1

Propozycje zadań na kolokwium II

IL, semestr 1, 2008/09

Oprócz poniższych zadań, należy umieć rozwiązać wszystkie zadania z ćwiczeń do ruchu
drgającego włącznie, przykłady z wykładów i wyprowadzenia wzorów

Energia potencjalna. Zasada zachowania energii mechanicznej.

1. Nieważka sprężyna może byd ściśnięta o pod wpływem siły . Ta sama sprężyna została umieszczona przy
podstawie doskonale gładkiej równi pochyłej, o kącie nachylenia



. Ciało o masie M, pozostające początkowo w

spoczynku na szczycie równi, zaczyna ześlizgiwad się w dół. Ciało to zatrzymuje się natychmiast po ściśnięciu
sprężyny o . (a) Jaką odległośd przebywa ciało do chwili zatrzymania się? (b) Jaką prędkośd ma to ciało
bezpośrednio przed zetknięciem ze sprężyną?

Odp. (a)

. (b)

.

2. Dwa satelity, każdy o masie m, mają byd wysłane na kołowe orbity dokoła środka Ziemi. Satelita A ma krążyd na
wysokości R, a satelita B na wysokości 3R nad powierzchnią Ziemi. Jaki jest stosunek energii potencjalnych
satelitów A i B na orbitach (wyprowadź wzór na energię potencjalną!)? Jaki jest stosunek ich energii kinetycznych?
Który z nich ma większą energię całkowitą? Czy energia mechaniczna satelity na orbicie jest zachowana i dlacze-
go? R – promieo Ziemi, M- masa Ziemi dane.

Wskazówka: Siła grawitacji jest siłą centralną (co to znaczy?), zatem zachowawczą (co to znaczy?) i w polu takiej
siły energia mechaniczna jest zachowana. Ruch satelity na orbicie kołowej odbywa się pod wpływem siły

grawitacji:

,

. Stąd można obliczyd energię kinetyczną

Energia mechaniczna i siły niezachowawcze

1. Ciało o masie m pchnięto w górę po równi pochyłej, nachylonej do poziomu pod kątem , z szybkością
początkową

. Okazało się, ze ciało przebyło drogę s, zatrzymało się i ześliznęło w dół. Obliczyd współczynnik

tarcia f oraz szybkośd ciała przy podstawie równi.

Wskazówka: energia mechaniczna nie jest zachowana – należy uwzględnid pracę wykonaną przez siłę tarcia.

,

, bo

Dla ruchu w dół równi:

2. Sprężyna o współczynniku sprężystości k, której masę pomijamy, umocowana jest poziomo. Ze sprężyną tą
zderza się ciało o masie m powodując jej ściśnięcie o

, licząc od położenia równowagi. Obliczyd prędkośd ciała w

chwili zderzenia, jeśli współczynnik tarcia kinetycznego między ciałem a poziomą powierzchnią, równy jest f.

Wskazówka: energia mechaniczna nie jest zachowana – należy uwzględnid pracę

wykonaną przez siłę tarcia:

.

Zasada zachowania pędu

1. Cząsteczka gazu mająca prędkośd

zderza się sprężyście z drugą taką samą cząsteczką, która początkowo

spoczywa. Po zderzeniu pierwsza cząsteczka porusza się pod kątem 30

0

do pierwotnego kierunku ruchu. Znaleźd

prędkośd każdej cząsteczki po zderzeniu i kąt, i kąt, jaki tworzy odrzucona cząsteczka z kierunkiem.

Wskazówka: pęd i energia kinetyczna w zderzeniu są zachowane, patrz: równania z wykładu 6.

2. W spoczywającą kulę bilardową uderza sprężyście identyczna kula poruszająca się z szybkością

m/s.

Po zderzeniu szybkośd jednej kuli wynosi

1,1m/s, a jej kierunek tworzy z pierwotnym kierunkiem kąt równy

60

0

. (a) obliczyd wartośd prędkości drugiej kuli

. (b) Jak zmieniłyby się wartości prędkości i kąt dla zderzenia

niesprężystego?

