5.1. Uwagi ogólne 

 
 Jak 

już powiedziano w punkcie 1.1, kinematyka zajmuje się ruchem ciał 

materialnych bez uwzględniania przyczyn (sił) ten ruch wywołujących, czyli 
kinematyka zajmuje się wyłącznie matematycznym opisem ruchu bez 
uwzględniania praw fizycznych. 
  Ruchem mechanicznym ciała nazywamy zmianę jego położenia w czasie 
względem innego ciała uważanego za nieruchome. Wynika z tego, że rozpatrując 
ruch jakiegoś ciała, należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała 
będziemy go opisywać. Ciało, względem którego rozpatrujemy ruch, będziemy 
uważać za nieruchome i nazwiemy je ciałem odniesienia. Dla analitycznego opisu 
ruchu z ciałem tym możemy sztywno związać prostokątny układ współrzędnych, 
który nazwiemy układem odniesienia. Wtedy położenie dowolnego punktu 
w przestrzeni określimy za pomocą trzech współrzędnych prostokątnych. 
 Z 

powyższego wynika, że ruch jest pojęciem względnym i że jego charakter 

będzie zależał od układu odniesienia, względem którego rozpatrujemy ruch ciała. 
Najczęściej za nieruchomy układ odniesienia przyjmujemy milcząco układ 
związany z Ziemią i względem niego badamy ruch innych ciał. 
Jednak do badania np. ruchu kuli ziemskiej względem Słońca takie założenie nie 
wystarczy i za układ nieruchomy należy przyjąć układ związany ze Słońcem. 
 Jak 

już mówiliśmy, w kinematyce będziemy się zajmować badaniem zmian 

położenia ciał z upływem czasu. W mechanice klasycznej Newtona przyjmujemy, 
że czas jest niezależny od wyboru układu odniesienia i że jest taki sam dla 
wszystkich punktów przestrzeni i nie zależy od ich ruchu. Tak zdefiniowany czas 
nazywamy  czasem absolutnym, który w przybliżeniu odzwierciedla rzeczywisty 
czas fizyczny. Jednak, jak wynika z mechaniki relatywistycznej, błąd związany z 
takim przybliżeniem nie ma praktycznego znaczenia dla prędkości małych w 
porównaniu z prędkością światła. 
 Ruch 

ciała będziemy uważali za znany, jeżeli potrafimy w każdej chwili czasu 

określić położenie i ruch dowolnego punktu tego ciała. W pierwszej kolejności 
zajmiemy się kinematyką punktu, a następnie bryły. 

 

5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu 

 

  Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia 
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy 
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do 
określenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem 
nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i 
końcu w rozważanym punkcie M. 
 

z

L

y

x

 

O

r

M

hodograf wektora
wodzącego

wektor
wodzący

 

 

Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego 

 

Wektorową funkcję czasu 

 

( )

r r

= t                        (5.1) 

 

nazywamy  wektorem wodzącym. Wektor ten możemy zapisać analitycznie 
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych 
w postaci funkcji wektorowej: 

 

( ) ( ) ( ) ( )

r r

i

j

k

=

=

+

+

t

x t

y t

z t

               (5.2) 

 

lub równoważnych trzech równań skalarnych 

 

( )

( )

( )

x x t

y y t

z z t

=

=

=

,

,

.               (5.3) 

 

  Równanie (5.1) lub (5.2) nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy 
równania (5.3), równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi 
równaniami ruchu. 

  Gdy punkt M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu 
swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L, którą będziemy 
nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano 
w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to linia zakreślona przez 
końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie. 
  W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmieniał swoją 
wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t

1

 położenie punktu M

1

 wyznacza 

wektor wodzący  r

1

 = r(t

1

), a w chwili t

2

 = t

1

 + 

∆t punkt zajmuje położenie M

2

 

wyznaczone przez wektor wodzący  r

2 

 = r(t

2

), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po 

upływie czasu 

∆t = t

2

 – t

1

 wektor wodzący uzyskał przyrost 

∆r = r

2

 – r

1

. Iloraz 

∆r/∆t jest wektorem współliniowym z wektorem ∆r, czyli jest skierowany wzdłuż 
cięciwy M

1

M

2

. Jeżeli przyrost czasu 

∆t będzie dążył do zera, to w granicy 

otrzymamy pochodną wektora r względem czasu: 

 

lim

t 0

∆

∆

∆

→

=

=

r

r

v

t

d

dt

, 

 

nazywaną prędkością punktu. Oznacza to, że  prędkością punktu  nazywamy 
pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:

 

 

v

r

=

d

dt

.                  

   

(5.4) 

 
 
 

 

 

O

z

y

x 

r

1

 r

2

M

1

 

L

M

2

∆r

∆

∆

r
t

v

r

=

d

dt

 

 

Rys. 5.2. Prędkość punktu 

 

  Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M

2

 dąży do punktu M

1

, to cięciwa M

1

M

2

 dąży 

do stycznej do toru w punkcie M

1

. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do 

toru punktu M, czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r. 
  Gdy wektor wodzący zapiszemy w postaci (5.2), to zgodnie z podanymi 
w p. 2.3.7 zasadami różniczkowania  jego pochodna  
 

v

r

i

j

=

=

+

+

d

dt

dx

dt

dy

dt

dz
dt

k

k

.                (5.5) 

 

Po zapisaniu prędkości v w układzie współrzędnych x, y, z 

 

v

i

j

=

+

+

v

v

v

x

y

z

                     (5.6) 

 

i podstawieniu do równania (5.5) oraz po porównaniu wyrazów przy tych samych 
wersorach otrzymamy wzory na współrzędne prędkości: 

 

v

dx

dt

v

dy

dt

v

dz

dt

x

y

z

=

=

=

,

,

 

.       

 

 

(5.7) 

 

Widzimy,  że współrzędne prędkości są równe pochodnym względem czasu 
odpowiednich współrzędnych wektora wodzącego. 
Wartość prędkości określa wzór: 
 

v

v

v

v

x

y

z

=

+

+

2

2

2

 .                     (5.8) 

 

  W czasie ruchu punktu M jego prędkość 

v w ogólnym przypadku ruchu zmienia 

zarówno swoją wartość, jak i kierunek. Jeżeli dla dwóch położeń punktu M, 
odpowiadających chwilom t

1

 i t

2

 = t

1

 + 

∆t, wektory prędkości oznaczymy 

odpowiednio przez 

v

1

 i 

v

2

 i przesuniemy je tak, aby ich początki znalazły się 

w jednym punkcie O

1

 (rys. 5.3), to widzimy, że prędkość w czasie  

∆t =  t

2

 – t

1

 

uzyskała przyrost 

∆v = v

2

 – 

v

1

. Końce tych wektorów leżą na linii, którą nazywamy 

hodografem prędkości

. 

 
 
 

 

v

1

 

O

1

 

∆v

∆

∆

v
t

v

2

 

a

v

=

d

dt

hodograf prędkości 

 

 

Rys. 5.3. Przyśpieszenie punktu 

 

Wielkością charakteryzującą zmianę prędkości w czasie jest wektor 

∆v/∆t 

o kierunku przyrostu prędkości 

∆v. Jeżeli przyrost czasu ∆t będzie dążył do zera, to 

w granicy otrzymamy pochodną prędkości 

v względem czasu, nazywaną 

przyśpieszeniem 

a punktu M: 

lim

t 0

∆

∆

∆

→

=

=

v

v

a

t

d

dt

. 

 

  Przyśpieszenie  punktu  jest pochodną prędkości  względem czasu albo drugą 
pochodną wektora wodzącego  względem czasu

. 

 

a

v

=

=

d

dt

d

dt

2

2

r

k

.                   (5.9) 

 

Kierunek przyśpieszenia jest styczny do hodografu prędkości v. 
 W 

prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z przyśpieszenie  a możemy 

zapisać w następujący sposób: 

a

i

j

=

+

+

a

a

a

x

y

z

.                 (5.10) 

 

W celu wyznaczenia współrzędnych przyśpieszenia zróżniczkujemy względem 
czasu prędkość wyrażoną wzorem (5.6): 

 

a

v

i

j

=

=

+

+

d

dt

dv

dt

dv

dt

dv

dt

x

y

z

k .             (5.11) 

 

Po uwzględnieniu zależności (5.7) współrzędne przyśpieszenia będą opisane 
zależnościami: 

 

a

dv

dt

d x

dt

a

dv

dt

d y

dt

a

dv

dt

d z
dt

x

x

y

y

z

z

=

=

=

=

=

=

2

2

2

2

2

2

,

,

.         (5.12) 

 
 

 Z 

powyższych wzorów wynika, że współrzędne przyśpieszenia punktu w 

nieruchomym prostokątnym układzie współrzędnych są pierwszymi pochodnymi 
względem czasu współrzędnych prędkości lub drugimi pochodnymi względem 
czasu odpowiednich współrzędnych tego punktu. 
 Znając współrzędne przyśpieszenia, jego moduł obliczymy ze wzoru:  

 

a

a

a

a

x

y

=

+

+

2

2

z

2

. 

         

 

 

(5.13) 

 

 

5.2.2. Prędkość i przyśpieszenie punktu w naturalnym układzie  

współrzędnych 

 
  W poprzednim punkcie wyznaczyliśmy współrzędne prędkości  v i 
przyśpieszenia  a w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Na podstawie 
takiego postępowania nie można ustalić, jak porusza się punkt względem toru L i 
jak zmieniają się moduły i kierunki wektorów prędkości  v i przyśpieszenia  a w 
funkcji przebytej drogi l. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie 
przyjmijmy w punkcie M lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach s, 
n, b o kierunkach odpowiednio stycznym s, normalnym n i binormalnym b do 
krzywej w rozważanym punkcie M (rys. 5.4). Kierunki osi s, n, b takiego układu 
współrzędnych będą określone odpowiednio wersorami e

s

,  e

n

 i e

b

. Tak 

zdefiniowane wersory e

s

,  e

n

 i e

b

 wyznaczają w każdym punkcie linii (toru) L 

prawoskrętny układ współrzędnych, który nazywamy układem naturalnym. 
 

z

y

x

 r(l)

M

 

O

s

b

e

s

e

n

e

b

L

n

 

 

Rys. 5.4. Ruch punktu w naturalnym układzie współrzędnych 

 

 Wykażemy,  że jeżeli dane jest wektorowe równanie toru w funkcji drogi l 
mierzonej wzdłuż toru: 

( )

r r

= l ,                      (5.14) 

to wersory te są opisane wzorami: 

 

e

r

e

r

e

e

e

s

s

n

b

d

dl

d

dl

=

=

=

,

,

ρ

2

2

n

×

,              (5.15) 

 

gdzie 

ρ jest promieniem krzywizny w punkcie M. 

  W tym celu przedstawmy fragment linii L w płaszczyźnie  ściśle stycznej sn 
widzianej od strony strzałki osi binormalnej b (rys. 5.5). Na torze (linii) obierzmy 
punkt M i drugi M

′ tak, aby długość  ∆l drogi mierzona po łuku MM′ była 

niewielka. Jeżeli weźmiemy granicę ilorazu przyrostu wektora wodzącego 

∆r i 

przyrostu drogi 

∆l 

lim

,

∆

∆

∆

→

=

0

r

r

l

d

dl

 

to otrzymamy pochodną wektora wodzącego  r względem drogi l. Moduł tej 
pochodnej jest równy jedności, ponieważ gdy 

∆l będzie dążyć do zera, to długość 

cięciwy MM

′ = ∆r będzie dążyć do długości łuku ∆l: 

 

lim

l 0

∆

∆

∆

→

=

=

r

r

l

d

dl

1 . 

 

Zatem pochodna wyrażona wzorem: 

e

r

s

=

d

dl

 

 

jest równa wersorowi stycznej e

s

 do toru w punkcie M. 

 

 

r(l+

∆l)

O 

M 

M

N

∆e

s

 

e

s

s 

e

s

 

∆r

r(l)

 

n 

n

′ 

e

n

ρ 

L

′

e

s

 

 

Rys. 5.5. Ruch punktu w płaszczyźnie ściśle stycznej 

 

 Aby 

udowodnić  słuszność wzoru na wersor normalnej e

n

 w punkcie M, 

wykreślamy styczną s oraz jej wersor e

s

 i normalną n, a w punkcie M

′ wersor 

stycznej 

 i normalną  n

′. Punkt przecięcia osi n′ i n oznaczymy przez N. 

