy funkcjach, tak i przy formie zdaniowej należy dorzucić na-
wias, a w nim zmienne które zawiera ona zawiera np.:

߮ሺݐ, ݏሻ = Dziś wieczorem najpierw będę oglądać ݐ, a potem uprawiać ݏ.

߮ሺ݀, ݓሻ = W klasie IV szkoły podstawowej uczyłam się ݀ i z zachowania miałam ݓ.

߮ሺ݂, ℎ, ݌ሻ = Moja koleżanka jest ݂, ale jej chłopak to ℎ i ݌.

߮ሺݍሻ = Jaś Fasola jest ݍ.

Jak więc widać, zamiast literek występujących w formie zdaniowej możemy podstawiać różne wyrażenia (także licz-
by). Wszystkie te wyrażenia którymi można zastąpić literki w formie zdaniowej nazywamy

dziedziną formy zdanio-

wej

.

Rozpatrzmy jeszcze raz formę zdaniową:

߮ሺݍሻ = Jaś Fasola jest ݍ.

i zastanówmy się, czy podane niżej wyrażenie należy do jej dziedziny:

a)

kobietą

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia zamiast zmiennej

ݍ otrzymamy zdanie fałszywe.

b)

mądry

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”.

c)

przystojny

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”.

d)

bystry

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”.

e)

niski

— tak, bo po napisaniu tego wyrażenia dostaniemy zdanie dające się ocenić „prawda / fałsz”.

f)

krzesłem

— nie, bo otrzymane zdanie byłoby pozbawione sensu.

Wersja z dnia 30.06.2010

http://matematyka.strefa.pl

Logika matematyczna — strona 21

Znajdziesz tu wyja

śnienie co to jest zdanie proste i złożone w rozumieniu matematyki, funktory zdaniotwórcze, spójniki oraz prawa logiczne, ich nazwy, a także pojęcia: koniunkcja, alternatywa, równoważność, implikacja, negacja. Nauczysz się tworzyć prawa logiczne i sprawdzać czy są one tautologią. Logika matematyczna stanie się banalna. Download ten darmowy e-book pdf. Zakres liceum i technikum. Opracowanie ma wyjaśnione i rozwiązane zadania oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Przygotowuje do matury.

Jak widać spośród wyrażeń które należą do dziedziny można wyodrębnić te które sprawiają że forma zdaniowa
zmienia się w zdanie fałszywe oraz takie, które sprawiają, że forma zdaniowa staje się prawdziwa.

Jeśli wyrażenie wstawione do formy zdaniowej zamiast jej zmiennej sprawi, że stanie się ona zdaniem prawdzi-
wym, to wówczas mówimy, że spełnia ono tę formę zdaniową.

Możemy zatem powiedzieć, że wyrażenie z powyższego podpunktu a) nie spełnia tamtej formy zdaniowej, bo rze-
czą oczywistą jest to, że Jaś Fasola nie jest kobietą.