2

Zasada zachowania pędu, energii mechanicznej

1. Kula drewniana o masie M ułożona została na metalowym pierścieniu zamocowanym w statywie. Z dołu w kulę
trafia pocisk o masie m lecący pionowo do góry i przebija ją. W wyniku tego zderzenia kula podnosi się na
wysokośd h. Na jaką wysokośd H podniesie się pocisk, jeśli jego szybkośd przed zderzeniem wynosiła .

Wskazówka: korzystamy z zasady zachowania energii i obliczamy szybkośd kuli po zderzeniu:

,

podobnie pocisku:

. Podstawiając te wyrażenia do zasady zachowania pędu w czasie zderzenia

dostajemy:

.

2. Rakieta o masie M została wystrzelona z ziemi z prędkością

pod kątem



do poziomu. W najwyższym

punkcie toru rakiety został wyrzucony w kierunku przeciwnym do jej ruchu gaz o masie m z prędkością u
względem rakiety. Znaleźd wysokośd, na jaką wzniesie się rakieta oraz zasięg rakiety.
Wskazówka: z zasady zachowania energii:

. Korzystamy ze wzorów na prędkośd i zasięg w

rzucie ukośnym oraz z zasady zachowania pędu:

aby znaleźd prędkośd rakiety

po wyrzuceniu gazu. Zasięg:

.

Zasada zachowania momentu pędu

1. Kulkę przywiązano do linki, która przechodzi przez pustą rurkę i wprawiono w ruch. Kulka obracała się w
płaszczyźnie poziomej po okręgu o promieniu z szybkością . Pociągając za linkę w dół skrócono promieo do
wartości . Znaleźd wartośd prękości liniowej oraz kątowej

. Z jakiego prawa korzystamy? Uzasadnid, że jest

ono spełnione w tych warunkach.

Wskazówka: Siła działająca na kulkę jest siłą radialną, można wykazad, że moment siły

jest równy zeru.

Moment pędu jest zatem zachowany i korzystamy z zasady jego zachowania.

2. Człowiek stoi na stoliku, który może się obracad wokół pionowej osi. w swoich rękach trzyma koło rowerowe.
Koło obraca się dokoła pionowej osi z szybkością kątową

. Człowiek będąc sam w spoczynku stara się zmienid

kierunek obrotu koła odchylając jego oś obrotu od pionu o kąt 90

0

i 180

0

. Wytłumacz jak i dlaczego zmieni się ruch

tego układu.

3. Dziewczyna o masie m stoi na brzegu karuzeli (o masie 10m, promieniu R i momencie bezwładności ), która się
nie porusza. Dziewczyna rzuca kamieo o masie M w kierunku poziomym, stycznie do zewnętrznego promienia
karuzeli z szybkością względem podłoża. Jaka jest szybkośd kątowa karuzeli po wyrzuceniu kamienia? A szybkośd
liniowa dziewczyny?

Odp:

,

Ruch harmoniczny prosty

1. Przyczepiony do sprężyny klocek może ślizgad się bez tarcia po poziomej płaszczyźnie. Jedyną siłą decydującą o
drganiach klocka jest w tym przypadku siła działająca ze strony sprężyny. Jeśli układ sprężyna -klocek zostanie
zawieszony, to o ruchu klocka będzie również decydowad siłą ciężkości. (a) Czy w związku z tym częstości drgao
klocka będą różne? (b) Pokazad, że kiedy masa spada z położenia odpowiadającego nierozciągniętej sprężynie do
położenia odpowiadającego równowadze statycznej, połowa straty grawitacyjnej energii potencjalnej idzie na
wzrost energii potencjalnej sprężyny, a połowa na wzrost energii kinetycznej układu. (c) Rozważyd ruch wokół
położenia równowagi. Wyliczyd oddzielnie zmiany grawitacyjnej energii potencjalnej i sprężystej energii
potencjalnej, gdy masa porusza się w górę.