Widzimy,  że wersor 

e

′

e

s

s

 podczas przemieszczania się z punktu M do M

′ doznał 

przyrostu 

∆e

s

. Jeżeli zbudujemy wektor będący ilorazem przyrostu 

∆e

s

 i długości 

łuku 

∆l i wyznaczymy granicę tej wielkości przy ∆l dążącym do zera, to 

otrzymamy drugą pochodną wektora wodzącego

 r względem drogi l: 

 

lim

l 0

∆

∆

∆

→

=

=

e

e

r

s

s

l

d

dl

d

dl

2

2

.                  (a) 

Kierunek tego wektora będzie normalny do krzywej w punkcie M, ponieważ jeżeli 
punkt M

′ będzie się zbliżał do punktu M, to kąt między przyrostem ∆e

s

 i wersorem 

e

s

 będzie dążył do kąta prostego. Można to też wykazać analitycznie. Wiadomo, że 

iloczyn wersora pomnożonego skalarnie przez siebie będzie równy jedności: 

 

e e

s

s

⋅ = 1.  

 

Po zróżniczkowaniu tej zależności względem czasu mamy: 

 

e

e

s

s

d

dt

⋅

= 0   lub   e

e

s

s

⋅

=

d

dl

dl
dt

0 , 

 

a po podzieleniu przez dl/dt 

e

e

e

r

s

s

s

⋅

= ⋅

=

d

dl

d

dl

2

2

0 . 

 

 Z 

powyższego wynika, że druga pochodna wektora wodzącego względem drogi 

jest wektorem prostopadłym do osi stycznej s. 
 Wyznaczymy obecnie moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego  r 
względem drogi l. Z rysunku 5.5 można zauważyć, że dla małych przyrostów 

∆r 

trójkąt e

s

 

∆e

s

   i trójkąt N M M

′ są podobne. Możemy zatem  napisać: 

′

e

s

 

∆

∆

e

r

e

s

s

=

MN

. 

 

Wiadomo także,  że gdy 

∆l będzie dążyć do zera, to długość przyrostu ∆r będzie 

dążyć do długości łuku 

∆l, czyli ⏐∆r⏐ = ∆l. Powyższą równość zapiszemy zatem  

w postaci: 

∆

∆

e

e

s

s

l

MN

=

, 

 

a po obliczeniu granicy tej równości mamy: 

 

lim

l 0

∆

∆

∆

→

=

=

=

=

=

e

e

r

e

s

s

s

l

d

dl

d

dl

MN

MN

2

2

1

1

ρ

, 

 

ponieważ z geometrii analitycznej wiadomo, że granica: 

 

lim

M

M

′→

′ =

M N

ρ  

 

jest promieniem krzywizny, czyli promieniem koła  ściśle stycznego w 
rozpatrywanym punkcie. 
 Ostatecznie 

moduł drugiej pochodnej wektora wodzącego  r względem drogi l 

jest równy odwrotności promienia krzywizny, nazywanej krzywizną 
w rozważanym punkcie:  
 

d

dl

2

2

1

r =

ρ

.                     (5.16) 

 

  Wersor osi normalnej e

n

 otrzymamy przez podzielenie wektora (a) o kierunku 

normalnej przez jego moduł (5.16): 

 

e

r

r

r

r

n

d

dl

d

dl

d

dl

d

dl

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

2

1

ρ

ρ

. 

 

  Dla wyprowadzenia wzorów na prędkość  v i przyśpieszenie  a punktu M 
przedstawimy wektor wodzący r(t) w postaci funkcji złożonej: r(t) = r[l(t)]. 
  Z definicji prędkości i ze wzoru (2.51) na obliczanie pochodnej funkcji złożonej 
mamy: 

v

r

r

=

=

d

dt

d

dl

dl
dt

. 

 

W powyższym wzorze pierwsza pochodna jest wyliczonym wersorem e

s

 osi 

stycznej s, a druga modułem prędkości równym pochodnej drogi względem czasu: 

 

v

dl
dt

=

.                       (5.17) 

Zatem prędkość przedstawia wzór: 
 

v

e

= v

s

.                    (5.18) 

 

Otrzymaliśmy zatem potwierdzenie, że prędkość punktu jest styczna do toru. 
 Przyśpieszenie obliczymy, licząc pochodną prędkości względem czasu. 
Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu, otrzymamy: 

 

a

e

e

e

e

e

r

s

s

s

s

s

=

+

=

+

=

+

dv

dt

v

d

dt

dv

dt

v

d

dl

dl
dt

dv

dt

v

d

dt

2

2

2

. 

 

 Po podstawieniu do tego wzoru zależności na wersor normalnej: 

 

d

dl

2

2

r

e

n

=

ρ

 

 

otrzymujemy wzór na przyśpieszenie punktu M w naturalnym układzie 
współrzędnych: 
 

a

e

s

=

+

dv

dt

v

2

ρ

e

n

n

                   (5.19) 

lub 

a a

a

s

= +

.                    (5.20) 

 

  Z otrzymanego wzoru wynika, że przyśpieszenie w rozważanym układzie 
współrzędnych s, n, b ma dwie składowe: styczną a

s

 i normalną a

n

  (skierowaną do 

środka krzywizny) i  leży w płaszczyźnie  ściśle stycznej sn. Moduły tych 
składowych są następujące: 
 

a

dv

dt

a

v

s

n

=

=

,

2

ρ

, 

 

        

 

(5.21) 

 

a wartość przyśpieszenia całkowitego obliczymy ze wzoru: 

 

a

a

a

s

=

+

2

n

2

.                     (22) 

 

  Ze wzorów (5.21) widać,  że przyśpieszenie styczne a

s

 jest miarą zmiany 

prędkości i jest równe zeru, gdy moduł prędkości będzie stały, z kolei 
przyśpieszenie normalne a

n

 jest miarą zakrzywienia toru. W ruchu prostoliniowym 

przyśpieszenie normalne jest równe zeru. 
  W ruchu punktu po krzywej płaskiej znane są kierunki składowych 
przyśpieszenia albo ich wyznaczenie nie nastręcza większych trudności, ponieważ 
wektory obu składowych przyśpieszenia będą leżały w płaszczyźnie ruchu.  
W przypadku ruchu   przestrzennego punktu przy obliczaniu omawianych 
składowych przyśpieszenia mogą się pojawić trudności natury matematycznej. 
 
 
 
 
 
 
 

  Przykład 5.1. Punkt porusza się w płaszczyźnie xy zgodnie z równaniami 
ruchu: 

 

x

t

= −

+

−

4

1

3

2

, y =

t . 

 

Wyznaczyć równanie toru, prędkość, przyśpieszenie styczne normalne i całkowite 
oraz promień krzywizny dla czasu t

1

 = 0,5 s. Przyjąć wymiary w metrach, a czas 

w sekundach. 
  Rozwiązanie. W celu wyznaczenia równania toru punktu należy z równań ruchu 
wyeliminować parametr t (czas). Po wyznaczeniu z drugiego równania ruchu czasu 
i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy: 
 
 

(

)

y

x

2

9
4

1

= −

− .  

 

Równanie to przedstawia parabolę. 
 Współrzędne prędkości punktu wyznaczymy ze wzorów (5.7), a jej moduł ze 
wzoru (5.8). 

v

dx

dt

t

dy

dt

x

=

= −

=

= −

8

3

, v

y

, 

( )

s

m

5

25

9

2

1

64

t

v

a

,

9

t

64

v

v

v

2

1

2

2
y

2
x

/

=

=

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

+

=

+

=

. 

 

Współrzędne przyśpieszenia i jego wartość wyliczymy ze wzorów (5.12) i (5.13): 

 

a

dv

dt

dv

dt

x

x

y

=

= −

=

=

8

0

, a

y

, 

a

a

a

m s

x

y

=

+

=

+ =

2

2

64 0

8

/

2

. 

 

Przyśpieszenie styczne obliczymy z pierwszego wzoru (5.21): 

 

a

dv

dt

t

t

t

t

s

=

=

⋅

+

=

+

2 64

2 64

9

64

64

9

2

2

, 

( )

a t

m s

s

1

2

2

64

1
2

64

1
2

9

32

25

6 4

=

⋅

⎛
⎝⎜

⎞
⎠⎟

+

=

= ,

/

. 

W celu wyznaczenia przyśpieszenia normalnego przekształcimy wzór (5.22) do 
postaci: 

a

a

a

n

s

=

−

2

2

. 

 

Po podstawieniu do tego wzoru wyliczonych wyżej wartości liczbowych 
otrzymamy przyśpieszenie normalne w chwili  : 

t

1

 

( )

( )

a t

m s

n

1

2

2

2

8

6 4

4 8

=

−

=

,

,

/

. 

 

Promień krzywizny obliczymy z drugiego wzoru (5.21): 
  Przykład 5.2. Dane są kinematyczne równania ruchu punktu M w 
prostokątnym układzie współrzędnych: 

 

x

t

t

t

= − −

−

−

2 3

6

3

2

3

2

2

, y = 3

t , 

 

gdzie x i y są podane w metrach, a czas w sekundach. Wyznaczyć równanie toru, 
promień krzywizny, prędkość, przyśpieszenie styczne, normalne i całkowite. Tor 
oraz składowe prędkości i przyśpieszenia dla chwili początkowej t = 0 przedstawić 
na rysunku. 

 

  Rozwiązanie. Jeżeli drugie równanie ruchu pomnożymy stronami przez 

 

i dodamy do pierwszego, to otrzymamy równanie toru w postaci: 

− 2

 

y

x

=

+

1
2

2 . 

 
 

x

0

y

x

v

0

a

v

0x

v

0y

a

y

a

x

B

A

O

M

y

0

 

 

Rys. 5.6. Prędkość i przyśpieszenie punktu we współrzędnych prostokątnych na  

   płaszczyźnie 

 
Jest to równanie prostej, która  odcina na osi odciętych odcinek OA  = 4 m i na osi 
rzędnych odcinek OB = 2 m (rys. 5.6). Położenie punktu M na prostej (torze) dla 

chwili początkowej t = 0 wyznaczymy z równań ruchu:  x

0

2

= , y = 3

0

. Ponieważ 

promień krzywizny jest równy nieskończoności (

∞

=

ρ

), przyśpieszenie normalne 

jest równe zeru: 

 

a

v

n

=

=

2

0

ρ

. 

 

Współrzędne prostokątne prędkości i przyśpieszeń oraz ich moduły obliczymy tak 
jak w poprzednim przykładzie. 

Prędkość: 

 

(

)

(

)

v

dx

dt

t

dy

dt

t

x

=

= −

+

=

= −

+

3 1 4

3

2

1 4

, v

y

, 

 

    (a) 

(

)

(

)

(

4t

+

1

5

2

3

=

t

4

1

4

1

t

4

1

3

v

v

v

2

2

2
y

2
x

+

+

+

=

+

=

)

.    (b) 

 

Przyśpieszenie: 

 

a

dv

dt

dv

dt

x

x

y

=

= −

=

= −

12

6

, a

y

, 

a

a

a

m s

x

y

=

+

=

+

=

2

2

2

2

12

6

6 5

/

2

. 

 

Przyśpieszenie styczne: 

a

a

dv

dt

m s

s

= =

=

⋅ =

3

2

5 4 6 5

2

/ . 

 

Z otrzymanych wyników widzimy, że punkt M porusza się po prostej ze stałym 

przyśpieszeniem skierowanym tak jak na rysunku. 
 Prędkości w chwili początkowej otrzymamy po podstawieniu do wzorów (a) i 
(b) t =  0. 

 

v

m

x

y

0

0

3

3

2

3

2

5

= −

= −

=

, v

, v

0

/ s . 

 
  Przykład 5.3. Trzpień AB (rys. 5.7a) jest dociskany do mimośrodu w kształcie 
tarczy kołowej o promieniu r tak, że cały czas pozostaje z nim w kontakcie. Oś 
obrotu mimośrodu przechodzi przez punkt O oddalony od środka tarczy C o OC = 
e. Mimośród obraca się wokół osi obrotu ze stałą prędkością  kątową 

. 

Wyznaczyć prędkość i przyśpieszenie trzpienia dla czasu t

ω π

=

−

s

1

1

 = 0,5 s, jeżeli oś 

trzpienia pokrywa się z  osią x tak jak na rysunku. 
 

  Rozwiązanie. Dla obliczenia prędkości i przyśpieszenia trzpienia musimy 
ułożyć jego równanie ruchu, np. równanie punktu A. Na podstawie rys. 5.7b 
możemy napisać: 

(

)

x

OA OD DA e

CD

e

r

e

e

r

e

A

=

=

+

=

−

=

=

+

−

=

+

−

cos + r

cos

sin

cos

sin

2

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

2

2

2

ϕ

. 

 

y 

O 

A 

C 

B

r 

x

y

O

A

C

B 

r

x 

D

e

ϕ

a) 

b)

 

 

Rys. 5.7. Wyznaczenie ruchu trzpienia AB 

 

Po podstawieniu do tej zależności, zgodnie z treścią zadania, 

 

otrzymamy równanie ruchu punktu A: 

t

t

π

=

ω

=

ϕ

 

x

e

r

e

A

=

+

−

cos t

sin

2

π

2

2

t

π .               (a) 

 

Prędkość punktu A otrzymamy po obliczeniu pochodnej tego równania względem 
czasu: 

 

=

π

−

π

π

π

−

π

π

−

=

=

t

sin

e

r

2

t

cos

t

sin

e

+

t

sin

e

dt

dx

v

2

2

2

2

A

A

 

( )

.

t

sin

e

r

t

2

sin

4

e

t

sin

e

2

2

2

2

π

−

π

π

−

π

π

−

=

 

 

     (b) 

 

Po zróżniczkowaniu powyższego wzoru względem czasu i uporządkowaniu 
wyrazów otrzymamy przyśpieszenie: 

 

( )

(

)

( )

(

)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

π

−

π

−

π

π

+

π

−

π

π

π

π

−

=

t

sin

e

r

t

sin

e

r

t

2

sin

4

e

t

sin

e

r

t

2

cos

2

4

e

+

t

cos

e

a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A

.     (c) 

 

Po podstawieniu do wzorów (b) i (c) t

1

 = 0,5 s otrzymamy wartość prędkości 

i przyśpieszenia dla tego czasu: 

 

( )

( )

2

2

2

2

1

A

1

A

e

r

2

e

t

a

,

e

t

v

−

π

=

π

−

=

. 

 

5.3.1. Zmiana układów odniesienia 

 
 Z 

każdą bryłą sztywną możemy związać układ współrzędnych opisujący ruch 

tej bryły  w przestrzeni. Dlatego w dalszym ciągu w kinematyce bryły będziemy 

się zajmować głównie 
wzajemnym ruchem układów 
współrzędnych. Znając  ruch 
układu współrzędnych 

′ ′ ′

x y z

, ,

 (rys. 5.8) sztywno 

związanego z bryłą (układu 
ruchomego) względem 
nieruchomego układu 
odniesienia x, y, z, będziemy 
mogli obliczyć prędkość 
i przyśpieszenie wszystkich 
punktów bryły. W dalszej ko-
lejności wyprowadzimy 
zależności geometryczne 
pomiędzy tymi układami 
współrzędnych.  

 

y 

i 

z 

x

′ 

z

′ 

y

′

x 

r

O′

 

r

′ 

r

′

M

i

′ 

j

′ 

k

′ 

O

′ 

j

k 

O 

 

 

Rys. 5.8. Wyznaczenie zależności pomiędzy układami

współrzędnych 

 
 
 

W tym celu ustalmy zależności pomiędzy współrzędnymi w obu układach tego 
samego punktu M. 

W pierwszej kolejności rozpatrzmy zależności pomiędzy wersorami obu 

układów współrzędnych. Wersory 

′ ′ ′

i j k

, ,

 ruchomego układu współrzędnych 

 zapiszemy w układzie nieruchomym x, y, z: 

 

′ ′ ′

x y z

, ,

 

( ) ( ) ( )

k

k

i

j

j

i

i

i

i

i

⋅′

+

⋅′

+

⋅′

=

′

.                   (a) 

 

Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów są rzutami wersora   
odpowiednio na osie x, y, z, są one również kosinusami kierunkowymi między osią 

a osiami x, y, z, które oznaczymy 

: 

′i

′

x

p

p

p

x x

x y

x z

′

′

,   ,

′

 

(

)

(

)

( )

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=

′

=

⋅′

=

′

=

⋅′

=

′

=

⋅′

′

′

′

.

p

z

,

x

cos

,

p

y

,

x

cos

,

p

x

,

x

cos

z

x

y

x

x

x

k

i

j

i

i

i

                   (b) 

 

Podstawiwszy powyższe oznaczenia do wzoru (a) oraz postąpiwszy podobnie 
z wersorami 

′ ′

j k

i

 otrzymamy wzory: 

 

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

+

+

=

′

+

+

=

′

+

+

=

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

.

p

p

p

,

p

p

p

,

p

p

p

z

z

y

z

x

z

z

y

y

y

x

y

z

x

y

x

x

x

k

j

i

k

k

j

i

j

k

j

i

i

               (5.23) 

 

 Widzimy, 

że do zapisania wersorów ruchomego układu współrzędnych w 

układzie nieruchomym należy znać dziewięć kosinusów kierunkowych 
zestawionych w poniższej tabeli. 
 
 

 

  x  y  z 
  i  j  k 
x

′  i′ 

p

x

′x

p

x

′y

p

x

′z

y

′  j′ 

p

y

′x

p

y

′y

p

y

′z

z

′ 

k

′  p

z

′x

p

z

′y

p

z

′z

 

Między tymi dziewięcioma kosinusami kierunkowymi istnieje sześć zależności. 

Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).  

 

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

=

+

+

=

′

⋅′

=

+

+

=

′

⋅′

=

+

+

=

′

⋅′

=

+

+

=

′

⋅′

=

+

+

=

′

⋅′

=

+

+

=

′

⋅′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

.

0

p

p

p

p

p

p

,

0

p

p

p

p

p

p

,

0

p

p

p

p

p

p

,

1

p

p

p

,

1

p

p

p

,

1

p

p

p

z

x

z

z

y

x

y

z

x

x

x

z

z

z

z

y

y

z

y

y

x

z

x

y

z

y

z

x

y

y

y

x

x

y

x

x

z

z

2

y

z

2

x

z

2

z

y

2

y

y

2

x

y

2

z

x

2

y

x

2

x

x

i

k

k

j

j

i

k

k

j

j

i

i

            (5.24) 

 

Dla wyznaczenia położenia układu współrzędnych 

′ ′ ′

x y z

, ,

  względem układu x, 

y, z  wystarczy podać 6 wielkości: 

a) trzy współrzędne wektora 

(

)

r

′

′

′

′

O

O

O

O

x

y

z

,

,

, 

b) trzy niezależne kosinusy kierunkowe. 

  Obecnie wyznaczymy współrzędne wektora wodzącego r punktu M w układzie 
x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, że wektor wodzący r tego punktu możemy zapisać 
jako sumę dwóch wektorów: 
 

r r

r

=

+ ′

′

O

.                  (5.25) 

 

Wektor 

 jest wektorem łączącym początki obu układów współrzędnych. 

Zapiszemy go analitycznie w układzie współrzędnych x, y, z: 

r

′

O

 

r

i

j

′

′

′

′

k

=

+

+

O

O

O

O

x

y

z

.                  (5.26) 

 

Wektor 

 jest wektorem wodzącym punktu M w układzie 

′

r

′ ′ ′

x y z

, ,

.    Można go 

wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:  

 

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

r

i

j

x

y

z k .                 (5.27) 

 

Po podstawieniu wzorów (5.26) i (5.27) do równania (5.25) otrzymamy: 

 

r r

r

i

j

k

i

j

k

=

+ ′ =

+

+

+ ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

′

′

′

′

O

O

O

O

x

y

z

x

y

z

. 

 

  (5.28) 

 

Po zrzutowaniu powyższego wektora na osie układu współrzędnych x, y, z  oraz 
wykorzystaniu zależności (b) otrzymamy jego współrzędne w tym układzie 
współrzędnych: 
 

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

′

+

′

+

′

+

=

⋅

=

′

+

′

+

′

+

=

⋅

=

′

+

′

+

′

+

=

⋅

=

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

.

p

z

p

y

p

x

z

z

,

p

z

p

y

p

x

y

y

,

p

z

p

y

p

x

x

x

z

z

z

y

z

x

O

y

z

y

y

y

x

O

x

z

x

y

x

x

O

k

r

j

r

i

r

             (5.29) 

 

  W podobny sposób można wyrazić współrzędne wektora r w układzie 

. 

′ ′ ′

x y z

, ,

 Analogicznie 

można zapisać dowolny wektor c dany w jednym układzie 

współrzędnych w drugim. 

 

5.3.2. Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu 
           ogólnym 

 
  Dla rozpatrzenia kinematyki bryły przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie, 
dwa układy współrzędnych prostokątnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i 
początku w punkcie O, a drugi o osiach 

′ ′ ′

x y z

, ,

 i początku w dowolnym punkcie 

(biegunie)

, poruszający się razem z bryłą (rys. 5.8). 

′

O

 Wektor 

wodzący dowolnego punktu M bryły w nieruchomym układzie 

współrzędnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sumą dwóch wektorów 

,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1: 

r

r

′

′

O

i

  

r r

r

=

+ ′

′

O

. 

 

  Wiadomo z kinematyki punktu, że prędkość punktu jest pochodną wektora 
wodzącego  r względem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukaną prędkość punktu M 
wyraża zależność: 
 

v

r

r

=

+

′

′

d

d

d t

O

d t

.                  (5.30) 

 Pochodna 

wektora 

r  względem czasu jest prędkością punktu 

′

O

′

O : 

 

v

r

i

j

′

′

′

′

=

=

+

+

O

O

O

O

O

d

dt

dx

dt

dy

dt

dz

dt

k

′

. 

      (a) 

 

Po zróżniczkowaniu względem czasu wzoru (5.27) otrzymamy: 

 

d

dt

dx

dt

dy

dt

dz

dt

x

d

dt

y

d

dt

z

d

dt

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′+ ′ ′ + ′ ′ + ′ ′

r

i

j

k

i

j

k

.       (b) 

 

Ponieważ wektor   jest wektorem łączącym dwa punkty bryły sztywnej, więc 
jego moduł jest stały, 

′

r

′ =

r

const , a co za tym idzie, jego współrzędne 

  są 

wielkościami stałymi niezależnymi od czasu. Zatem ich pochodne względem czasu 
są równe zeru. 

′ ′

x y z

, ,

′

 

dx

dt

dy

dt

dz

dt

′ = ′ = ′ = 0. 

 

Wzór (b) przyjmuje więc postać: 

 

d

dt

x

d

dt

y

d

dt

z

d

dt

′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′

r

i

j

k

. 

 

      

 

 

 

(c) 

 

Występujące w tym wzorze pochodne względem czasu wersorów 

′ ′

i j k

, ,

′   układu 

ruchomego są miarą zmiany ich kierunków w czasie, ponieważ ich moduły są stałe. 
Można wykazać [9], że pochodne te można wyrazić za pomocą wzorów: 

 

k

ω

k

j

ω

j

i

ω

i

′

×

=

′

′

×

=

′

′

×

=

′

t

d

d

,

t

d

d

,

t

d

d

. 

    (5.31) 

 

Wektor 

ω jest prędkością kątową charakteryzującą zmiany kierunków osi 

w czasie. W ruchomym układzie współrzędnych prędkość  kątową 

ω można 

wyrazić za pomocą współrzędnych: 

z

y

x

′

′

′ ,

,

 

=

ω

ω

ω

ω

′

′

′

′+

′+

′

x

y

z

i

j

k .                   (d) 

 

Po podstawieniu zależności (5.31) do wzoru (c) otrzymamy: 
 

(

)

(

) (

)

(

k

j

i

ω

k

ω

j

ω

i

ω

r

′

′

+

′

′

+

′

′

×

=

′

×

′

+

′

×

′

+

′

×

′

=

′

z

y

x

z

y

x

t

d

d

)

. 