Wskazówka: Napisz równanie ruchu dla każdego przypadku, warunki początkowe i rozwiązania równao, czyli
zależnośd wychylenia z położenia równowagi od czasu. Jak zmieni się położenie równowagi statycznej w drugim
przypadku?

3

2. Napisad równanie ruchu i obliczyd okres drgao klocka o masie m zawieszonego na dwóch
nieważkich sprężynach w sposób pokazany na rys. Jedna sprężyna ma współczynnik sprężystości k

1

,

druga k

2

. Znaleźd wyrażenia na energię kinetyczną i potencjalną klocka.

0dp.

,

,

przy warunkach

początkowych: t=0,

.

3. Zaniedbując lepkośd wyznaczyd okres małych drgao słupa wody znajdującej się w szklanej rurce
wygiętej w kształcie litery U. Długośd części rurki wypełnionej wodą wynosi l. Jak zmieni się okres
drgao, gdy rurka zostanie umieszczona w windzie poruszającej się z przyspieszeniem a?

Wskazówka: Napisz równanie ruchu – po wychyleniu cieczy z położenia równowagi niezrównoważony słup cieczy

ma wysokośd 2x, a na ciecz działa pochodząca od niego siła

(wyprowadź ten wzór!),

.

W windzie na wodę działa siła

(uzasadnij dlaczego!) i

.

4. Pozioma sprężyna pod wpływem siły F

0

rozciągnęła się o w porównaniu z jej stanem swobodnym

(równowagi). Następnie do jej kooca przyczepiono klocek o ciężarze Q i rozciągnięto ją o x

1

względem położenia

równowagi. Ciało to leży na doskonale gładkiej powierzchni. Jaki ruch będzie wykonywało, po puszczeniu go?
(a) Znajdź współczynnik sprężystości sprężyny. (b) Napisz równanie ruchu i znajdź zależnośd wychylenia od czasu

okres drgao. (c) Oblicz amplitudę ruchu A i maksymalną prędkośd klocka. (d) Jakie jest maksymalne

przyspieszenie ciała i kiedy występuje? (e) Znajdź prędkośd, przyspieszenie i energię kinetyczną i potencjalną
klocka, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym a położeniem równowagi.

Wskazówka do (e): w punkcie tym

. Z zasady zachowania energii mech.

,

.

5. Klocek o ciężarze Q zawieszono na sprężynie o współczynniku sprężystości k. Z dołu w kierunku klocka
wystrzelono z prędkością pocisk ważący Q

p

. Pocisk ten utkwił w klocku. (a) znaleźd amplitudę powstałego ruchu

harmonicznego prostego. (b) Jaka częśd początkowej energii kinetycznej została zmagazynowana w oscylatorze
harmonicznym? Czy mamy tu do czynienia ze stratą energii – wyjaśnij!

Wskazówka: Najpierw skorzystaj z zasady zachowania pędu i znajdź prędkośd klocka z pociskiem. Potem skorzystaj
z zasady zachowania energii i znajdź amplitudę.

Drgania tłumione

1. Kuleczka na rysunku posiada masę m, a współczynnik sprężystości sprężyny wynosi k. Za łóżmy, że
ciało wychylono o w dół, a następnie puszczono. Przy założeniu, że opór ośrodka dany jest

wyrażeniem –

, (b - dane) znaleźd liczbę oscylacji wykonanych przez ciało w przedziale czasu

potrzebnym na to, by amplituda spadła do

wartości początkowej.

Wskazówka: wychylenie

(t=0,

),

.

.

Literatura

D.Haliday, R.Resnick: Fizyka, t.1
W.Dziurda, T.Stępieo,…: Zbiór zadao z fizyki z rozwiązaniami, cz.1
B.Oleś: Wykłady z fizyki , Wydawnictwo PK.
A.Januszajtis: Fizyka dla politechnik, t.1.