 

Wyrażenie występujące w nawiasie, zgodnie z zależnością (5.27), jest wektorem 

. Zatem 

′

r

 

r

ω

r

′

×

=

′

t

d

d

.                       (e) 

 

Po podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzór 
na prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu ogólnym. 

 

r

ω

v

v

′

×

+

=

′

O

.                   (5.32) 

 

  Z otrzymanego wzoru wynika, że prędkość dowolnego punktu M bryły jest 
równa sumie prędkości 

 dowolnie obranego bieguna 

v

′

O

′

O ,  przyjętego za 

początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego 

 

prędkości kątowej 

ω i promienia wodzącego 

r

ω

′

×

′

r  punktu M w ruchomym układzie 

współrzędnych. 
   
 
Na podstawie wzoru (5.32) możemy ponadto sformułować następujące wnioski: 

a) Prędkość punktu 

 zależy od wyboru tego punktu. 

′

O

b) Prędkość kątowa 

ω nie zależy od wyboru punktu  ′

O , lecz jedynie od zmiany 

kierunków osi 

 w czasie. 

′ ′

x y z

, ,

′

c) Mimo zmiany punktu 

′

O   prędkość punktu M nie ulegnie zmianie, ponieważ 

zmieni się również odpowiednio wyrażenie 

r

ω

′

×

. 

 Po 

zróżniczkowaniu względem czasu wzoru na prędkość (5.32) otrzymamy 

przyśpieszenie punktu M: 

 

t

d

d

t

d

d

t

d

d

t

d

d

O

r

ω

r

ω

v

v

a

′

×

+

′

×

+

=

=

′

. 

      (f) 

 

Po oznaczeniu przyśpieszenia początku 

′

O  ruchomego układu współrzędnych 

przez 

 

a

v

′

′

=

O

O

d

dt

                       (g) 

oraz przyśpieszenia kątowego przez 
 

t

d

d ω

ε

=

                       (h) 

 

i wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie końcową postać: 

 

(

)

r

ω

ω

r

ε

a

a

′

×

×

+

′

×

+

=

′

O

.                (5.33) 

 

Wzór ten można przedstawić w nieco innej postaci po rozpisaniu występującego 
w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zależnością (2.34): 

 

(

)

r

ω

ω

r

ε

a

a

′

⋅

+

′

×

+

=

′

O

r′

−

2

ω

.                  (5.34) 

   

Ze wzorów na prędkość (5.32) i przyśpieszenie (5.33) wynika, że aby 

wyznaczyć prędkość i  przyśpieszenie dowolnego punktu M bryły, należy znać 
cztery wielkości wektorowe charakteryzujące ruch ogólny bryły: 

a) prędkość 

 i przyśpieszenie  a  jednego z punktów bryły 

 (bieguna), 

v

′

O

′

O

′

O

b) prędkość kątową 

ω i przyśpieszenie kątowe bryły ε. 

  Wyprowadzone w tym punkcie wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego 
punktu bryły w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w następnych 
punktach tego rozdziału szczególnych przypadków ruchu ogólnego bryły, czyli 
postępowego, obrotowego, śrubowego, płaskiego i kulistego. 

 

5.3.3. Ruch postępowy 

 
  Ruch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeżeli dowolna prosta sztywno 
związana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położenia 
początkowego. 

  

 Z 

powyższej definicji wynika, że każda z osi układu współrzędnych 

 

przedstawionego na rys. 5.8 będzie miała w ruchu postępowym  ten sam kierunek. 
Podobnie wektor 

 nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem 

będzie on wektorem stałym niezależnym od czasu: 

′ ′ ′

x y z

, ,

′ = ′

r

O M

const,

=

′

r

 więc jego pochodna 

we wzorze (5.30) będzie równa zeru. Stąd prędkość dowolnego punktu bryły 
wyraża zależność: 

v

r

v

=

=

′

′

d

dt

O

O

.                   (5.35) 

Po zróżniczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przyśpieszenie. 

 

a

r

v

a

=

=

=

′

′

′

d

dt

d

dt

O

O

O

2

2

.               (5.36) 

 

  Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu postępowego wynikają 
następujące wnioski: 

a) Wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same 

prędkości  

 i przyśpieszenia 

w tej samej chwili czasu. 

v

′

O

a

′

O

b) Tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt. 
c) Dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego 

punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O´, 

 

( )

r

r

′

′

=

O

O

t .

 

5.3.4. Ruch obrotowy 

 
 Ruch 

bryły sztywnej nazywamy obrotowym, jeżeli istnieje jedna prosta związana 

z bryłą, której punkty w czasie ruchu pozostają w spoczynku. 

 

 Załóżmy, że osią obrotu jest oś  . 
Dla ułatwienia rozważań przyjmiemy 
układ współrzędnych związany z 
bryłą tak, aby oś 

′

z

′

z  pokrywała się z 

osią z układu nieruchomego oraz aby 
jego początek 

′

O  znajdował się w 

punkcie O, jak na rys. 5.9. 
 Ponieważ wersor k

′= const, co 

wynika z pokrywania się osi    z  osią 
obrotu, jego pochodna względem 
czasu jest równa zeru. Zatem z 
wyrażenia: 

′

z

0

t

d

d

=

′

×

=

′

k

ω

k

 

 
wynika,  że wektor 

ω leży  na osi 

obrotu. Z osią obrotu pokrywa się również wektor przyśpieszenia kątowego 

ε. W 

tej sytuacji wektory te można zapisać w następujący sposób: 

 

x 

x

′ 

y 

y

′

 

z=z

′ 

O=O

′ 

r=r

′ 

M 

ω 

ε

ϕ 

ϕ 

 

Rys. 5.9. Ruch obrotowy bryły sztywnej 

wokół stałej osi obrotu 

k

k

ε

k

k

ω

ε

ε

oraz

z

z

=

′

=

′

ω

=

′

ω

=

′

′

.          (5.37) 

 

 Jeżeli kąt między osiami stałą x i ruchomą 

′

x  oznaczymy przez 

ϕ, to zależność 

ϕ = ϕ(t) jest równaniem ruchu obrotowego bryły wokół stałej osi. Można wykazać 
[9], że pochodna względem czasu kąta obrotu 

ϕ jest modułem prędkości kątowej, a 

druga pochodna modułem przyśpieszenia kątowego: 
 

 

2

2

t

d

d

t

d

d

ε

 

,

t

d

d

ϕ

=

ω

=

ϕ

=

ω

.                 (5.38) 

 

  Z rysunku 5.9 widać,  że promień wodzący 

 punktu M jest równy  r , 

ponieważ   

. Tym samym 

r

′

r

OO

′

=

′ =

O

0

v

a

′

′

=

=

O

O

i

0

0 . Uwzględniwszy 

powyższe zależności we wzorach na prędkość (5.32) i przyśpieszenie (5.33) punktu  
w ruchu ogólnym, otrzymamy wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego 
punktu bryły w ruchu obrotowym wokół stałej osi obrotu: 

 

r

ω

v

′

×

=

,                    (5.39) 

(

)

r

ω

ω

r

ε

a

′

×

×

+

′

×

=

.                 (5.40) 

 

Przyśpieszenie można zapisać w postaci: 

 

(

)

r

ω

ω

r

ε

a

′

⋅

+

′

×

=

r′

ω

−

2

.                (5.41) 

Dla ilustracji wektory prędkości przedstawimy na rys. 5.10. 

 

 .

 

a

n

= 

ω x (ω x r′)

r=r

′ 

a

s

= 

ε x r′ 

ω(ω.r′) 

-

ω

2

r

′ 

v = 

ω x r′ 

a 

ω 

ε 

O

l 

M

⋅

 

 

Rys. 5.10. Składowe prędkości i przyśpieszenia w ruchu obrotowym bryły 

 

  Na podstawie wzorów (5.39), (5.40) i (5.41) oraz rys. 5.10 możemy 
sformułować następujące wnioski: 

a) Prędkość jest prostopadła do płaszczyzny przechodzącej przez oś obrotu l 

i punkt M, czyli jest styczna do okręgu zakreślonego przez punkt M. 

b) Przyśpieszenie punktu M ma dwie składowe: styczną do toru punktu M, 

równą 

r

ε

a

′

×

=

s

, nazywaną  przyśpieszeniem stycznym, i normalną, równą 

(

r

ω

ω

a

)

′

×

×

=

n

, prostopadłą do 

r

ω

v

ω

′

×

=

i

, czyli skierowaną do środka krzy-

wizny toru punktu M, nazywaną przyśpieszeniem normalnym lub dośrodkowym. 

c) Przyśpieszenie normalne można rozłożyć na składową równoległą do osi 

obrotu 

(

r

ω

ω

)

′

⋅

 i składową skierowaną do obranego punktu O równą  

. 

r′

ω

−

2

  Gdy punkt odniesienia przyjmiemy w środku okręgu zakreślonego przez punkt 
M, wtedy składowa przyśpieszenia normalnego równoległa do osi obrotu będzie 
równa zeru, 

, a przyśpieszenie normalne 

. W tym 

(

)

0

=

′

⋅ r

ω

ω

r

a

′

ω

−

=

2

n

przypadku moduły prędkości, przyśpieszenia stycznego i normalnego wyrażają 
proste wzory: 

r

a

,

r

ε

a

,

r

v

2

n

s

′

ω

=

′

=

′

ω

=

. 

       

 

(5.42) 

 
  Przykład 5.4. Ciężar A zamocowany do linki nawiniętej na mały obwód 
kołowrotu (rys. 5.11) porusza się w dół ruchem postępowym prostoliniowym 

według równania: 

, przy czym t 

jest wyrażony w sekundach, a x w 
centymetrach. Obliczyć prędkość i 
przyśpieszenie punktu M leżącego na 
obwodzie dużego koła kołowrotu. 
Promienie kołowrotu wynoszą: R = 60 
cm, r = 20 cm. 

x

t

= 15

2

 

  Rozwiązanie. Prędkość liniowa 
ciężaru A  

v

dx

dt

t

t cm s

= 30

/

A

=

= ⋅

2 15

. 

 

Prędkość  kątową kołowrotu obliczymy 
na podstawie pierwszego wzoru (5.42): 

 

1

s

t

A

2

3

r

t

30

r

v

=

=

=

ω

−

. 

 

 

v

M

 

a

M

s

 

x 

ω 

A 

ε 

R

r 

a

M

a

M

n

O 

v

A

 

a

A

 

Rys. 5.11. Wyznaczenie prędkości i 

przyśpieszenia punktu M w ruchu 

b

Prędkość liniowa punktu M  

 

s

cm

t

90

t

r

R

30

R

r

t

30

R

v

M

/

=

=

=

ω

=

. 

 

Przyśpieszenie liniowe ciężaru A jest pochodną jego prędkości względem czasu:  

 

a

dv

dt

cm s

A

A

=

= 30

2

/

. 

 

Przyśpieszenie kątowe kołowrotu obliczymy na podstawie drugiego wzoru (5.42): 

2

A

s

2

3

r

30

r

a

ε

−

=

=

=

. 

 

Przyśpieszenie liniowe punktu M jest sumą wektorową składowej stycznej i nor- 
malnej: 

n
M

s
M

M

a

a

a

+

=

. 

 

Wartości tych składowych obliczymy z drugiego i trzeciego wzoru (5.42): 

 

2

2

2

2

2

n
M

2

s
M

s

cm

t

135

R

t

2

3

R

a

,

s

cm

90

R

2

3

R

a

/

/

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ω

=

=

=

ε

=

. 

 

Moduł przyśpieszenia punktu M  

 

( ) ( )

a

a

a

t

t cm

M

s

M

n

=

+

=

+

=

+

2

2

2 4

4

90

135

45 4 9

/ s

2

. 

 

5.3.5. Ruch śrubowy 

 
  W punkcie 5.3.2 wykazano, że prędkość dowolnego punktu M bryły w ruchu 
ogólnym jest sumą dwóch składowych: 

a) prędkości 

, która jest prędkością punktu O

′ (bieguna), 

v

′

O

b) prędkości 

 wynikającej z ruchu obrotowego bryły z prędkością kątową 

 wokół tego bieguna. 

r

ω

′

×

ω

  Po zmianie bieguna 

na inny nie zmieni się prędkość  kątowa 

, zmianie 

ulegnie natomiast prędkość bieguna 

 oraz kąt 

α zawarty pomiędzy wektorami 

 (rys. 5.12). W związku z tym nasuwa się pytanie, czy istnieje taki biegun 

redukcji C, w którym kąt D będzie równy zeru, czyli wektor v

′

O

ω

v

′

O

O

i

′

v

ω

C

 będzie równoległy 

do wektora prędkości kątowej 

ω. 

Wykażemy,  że dla wszystkich 
punktów C leżących na prostej l 
wektory te będą do siebie 
równoległe. 

 

  Znajdowanie takich punktów

 

C, dla których w każdej chwili 
czasu wektor v

C

  jest równoległy 

do wektora

 

,  nazywamy 

sprowadzaniem ruchu ogólnego 
bryły do ruchu śrubowego. 

ω

C

i

,

O

O

′

′

 

 
 
 
  Punkt C leży na prostej l 
równoległej do wektora  , nazywanej chwilową osią ruchu śrubowego.  

ω

 

O

O

′

v

O′

ω

C 

′

r

C

r

C

r

O

ω 

v

C

 

α

l

 

Rys. 5.12. Ruch śrubowy bryły 

  Dla wyznaczenia prędkości ruchu śrubowego  v

C

 i położenia chwilowej osi l 

ruchu śrubowego, 

, założymy, że znane są wektory 

r

. Prędkość 

punktu C zgodnie z równaniem (5.32) możemy wyrazić wzorem: 

′ = ′

r

O

C

ω

v

 

C

O

C

r

ω

v

v

′

×

+

=

′

.                   (5.43) 

 

Po pomnożeniu powyższego wzoru skalarnie przez 

ω

 otrzymamy: 

 

(

)

ω

r

ω

ω

v

ω

v

⋅

′

×

+

⋅

=

⋅

′

C

O

C

.                  (a) 

 

Jeżeli iloczyn mieszany występujący w tym wzorze przedstawimy zgodnie ze 
wzorem (2.31), to zauważymy, że jest on równy zeru. 

 

(

)

(

)

0

C

C

=

×

⋅

′

=

⋅

′

×

ω

ω

r

ω

r

ω

. 

 

W tej sytuacji równanie (a) upraszcza się do postaci 

 

ω

v

ω

v

⋅

=

⋅

′

O

C

. 

 

Ponieważ wektory po lewej stronie tego równania są równoległe, na podstawie 
definicji iloczynu skalarnego można napisać: 

 

ω

C

v

ω

v

⋅

=

′

O

.                      (b) 

 

Stąd moduł prędkości v

C

 punktu C 

 

ω

v

⋅

=

′

O

C

v

 

/ω.                   (5.44) 

 

 Prędkość  v

C

 punktu C otrzymamy po pomnożeniu  powyższego wzoru przez 

wektor jednostkowy 

ω/ω o kierunku osi l 

 

(

)

ω

ω

v

v

⋅

=

′

O

C

/ω

2

 .                (5.45) 

 

W celu wyznaczenia wektora 

 porównamy stronami wzory (5.43) i (5.45) na 

prędkość v

′

r

C

C

. Otrzymamy wtedy równanie wektorowe:  

 

(

)

ω

ω

v

r

ω

v

⋅

=

′

×

+

′

′

O

C

O

/ω

2

. 

Po przeniesieniu prędkości 

 na prawą stronę i sprowadzeniu do wspólnego 

mianownika mamy: 

v

′

O

 

=

′

×

C

r

ω

[

(

)

−

⋅

′

ω

ω

v

O

ω

2

v

′

O

] 

/ω

2 

lub  

=

′

×

C

r

ω

[

(

)

(

)

ω

ω

v

ω

v

ω

⋅

−

⋅

′

′

O

O

] 

/ω

2

. 

 

W porównaniu ze wzorem (2.34) łatwo zauważyć,  że wyrażenie występujące 
w nawiasie kwadratowym po prawej stronie tego równania jest rozwinięciem 
podwójnego iloczynu wektorowego. Zatem równanie to możemy zapisać w taki 
sposób: 

 

=

′

×

C

r

ω

[

(

)

O′

×

×

v

ω

ω

] 

/ω

2

 .            (5.46) 

 

 W 

powyższym równaniu wektorowym jest tylko jedna niewiadoma 

′

r

C  

. Łatwo 

zauważyć, że rozwiązanie ogólne tego równania ma postać: 

 

(

)

O

C

′

×

=

′

v

ω

r

 

/ω

2

 + 

λ  ,              (5.47) 

ω

 

gdzie 

λ jest dowolną wielkością dodatnią lub ujemną. 

  Wzór ten opisuje położenie wszystkich punktów C leżących na prostej 
równoległej do prędkości kątowej 

. Jest to więc szukane równanie chwilowej osi 

l ruchu śrubowego w układzie ruchomym (związanym z bryłą). W układzie 
współrzędnych 

 równanie to możemy zapisać w postaci trzech 

równoważnych parametrycznych równań skalarnych: 

ω

′ ′ ′

x y z

, ,

 

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

λω

+

ω

ω

−

ω

=

′

λω

+

ω

ω

−

ω

=

′

λω

+

ω

ω

−

ω

=

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

.

v

v

z

,

v

v

y

,

v

v

x

z

2

x

O

y

y

O

x

C

y

2

z

O

x

x

O

z

C

x

2

y

O

z

z

O

y

C

              (5.48) 

 

  Na rysunku 5.12 widzimy, że położenie każdego punktu C chwilowej osi ruchu 
śrubowego w układzie nieruchomym wyznacza promień wodzący r, który można 
przedstawić w postaci sumy wektorów 

.  Po  uwzględnieniu wzoru (5.47) 

wektorowe równanie chwilowej osi ruchu śrubowego w układzie nieruchomym 
będzie miało postać: 

r

r

′

′

O

i

C

 

(

)

O

O

C

O

C

′

′

′

×

+

=

′

+

=

v

ω

r

r

r

r

 

/ω

2

 + 

λ  .            (5.49) 

ω

Temu równaniu w układzie nieruchomym będą odpowiadały trzy parametryczne 
równania. W tym celu wektory występujące w równaniu (5.49) należy wyrazić 
w układzie współrzędnych x, y, z: 

 

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

λω

+

ω

ω

−

ω

+

=

λω

+

ω

ω

−

ω

+

=

λω

+

ω

ω

−

ω

+

=

′

′

′

′

′

′

′

′

′

.

v

v

z

z

,

v

v

y

y

,

v

v

x

x

z

2

x

O

y

y

O

x

O

C

y

2

z

O

x

x

O

z

O

C

x

2

y

O

z

z

O

y

O

C

             (5.50) 

 

 Wykazaliśmy tym samym, że ruch ogólny bryły można w dowolnej chwili 
sprowadzić do ruchu śrubowego zdefiniowanego na wstępie tego punktu. Ruch ten 
jest sumą dwóch ruchów prostych: 

 
 
 
 
 

a) obrotowego z prędkością kątową 

ω wokół chwilowej osi ruchu śrubowego, 

b) postępowego z prędkością v

C

 wzdłuż tej osi. 

 

 

C

 

M

v

c

v

c

ω x CM

v

ω 

l 

 

 

Rys5.13. Złożenie ruchu ogólnego bryły z ruchu obrotowego wokół chwilowej osi ruchu  
                śrubowego i ruchu postępowego wzdłuż tej

 osi 

 

Jeżeli zamiast dowolnego bieguna 

′

O  obierzemy biegun redukcji C leżący na 

chwilowej osi l ruchu śrubowego (rys. 5.13), to prędkość v dowolnego punktu M 
bryły będzie sumą dwóch wzajemnie prostopadłych składowych: po-stępowej v

C 

i 

obrotowej 

: 

CM

ω

×

 

CM

ω

v

v

C

×

+

=

. 

 

Analizując ruch śrubowy bryły, możemy rozróżnić dwa przypadki: 
a) v

C

(t) 

≠ 0; wtedy najprostszym ruchem bryły jest chwilowy ruch śrubowy; nie 

będziemy się tu nim zajmować; 

b) v

C

(t) = 0; wtedy 

− jak to widać na rys. 5.12 i 5.13 − ruch bryły sprowadza się 

do chwilowego obrotu wokół osi l, którą będziemy nazywać chwilową osią obrotu. 

 

5.3.6. Chwilowe osie obrotu  

 Jak 

już powiedziano wyżej, jeżeli ruch śrubowy bryły sprowadza się do 

przypadku, w którym w każdej chwili prędkość v

C

(t) = 0, to jej ruch chwilowy jest 

obrotem wokół chwilowej osi obrotu. Jeżeli założymy,  że ruch ogólny bryły 
opisuje prędkość 

 bieguna 

v

′

O

′

O  oraz prędkość  kątowa 

ω, to ze wzoru (5.44) 

wynika zależność: 

ω

v

⋅

′

O

 

/ω

= 0

. 

 

Zatem iloczyn skalarny 

 w każdej chwili ruchu musi być równy zeru:

  

ω

v i

O′

 

( ) ( )

0

t

t

O

=

⋅

′

ω

v

,                  (5.51) 

 

stąd wniosek, że aby ruch bryły sprowadzał się do chwilowych obrotów, wektory 
te muszą być w każdej chwili prostopadłe. 
 Chwilowa oś obrotu zmienia 
swoje położenie w czasie. Wzorami  
określającymi położenie chwilowej 
osi obrotu względem ruchomego 
układu współrzędnych (bryły) są 
wzory (5.47) lub (5.48), a względem 
układu nieruchomego wzory (5.49) 
lub (5.50). Jeżeli chwilowa oś nie 
przemieszcza się w czasie, to ruch 
bryły jest omówionym już w p. 5.3.4 
ruchem obrotowym wokół stałej osi 
obrotu. 
 Jeżeli dla dowolnej chwili t 
wykreślimy dwie pokrywające się chwilowe osie obrotu – l w układzie stałym i 
w układzie ruchomym (w bryle) 

− to po czasie ∆t osie te przestaną się pokrywać, a 

chwilowymi osiami obrotu będą inne dwie proste l

′l  

1

 i 

1

l′

 (rys. 

5.14). 

Przemieszczające się w czasie ruchu bryły chwilowe osie obrotu zakreślą dwie 
powierzchnie prostokreślne: 

 

Rys. 5.14. Chwilowe osie obrotu.

 

Aksoidy

a) aksoidę stałą

 

σ, która jest śladem przemieszczania się chwilowej osi obrotu 

w układzie nieruchomym, 

b)  aksoidę ruchomą

 

σ′, która jest śladem przemieszczania się chwilowej osi 

obrotu   w układzie ruchomym.  

l′

   
 
 
 
 

Równania aksoid otrzymamy z równań chwilowej osi obrotu. W celu 

otrzymania aksoidy stałej 

σ należy do równań (5.49) lub (5.50) wstawić funkcje 

czasu: 

 

( )

( )

( )

t

i

t

,

t

O

O

O

O

ω

ω

v

v

r

r

=

=

=

′

′

′

′

            (a) 

 

wyrażone we współrzędnych układu nieruchomego x, y, z. Podczas zmiany czasu t 
chwilowa oś zakreśli powierzchnię, którą nazwaliśmy aksoidą stałą 

σ. 

  Podobnie otrzymamy równanie aksoidy ruchomej 

σ′. Należy w tym celu do 

równań (5.47) albo (5.48) podstawić dwie z trzech funkcji (a), np. 

 

wyrażone w ruchomym układzie współrzędnych 

,

v

ω

i

O′

′ ′ ′

x y z

, ,

.   

  W czasie ruchu bryły obie aksoidy są do siebie styczne wzdłuż chwilowej osi 
obrotu l. Ponieważ wszystkie punkty leżące na tej osi mają prędkość równą zeru, 

, ruch bryły można rozpatrywać jako ruch spowodowany toczeniem się bez 

poślizgu aksoidy ruchomej 

σ′ po aksoidzie nieruchomej σ.  

0

C

=

v

 W 

zależności od rodzaju ruchu bryły chwilowe osie obrotu mogą zakreślić 

różne powierzchnie (aksoidy): 

a) stożkowe (utworzone z prostych przecinających się w jednym punkcie), 

wtedy ruch chwilowy jest ruchem kulistym, 

b) walcowe (utworzone z prostych równoległych), wtedy ruch chwilowy jest 

ruchem płaskim, 

c) inne. 

 

5.3.7. Ruch kulisty 
 

  Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów 
z nią związanych jest nieruchomy. 

 

 

 

a 

v 

1

r

 

y

′

z

z

′ 

y 

x

′

x 

r 

M

O = O

′

 

 

Rys. 5.15. Ruch kulisty bryły

 

sztywnej 

 

 Punkt 

ten 

nazywamy 

środkiem ruchu kulistego. Wobec tego prędkość tego 

punktu będzie stale równa zeru, czyli musi on w każdej chwili czasu leżeć 
jednocześnie na aksoidzie ruchomej i nieruchomej. Zatem obie aksoidy w ruchu 
kulistym są toczącymi się po sobie stożkami o wspólnym  wierzchołku. 

Dla  uproszczenia rozważań początki O i 

′

O  układów współrzędnych  

ruchomego 

 i nieruchomego x, y, z przyjmiemy w nieruchomym punkcie 

bryły (rys. 5.15). Przyjęcie takich układów sprawia, że wektor 

 będzie równy 

zeru, 

. W tej sytuacji równe zeru będą również prędkość 

 i 

przyśpieszenie 

 punktu 

 

′ ′

x y z

, ,

′

′

O′

r

r

OO

′

=

′ =

O

0

v

′

O

a

′

O

′

O :

 

v

a

′

=

=

O

O

i

0

0 ,                  (a) 

 

a promień wodzący dowolnego punktu M bryły możemy zapisać tak: 

 

r r

= ′ .                      (b) 

 

 Po 

uwzględnieniu zależności (a) i (b) we wzorach (5.32) i (5.33) dla ruchu 

ogólnego bryły otrzymamy wzory na prędkość  v i przyśpieszenie  a dowolnego 
punktu M bryły w ruchu kulistym: 

 

r

ω

v

×

=

,                   (5.52) 

(

)

r

ω

ω

r

ε

a

×

×

+

×

=

.                 (5.53) 

 

 Dla 

bryły sztywnej odległość między punktami O i M jest zawsze stała, czyli 

moduł wektora wodzącego jest również stały: 

 

r

r

= ′ = =

r const .                   (c) 

 

Wobec tego wektor wodzący  r możemy zapisać jako iloczyn modułu i wektora 
jednostkowego  : 

1

r

r

= r

r

1 .                       (d) 

 

Po uwzględnieniu tej zależności we wzorach (5.46) i (5.47) na prędkość i 
przyśpieszenie otrzymamy: 

(

)

r

r

1

ω

r

ω

v

×

=

×

=

,                (5.54) 

(

) (

)

(

)

[

]

r

r

r

1

ω

ω

1

ε

r

ω

ω

r

ε

a

×

×

+

×

=

×

×

+

×

=

.       (5.55) 

 

 Z 

powyższych wzorów wnika, że w ruchu kulistym prędkość i przyśpieszenie 

są opisane dwoma wielkościami kinematycznymi 

. 

ε

ω i

  Na podstawie wzoru (c) oraz wzorów (5.54) i (5.55) możemy sformułować 
wnioski charakteryzujące ruch kulisty: 

a) W ruchu kulistym tory wszystkich punktów bryły leżą na powierzchniach kul 

o środku w punkcie O. 

b) Wektory prędkości i przyśpieszeń punktów leżących na prostej 

przechodzącej przez punkt O są do siebie równoległe, a ich moduły są 
proporcjonalne do odległości r od środka ruchu kulistego. 
  W tym punkcie podano jedynie wektorowe wzory na prędkość i przyśpieszenie 
dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym oraz ogólne własności tego ruchu. Przy 
bardziej szczegółowym rozpatrywaniu ruchu kulistego bryły do określenia 
położenia ruchomego układu współrzędnych 

′ ′ ′

x y z

, ,

  względem nieruchomego 

układu współrzędnych x, y, z wprowadza się tzw. trzy kąty Eulera (obrotu 
własnego, precesji i nutacji), których znaczenie można znaleźć w odpowiedniej 
literaturze, np. [7, 16]. Za pomocą tych kątów można wyrazić wszystkie kosinusy 
kierunkowe między osiami obu układów współrzędnych oraz wszystkie wielkości 
występujące we wzorach (5.52) i (5.53). 

 

5.3.8. Ruch płaski bryły 
 

Prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu bryły  
 

 Ruchem 

płaskim nazywamy taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do 

pewnej płaszczyzny nazywanej płaszczyzną ruchu. 
 
 Za 

płaszczyznę ruchu można przyjąć dowolną płaszczyznę spośród wszystkich płaszczyzn do niej 

równoległych. 
  W punkcie 5.3.6 powiedziano, że jeżeli aksoidy są powierzchniami walcowymi, to ruch ogólny 
bryły sprowadza się do ruchu płaskiego. I rzeczywiście, każda płaszczyzna prostopadła do tworzących 
obu aksoid może być płaszczyzną ruchu. Ponieważ aksoidy są powierzchniami zakreślonymi przez 
chwilową oś obrotu w czasie przemieszczania się jej w układzie nieruchomym i ruchomym, jest 
oczywiste, że chwilowa oś obrotu w ruchu płaskim będzie w każdej chwili prostopadła do płaszczyzny 
ruchu. 
  Z definicji ruchu płaskiego wynika, że wektory prędkości i przyśpieszenia wszystkich punktów 
bryły są również równoległe do płaszczyzny ruchu. Z kolei wektor prędkości kątowej 

ω  będzie w 

każdej chwili równoległy do tworzących aksoid (równoległy do chwilowej osi obrotu), czyli 
prostopadły do płaszczyzny ruchu. 

  W dalszych rozważaniach dotyczących ruchu 
płaskiego za płaszczyznę ruchu przyjmiemy 
płaszczyznę wyznaczoną przez nieruchomy układ 
współrzędnych x, y o początku w punkcie O. Ruchomy 
układ współrzędnych o osiach 

′ ′

x y

,

′

O

z

 

i początku w dowolnym biegunie 

  będzie się 

poruszał w płaszczyźnie ruchu (rys. 5.16). W tej 
sytuacji osie 

z i

′   będą równoległe do wektora 

prędkości kątowej 

ω. 

  Z rysunku 5.16 wynika, że do jednoznacznego 
określenia położenia bryły względem układu 
nieruchomego x, y należy podać wektor wodzący 

( )

r

r

′

′

=

O

O

t  bieguna 

′

O  oraz kąt obrotu 

ϕ = ϕ(t) 

układu ruchomego 

 względem nieruchomego. Wektor wodzący 

 możemy zapisać w 

następujący sposób: 

′ ′

x y

,

r

′

O

 

y 

x 

x

′

y

′ 

O 

M 

r

′ 

O

′ 

r

O′

 

r 

ϕ 

 

Rys. 5.16. Ruch płaski bryły

 

sztywnej 

 

( )

r

r

i

′

′

′

′

=

=

+

O

O

O

O

t

x

y j .               (5.56) 

Zatem kinematyczne równania ruchu płaskiego możemy zapisać w postaci trzech funkcji 
algebraicznych: dwóch współrzędnych wektora 

 oraz kąta 

ϕ: 

r

′

O

 

( )

( )

x

x

t

y

y

t

O

O

O

O

′

′

′

′

=

=

,

,               (5.57) 

ϕ = ϕ(t) .                   (5.58) 

 
  Do obliczenia prędkości  v i przyśpieszenia  a dowolnego punktu M bryły wykorzystamy wzory 
(5.32) i (5.34): 
 

r

ω

v

v

′

×

+

=

′

O

,                   (5.59) 

(

)

r

ω

ω

r

ε

a

a

′

⋅

+

′

×

+

=

′

O

r′

ω

−

2

.           (5.59a) 

 
Ponieważ w ruchu płaskim wektory 

ω i  ′

r są prostopadłe, zatem ich iloczyn skalarny występujący we 

wzorze (5.59a) jest równy zeru 

(

, a więc wzór ten uprości się do postaci: 

)

0

=

′

⋅r

ω

r

ε

a

a

′

×

+

=

′

O

r′

ω

−

2

.                (5.60) 

 

  We wzorach (5.59) i (5.60) prędkość 

 i przyśpieszenie 

 początku 

 układu ruchomego 

otrzymamy, obliczając odpowiednio pierwsze i drugie pochodne wektora wodzącego 

względem 

czasu: 

v

′

O

a

′

O

′

O

r

′

O

 

v

r

i

′

′

′

=

=

+

O

O

O

O

d

dt

dx

dt

dy

dt

j

′

,               (5.61) 

a

r

i

′

′

′

=

=

+

O

O

O

O

d

dt

dx

dt

dy

dt

2

2

2

2

2

j

′

.              (5.62) 

 
Prędkość  kątową 

ω i przyśpieszenie kątowe  ε można zapisać analogicznie jak 

w ruchu obrotowym (wzór 5.37): 
 

=

ω

k

k

ω

=

′

′

z

ω

 oraz 

=

ε

k

k

ε

ε

z

=

′

′

.          (5.63) 

 
Moduły tych przyśpieszeń, podobnie jak w ruchu obrotowym (5.63), będą również odpowiednimi 
pochodnymi kąta obrotu 

ϕ względem czasu: 

 

2

2

t

d

d

t

d

d

ε

 

,

t

d

d

ϕ

=

ω

=

ϕ

=

ω

.                  (5.64) 

  Ze wzorów (5.63) wynika, że prędkość  kątowa 

ω i przyśpieszenie kątowe  ε  są wektorami o 

znanym kierunku. W tej sytuacji można je uważać za skalary, podobnie jak w statyce moment siły 
względem osi i moment płaskiego układu sił. 
  Ze wzorów (5.59) i (5.60) na prędkość v i przyśpieszenie a można wyciągnąć następujące wnioski: 

a) Prędkość dowolnego punktu bryły w ruchu  płaskim jest sumą prędkości postępowej 

 

dowolnego bieguna 

v

′

O

′

O  i prędkości wynikającej z chwilowego obrotu bryły wokół tego bieguna: 

. 

r

ω

′

×

b) W ruchu płaskim przyśpieszenie dowolnego punktu bryły jest sumą przyśpieszenia 

 

dowolnego bieguna  

a

′

O

′

O  i przyśpieszenia wynikającego z chwilowego obrotu bryły wokół tego 

bieguna: 

. 

r

ε

′

×

r′

ω

−

2

  Wyprowadzone wzory na prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu M brył w ruchu płaskim 
przedstawimy w postaci bardziej przydatnej do rozwiązywa- 
nia równań z kinematyki ruchu płaskiego. Założymy, że znana jest prędkość v

A

 punktu A i chwilowa 

prędkość obrotowa 

ω, a chcemy obliczyć prędkość i przyśpieszenie dowolnego punktu B bryły (rys. 

5.17). 

Gdy początek układu ruchomego przyjmiemy w punkcie A, a wektor o początku w punkcie A i 

końcu w punkcie B oznaczymy jako AB = r

AB

, to na podstawie wzoru (5.59) prędkość punktu B bryły 

 

BA

A

B

AB

A

B

lub

v

v

v

r

ω

v

v

+

=

×

+

=

,           (5.65) 

 
gdzie 

AB

BA

r

ω

v

×

=

                      (a) 

 
i jest prędkością punktu B względem punktu A, której wektor jest prostopadły do wektora r

AB

, 

wynikającą z chwilowego obrotu bryły wokół punktu A z prędkością  kątową 

ω. Zatem jej moduł 

obliczymy ze wzoru: 
 

v

BA

 = 

ω r

AB

.                      (b) 

 
Podobnie na podstawie wzoru (5.60) przyśpieszenie punktu B (rys. 5.18) możemy zapisać w 
następujący sposób: 
 

AB

A

B

r

ε

a

a

×

+

=

AB

2

r

ω

−

 

albo 

a

a

a

B

A

BA

=

+

.                   (5.66) 

 
Przyśpieszenie 

 jest przyśpieszeniem punktu B względem punktu A spowodowanym chwilowym 

obrotem bryły wokół bieguna A: 

a

BA

 

AB

BA

r

ε

a

×

=

AB

2

r

ω

−

.                  (c) 

 

w

 

v

A

 

v

A

v

B

v

BA

r

AB

 

A

 

B

 

 

Rys. 5.17. Wyznaczanie prędkości 

punktu B bryły sztywnej metodą 

superpozycji 

 

 

ω 

a

A

a

A

 

a

B

a

BA

 

r

AB

 

A 

B 

a

BA

s

a

BA

n

 

 

 

Rys. 5.18. Wyznaczanie przyśpieszenia 

punktu B bryły sztywnej metodą 

superpo- 

zycji 

 
Z powyższego wzoru wynika, że przyśpieszenie to możemy rozłożyć na dwie składowe: 
przyśpieszenie styczne 

a

 i przyśpieszenie normalne 

. 

BA

s

a

BA

n

 

a

a

a

BA

BA

s

BA

n

=

+

,                  (5.67) 

gdzie 

AB

s
BA

r

ε

a

×

=

 

.          (5.68) 

AB

2

n
BA

oraz

r

a

ω

=

 
Moduły tych przyśpieszeń są następujące: 
 

AB

2

n
BA

AB

s
BA

r

a

,

r

ε

a

ω

=

=

.             (5.69) 

 
 Wektor 

przyśpieszenia stycznego 

a

 jest skierowany prostopadle do wektora  r , czyli ma taki 

sam kierunek jak wektor prędkości 

 (rys. 5.17), a wektor przyśpieszenia normalnego  

(dośrodkowego) 

 jest skierowany wzdłuż prostej AB w stronę punktu A. 

BA

s

AB

v

BA

a

BA

n

  Po podstawieniu zależności (5.67) do wzoru (5.66) przyśpieszenie punktu B możemy zapisać w 
postaci: 
 

a

a

a

a

B

A

BA

s

BA

n

=

+

+

.                 (5.70) 

 
  Podczas praktycznego rozwiązywania zadań nie wszystkie wielkości występujące we wzorze 
(5.70) będzie można obliczyć bezpośrednio. Bardzo często niewiadomymi będą moduły przyśpieszeń 

. Jeżeli wzór (5.70) potraktujemy jako równanie wektorowe o dwóch niewiadomych, to 

wiadomo,  że dla wektorów leżących w jednej płaszczyźnie dwie niewiadome można wyznaczyć 

a

a

B

i

BA

s

z wieloboku  wektorów (przyśpieszeń) albo z dwóch równoważnych wektorowemu równań 
algebraicznych. 

Chwilowy środek obrotu 

 Na 

wstępie tego punktu powiedziano, że w ruchu płaskim bryły chwilowa oś obrotu jest w każdej 

chwili prostopadła do płaszczyzny ruchu. Punkt przebicia przez chwilową  oś obrotu płaszczyzny 
ruchu będziemy nazywać chwilowym środkiem obrotu. Albo inaczej, chwilowy środek obrotu to taki 
punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru. 

 Wiemy, 

że w czasie ruchu płaskiego bryły chwilowa 

oś obrotu zmienia swoje położenie, a w ślad za nią będzie 

się przemieszczał chwilowy środek obrotu. W czasie 

przemieszczania się chwilowy środek obrotu C  

 

O 

C 

CM 

M 

v

ρ 

ρ′ 

ω 

r

C

 

 

 

Rys. 5.19. Chwilowy środek obrotu. Centroidy

(rys. 5.19) zakreśli dwie krzywe: 

a) centroidę ruchomą 

ρ′ w układzie ruchomym, 

b) centroidę stałą 

ρ w układzie nieruchomym. 

   

Po podstawieniu do równań (5.47) i (5.49) chwilowej osi obrotu 

λ = 0 otrzymamy wektorowe wzory 

na położenie chwilowego środka obrotu w układzie ruchomym: 

(

)

O

C

′

×

=

′

v

ω

r

 

/ω

2

                 (5.71) 

 

i w układzie nieruchomym: 

(

)

O

O

C

O

C

′

′

′

×

+

=

′

+

=

v

ω

r

r

r

r

 

/ω

2

.           (5.72) 

 

Odpowiednie równania centroid otrzymamy przez wstawienie do tych wzorów funkcji 

( )

( )

( )

t

i

t

t

O

O

O

O

ω

ω =

=

=

′

′

′

′

v

v

r

r

,

. 

 
 Mając wyznaczony chwilowy środek obrotu C, można obliczyć prędkość dowolnego punktu M 
bryły. Jeżeli biegun redukcji przyjmiemy w chwilowym środku obrotu C, a nie w dowolnym punkcie 

 (rys. 5.19), to prędkość dowolnego punktu M bryły możemy wyrazić wzorem: 

′

O

 

CM

ω

v

v

×

+

=

C

. 

 
Ponieważ z założenia prędkość punktu C jest równa zeru (

v

C

= 0

), więc prędkość punktu M będzie 

opisana wzorem: 

CM

ω

v

×

=

.                       (5.73) 

 

  Z otrzymanego wzoru wynika, że prękość dowolnego punktu M bryły jest prostopadła do prostej 
łączącej punkt M z chwilowym środkiem obrotu C. Ponadto występujące w tym wzorze wektory 

ω i 

CM są prostopadłe, więc moduł prędkości  
 

v = 

ω CM,                     (5.74) 

 
czyli jest proporcjonalny do odległości CM punktu M od chwilowego środka obrotu. 

 

 
Z powyższych rozważań oraz z otrzymanych wzorów wynikają następujące wnioski: 

 

a) Ruch płaski bryły można sprowadzić do toczenia się bez poślizgu centroidy ruchomej po 
nieruchomej. 

b) Ruch płaski bryły można w każdej chwili rozpatrywać jako chwilowy ruch obrotowy wokół 
chwilowego środka obrotu. 

   

 

α 

β 

C

A 

B 

v

A

 

v

B

 

ω

 

 

Rys. 5.20. Wyznaczanie chwilowego środka 

obrotu 

 
Ze wzoru (5.73) wynika, że chwilowy środek obrotu C leży na prostej prostopadłej do wektora 
prędkości v dowolnego punktu M bryły. Zatem do wyznaczenia chwilowego środka obrotu wystarczy 
znajomość kierunków prędkości dwóch punktów bryły. Będzie on leżał w miejscu przecięcia prostych 
prostopadłych do kierunków prędkości  punktów A i B (rys. 5.20). 

Mając już wyznaczony punkt C, wartości prędkości punktów A i B obliczymy ze wzoru (5.74): 

v

A

 = 

ω AC  i  v

B

 = 

ω BC.                 (d) 

 
Dla znanej wartości v

A

 z pierwszego wzoru  obliczymy chwilową prędkość obrotową 

ω: 

ω =

v

AC

A

, 

 
a następnie możemy wyznaczyć moduł prędkości  v

B

 punktu B. Na podstawie  rys. 5.20 po 

uwzględnieniu wzorów (d) możemy napisać: 
 

tg

α = 

v

AC

A

=  ω

AC
AC

 = 

ω  oraz  tgβ =

v

BC

B

= ω

BC
BC

 = 

ω. 

Wynika stąd wniosek, że z chwilowego środka obrotu  wektory prędkości wszystkich punktów bryły 
widać pod tym samym kątem 

α = β. 

 

Twierdzenie o rzutach prędkości 
 

  Rzuty wektorów prędkości dwóch punktów bryły sztywnej na prostą przechodzącą przez te punkty 
są równe. 

 

 

α 

β 

r

B

 

r

A

 

r

AB

 

v

A

 

v

B

 

O 

A 

B 

 

 

Rys. 5.21. Rzuty prędkości dwóch punktów bryły 

sztywnej na prostą

 

AB 

Dowód 
Na rysunku 5.21 zaznaczono wektory prędkości v

A

 

i v

B

 dwóch punktów A i B bryły sztywnej, a promienie 

łączące nieruchomy punkt O z tymi punktami przez r

A

 

i r

B

. Wektor r

AB

  łączący punkt A z punktem B w 

czasie ruchu bryły może zmieniać swój kierunek, 

ale jego długość pozostaje stała:  r

AB

AB

r

const

=

=

. Zatem iloczyn skalarny 

 

r

r

AB

AB

AB

r

const

⋅

=

=

2

.     (e) 

 
Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu otrzymamy: 
 

0

t

d

d

t

d

d

AB

AB

AB

AB

=

⋅

+

⋅

r

r

r

r

 

lub 

d

d t

r

r

AB

AB

⋅

= 0 ,          (f) 

 

ponieważ pochodna prawej strony równania (e) jest równa zeru. Z rysunku widać, że: 

,

AB

A

B

r

r

r

+

=

skąd

A

B

AB

r

r

r

−

=

. 

 
Po zróżniczkowaniu tego wyrażenia względem czasu mamy: 
 

d

d t

d

d t

d

d t

r

r

r

AB

B

A

.

=

−

 

Ale pochodne promieni wodzących punktów A i B są równe prędkościom tych punktów v

A

 i v

B

, czyli 

d

d t

r

v

v

AB

B

A

=

−

. 

 
Podstawiwszy powyższą zależność do równania (f) otrzymujemy: 
 

(

)

v

v

r

v r

v

r

B

A

AB

B

AB

A

AB

−

⋅

=

⋅

=

⋅

0 lub

, 

 
a po rozpisaniu iloczynów skalarnych 
 

v r

B AB

cos

β = v r

A AB

cos

α. 

 
Po skróceniu przez r

AB

 mamy:  

v

B

cos

β = v

A

cos

α .                  (5.75) 

 
Iloczyny występujące w tej równości są odpowiednio rzutami wektorów prędkości v

A

 i v

B

 na prostą 

łączącą punkty A i B. Tym samym udowodniliśmy twierdzenie o rzutach wektorów prędkości dwóch 
punktów bryły sztywnej na prostą 

łączącą 

te punkty. 
  Na podstawie tego twierdzenia można w łatwy sposób obliczać prędkość w niektórych prostych 
zadaniach z kinematyki ruchu płaskiego. 
 
  Przykład 5.5. Końce pręta AB ślizgają się po dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach (rys. 
5.22a). Koniec A porusza się z prędkością  v

cm

A

s

= 10

/  i przyśpieszeniem  a

. Obliczyć 

prędkość i przyśpieszenie końca B oraz przyśpieszenie kątowe pręta AB w położeniu jak na rys. 5.22a, 
jeżeli długość pręta AB = b = 20 cm. 

cm

A

= 15

2

/ s

B

 
  Rozwiązanie. Prędkość punktu B obliczymy, rozpatrując ruch pręta AB jako chwilowy ruch 
obrotowy wokół chwilowego środka obrotu. Znamy prędkość końca A pręta i kierunek prędkości 
końca B, która jest skierowana wzdłuż prostej OB. Chwilowy środek obrotu C znajduje się na 
przecięciu prostopadłych do kierunków wektorów prędkości 

 (rys. 5.22b). Oznaczywszy przez 

v

v

A

i

w wartość liczbową prędkości kątowej pręta AB w rozpatrywanym położeniu, na podstawie wzoru 

(5.74) mamy: 

CB

v

,

CA

v

B

A

⋅

ω

=

⋅

ω

=

.              (a) 

 
Z pierwszego wzoru otrzymujemy: 

CA

v

A

=

ω

. 

 

b

b 

ε

a

BA

s

a

BA

n

45

o

ω 

A

B 

v

A

a

A

C

y 

x 

45

o

 

A 

B

v

A

 

a

A

 

a) 

b)

v

B

a

A

 

a

B

O 

O

 

 

Rys. 5.22. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu B pręta AB 

 
Z rysunku 5.22b znajdujemy 

AC BC b

b

cm

=

=

=

=

⋅

=

cos45

o

1
2

2

20

1
2

2 10 2

. 

Zatem 

1

A

s

2

2

1

2

10

10

CA

v

−

=

=

=

ω

.                (b) 

 
Z drugiego wzoru (a) mamy: 

v

B

=

⋅

=

1
2

2 10 2 10

/

cm s

A

.                 (c) 

Przyśpieszenie punktu B obliczymy ze wzoru (5.66). Zgodnie z tym wzorem przyśpieszenie punktu B 
będzie równe sumie geometrycznej przyśpieszenia punktu A oraz przyśpieszenia punktu B względem 
A wywołanego przez chwilowy obrót pręta wokół końca A: 

a

a

a

B

A

B

=

+

.                     (d) 

 
Po rozłożeniu przyśpieszenia punktu B względem punktu A na składową styczną i normalną wzór (d) 
możemy zapisać w postaci (5.70): 
 

a

a

a

a

B

A

BA

s

BA

n

=

+

+

.                   (e) 

 
Przyśpieszenie normalne 

a

 punktu B względem A działa wzdłuż pręta i jest skierowane do punktu 

A. Zgodnie z drugim wzorem (5.69)  

BA

n

2

2

2

n
BA

s

cm

10

20

2

2

1

b

a

/

=

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ω

=

. 

 

Wartość przyśpieszenia stycznego 

 wyraża pierwszy wzór (5.69): 

a

BA

s

 

b

ε

a

s
BA

=

. 

 

           (f) 

 
Tego przyśpieszenia nie możemy obliczyć bezpośrednio, ponieważ nie znamy wartości przyśpieszenia 
kątowego 

ε pręta. Znamy jedynie kierunek przyśpieszenia 

, które jest prostopadłe do pręta AB. 

Poza tym znamy kierunek przyśpieszenia całkowitego 

, który jest zgodny z prostą OB. Wynika z 

tego, że w wektorowym równaniu (e) mamy dwie niewiadome  wartości przyśpieszenia 

 i  a . Po 

przyjęciu w punkcie B prostokątnego układu współrzędnych x, y i zrzutowaniu równania (e) na osie 
tego układu otrzymamy dwa równania algebraiczne z dwoma niewiadomymi. 

a

BA

s

a

B

a

BA

s

B

−

= −

−

=

+

−

a

a

a

a

a

a

B

AB

n

BA

s

A

BA

n

BA

s

cos45

cos45 ,

sin45

sin45 .

o

o

o

o

0

 

 
Po rozwiązaniu tego układu równań oraz wykorzystaniu wzoru (f) otrzymujemy: 

 

(

)

a

a

a

cm s

BA

s

A

BA

n

=

+

=

+

⋅

=

+

sin45

sin45

,

o

o

15 10

1
2

2

1
2

2

5 3 2 2

2

/

 

(

)

(

)

a

a

a

cm s

B

AB

n

BA

s

=

+

=

⋅

+

+

⋅

=

+

cos45

cos45

.

o

o

10

1
2

2 5 3 2 2

1
2

2

5 2 2 3

2

/

=

 

(

) (

)

1

o

o

n
BA

A

s
BA

s

2

2

3

4

1

20

2

2

3

5

sin45

b

sin45

a

a

b

a

ε

−

+

=

+

=

+

=

=

. 

 
  Przykład 5.6. Korba OA mechanizmu korbowo-suwakowego przedstawionego na rys. 5.23a 
obraca się ze stałą prędkością kątową o wartości 

O

ω

 wokół punktu O. Na końcu B korbowodu AB 

znajduje się suwak, który porusza się po prowadnicy DE znajdującej się w odległości h od punktu O. 
Dla położenia przedstawionego na rysunku obliczyć prędkość i przyśpieszenie suwaka B oraz 
przyśpieszenie kątowe korbowodu, jeżeli długość korby OA = r, a korbowodu AB = b. 

 

v

B

v

BA

ω

1 

B

v

A

h 

r 

ω

o

 

A

b

O 

D

E

a)

ε

1

ω

1

a

BA

s

a

BA

n

a

B

a

A

a

A

 

y

x

B

A

ω

o

 

b

O 

h 

D

E

b) 

r 

α

α

α

α

v

A

 

 

Rys. 5.23. Wyznaczenie prędkości i przyśpieszenia punktu B mechanizmu korbowo- 

-suwakowego  

 
  Rozwiązanie. Wektor prędkości punktu A jest prostopadły do korby OA, a suwaka B jest 
skierowany wzdłuż prowadnicy DE (rys. 5.23a). Prędkość punktu B obliczymy ze  wzoru (5.65): 
 

v

v

v

B

A

BA

=

+

, 

 
gdzie 

 jest prędkością punktu B względem punktu A wynikającą  z chwilowego obrotu 

korbowodu AB wokół punktu A z prędkością kątową 

v

BA

1

ω

. Wektor prędkości 

 jest prostopadły do 

korbowodu, jego wartość  

v

BA

 

b

v

1

BA

ω

=

,                     (a) 

 
a wartość prędkości punktu A  

r

v

O

A

ω

=

. 

Z rysunku mamy: 

2

2

2

2

h

b

h

=

tg

,

b

h

b

=

cos

,

h

b

=

sin

−

α

−

α

α

. 

 

    (b) 

Zatem z zależności geometrycznych wynikających z rys. 5.23a otrzymujemy: 
 

.

h

b

b

r

h

b

b

v

cos

v

v

,

h

b

h

r

h

b

h

v

tg

v

v

O

2

2

2

2

A

A

BA

O

2

2

2

2

A

A

B

ω

−

=

−

=

α

=

ω

−

=

−

=

α

=

           (c) 

 
Ze wzoru (a) wyznaczamy prędkość kątową: 
 

O

2

2

BA

1

h

b

r

b

v

ω

−

=

=

ω

.                 (d) 

 
Przyśpieszenie punktu B przedstawimy w postaci sumy geometrycznej przyśpieszenia punktu A i 
przyśpieszenia punktu B względem A (wzór 5.70): 
 

n
BA

s
BA

A

B

a

a

a

a

+

+

=

.                   (e) 

 
Przyśpieszenie punktu A jest równe przyśpieszeniu normalnemu, ponieważ przyśpieszenie kątowe 
korby OA jest równe zeru. Wartość tego przyśpieszenia  
 

r

a

a

2
O

n
A

A

ω

=

=

. 

 
Składowa przyśpieszenia normalnego 

a

 punktu B względem A pokrywa się z kierunkiem 

korbowodu AB i jest skierowana w stronę punktu A (rys. 5.23b), a jej wartość  

BA

n

O

2

2

2

1

n
BA

h

b

b

r

b

a

ω

−

=

ω

=

. 

 

        (f) 

 
Przyśpieszenie styczne  

a

 punktu B względem A jest prostopadłe do korbowodu AB. Wartość tego 

przyśpieszenia wyraża wzór: 

BA

s

 

b

ε

a

1

s
BA

=

.                        (g) 

 
W powyższym wzorze   jest przyśpieszeniem kątowym korbowodu AB. Przyśpieszenie to nie jest 
znane, dlatego nie znamy wartości przyśpieszenia stycznego 

. Drugą niewiadomą w równaniu (e) 

jest wartość przyśpieszenia całkowitego suwaka 

. W celu wyznaczenia tych niewiadomych 

przyjmiemy w punkcie B prostokątny układ współrzędnych x, y i zrzutujemy wektory przyśpieszenia 
na osie x i y. Otrzymamy: 

1

ε

a

BA

s

a

B

.

cos

a

sin

a

=

0

,

sin

a

cos

a

a

a

s
BA

n
BA

s
BA

n
BA

A

B

α

−

α

α

−

α

−

−

=

−

 

 
Po rozwiązaniu tego układu równań i uwzględnieniu (b) otrzymujemy: 
 

(

)

(

)

.

h

b

b

r

1

r

a

,

h

b

bh

r

a

2
O

2

3

2

2

2

B

2
O

2

3

2

2

2

s
BS

ω

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

+

=

ω

−

=

 

 
Wartość przyśpieszenia kątowego korbowodu AB  
 

(

)

2
O

2

3

2

2

2

s
BA

1

h

b

h

r

b

a

ε

ω

−

=

=

. 

 

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 

 
  Przy omawianiu ruchu punktu lub bryły zakładaliśmy, że punkt lub bryła 
poruszały się względem układu odniesienia x, y, z uważanego za nieruchomy. 

Można rozpatrzyć taki 
przypadek, że wspomniany 
układ odniesienia będzie się 
poruszał względem innego 
układu, uważanego wtedy za 
nieruchomy. Wówczas ruch 
punktu lub bryły nazywamy 
ruchem złożonym. 

 

x 

z 

x

′ 

z

′ 

y

′

y

r

O′

r 

 O 

r

′

L

L

w

M

O

′ 

 

 

Rys. 5.24. Ruch złożony punktu 

Ruch punktu lub bryły 
względem układu 
nieruchomego nazywamy 
ruchem bezwzględnym, a ruch 
tego samego punktu lub bryły 
względem układu ruchomego 
ruchem względnym.  
 
 

Ruch ruchomego układu odniesienia względem nieruchomego nazywamy ruchem 
unoszenia. 
  W dalszej części rozpatrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M 
porusza się w sposób dowolny, nie związany ani z nieruchomym układem 
odniesienia x, y, z, ani z ruchomym 

′ ′ ′

x y z

, ,

 (rys. 5.24).  Jeżeli ruch tego punktu 

będzie obserwowany przez dwóch obserwatorów 

− jednego związanego z układem 

nieruchomym x, y, z, a drugiego związanego z układem ruchomym 

− to 

każdy z obserwatorów będzie „widział” ruch punktu M w inny sposób (inny tor, 
prędkość, przyśpieszenie). 

′ ′ ′

x y z

, ,

  Tor, jaki zakreśli punkt M w układzie nieruchomym, nazywamy torem 
bezwzględnym

 L, a w układzie ruchomym torem względnym L

w

. Każdy z punktów 

toru względnego, zatem i punkt znajdujący się w tym samym miejscu co punkt M, 
zakreśli pewien tor L

u

. Ruch tego punktu względem układu nieruchomego 

nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozważanej chwili. 

 

5.4.2. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu 

 
  W celu wyprowadzenia wzorów na prędkość i przyśpieszenie punktu M 
postąpimy podobnie jak podczas rozpatrywania kinematyki dowolnego punktu 
bryły w ruchu ogólnym, ale teraz punkt ten będzie się poruszał względem bryły. 
Zatem wektor wodzący 

 punktu M w układzie ruchomym 

′

r

′ ′ ′

x y z

, ,

  nie  będzie 

stały, będzie się zmieniał zarówno jego kierunek, jak i moduł: 

 

′ = ′ ≠

r

const

r

.                   (a) 

 

 Wektor 

wodzący punktu M, zgodnie z rys. 5.24, jest sumą dwóch wektorów: 

 

r r

r

=

+ ′

′

O

.                    (5.76) 

 

  Podobnie jak w ruchu ogólnym bryły (p. 5.3.2) wektor 

 jest wektorem 

łączącym początki obu układów współrzędnych. Zapiszemy go analitycznie w 
nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z: 

r

′

O

 

r

i

j

′

′

′

′

k

=

+

+

O

O

O

O

x

y

z

.                (5.77) 

 

 Wektor   jest wektorem wodzącym punktu M w układzie 

′

r

′ ′ ′

x y z

, ,

.    Można 

go wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:  

 

′ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′

r

i

j

x

y

z k .                 (5.78) 

 

Współrzędne tego wektora na podstawie wzoru (a) będą się zmieniać wraz z 
ruchem punktu M względem układu ruchomego 

′ ′ ′

x y z

, ,

.  Można je zatem zapisać 

w postaci funkcji czasu, które będą równaniami ruchu względnego punktu M: 

 

( )

( )

( )

′ = ′

′

′

′

′

x

x t , y = y t , z = z t .           (5.79) 

 

 Prędkość punktu M jest pochodną wektora wodzącego (5.76) względem czasu: 

 

v

r

r

=

+

′

′

d

d

d t

O

d t

.                  (5.80) 

 

Pochodna wektora 

 jest znaną z p. 5.3.2 prędkością początku 

 ruchomego 

układu współrzędnych: 

r

′

O

′

O

v

r

i

j

′

′

′

′

′

=

=

+

+

O

O

O

O

O

d

dt

dx

dt

dy

dt

dz

dt

k . 

     (b) 

 

Pochodna wektora   po zróżniczkowaniu wzoru (5.78) ma postać: 

′

r